장음표시 사용
131쪽
3o6. Quinῖmmo eum triangula super eadem basi , &in iisdem parallelis eonstituta snt inter se aequalia, trian. guli cujuslibet superficies aequalis erit dimidio producto ex basi in altitudinem . 3or. Cum autem & parallelogramma in eadem basidi in iisdem parallelis constituta aequentur inter se , superis scies quoque euiuslibet parallalelogrammi aequalis erit pro ducto ex basi in altitudinem a - . PROPOSITIO CXVI. 3os. Super scies polygoni regularis aequatur dimidio producto ex perpendiculari a centro polygoni in unum la. tus demi ila in polygoni ipsius ei reum ferentiam n. 6y.ὶ Enim vero triangula omnia , in qu e polygonum reis gulare resolvitur , sunt inter se aequalia , eandemque pro inde habent altitudinem CI. Sed super scies polygoni re gularis est CI . et L AG - CI H - GF - - CI FE -
CI H - ED &e. quare tum AG GF - FE -- ED &e. fit tota polygoni eircumferentia , patet aream eiusdem po letoni aequari producto ex altitndine CI in dimidiam poli. goni eircumserentiam , sive dimidio producto ex circum. serentia polygoni in altitudinem.
132쪽
ost Infinite parvis eonstitulum. Verum at ter sie ostendi potest. Dueatur per quodlibet punctum T radii CL recta TX la. teri , vel tangenti ΚR parallela , & per idem punctum T deseribatur circumferentia TDGB . erit in triangulis ΚCR , TCX, KR: TXm KCt CT , vel ut peripheria ΚMSN ad peripheriam TDGB. Sed est ΚΑ-LMSN, erit ergo αΤX π TDGB, alque ita semper , ergo omnes simul tania gentes ad 'omnes fimul respectivas eircumferentias , scilieet triangulum ex tangantibus parallelis ad circulum ex concenis et cis per herils eompositam est ut prior tangens ad prid. rem peripheriam , nempe in ratione aequalitatis.
COROLLARIA. 3to. Hi ne quilibet sector TCS aequa Ff erIt triangula LCin ex radio CK , & recla Κὶ, quae sit aequalis a Geui ΚMS eiusdem sectoris. Cum enim sit ei reuius ad se. ctorem TCS ut tota peripheria ad arcum XMS , sive ut ΚR : Κὶ, vel ut triangulum ΚCR ad triangulum RCQ itumque sit circulus aequalis triangulo KCR , erit proinde sector aequalis triangnlo Ecd. .: OZsii. Circuli ΚM SN , TGB sunt in duplicata ratione radiorum CK , CT , vel ut horum quadrata . cum is in si peripheria KMSN ad radium, CK ut peripheria ΤGSad radinm CT , erit in triangulis RΚC . X TC . RΚ iXC α XT : TC s quare triangula erunt similia ae proinde in duplicata ratione Iateium homologorum C Κ , m imare erunt & circuli in eadem ratione , in qua pariter
erunt & sectores. q. I3 . in libet sector FDC ad sectorem ABC est in ra
tione eomposita ex ratione arcus FD ad arcum AB, & ra.
133쪽
ris FDC ad sectorem EDC, & huius ad sectorem ABC. sed sector FDC ad sectorem EDC est ut arcus FD: DE, §or EDC ad sectorem ABC est ut EDs: AB , sue ut Eo: AB eum ED r AB, quare sector FDC ad sectorem ABC rationem habet compositam ex FD: DE, ex DE: AB,& DE: ΑΒ , sive FDi AB, & ED: ΑΒ, vel DC: BC. PROPOSITIO CXVIII. 3 3. In semieirculo ABD ductis quequomodo rectis AB. BD, & in ipsis etiam descriptis semicirculis AEB , BFDerunt lunulae AEBGA, BFDΗB simul aequales triangulo ABD i M. T . . Cum enim ob angulum rectum ABD sit ADq re ΑΒ - BD , ut & semicirculus AGBΗD α AEB -- BFD, ablatis portionibus AGB BHD fiet triangulum ABD aequale binis lunulis ΑΕBDA, BFDHB, quae si fuerint quadrantalea ipsarum quaelibet aequalis erit dimidio ejusdem trianguIi ABD. SCHOLION I.
st . Iohannes Baptista Porta contendit, nulla tamen ad la ta demonstratione lunulam ΑΕΒGA esse ad Iunulam BFLHaut ΑΒ r BD, sive, b sariam diviso recto angvis ABD per reciam BT, ut AT: TD, adeoque lunulam AEBGA aequaiari triangulo ΑΕΤ, lunulam vero BFDΗB triangulo T BD. Reeentissimus autem Geometra arbitratur lunulam ΑΕ BGAesse ad lunulam BFDHB, ut est a reus AGB ad areum ΒΗ D, proindeque divisa AD in R, ut sit AR: RD α AGB: ΒΗ D. triangulum ABR aequari lunulae ΑΕ BGA, triangulum vero
R BD lunulae BFDΗB. Quod autem lsit lunula AEBGA ad lunulam BFDHB ut ΛGBe 2ΗD sic ostendita Divisis bisa
134쪽
riam subtensis AB, BD In punctἰs I, T, ductisque ex cenis
D ut AGB: ΓΗ . Sed eum nee demonstraverit, nec deis monstrari fortasse possit, quod si AGBr L. BHD: NOP, patet propositum theorema nullo modo velificari ,
3t s. observage a otem hie iuverit . quod si verum effettriangulum AR B aequari lunulae AE BGA, inventa foret ei risculi quadratura o Nam secta diametro AO in R, ut sit ΑR rRD α AGBr BFID, recta BR divideret utique ABD in tri. Ingula A BR α AEBGA, & BR D ra BFDHR; d ne in- se,. me irculo ΑFGD n. 74. ter milia semidiametro AF, FG, GD, quae est latus hexagoni, & super diametris AF, FG . GD descriptis semicirculis AEF. FQG , GOD. nee non se. mleirculo CVD , patet quod cum quadratum ex AD sit quadruplum quadrati ex AC, sive aequale qua uor qu dratis ex AF, FG , G , & DC, semicircuus A FGD ae. quaretur quatuor semicireulis AEF, FQG, GOD, DUC;
135쪽
316. Circulus ASDE est ad Zonam inscriptam ut quadra. tum radii CE ad rectangulum SI E , de eirculus NOMI est ad eandem Zonam ut quadratum radii CI ad idem rectangulum s IE n. 73. Circulus ASDE aequatur eirculo NOVI simul & Zo. nae 3 3r est C Eem: SIE - CIq, ergo cum sit eirculus AS DE ad eirculum NOMI ut CE : CIq, erit per conversionem rationis cireulus ASDE ad Zonam ut CE r SI E , vel dividendo et ii Zona ad eirculum NOMI ut SIE: CIq , Se invertendo ei leuius ad Zonam ut quadratum ad rectangulum .' . ,
Alne quilibet Hreulus TYXZ ad quamlibet zonam
DEAS MINO est ut quadratum radii v K ad rectaneulum Sigis Est enim eirculus TYXZ ad circulum ASDE ut V X r CFq. Se circulus ASDE ad Zonam inscriptam ut CFq: SIE. ergo eria equo ordinate circulus TYSR erit ad Zonam ut V X r SIE. 3is. Ergo describi poterit ei reu us aequalis datae zonae DEAsMINO si inventa media proportionali inter SI, IE, quae sit GR, ab ipsa tanqu/m radio describatur etreulus qui Zonam adaequabit.
3ro. Datum e/reu Ium in quo vis aequales partes ope est culorum concentricorum setare tu. ες. Esto C eentrum, Ae CE radius dati circuli. DIvidenda autem fit huius circuli area in quatuor partes aequa les ope trium circulorum concentricorum . Ponatur radius Cedi isus Diuiligod by GO Ie
136쪽
naruna ZX , X v , VE sint inter se aequales. Hoc posito area et riscuIi CZ etit dati circuli, eirculus CX - , cireulus AU A4 4 4 eiusdem ; area vero circuli CE erit ad aream eirculi CZ, ut CFq: CZq, quare C Eq: CZr α 4: r. Data est autem magnitudo C Eq, ergo CZq & per consequens ipsa radix CZ erit itidem data: quae quidem est radius circuli interioris . Item CEq: CXε α 4r a, ergo CX radius alterius circuli concentrici est pariter datus, & sic de ceteris, unde constat propositum .
31 o. Datum circulum ABDE extrema ae media ratione
secare , ut nempe sit idem circulus ad Zonam ABDENM, ut haec ipsa Zona ad reliquum circulum NM n. 73. Describatur diametro AC ei reuius ΑΚ CF, factaque A G:: AC ducatur per centrum Η recta GHF , & ex puncto Cadplicetur supra tangentem AL recta CL α FG, quae secet circulum in B , erit ergo BC - KF , GK α LB , adeoque rectangulum CLB FGL α AGq Σα ΑCe, unde LC rCA CA, vel CBr LB , quare CL secta est extrema aemedia ratione in puncto B, ex quo si ducatur BN normaligdiametro AC secabitur haee ipsa diameter extrema ac media ratione in puncto N. Quod si eentro C, & radio CN describatur circulus No M secabitur a recta CL in o , ad quod pu
ctum si dueatur recta Ao, erit haee perpendicularis ipsi CL , unde ΑCq die LCO αα CLB , hine LB α OC & LO m CB , &ΑLq CLo , unde CL : CA α LA : LO α LA r AC, adeoque & CB: BN BN r NC, ob similitudinem trian gulorum; sed circulus B N aequatur Zonae ABDEN M, ergo cireuius radii AC ad eamdem Zonam est ut ipsa Zona ad circulum radii NC.
137쪽
3xt. Datis ehorda RO , & radio CR Invenire chordamareus dimidii RN n. 3. Ex CR subtrahatur RGq , remanebit GCε , ex quo si quadrata radix extrahatur, habebitur GC , quae subtracta ex radio CN relinquet NG . Addantur simul RGq , & NG exsurget RNq , ex quo si extrahatur radix quadrata, ha. hebitur chorda arcus dimidii RN. LEMMA II. 311. Dato latere polygoni regularis inscripti RO, in.
venire latus ei reum scripti LK.
Quoniam LΚ est parallela ipsi RO, & CN bifariam steat arcum RO , erit OG a OR, & CG : GO CN NK ; innotescet ergo ipsa NΚ, cujus duplum est latus po-Iygoni circumscripti LΚ . PROPOSITIO CXXII.
31 3. Invenire rationem diametri ad circumferentiam. Inveniantur per continuam arcuum bisectionem latera polygoni inseri pii , donec ad latus deveniatur, quod sub tendat arcum quamlumlibet exiguum. Hoc invento latere investigetur Iaius polygoni similis circumscripti; ae deinde multiplicetur utrumque per numerum laterum polygoni, eκ qua quidem multiplicatione eruetur perimeter polygoni tam inscripti . quam circumscripti. Erit ratio diametri ad periispheriam ei reuli maior quam eiusdem ad perimetrum polygoni circumscripti, minor vero quam ejusdem ad Perimetrum . instri. Diqitigod by Cooste
138쪽
inscripti . Cognita vero inter utramque perimetrum differenotia iacile determinabitur ratio diametri ad periphemam et r.euli in numeris prope veris I scilicet polito circuli radio m I, ratio prope vera diamerti ad peripheriam erit ut
si . Mirum est quam aeri contentione Geometrarum indimensione ei reuli investiganda seculis omnibus laboratum sit. Aehimedes excogitavit methodum quadrandi circulum per polygona regularia inscripta . & circumscripta , & polyisgonis νε. laterum usus invenit rationem diametri ad peripheriam esse ut I: Q. quam proxime. Eiusdem vestigiis inhaerentes posteri rationes proximiores investigarunt. Et sane Ludo Dieus Coloniensis invenit, quod , sumta unitate pro diametro , circumserentia debet esse major quam 3.14rs 9163338 7s313846164338387sso. sed minor quam
foret hie idem numerus mutata postrema cyphra o in unitatem . Metius rationem diametri ad circumserentiam se se habere comperiit, ut ri 3: 3ss, quam sane rationem aliis praeserendam esse dueimus, cum inter omnes parvis nume. is constantes nulla hactenus inventa sit verae propinquior Licet enim ei reum sereni iam faciat iusta maiorem non tamen excedit veram in tribus partibus ex Icooo, in quot diameter secta concipitur.
COROLLARIUM.31s. Unde facile erit ex data ei reuli diametro cireum se .rentiam , & α data circumserentia diametrum investigare , si nempe inveniatur quarta proportionalis in primo casu ad ar3 3 s 3, & datam diametrum , in secundo ad 3 s s ; i r 3 ,& datam circumserentiam. P hsGIIo
139쪽
316. Praeter arebimedem, Luἱου1cum Ceulen , snellium ,& Metium in dimensione circuli desudarunt Antiphon , BI-son , Hippocrater , Ptolemeur , Orontius , nonnulli Arabes, Campanus , Cusanus, Fortiur , & Bovillius , quorum mel hodos ad examen revocare instituti nostri ratio non patitur. Consuli tamen potest Buteonis opusculum de quadratura circuli , ubi multorum quadraturae consutantur , & ab omnium impugnatione defenditur arebimedes.
317. Circulus quilibet ad quadratum suae diametri eam rationem habet quam ri: et 4 quamproxime n. 7s, Esto circulus ABCD. & quadrarem diametri BD cirisculo circumscriptum FGHI . producto latere EG sumatur FK ipsius EG tripla, & KF septima pals diametri BD, vel lateris EG , & iungantur BG. BF. Quoniam igitur EF: Eo Tet 122 7, erit EF cireumferentiae ei reuli serme aequalis. Cum ergo BE sit aequalis semidiametro, erit triangulum BEFcirculo aequale proxime, & triangulum BEG EGq . Quia vero posito latere EG α, τ . est recta EF α 21 . erit triangulum BEF, hoe est ei reuyus ABCD ad triangulum BEGut 11: τ . Sed posito triangulo BEG m et , quadratum EG Hripsius quadruplum est 18 . ergo circulus ad quadratum est
sertae ut ax: a 8, vel ut III I a
COROLLARIUM.3xs. Η ne si data sit cireuli diameter. invenietur ipsius 3IςR , si fiat ut i et Q. , ita quadratum diametri datae ad aream quaesiis Diqitigod by Cooste
140쪽
quaesitam, et si data sit area, Invenlatur diameter, si fiat ut 1 tr a 4 ita area data ad quartum numerum, qui erit quain dratum diametri, ejusque radix erit ipsa diameter.
CAPUT IV. De proprietatibus superficierum se mutuo secantium nec non linearum superficiebus iasis Occurrentium.
PROPOSITIO CXXIV. 3ας. Q Uperficies eiusdem trianguli, vel quadri Ialerio tota est in eidem superficie plana. Si enim trianguli, vel quadrilateri pars aliqua in una foret superficie, altera vero pars in alia seret diversa superficie . eiusdem linae rem e partes non essent in una eadem. que super se te, quod est absurdum.
x ro. CommunIs duarum superficieruae. sectio est I nea recta. Siquidem duarum superficierum in 'ersectio est linea, euius sin aula puncta in utraque iacent superficie . Evidens au. tem est tria puncta duabus superficiebus communia elle non nosse n si in directum iaceant. Cum enim tria puncta non iacentia in eadem recta super sciet positionem determinent, ut patet , s tria puncta in directum non posita duab is superstis ei ebus' communia esse possent, tria pu cta superficiei positio. nem non determinarent, unde duarum supei fieterum uuers ctio est linea Iecta. Diqitigod by Cooste