장음표시 사용
11쪽
risoru libros siumma eruditione refertos, in qu bus varias tharaeproprietates demo irat , quarum quidem cognitio magnopere es necessaria . ad rerum coelestum doctrinam consequendam. Et enim sine his inpronomia sua dignitate tu ri nulla rationepoten: Vnomonice quoque ,se ratio horologiorum Solarium describendoru ex
his maxime pendet. Adde quod ead Geographiam, ad Perllectivam recte intesistendam
non parum momenti habeant , mi interim alias militates 'haericorum elementorum taceamus.
V NIA 2M mero duplex versio Sph
risorum Theodosii circumfertur, germana altera spropria Ioannis Pena exemplarigraeco ad verbum restondens, altera Francisci Mauro- hei Abbatis e essenensis ex traditione e --bum: nos priorem secuti sumus, qua nouem
quinquaginta propositionibus abfluitur, ins mimus, varia scholia, quibus plurima theor mata necessari Uscitu iucunda, a I heodosio quidem omissa , ab Arabibus autem adiuncta,
demon nouimus. In demonstrationibus autem
non sumus secuti verba codicis Gari,sdsem sum, ut demonBrationes ipse clariores fierent:
12쪽
adiecimus i nonnunquam corolgaria quadam, scholia,nemo lemmata, ot illis utiposimus, quando res postulabit. D margine porro an fuimus numeros seriem propos itisnu iuxta ver fione Francisci Maurolyci referente vinciis a quouis propositiones Theodosii, quas nonnulli secundu ordine Arabu citant ,possint inueniri. Figuras quoque, qua ingraco exemplari extat, plerunque negleximm,quod illa,quas a Uaur licus pinxi commodiores sint,'ad intelligem das res sphaericas multo faciliores. Postremo, ne
demonytrationum cursus interrumperetur , Liauimus opositiones Euclidis, s horum libro rum in margine. Id quod oe insequenti j v
ribus obseruauimus. Citationes autem hoc mo
. primi. Prima propositio lib. l. Euelid.
Euclid. Coroll.Ic. Corollarium pinpositionis smisaracii. ivdecimae liti. .Euel. Coroll. x. Corollatium secundum proposi 3. sexti. ionia trigesimatertiae sexti lib. EucI. schol. 2.2. scholium primum pronositi inaui. nia seeundae lib.8.Euclid. . Autu . Propositici quaris huius t bri. a. huius. Propositio duodeeima libri a. huius operia. a iam propositionis deci
Coroll. o. Corollatiam huius. mael Coroll. . . Corollarium propositionis pri .huiu . niae lib. .huius operis. Schol. I. Seholium propositionis quintae huius. deeimae huius lib. sehol. is . scholium ptopositionia quin x. huius. decimae litat .huius operis xo. .Theod. Plopositio vigesim alib. .Theodoc roa.is. Corollarium propositionis sex. .Theod. taedecima lib. t.Theodosii. Sehol. s. Seholium propositionis decims .Theod. nonae lib. .Theodosis.
Ex his alia citationesfacile percipientur, cum in omnibus eadem sit ratio.
13쪽
hensa una superficie, ad quam ab uno eorum punctorum, quae intra figuram lan t, omnes rectae lineae ductae sunt i ter se aequalen
Centrum autem Sphaerae, est eiusmodi punctu GL Axis vero Sphaerae,est recta quaeda linea per centru ducta, & utrinque terminata in sphaerae superficie, circa qua quiescente circumuoluitur sphqra.
Poli sphaerae sunt extrema puncta ipsius axis Polus Circuli in Sphaera, est punctum in sepem ficie sphaerae, a quo omnes rectae lineae ad Circuli cucumisentiam tendentes simi inter se aequales. SCHodi
14쪽
AD DI TVR. ἰn exemplari graeo alia adline donitio, qua explicatur, qui r
ptinum ad planum similiter auelrnari, atque alter ad alterum . sed quoniam inaclinatio plani ad planum ab Eu elisis expIicata es lib. II. desimo. At ro . qua nodo planum ad planum similiter ιnelinari dicitur, ritque alte um ad alterum , eodem Lb de . . declar tum est, status eam omnino omittere bo e loco, o sequentem vinruere non disimilem defui novi q.tibo. Euclidis,ita H sextum locum ob tyneat.
IN Sphaera aequaliter distare a centro sphaerae circuli dicuntur, cum perpendicularcs, quae a centro sphaeret in ipsortim plana ducuntur, sunt aequales. Longius autem abesso ille dicitur,in cuius planum maior perpendicularis cadit.
THEOREM A L PROPOS. I. I Sphaerica superficies plano aliquo secetur, linea quae fit in sphaerae superficie, est
se circuli. Transeat enim primo planum secans per centru sphaerae D, ita ut D,sit in plano secante, in quo ex D, ad lineam fa
F, D G. Qu. niam igitur omnes ohae lineae ductae , quotcunque fuerin eum ex emito sphaera ad eius superficiem cadan nim
15쪽
ΤRANSEAT deinde planum secans non per centrum sphaerae. Duis eatur autem ex D. centro spnaerae ad planum secans perpendicularis D H, emittaturq; ex H, α Λ recte utcunq; HE,.D. H F,ad lineam B EF C G & conectaritur rectae DE, DF.
recti sunt,ex des n. 3. lib. II. Euel id. erit tam quadratu
ex D E, quadratis ex DH,HE,quam quadratu ex D F, quadratis ex DII, Hr, aequale: Sunt autem quadrata ex DE, DF, inter se aequalia , quod &reoue D E, D p, ex centro sphaerae in cius superficie cadentes inter se aequa- Iessint. Quadrata istitur ex D H, H E, simul quadratis ex D H, H F, simul aequalia erunt. Dempto igitur communi quadrato rectae D H, reliqua quadrata rectarum H E, H F, inter se aequalia,& rectae propterea H E, H F, inter se aequales erunt. Eodem argumento ostendemus,omnes lineas ex H,ad lineam B E F C G, cadentes esse aequales & inter se, & dictis duabus HE, H F. Linea ergo B E F C G, circumserentia erit circuli, ex defin I . lib. I. Euclid. cuius contrum est punctum H, in quod perpendicularis D H, cadit. Quare si sphaerica superficIes plano aliquo secetur,&e. Quod erat demonstrandum.
ITAQUE si planum feeans per eentrum sphaerae transierit'. e Seletur eIreulus idemeentrum habens,quod sphae a. si vero non per centrum transierit, efficietur ei tetitu aliud habens eentrum, quam sphaera, illud videlicet punctum , in quod eadit perpendi eularia excentro sphaetae ad planum secans deducta. Nam semper demonstrabuntut tineae tectae radentes ex hoe puncto ita circumferentia m circuli esse aequales.
IDEM est sphaerae eentrum, & elreuli per sphaerae centrum traiecti. Et perpendieularis ducta aeentrosphaerae in planum circuli per centrum sphaerae non traiecti.eadit in centrum circulit quia punctum H, in quod perpendicul ira D H, cadit, demonsitatum est centrum'
PROBL. 1. PROPOS. 2. DATAE Sphaerae centrum inuenire.
SIT eentrum inueniendum Sphaerae ABCD. Secetur eIus superficies plano quopiam faciente in ipsa lineam BDE, quae circuli circumferenti α it. Sit huius circuli centrum F. Si igitur circulus BDE, per centrum spliae rae traijcitur, erit punctum F, centrum quoque sphaerae. Si vero per centrum
sphaerae non traucitur, erigatur ex F, ad planum circuli B DL, perpendicu-uris
16쪽
Iarix F G, quae utrinque ad superficiem sphae- λxae ducta ad puncta A, C ,sccetur bifariam in G. Dico G, centrum esse sphaerae. Si enim noest,sit,si feri potest,centrum H, secans diametros omnes bifaria,quod quidem in linea AC, rio existet,cu ea in puncto G,sola bifaria diuidatur, sed extra illa.Demittatur ex H,centro sphaerae ad planum circuli BD E, perpendicu F M. unde Iaris HI, quae aequidistans erit lineae F G; ae o. vade proinde in punctum F. non cadet: eoirent emtunc duae parallelae HI, G F, in F, puncto , ruod seri non potessi Quoniam vero perpenicularis ex centro sphaerae in planu circuli B D E, dentissa cadit in eius cen- Coroll. r. trum, erit I, centrum circuli B D E. Sed& F, ex constructione, centrum est huiu3. eiusdem circuli. Quod absurdum est. Idem enim circulus unum tantum ha beat centrum necesse est. Non ergo aliud punctum praeter G, centrum erit sphaerae. Qu re datae sphaerae centrum inuenimus. Quod faciendum erat.
HINC eonstat, si in sphaera sit ei reuius non per centrum sphaerae traiectus, 1 euIus renis ero exeitetur perpendicularis ad ipsius planum, in linea perpendientari eentiu esse sphaer . Ostensum enim est,punctum G,quod pcipendiculate A U,bifaria diuidit,esse sphaeret eenit E
THEO REMA 1. PROPOS. 3. 3. SPHAERA planum, a quo non secatur, non tangit in pluribus punctis uno.
SI enim seri potest, sphaera planum, a quo non steatur,tangat in pluri bux punctis uno,ut in A,&B. Inuento igitur C,centro sphaerae ucantur re
num faciens quidem in superficie sphaerae ei r I.huius.cumferentiam circuli A B D, in plano aute -- secante rectam lineam E A B F. Quia igitur 3.vndet. planu tangens,in quo est recta E A B F,sphaeram non secat, atque adeo neque circulum A B D, in sph rq superficie existentem,sit ut neq; recta EA BF,circulu ABD, secet. Cadetergo recta A B , tota extra circulu. Quoniavero duo puncta sumpta sunt A, B,in circuserentia ei reuli ABD,cadet eadem recta A B,apsicto Adn punctu B,ducta tota intra circulsi a .retim.
A B D. QAod est absurdu. Sphera igit planu, a quo no secatur,no tangit in pluribus purus uno.Quod erat demonstrandu.
HINC si. si duo puncta signemur in superficie sphaerae, rectam,quae illa eonnecti t.intras aeram eadete. vii videlicti cadit intra cuculum, qui in si rae superficie cireumferen x. terti,
17쪽
SI Sphaera planum tangat, quod eam non socet. recta linea ducta a centro sphaerae ad conta cularis erit ad planum.
TANGAT Spli aera planum, quod ipsam non secci , in puncto A: Et inuento B, centro sphaerae,ducatur ab eo recta B A, ad punctum contactus A. Dico tectam B A,addictum planum perpendicularem esse. Nam per rectam A B, ducantur duo plana vicuti rue se mutuo secatia,quae in superficie quiem sphaerae faciant circulorum circumserentias A C D E, A F D G, in plano auto tangente rectas HAI, KAL. Quoniami igitur vlςrque circulus A C D L, A F D G, per centrum B, sphaerae traijcitur,erit quoque B, utriusque centrum. Rursus quia planum tangens sph ram non secat, fit,ut neque rectae HAI, K A L, in eo existentes eandem secent; ac proinde neque circulos A C D E, A F DG, in sphaerae superficie existentes. Tanget igitur rect H AI, cireulum AC D P, in puncto A, & recta κ R L, circulum A F D G, in eodem puncto A. Iditur recta B A, & ad rectam H AI, & ad rectam K A L. perpendicularis K. Quare eadem recta B A, B ad planum tangens, quod per rectas H A I, K A L, ducitur,perpendicularis erit. Si spliae ergo planum tangat, quod eam non secet,&e. md ostendendum ςrat.
THEOR EMA' . PROPOS. 3. SI Sphaera planum tangat, quod ipsam non secet, a contactu autem excitetur recta linea ad anagulos rectos ipsi plano, in linea excitata erit centrum sphaerae.
' cto planum E FPquod eam non secet, a puncto autem C, excitetur ad planum E F, peri endicularis C A. Dico in A C,centrum ece sphaerae. Si enim non est, sit G, cen trum sphaerae extra rectam A C, si fieri potest,& a G, ad C, recta ducatur: GC, que ad planum. E F, perpendici latis erit: Erat aute & AC, ad idem planuni perpendicularis. Igitur ex eodem puncto C, ad idem planum E F, duae; peipendiculares ducuntur. Quod est absur
18쪽
. im pl/n puncto, quod in illo datum est, duae rectae lineae ad ii. vvdedirectos angulos non excitantur. Quare si sphaera planum tangat, quod ipsam non scce i,&C. Quod erat ostendendum. . I r
THEO REMA 1. PROPOS. 6. CIRCULO RV A1, qui in sphaera sunt, ma
ximi sunt, qui per sphaerς centrum ducunt m :aliorum autem illi inter se aequales sunt, qui aequalitera centro distat: qui vero longius a centro distant, ininoi cs sunt . Et circuli in sphaera maximi per
sphaerae centrum transeunt: aliorum autem aequales a centro aequaliter distant : minores vero longius a centro distant.
n. F, cui ut centrum G, transeat inculus A D, per
centrum G, & alas BC, F E, non per centrum. Dico A D, circulum est. Omlini. si igitur ex G,H,l, ad super- Α huius. sciem sphaerae rectae ducantur G D, H C, I E, et ut hae semidiametri circulorum A D, BC, F E. Connectantur autem rcctae G CG E.Quoniam igitur in triangulo G H C, an fulus H,rectus est xx defin. 3. lib. II. vcl. erit quadratum ex G C,aequale quadratis ex G H, H C. Dempto ergo quadra to rectae G H, maius erit quadratum ex G C,quadrato exHC; atque adeo & recta GC, hoe est,sibi aequalis G D, ducuntur emG C, G D, ex centro sphaerae ad su-serficiem , maior erit, quam rectat C. Quare circulus AD, maiore Μhabens semidiametrum,quam circulus BC, maior erit circulo BC Nriri c. cus ostcndemus , circulum AD, quocunque alio , qui per centrum Gno rranseat,maiorem esse. Maximus est ergo cireulu, A D. ''' DISTENT iam circuli B C, F Ε, a centro G, aequaliter uicie est ri . pendiculares G H, G I, aequales sint, ex defin. 6. huius labri. Dico eirculo
19쪽
persciem eadcntes sint aequales, ae proinde & earum quadrata aequalia;sit autem tam quadratum ex G C,quadratis ex GH, H C, quam quadratum ex
G E, quadratis ex G I, I E, aequale; erui quadrata ex GII, H C, simul aequa lia quadratis ex GI, I E, simul. Demptis er o aequalibus quadratis rcctarum G H, G I, positae enim sunt hae liticae aequales aequalia crunt reliqua quadrata rectarum H C, I E, ac proinde & rectae H C, I li, aequales erunt: quae cum snt semidiametri circulorum B C, F E, aequales erunt circuli ipsi BC, F E. QV O D si alter l, oru circulorii, nempe BC,longius a ccntro G, ponatur distare,quam alter F L, hoc est,per pedicularis GJ maior ponatur perpendiculari G I, ostendemus eodem sero modo,circulum B C, minorem esse circulo F E. Cum enim quadrata ex G H, H C, aequalia sint demonstrata quadratis ex G I, I L; si austrantur quadrata inaequalia rectarum inaequalium G H, G s , quorum illud maius est, quod & recta G H, maior ponatur quam recta G I, erit reliquum quacratum rinae 11 C, minus quadrato reliquo rectar I E;ac propterea & recta H C, nino reiit, quam rccta I E Igitur & circulus B C, circulo F Ε,
SIT iam cireulus omnium maximus A D. Dico eum per G , centrum sphaerae transire. Si enim nontra ni eat per centru ,erit alius qui si
iam circulas per centrum G, tranens maior circulo A D, non pereentru transcute, ut in hac pio pocdemonstratum est. Quare A D, non est maximus circulus. Quod est ab -
lineae G H, G I, ualus eruisti mae cum perpendicularcsctione , ad plana circulorum B C, F E, aequaliter a centro G istabunt ei euli BC. F E, ex desin.6. huius lib- - - .ci V d D si al ter ei reulorum B C, F ri nimirum circulus B C, minor p natur altero circulo F E, ostendemus eodem sere modo , perpendicularem G H, maiorem esse perpendiculari GI. Cum enim quadrata ex G H, H C, ostensa sint aequalia quadratis ex G I, I E; sit autem quadratum cx H C,minus quadrat ex IE; quod& semidiameter H C, circuli minoris ginor ilsemidiametro I E, circuli maioris erit quadratum reliquum rectae G H, relimio quadrato rectae GI maius 3 atque adeo & recta Gii maior eri quam G I uare cum G H, GI, perpendicularcs sint, ex constructu ne, ad planaeireti ongius distabi I definχ. huius lib. circulus B C, minor a centro G, quam circulus maior F E. Itaque circulorum, quian sphaera sunt, maximi
20쪽
maximi sunt,qui per sphaerae centru ducutur, &e. Quod erat demonstrandu.
SI in sphaera siti circulus, a centro autem spha rae ad centrum circuli connectatur rem linea, connexa linea ad circuli planum recta erit.
IN sphaera ABC, cuius centrum D, sit circulus B F C G, euius eentra E: Et recta D E, connectat duo eentra D, E. Dico D E, rectam esse ad plana circuli BFCG. Ductis enim duabus diametris utcunque BC, F G, in circulo , ducantur ab earum extremis ad D, centrum sphaerae rectae lineae , B D, CD, FD, GD, quae omnes inter se aequales erunt, cum a centro sphaerae ad eius superficiem eadant: Sunt autem & B E, C E, F E, G E, semidiametri circuli B F CG, aequales. Igitur duo triansula D E B, D E C, Quo latera DE, E B, cuobus lateribus D E, E C,&basim D B, basi D C, a qualem habent; ex quo fit, angulos DE B, D EC, aequales, at-lue adco rectos esse. Recta igitur D E, rectet C, ad rectos insistet angulos. Non .aliter ostendemus, rectam D E, rectae F G, ad rectos angulos insistere. Quamobrem & plano circuli B F C G, per rectas BC, F se, ducto ad rectos angulos insistet. Si igitur in sphaera si ei reuius,&e. Quod osten
THEO REMA ' PROPOS. 8.SI sit in sphaera circulus, & a centro sphaerae ad circu tu ducatur perpendicularis, quae ad Vtram Sparte producatur, cadet ea in polos ipsius circuli.
IN sphaera Α Β C D, cuius centrum Ε, sit cir- Aculus B G D H, in cuius planum a centro sphaerae E, perpendicularis deducta sit EF,quae in Viram-r ς partem protracta caat in super faciem sphaerae ad puncta A, C. Dico A, C, polos esse circuli BGDH. Cadet em perpendicularis E F,in cen-