장음표시 사용
31쪽
r t.vndee. quouis a IIo maximo inscripti. Ducatur ex C, ad circulum A B, perpendios .huius. laris C E, quae in centrum iptius cadet, quod lit E, S producta in reliquum polum', qui sit D, cadet. Iam Per ratas CB, C D, planum ducatur iaciens in sphaera circulum A D B C, qui cum pcr E, centrum sphaerae Est enim E, centrum circuli maximi A B, quod per centrum splicerae transeat, idem, quod spli arrae) transeat,maximus erit, H atq; adeo eirculum maximum A B, bifariamo sce abit. Quod etiam insepit et, quod pzreius polo ς irre dat. Hinc eni in fit, ut ipsu in bifariam di iii dat. Sit etgo communi . sectio diameter B EA Et quonia m C E, perpendicularis ducta est ad circulum A B, erit ea de perpendicularis ad rectam A B, ex des n. 3. lib. II. Luci. Duae ergo diametri A B, C D, in maximo circulo A D B C, si se mutuo secat ad angi los rectos, ac propterea ut in lib. q. Euclidis demonstratum est, C B, latus est quadrati in circulo maximo A D B C, atq; adeo & in maximo A B, descripti. Si igitur in sphaera sit maximus circul' , recta lino ducta, Sc. quod demonstrandum erat.
SI in sphaera fidici cillus , S ab eius pes o ad circunserentiam ducta recta aequalis sit lateri quadtati iti eo descripti , circulus ipse
maximus eri aIN eaLinfigura ex C, polo us eircunsi retitia cirruli AI, ductarem C B, sp
quam later/ quadrati in circulo Α S, d scopιι. Dico A I, circulum esse maxi. I. undee. n.um. Ducatus eium ex C , ad circulum A s , perpendicularis CE, quae in et us .huius. centrum eadet, quod sit E. Ducta autemse dιametro E A, erit ex des n. Dbb. I iis
Eucl. angulus E, rectus. Igitur quadratum in circulo A B, descriptum, aequale est 47, Ptimi. quadratis o BE, C E: Id quadratum fodiametri 2 E , dimidiam est quadrati 1ncirculo A B, des ripti , ut inox ostendemus. igitur x qua fra tum ex C E, eiusdem quadrata tu circulo AB, Esripti dimidium erit s at,ue adeo quadraιa ea y F, C E, inter se AEqualia , necnon in im eae propterea B F, C E, aequales erunt. Quare eum QE , tactasit ex C, pola ei reuli Ag, a I ipso eirculum perpendic ι rra, os hsis DIta bametra 2 Ea cisalis , er/ι cuculus A B, ma imur.
32쪽
IN omni circulo quadratum seimidiametri dimidium est quo drati in ipso circulo descripti. I N eirmio, cuiπs centrum F, ductasint duae rimetri C, B D,
sise ad angulos re Ios secantes in F, cenistro. Iunctis ditur rectis AB, PC, C D, DA, quadratum erit A B, C D, in circulo inscri tuiu, ut cunctat ex propos. 6. lib. . Eucl. Quoniam vero quadrata ex i- diametris aec talibus E , E B, aeqIalia interse, aequalia simul sanit quadrato ex e B; dimidium erit quadratum semidiametri EA, quadrati ex AEI, quod in circulo describitur. Quod est proposithm. Ex quo constat, insuperiori dura, quadrat femi liametri B F, dimidium se quadrati et C B, quod aequale ponitur ei, quod in circulo P, in scribitur.
THEOR. ic. PROPOS. I 7 SI in sphaera sit circulus, a cuius polo in ipsius circi serentiam ducti. rccta linea aequalis sit late ri quadrati inscripti in maximo circulo, ipse circulus maximus erit .
IN sphaera si circulus A B , a cuius polo
C. ad eius cireunserentiam recta ducti C A, aequalis sit latexi quadrati in maximo circulo sphaerae deseripti. Dico A B, circulum esse maximum. Per rectam enim A C,¢ru sphaerae planum ducatur, faciens in sphaera circuluA C B,qui maximus erit,eum per sphaerae centrum ducatur. Ducatur quoq; ex L , recta linea CB, ad B,punfisi, in quo circulus maximus A C B, circulii R B secat writ , per definit. poli, recta C L, rectae C A, aequali . Cli ergo AC, ponatur latus quadrati in maximo circulo ACB, descripti, erit quoque C B, latus eius tein quadrati , atque adeo duo arcus A C, C B, qua drantes crum conscientes icini circulu A C B, quod quatuor latexa quadrati aequuas letaliquituor circuli arcus aequales. Recta igitur AB, com- 1 s. d.
33쪽
munis sectio circulorum diameter erit circuli maximi A CB; ae proinde disphaerae.Qusniamvero circulus maximus A C B, circulum A B, per polos se-rs. huiuι. cans secat bifariam , erit quoq; Α B, communis sectio diameter circuli ΑΒ, ac proinde cum & sphaerae diameter sit,circulus maximus erit A B. Si in sphaera ergo sit circulus, a cuius polo, &c. Quod erat demonstrandum. a 8.
primi. Sehol.2s. tertii. 27. tertii. 1.primi. v. tertii.
PROBL. 1. PROP. 18. LINEAM rectam describere aequalem diametro circuli cuiuslibet in sphaera dati.
IN sphaera sit datus eireulus quilibet ABCD, euius diametro rectam aequalem oporteat describere. Sumptis tribus punctis in circunferentia circuli utcunq; A, B, D, & iunctis rectis A B, A D, B D, constituatur triangulo
le sit. Deinde ex G, F, ducantur ad rectas EF, EG, perpendiculares F H, G H, coeuntes in H, connectaturq; recta EH. Dico E H, aequalem esse diametro circuli ABCD. Ducta enim diametro AC, iungatur recta DC. Quoniam vero quatuor anguli quadrilateri L F HG, uatuor rectis aequales sunt, uniq; EFH, E GH, rectis . . urunt F EG, FHG, duobus rectis aequales; atq; adeo in quadrilatero Ap HG, duo quilibet anguli ex adu ἀ: uO rectis aequales erunt. QDare circa ipsum circulus describi potest: Quo deicripto erunt anguli E F , E H G, eidem segmento,euius cnorda EG, inlittentes quales. Est autem angulus E F G, angulo A B D, aequalis; quod duo latera E F, FGAu'bus lateribus A B, B D,aequalia sint,& ba-οῦ E. basi A D, ex constructione: S. angulus Α Β D, angulo A C D,aequalis est. Igitur & angulus E HG, ingulo A CD,aequalis erit. Est autem &Yecius angulus E GH,angulo ADC,aequalis,quod hic quoque rectus sit in semicirculo A D C, exissens. Igitur triangula EHG, A CD, duos angulos duobus angulis aequales habent,necnon & latus E G, lateri AD,quod aequa- Irum angulorum uni subtenditur, aequale. Quare S latus E H, lateri A C, aequale erit. Lineam igitur rectam EH,descripsimus aequalem diametro A C. circuli ABC D. Quod erat faciendum.
PROBL. 3. PROPOS. I'. LINEAM rectam describere aequalem diametro datae sphaerae.
34쪽
IN sphaera data sumptis utcunque duobus punctis A, B, describatur ex A, polo,&interuallo A B, circulus B D, cuius diametro aequalis recta describatur F G: ct fiat supra F G, triangulum L F G , habens utruque reliquorum laterum E F, E G, rectae duci AB, aequale. Deinde ex F, G, ad E F, EG, perpendiculares educantur P H, G H, coeuntes in H;iungaturq; recta EH. Dico E II , aequalem esse diametro datae sphaerae. Ducta emsphaerae diametro A C,traijciatur per rectas A B, A C, planum faciens in sphaera circuluABCD, qui maximus erit, cum per diametrum sphaerae, atque adeo per centrum eiu
dem ducatur. Quare id e per A, potu circuli BD, ductus circulum B D, bisaiariam secabit; ac propterea communis sectio B D, diameter crit circuli BD. Iunctis autem rectis A D, D C, erunt duo latera A B, B D, duobus lateribus EF, F G, aequalia,nec non de bases A D, E C, aequales. Est enim F G, diametro B D, aequalis, ex constructione:& utraque E F, E G , rectae A B, vel A D. Igitur & anguli A B D, E FG, aequales erunti Est autem angulo ABD, angulus A C D, aequalis: θέ angulo E FG, angulus E H G, ve in praecedenti Iropos demonstratum est . Igitur & anguli A CD, E HG, aequales erunt. unt auteu, Rrecti A DC, E GH, aequales, & latus A D, lateri E G, quod ni aequalium angulorum cibi jcitur, aequale. Igitur & recta E H , rectae A C, aequalis erit. Lineam igitur rectam E H, descripsimus aequale diametro AC, datae sphaerae. Quod faciendum erat.
A D D I T v R itu alia versione sequens boe Theorema.
LINEA recta a polo cuiusuis circuli in sphaera ad superficiem sphaerae ducta, quae sit aequalis lineae rectae ab eodem polo ad circum serentiam circuli ductae, in circuli circunferentiam cadito
I N sphaera ex A polo circuli A C, recta duana sit vicumqua Α o, at eius circunferentia , quae minor erat diametro sphaerae, at que adeo diametro et reula maximi in sphaera , cum diameter baerae si omnium rectarum in sphaera ducta ra xIma. Ducatur tam ex eodempolo A , ad δε-
1 rficiem sphaerae rect i A E quae ipsi A D, aequ iuiis t. Dico rectam A F, carere ιn circunferen. iam circuit B C. Si enimfert olei pion cadat in eius circunferentiam. Et po rectam A E,ta
35쪽
ra cis lum ABC, qui maximπs erit, eum per centrum sphaera transeat. Sere o. tem circulus ABC, circurum B C, in tune is A B, C. Non cadet ergo recta A E, inpunsia B, C.
ponatur non cadere in circunferentiam ei
B C. Ducta igitur refcta Α B, erit haec, ex sepn. poli, re Iae AD, atque adeo re Iae Λ Gaquati . Et quia utraque Α Β, Α E, minor est diametro maximi circuli ABC, H di Ium es erum arcus A B, A E, eum sui segmenta semiis eirculo minora, aeYuales , pars in totum .
Quod υλ absurdum. Cadet ergo re Ia A E, ναcιrcunferentiam circuli B C . Quod est proat situm.
PER duo puncta data in sphaerica superficie
IN sphaerica superficie data sint duo pucta A, B, per quae describere oporteat circulu, maximum. Si ergo puncta A, B, sint opposita ex diametro 3pngrae,certum est, infinitos circulos maximos per ipsa duci posse, ductis nimirum infinitis planisper diametrum sphaerae puncta illa connectentem . Si autem puncta A, B, non sint in sphaerae diametro , describatur ex A, polo, & interuallo quod lateri quadrati in maximo circulo descripti aequale sit, circulus CD, qui maximus crit, cum recta ex A, polo ad eius circunstrentiam ducta aequalis sit lateri quax drati in circulo maximo destribui, propter interuallum , quo circulus C D, des Eriptus est. Similiter ex B, polo,&interuallo eode, quo prius, circulus dc scribatur E F, qui rursus erit maximus. Secet autem hic priorem in puncto G, a quo ad polos A, B, rectae ducantur G A, G B ; quarum utraque,ex coastructione, aequalis erit lateri quadrati in maximo circulo descripti. Tanto enim interuallo ex polis A, B, circuli C D, E F, descripti sunt .. Aequales ergo sunt G A, G B. Iam ex G, polo,& in te uallo G A, circulus describatur AED FC B, qui maximus erit; cum recta G A, .ex G, polo ad eius circunserentiam ducta aequalis sit lateri quadrati in maximo cireulo inscripti,ut demonstratum est. Quoniam vero recta G B, aequalis ipsi G A, dum ad superficiem sphaerae cadit in circunferentiam circu- .li A E D F C B , descriptus propterea erit circulus maximus AEDF CB, per data duo puncta A, B, in superficie sphaerae. Per duo ergo puncta data ini Pharica suaeiacie αaximum circulum descripsicius. Quod faciendum erat.
36쪽
CVIVS LIBET circuli in sphaera dati polum inuenire.
SIT inueniendus polus eireuli A B, in sphaera dati, sit' primum cIreuis
lus A B, non maximus. Sumptis duobus punctis in circunferentia utcumque C,D, diuidatur uterque arcus C A D, C B D, bifariam in A,& B, punctis, per . o tert i. quae de cribatur maximus circulus A E B; leceturq; arcus A E B, bifariam : huis in E. Dico E, polum esse circuli A B; Quoniam enim arcus AC, A D, aequale, sunt, necnon BC, BD,erunt toti arcus A C B, A D B, aequales. QuAre maximus circulus A EB, cum circulum non maximum AB, bifariam secet in A, & B, secabit eum per Polos. Punctum ergo aequaliter distansa circunferentia circuli AB, polus est cireu i i A B. Eodem modo si reliquus arcus A F B, secetur bisariam in F, erit F, al-tς polus circuli AB. SED sit iam datus eirculus A B, maximus.Sumptis rursus punctis C, D, utcumque, & diuisis arcubus C A D, C BD, bifariam in A, B, ostendemus, 3 o. tertii. t prius, totos arcus A C B, A D B, esse aequales, ac propterea utrumque esse semicirculu circuli maximi.Diuiso ergo altero semicirculo,nempe A C B, bifariam in G, erit recta G A, subtendens quadrantem circuit,latus quadrati in maximo circulo A B, descripti vi ex prop. 6.lib. Eucl.costat.Jtaq; ex polo G,&interuallo G A,circulus describatur AEB,qui maximus erit,cu recta 17. huius ex G,Polo ad eius circunferentia ducta nimiru ad punctu A,sit aequalis lateri quadrati in circulo maximo AB,descripti. Diuidatur deniq; arcus A E B,bisariam in L.Dico E,polum esse circuli A B.Cum enim maximus circulus A C B, transeat per G, polum maximi circuli A E B, transibit vicissim maximus circuius A E B, per polos maximi circuli A C n. Quare punctum Ε, aequaliter remotum a circunserentia circuli A C B, polus est circuli A C B. Eodem modo diuiso arcu A F B, bifariam in F, eritF , alter polus circuli AC B. Cuiuslibet ergo circuli in sphaera dat polum inuenimus. Qum erat iaci cndum .
I N alia xe ne demonstrantur sequemia duo theoremata . I.
SI in superficie sphaerae acceptum fuerit punctum aliquod, & 33.
37쪽
abeo puncto ad circunferentiam circuli cuiuspiam in sphaera dati cadant plures, quam duae rectae liacet aequales , acceptum punctum polus est i psius circuli.
IN superficiesphaera ABC, acceptum sit punctium A, a quo ad eireu erentia
circuli B C , cadant prArra, quam dux, redia lineae aequales A D, A E, A F. Dico A plum esse circuli BC. Demittatur enim ex x3. undec. A, planum circuit B C, perpendicularisA A G, ungatur et: recta D G, E G, s C, eruntes ex S. des n. lib. I r. Ecel. Omnes tres anguli ad C, recti.QMare tam qis Iratum ex ΛD, Τπa dratis ex A G, G D, quam quadraιum ex AE, quadratis ex AG, G Ε, in quadratum ex Anquadratis ex A G, G F, aequale erit. Cum er go quadrata rediarum aequatiis A D, A E, ARAEqualia sitit, erunt m quadrata ex AG, G D, simul quadratis ex AG, GE, mi, nec quadratis ex A G, G F, simul aequalia 1 demoptos comm m quadrato lineae AG, aequalia erunt reliqua quadrata linearum G D, G E, .leriij. G F, atque adeo G rectae G D, GE, GF, clivolς erunt. Igitur G, centrum erie cireuli BC i ac proinde re M G A, qu centro G, ad circulum BC, perpendi
II. 34. IN sphaera circuli, quorum polis rectar ad eorum circuns rentias ductae sunt aequales, inter se qquales sunt. Et circulorum qu lium quales sunt rectet ab eorum polis ad circunferentias ductae.
I N sphaera Λ B C D E F, cuius centrum G, sint duo circuli B F, C P, a quorum
solis A, D, rectae Α F, D E, ad eorum circur sarentias ductae sint aequales. Dico circulos BriC E, aequales νύ e. Dueantur expolis A, D, ad plana circulorum perpendiculares AH, DI, quaeadent in eorum centra IMI cr inde pro uera in reliquor potis atque adeo Cr in G, centrum sphaerae. Duelis igitur semidiam tris sphaerae FG, EG, c semidiametris circulo νώ FH, EI, eum latera A G, G F, lateribus D G, G Ε, sint aequalia, basis A F, basi DE; erunt anguli AGRD GE, aequa Ies . Sunt autem angulι IJ, I, eae defin. 3. lib. II. EucI. recti . Triangula igitur F G H, EGI, duos angulos duobus angulis c.
Marti habent: habent nai m latus F si lateri E G, ruod recto angulo Upq u
38쪽
tur a tra es latar midiametri FIR EI, ae uales erunt, atque a ea er ciri. 5 n F, CE, cq stales, quod primo loco proposituo est. sINT iam circuli B F, C E, aequales . Dico σ rectas AF, DF, ab eorum poli, ad eircunferenti, duc is esse aequales . Constru lis enim eisdem,erunt semidiameatri F H, E I, aequales, eirculi ipsi aequaliter a centro Iaerae distabunt. Perpenadiculares eris G H, G I, aequales erunt 3 atque adeo er reliqua lineae A H, D I, erant aequales. Quoniam itur latera AH, H F, lateribus D I, I E, aequalia sunt,continents angulos H, I, aequales, cum rem sint exile im3.Iib, M. Eucl. eruttases Λ F, D E, aequales. Quod secundo loco propositum erat.
THEOR. 17. PROPOS. 22. SI in sphaera recta linea per centrum ducta rectam aliquam lineam non per centrum ductam bifariam secet, ad angulos rectos ipsam secabit.
Quod si ad angulos rectos cam secet, bifariam quoque ipsam siccabit.
IN splima, cuius centrum A, recta A B, per centrum ducta rectam CD, non per centrum ductam secet bifariam in B. Dico ipsam C D, secari ad angulos rectos. Ducto enim per rectas A B, C D, plano , quod circulum faciat C D, qui maximus erit,cum per centrum sipliaerae transeat. Quoniam issi Me in circulo CD, recta A B, per eius centrum A, transiens rectam C D, non per centrum ductam secat bifariam in B, aa angulos rectos ipsam secabit. Et si ad angulos rectos ipsam secet, bifariam ipsam secabit. Si igitur in sphaera recta linea, &c. Quod demonstrandum erat.
ADDITUR. Ne in eree Iari grata theorema alius, quod idem prorsus est, P adprop. 7.dema aium est.Vnde superuacaneis esse duximus, illud hic repetere
39쪽
N sphaera cilculi se mutuo tangere di
cuntur , cum communis sectio plan rum utrumque circulum tetigeiit .
Q THEO REMA 1. PROPOS. 1. IN sphaera paralleli circuli circa eosdem p
IN sphaera ABCDEr, paralleli e Ireuli
sint B F , C E. Dico eos circa eosdem polos esse. Sint enim A, D, poli circuli B, F,& conectatur recta A D, quae ad circulum B F,recta erit, transibitq; per centrum sphaerae . Quoniam igitur recta AD, ad circulu BF, perpendicularis est , erit quoque ad circula parallelum C E , perpendicularis. Quare catranseat per centrum sphaerae, ut ostensum est, cadet in polos circuli CE . sunt ergo A , D , poli circuli CE : sunt autem & polie reuli B F. In iphaera igitur paralleli circu Ii B F, C E, circa eosdem polos A, D, sunt. Quod erat demonstrandum.
THEO REM A L PROPOS. 2.IN sphaera circuli, qui sunt circa eosdem p los, sunt paralleli.
40쪽
CE. Dico eos parallelos esse. Connexa enim recta A D , erit haec ad . . unq, circulum perpendicularis. Quare plana circulorum B F,C E, parallela In sphaera igitur circuli,qui sunt circa eosdem polos, sunt Paralleli. Quo ostendendum erat.
SED O hoe ibrarema sequeris in alia versione demonstratur.
IN sphaera non sunt plures circuli aequales , & paralleli, quὶin
duo. I N obaera quacunque sint,si fieri potest Iores quam duo cireuli aequales,. paralleli, nempe tres ΑΒ, CD, EF, qui circa eos lem polos crunt. Sint ergo eorum poli G, H, Cr iungatur .ecta G H, quae transibit per l, centrum Dbaora, . per K, L, Μ, centra circxlorum; perpendicularis , erit ad circulas AB, CD, EF. Quoniam igitur circuli ΑΒ, CD, E F, aequalessent,ipsi aequaliter dipabunt a eeutro obaerae I. Per defv. ergo s. lib. I. butu , perpendiculares IK, , Ibi, aequales erunt, nempe pars I L,
. totum l Μ. Quod est absurdom . Ius haeras itur non suntplures circuli AEquales , er para reli, quam duo . Quod demonstrans
SI in sphaera duo circuli secent in eodem puncto circunferentiam illius maximi circuli, in quo polos habent, se mutuo tangent illi circuli
IN sphaera duo circuli ΑΒ , AC, secent in puncto A, circunferentiam maximi circuli A BC,qui per illorum polos transeat. Dico circulos A B, A C , se mutuo tangere in A. Quoniam enim circulus maximus ABC, secat circulos A B, A C, per polos,bifariam ipsos secabito ad angulo rectos. Communes ergo sectiones circuli A B C, & circulorum A B, A C, nempe rectae A B, A C, diametri sunt circulorum A B , R C . Sit quoque communis, sectio planorum , in quo
circuli A B, A C, existunt, recta D E, quae Wr p istum A , transibit, propterea quod plana circulorum in. A, pona