장음표시 사용
21쪽
circuli BGDH, erunt anguli omnes,quos ad F, iacit,recti ,ex defin. 3. lib. II. Euclid. Quare duo
triangula A F B, A F H, duo latera A F, F B,duobus lateribus AF, FH, aequalia habent, qui quidem angulox comprehendun t aequales,nempe re-
A H, a quales erunt. Eodem modo oste demus de quascunque ex Α, ad circumserentiam circuli B G D H, ductas tam inter se quam rectis A B,A H quales esse. Punctu ergo A, polus est cisculi. BGDH' ex defin. s. huius lib. Non aliter demon strabimus, & C, punctum eiusdem cir
I N versione Imurobo adduntur βροentia duo ibeoremata, quae Arabes adis.
SI si in sphaera circulus, a cuius centro educatur perpendiculatis ad circuli planum, quae in utramque partem producatur, cadet haec in utrumque polum circuli.
IN eadem Hura ex F, eentro. eirenti BGDH, erigatur rem F A, perpendiis 'eularis ad circuli planum, quae occurrat superficiei sphaerae inpundiis A, C. Diea Α, C, esprpolos circuli BGDH. Erunt enim rurs- ex definit. 3. Lb. I i. E DcI.omnes angwli,quos ad F, Dert recta Α F, recti .Quare, t praus linea AB, AD A CAH, Erc. κquales interserundi, me. ALITER. Quoniam perpendicularis F Α, transit per eretrum sphaerae Et iacta erat recta E F, ex E. eretro spPar ad planum circuli BGDH, perpendi . Iaris. Quare γt demonstratum est, eadet in polos eiustam rareuli. Quod est stroisi sit m .. . N P
22쪽
II.s I sit in sphaera circulus, &ab altero polorum eius recta duca- IN tur per centrum illius, erit liqc ad planum circuli perpendicularis;& producta cadet in reliquum polum.
IN eadem adhue figura ex A, polo eireuli B G D PI, per eentrum eius F, demittatur Iinea recta A F, eeeurrens Iupe Ueter sphaerae in C. meo re iam Α F. perperadicularem esse ad planum circuli 2GDA, C, esse reliquum polum eiusdem ciracult. Quoniam enim duo triangula Α F B, Α F D, duo latera A F, F B, duobus Iasteribuι A F, F D, er basim AB, basi Α D, aequalem habent,ex JUn. poli i habebunt quoque duos angulos A F B, A F D, aqwales , atque adeo rectos . Igitur Α F, reo 8 primi.. EZa n D,insistit ad angulos reEus. Similiter ostendemus, eande A F,ad angulos rectos inli Zere reictae G H. Quare Cr plano circuli B G D Hoer rectas B D,G H.duEIo eade Ddς νeED A F, ad reElas insistet angulos .Quod est primo propositum .Quoniam igitur AF, ad rectos est angulos plano circuli BGDH,dui an ιt F Α, ex eentro circulι F,adplanum oreuli perpendicularis. Quare, ut ιn hoc sobolio proxime demonstratum est,in
tramquepartem protracta in utrumquepolum eirculi eatit, ae proinde C, retia
quus polus erit circuti B G D H, quod est secundo loco propositum.
THEOR. 8. PROPOS. 9.SI sit in sphaera circulus,&ab altero polorum eius in ipsum ducatur perpedicularis recta linea, cadet haec in circuli centrum, &inde producta cadet in reliquum polum ipsius circuli.
IN Sphaera A B C D, sit ei reuius B F D G, a cuius polo A, ad eius planum perpendicularis ducatur AE, occurrens superficiei sphaerae in C. Dico, D.vnd. E, centrum esse circuli B F D G,& C, reliquupolum. Ductis enim per E, duabus rectis utcunque BD, FG, connectantur earum CX trema
cum polo A, rectis AB, A D, A F, A G, quae
omnes inter se aequales erui, ex definitione poli. Omnes item anguli, quos recta A E, facit ad Γ, recti,ex desin. 3. lib. I i .Evcl. Erit igitur tam quadratu ex A B, quadratis ex A E, E B,quam quadratum ex A G, quadratis ex A E, EG, ar- quale ; atq; adeo cum quadrata rectarum A B, AG, aequalium aequalia sint, erunt quadrata ex A E, EB, simul quadratis ex AE, GE, simul aequalia. Dempto ergo communi quadrato rectae A E, reliqua quadrata rectarum EB, EG, aequalia erunt, ac proinde& rectae E B, E G, aequales. Eodem modo ostendemus, rectas E G, E D, aequales esse. Quare E, centrum est circuli. BF D G ; Orod est propositum. Quoniam igitur ex E, centro ciT '. tertii ..: t I 2 culti
23쪽
4.vndec. ν. huius. Coroll. I. huius a
e uti BFD G, ad ipsius planum educta est perpendicularis E A, transibith eper H, centrum sphaerae, atq; adeo ex Π, centro sphaerae eadem HE, ducta erit perpendicularis ad planum circuli B F DG. Quocirca H E, utrinq; educta cadet in polos eiusdem circuli; ac proinde C, reliquus polus erit circuli B F D G. Si igitur sit in sphaera circulus,& ab altero polorum eius &c. Quod
THEOR. V. PROPOS. IO. SI sit in sphaera circulus, linea recta per eius polos dusta, ad circulum recta est, transitq; per cem trum circuli,& sphaeiae.
IN sphaera A B C D, sit eIrculus B F D G, per euius polos A, C, recta dueatur A C, occurrens plano circuli in E. Dico rectam A C, ad planum circuli rectam esse , transireque per eius centrum, hoc est , E, est e ipsius centrum nec non per centru sphaerae. Ductis namq; per h, duabus rectis utcunq; ID, F G, quarum extrema cum polis A, C, iungantur rectis, ut in figura ; erunt
tam A B, A G, A F, A D, inter se, quam C B,
CG, CF,C D, inter se aequales,e X desin. poli. Igitur dυo triangula A B C, A D C, duo latera A B, A C, duobus lateribus A D, AC,& bi sim B C, basi D C, aequalem habent. Qua propter A angulos BAC, DAC, aequales habebunt. Quoniam igitur duo triangula A B E, A D E, duo latera A B, A E, duobus latoribus A D, A E; aequalia habent, angulosq; sub ipsis contentos B A E, D A E, aequales , Ut proxime demonstratum est, crunt & anguli AEB, A E D, aequales,& ob id recti. Non aliter demonstrabimus,rectos esse angulos A E G, A E F. Recta is itur AE, duabus rectis B D, FG, ad rectos insistit angulos . Quare purpendicularis erit ad planucirculi B F D G, per rectas B D, F G, ductum . od est primo loco propositum. oniam igitur ex A, pcito circuli BF DG, ad eius planum perpendicularis est ducta A E, ea det A E, in centrum ipsius. Est ergo E, centrum circuli BF D G. Rursus quia ex E,centro circuli BF DG, educta cst ad eius planum perpendicularis E A, transibit haec pzr centrum quoq; sphaerae. Quare recta A C, pcrpendicularis est ad planum circuli BFD G, transitq; per ei uxcentrum, & sphaerae. Quod est propositum. si si igitur in sphaera circulus , linea recta per eius polos ducta, &c. Quod erat demonstranssum.
24쪽
SI in sphaera sit circulus, & ab altero polorum eius per centrum sphaerae recta linea ducatur, eritia aec ad planum circuli perpendicularis, & producta cadet in centrum ipsius,& in reliquum polum.
I N sphaera A R C D, emi centrum F, sit circuias BGDH, a cuius polo Α, per E, centrum sphaerae ducatur recta Α Ε, occurrens plano circuli in F, crsversiciei aere in C. fico A E, perp/nricularem esse ad planum ei reuli, transire sper erus centrum, reliquum stolum , Me est, F, esse eius centrum ; π C, reliquum polum . Ductis raram per F, duabus acinis utcunaque BD, GH, iungantur extrema eum punctis A, E, ut in figura i erunt j Α B, A H, A D, AG, ex definitione poli , inter se aequales 3 nec
rae interse aequales . Quoniam uitur duo tm.1ns
Lia AB E, AD E. duo latera AB, A E; duosus lateribus Α D, Α E, Cr basim E B, basi E. D, habent aequalem ι erunt anguli B A Ε, D A Z s. pilαLAEquales. Itaque duo triangula A B F, Λ D F, duo latera A B, A P, duobuι lateribus AD, Α F, aequalia habent , angulos, sub ipsis contentosn A p, D A F, aequales, t proxime est 'D I riim LQuare anguli AF B, Λ F D, aequales erunt, atoque adeo recti. Eoiem modo demonstrabimus res Aos esse angulos AF H, AF G, . Recta igitur Al, duabin rem B D, G Π, in lirad anstulo rectos . Quare perpeudacularu erit ad planum circvit B G D H, per re. 4.-dem ectas BD, GH, dinum uaque producta cadet . in centrum Greuis, Crin reli. ναιώ-q-m polum: ac proinde F, eeutrum erit circuli , tr C, pretosium. Si iustbaera igitur sit circulus , me. Quoi erat ostendendum.
positum esturicitcurum maximi circuli.
II. SI in sphaera sit circulus, & a centro sphaerae per centrum circuisti recta linea ducatur, cadet haec in utrumque polum cIrcula. IN eadem nura ducatur per T, centrum Obara utrum circuli 3GDII,
25쪽
reela E F, in utramque partem . Dico E F, eadere in utrumque polum Hreuta B G D II 3 duo utam enim redia E F, centrum sphaera , . centrum circuli B G D H , his lis . conecten perperidicularis est ad planurn eiusdem circuli , cadet earim E F, Ῥινιζε .huius. que protradia tu polum utrumque et Iem circuli . Quod est propositum.
E X Us omnibus eonflat, in spliaeta quatuor hae punm, nempe duos polos euiusq; et euIl. eiusdem centrum . di centrum splixtae . perpetuo in una linea recta, nempe diameito priae tae . ex mere. N iptam quidem diametrum ad planum eiusdem circuli esse perpendicularem : Adeo ut tecta per quaelibet duo puncta ex hii ducta tianseat per reliqua duo. si tot ad planum ei reuli perpendicularis: Et tecta pet unum eorum ducta perpendicularis ad pla. nam circuli, transeat quoq; per tria puncta teliqua. '
IN sph ra maximi circuli se mutuo secant bi
IN sphaera ABCD, secent se mu tuo duo circuli maximi AC, BD, in punctis E, F. Dico se mutuo secare bifariam. Quoniam enim circuli maximi in sphaera per centrum sphaerae transeunt, transibunt circuli AC, BD, per sphaerae centrum , quod sit G. Et quoniam idem est sphaerae centrumn circuli per sphaerae centrum traiecti, erit punctum G, quod sphaerae centrum ponitur , centrum quoq; uti iusq; circuli A C, B D, ita ut in utroq; plano circu- Iotum A C, BD,existat. Sunt autem & puncta E, F, sin utroq; codem plano. Tria ipitur pum E,GJ,in utroq;plano circulo ru AC,BD, existunt; atq; adeo in comuni corii sectione erunt,cum sotu comunis eorum sectio sit in utroq; plano : Est autem communis eorum 1e itio linea recta. Igitur tria puniata E,G, F, in linc a recta ex E, per G, ad F, ducta existunt. quae cum transeat per G, centrum utriusq; circuli , & sphaerae, ut ostensum est, diameter erit&sphaenae,& utriusq; circuli; atq; adeo utrumque eorum bifariam secabit, ita ut semicirculi tint E AF, FC E, E B F, F D E: In sphaera ergo maximi circuli se mutuo secant bifariam. Quod erat demonstrandum.
IN sphaera circuli, qui se mutuo bifariam se
26쪽
IN sphaera L BCD, ei reuli A E, BD, se mutuo secent bisariam in puniactis E, F. Dico circulos A C, B D, esse maximos. Cum enim se mutuo secent bifariam in E, F, erit ducta recta E F, utriusq; diameter, cum sola diametet circulu quemcunq; bifariam diuidat;ac proinde diuisa recta EF, bifaria in G,erit G utriusq; circuli centrum : quod dico etiam esse sphaerae centrum, a ta; adeo utrumq; circulum per sphρm centrum duci. Si namq; G, dicatur non esse centrum sphaerae, ac proinde circulos AC, BD, non esse per sphaerae centrum ductos; hoc ipso ostendemus, G, esse centrum sphaenae, atq; idcirco utrumq; circulum per sphaerae centrum duci. Erigatur enim ex G, ad planum circuli AC, perpendicularis GHr Item GI, perpendicularis ad planum circuli B D. Quoniam igitur circuli A C, BD, ponuntur non transire per centrum sphaerae, transbit utraq; perpendicularis GH, GI, per centrum sphaerae . Quare punctum G, in quo Conueniunt, centrum erit sphaerae, alias centrum non existcret in utraque: ac proinde uterq; circulus per centrum sphaerae traij cietur. Sunt ergo circuli A C, B D,per centrum sphaerae traiecti, maximi. In sphaera ergo circuli,quice mutuo bifariam secant, 1 unt maximi. Quod erat ostendendum.
HIC vides mirabilem sane argumentandi modum. Nam ex eo , quod G, dici tur non esse eeutrum sphaerae, demonstratum est demonstratione affrmativa, G, es se centrum sphaerae. in o modo argumentandi etiam rusus est Euclides lib. s. propus.12. Cardanus lib. s. de Propori .propos Ioi .ut in scholio eiusde propos monuimu .
THEO REMA H. PROPOS. I3. SI in sphaera maximus circulus cisculum que-piam ad rectos angulos secet ; & bifariam eum secat, & per polos
IN sphaera maximus eireulus A BCD, secet circulu B E D, in punctis B, D,ad angulos rectos,hoc est, planu circuli A BCD, rectum sit ad planum eirculi B E D;sit , comunis eorum sectio recta BD. Dico circulum A B C D, bifariam, & per polos secare circulum B E D. Sumpto enim F,centro circuli maximi A B C D, quod & e enim sphet
rae crit, Nam cum circulus maximus duca tur per centrum sphaerae, erit eius centrumidum,quod sphaerae. ducatur ex F, ad planucirculi B E D, perpendicularis FG, quae in
s. hui ut CorolI. I. huius. I. underi
27쪽
is .nflee. B D, communem sectionem cadet. Cadat autem in punctum G. Et quoniam coton. i. eadem cadit quoqὶ in centrum circuli B E D, erit G, centrum circuli BED;
atq; adco B D, per G, ducta, diameter eiu
dem : quae cum diuidat circulum B E D, bifariam, diuidet quoq; cundota. bifariam circulus maximus ABCD, per rcctam BD, ductus. Quod est primo loco propositum . Quoniam vero recta F G, in plano est circuli ABCD, cadet ca producta in circumscrentiam ad A, C, ρ uncia , quae in superficie sphaerae sunt: cadit autem S in utrumq;holum circuli BED, quod ex F, cqntro. sphaerae ad circuli planum perpendicula rix sit dincta.Igitur A,C,poli sunt circuli BED, ac proinde circulus maximus ABCD, per polos circuli BED, transit. quod secundo loco proponebatur demonstradum . Si igitur in sphaera maximus circulus circulum quempiam, Sc. Quod
CAET ERVM Lee propos una eum 8. 9. io. . earum scholiis intelligenia etiam est, quando circulsu B D, maxim- s, G perspbara centrum transit. Eadem enim es fere semper dιmonstratio, vipe privum est.
THEOR. 13. PROPOS. I . SI in sphaera maximus circulus circulum non maximum bifariam secet ; ad angulos recto S cum
IN sphera maximus circulus ABCD. non maximum BED. secet bifariam in punctis B, D, sitq; communis eorum sectio recta B D. Dico circulum ABCD. secare circulum BED, ad angulos rector , &.per polos. Quia enim circulus B E D, bifariam secatur in B,D, hoc est, in semicirculos,erit B D, communis sectio diameter eius. Diuisa ergo B D, bifariam in F, crit F, eentrum circuli BED. Sumpto autem G, centro sphaerae, quod¢ru t rit maximi circuli ABCD, ducatur ex G, ad F, recta FG, quae perpendicularis erit ad planum circuli BED . Igitur & planum circuli maximid ille planu circuli BLU,rcctu erit. Secat igitur circulus
28쪽
elrculux maximus A BCD, circulum B E D, non maximum ad angulo rectos. Quod est trimo loco propositum. Et quoniam ostensum est,recta FG, ex G, centro sphaerae ductam ad planum circuli B E D, esse perpendiculare , cadet F G , utrinque producta in polos circuli BED. Quare cum GF, in plano circuli ABCD, existens , producta cadat in circunferentiam eius aduncta A, C, quae etiam in superhcie sphaerae sunt, erunt A, C , poli circuli E D, atque adeo circulus maximus ABC D, circulu non maximu BED, per polos A, C, secabit. quod secundo loco propositu fuit. Si igitur in sphaera maximus circulus circulum non maximum,&c. Quod erat ostendendum.
Si in sphaera ximus circulus, eorum, qui in sphaera sunt, circulorum aliquem per polos iecet; bifariam,& ad angulos rectos cum lecat.
IN Sphaera maximus eirculus ABC D, secet circulum BED, per polos A,C. Dico circulum A B C D, secare circulum BED, bifariam, & ad anguros recto . Connectat enim recta AC,polos Α, C, occurrens plano circuli B E D , in F, puncto. Et quoniam recta A C , ad planu circuli BED, perpendicularis est,transitq; per centrum sphaerae,& circuli BED; erit F,centrum circuli BED. Cum ergo circulus mayinius ABC D circulum B E D,sccans tranieat per rectam AC, ac proinde per centrur, crit coinmunis icctio BFD , diameter cireuli BED. Bitariam ergo secatur circulus BED. Dico quod& ad angulos rectos. Cum enim recta A C , ostensa sit perpendicularis ad planum circuli BED, erit quoque planii eirculi maximi ABC D,pertrectam AC, ductum ad idem planum et muli BED, rectum. Igitur ii in s Phetra maximus cireulus,dce. Quod demonstran
D A T V o R. alia ibeoremata hoe Deo addutur in alia versione, hoc ordis.
SI in sphaera maximus circulus per polos alterius cuiuspiam maximi circuli transeat, tuansibit vicissini hic per polos illius.
29쪽
Α Ι N transeat max mus Hreutat A BCD, per A, C, polos circuli maximi B D. Duo Cr maximum errculum B D, per polos ma xim circuli A B C D, transire. Quoniam enim Maiului. - ru mus Α Β C in circtilum B D, 1 cat per polos , secabit ipsum ad angulos re AIos. Quare vicisim maximus circulus B D, orc ----- ἰ A s C D , ad angulos reflos feabidi i a
M.huius. P st per Csius polos eum secabii . Quod .st propositum.
II. circulus circulum per polos secet, circulus maximus est,ila bifariam eum secat,& ad angulos rectos.
culum maximum, secares circulum BD, bifariam,m ad angulos rectos. Contingat enim res m A C, potis Λ, C , quae necessario in plano circisti ABC D, erit,quod circunferentia eius per eosdempolos A, C, ponatur tranfre. Quo. Nam vero recta AC, per A , C, polos circuli B D, ducta transit per centrum sphaerae, transio bit quoque circulus A B C D, eum per recta Α C, ducatur per eentra, sphaerae 3 atque adeo maximus erit. Quare cum per A, C, polos c r
et a I N sphaera Areulus A B C D, seet e Nulum B D, bifariam, er ad angulos redios.Dico ipsum esse circulum maximum, transires per polor et rineuli B D. Siρ reela B ineommunis circu lorumsinctio. Quoniam igitur circulus ABCD, circ lum B D, secat bifariam, erit recta B D, nempe communis sectio circulor diameter et rcul B D, atq- adeo diuisa recta B D, bifariam in Ererit E, eiusdem eireuli centrum. Dueat urin plano circuli ABCD, recta E A, perpendicularis ad rectam B D. Et quoniam circuIM AB C D, circis.
30쪽
t BD, peu Itu ν seare ad anguloa rectos erit ex defin. q. tib. I I .rucI. EA, ad pia inum es keuli B D, reeia; ae proιnde eum ex E, centro Q educaturis in utrunque . . polum ei dem eadet. Cadit auteni in circ. erentiam circulι ABC D nsuperseie Schol. . o rae existentem ad puncta A, C. Sunt ergo MC, poli circuli B D; a Mue adeo eir ψ ψ culus ABC D, circulis B D, per polos Α, C,secao.Quare ex praecedent ι tbeoremate, maximus errcul.s est. Probatum autem est, quod cr circulum B inperpolos secat .
SI in sphaera sit circulus, ab altero polorum eius recta cadens in planum ipsius ad angulos rectos aequalis sit semidiametro eius , circulus maximus est. i
I N Obera sit circulus AB. a euius altero polorum C, inpianum eius eadens recta perpendicularis C D, aequat sit ipses semidiametra. Dico A B, esse circulum maximum. Cum enim C D, perpendicularis sit ad erreolum AB, cadet ipsa in circis lieentrum, in producta eadet in alterum polum, qui ' E. Est ergo D, eentrum circ. 3.huius. D AB i atque adeo perpendicularis C D, trauasi per centrum spherae. Discatur per recta C E, an sphaera planum utcunque faciens Disphaera circulum A E B C, qu cum transeat per centris sphaerae , maximus erit: quι circulum Α Β, secet inpunctis A, B, Cr iungatur semidiameter D B, cui ex bus thes aequalis est C D. Quoniam vero C D,perpendicularis pon tuν ad circulum A B, erit, ex desu. I.lib. II. EMI. angulus C D B, reactus. Quare BD, messia proportionalis est inter C D, DE, bae emerit, ut C D, ad B D,ita B D, ad D E. Est autem CD, ipsi BD, aequalis . Isi. tur Er DE, eidem B D, aequalis erit; atq; adeo C D, D E, inter se aequatas erunt. Cum ergo C E, ostensa sit transireper centris sphaerae, erit D, centrum sphaera . Erat autem σ centrum et rculι Α Β . Idem ergo es eentrum sphaerae, circul3 AB, ac proinde circνlu ΑΒ, maximus est . QVod est ε nvid prolositum. . i l . . aTHEO REMA 11. PROPOS. 16. ah SI in sphaera sit maximus circulus, recta linea ducta ab eiusdem circuli polo ad circunferentia aequalis est lateri quadrati inscripti in maximo cir
IN sphaera sit eireulus maximus A Ra euius polo CAd eiuς circuserentia