장음표시 사용
41쪽
tur secare circulum ASC Et quoniam planum circuli A B C, ad plana circulorsi A B, A C,rectum est ostensum,erunt vicissim plana circulorum A B, A C, ad planum circuli ABC, recta; atque adeo & D E, communis ipsorum sectio ad idem planu circuli ABC, perpendicularis erit. Igitur & ad diametros A B, AC, in eodem plano existentes perpendicularis crit,ex defin. 3. lib. II. Eucl. Quare D E, utrumque circulum A B, AC, tanget in A ; ac proinde per desin. huius lib. circuli A B, A C, se mutuo tangent in A, puncto. si igitur in sphaera duo circuli secent,&c. Quod erat ostendendum.
Si in sphaera duo circuli se mutuo tangant, in ximus circulus per eorum polos descrj p tus, per
I N sphaera tangant se mutuo circuli A B, CB, in B;&per D polum et .. .huius. euli A B, R E, polum circuli C B, describatur circulus maximus D E. Dico circulum D E, percontactum B, transire. Non transeat enim,si fieri potest, per tactum B, sed secet circunferentiam v. g. circuli C B , in F. Polo igitur D, & interuallo D F, circulus describatur F G, qui, cum ad maius interuallum descriptus sit,quam circulus A B, secabit circulu C B , in F; quandoquidem circulus A P, eundem tangit in B, puncto , vltra quod circulus G F , ex polo D,descriptus est. Quoniam vero in sphaera duo ci culi GF, CF, si tin eodepuncto F, maximum circulum D F E, per eorum polos descriptum,tangent se mutuo in
F, duo circuli G F , C F : Sed
S mutuo sese secant in F , ut Qdictum est. Quod est absurdum . Non ergo circulus maximus D L, secat alibi circulos A B, C B, quam in B, contactu, atque adeo pcr eorum tactu transibit. Itaque si in sphaera duo circuli se mutuo tangant c. Quod ollandei dum erat.
THEOR. 1. PROPOS. 1.s I in splicta duo circuli se mutuo tanganlima
42쪽
ximus circulus deseriptus per unius polos, &percontactum amborum circulo ru, per reliqui quoque circuli polos tran sibi C.
IN sphaera duo circuli A B, C B,tangssi se mutuo in B, sintq; D, E, poli
Ipsorum. Dico maximum circulum per D, polum circuli A B, & per contacium B , dcscriptum transire quoque per E , polum circuli C B. Si enim fieri potest,non transeat per E , sed per aliud quod uis punctum F, cuiusmodi est circulus maximus D B F : Et per polos D, E, maximus circulus describatur D E , qui omnino per contactum B, transibit; atque adco suo circuli maximi DB F, DBE, se mutuo secabunt in D, S B, ac proinde bifariam .
Semicirculus ergo erit uterq; arcus D B. Quoniam vero cst culus maximus per alterv pOIoru cuiuslibet circuli in sphaera transiens, transit quoquQPer reliquum polum, estq; inter duos polos eiusdem circu-b semicirculus circuli maximi interpositus; fit, ut existente D, uno polorum cireuli A B, punctum B, sit alter polus. Quod est absurdsi. Est enim B, in circunserentia circuli. Transieigitur circulus maximus D B, per E. Quocirca, si in sphaera duo circuli se mutuo tangant,&c. Quod erat ostendendum.
SI in sphaera maximus circulus aliquem circulorum in sphctica superficie de scaptorum tangat, tanget & alterum ei aequalem,& parallelum.
IN sphaera maximus circulus A B, tangat circulum AC, in A. Dico circulu A B, tangere quoque altorum circulum ipsi A C, aequalem,le parallelum. Sit enim D, polus circuli A C: ac per D, A, circulus maximus describa tur D A: qui, cum D , potu circuli AC, S percontactum A, transeat, trahsbit per polos quoque circuli A B. Assumpto autem E, reliquo polo circuli A C, ducatur recta DE, quae per centrum sphaerae transibit, atque adco sphaerae diameter eii .
43쪽
Ex polo igitur E,&ad interuallum EB , circulus describatur B F. Dieo eINculum maximum A B, tangere quoque circulum B F, in B,& circulum B F, aequalem esse,ac parallelum circulo A C. Quoniam enim iecta DE, per polos circuloru A C, B F, transiens perpend: cularis est ad ipsos circulos,erunt circuli A C, B F, paralleli. Rursus quia cirm culi maximi in sphira bifariam se secant,semicirculus erit A B; atque adeo semici culo D C E, aequalis. Dempto ergo communi arcu B D, aequales remanebul arcus D A, E B: atque adeo rectae D A, E B, a polis D, E, ad circunferentias circulorum A C, B F, ductae aequales, Quare aequales sunt circuli A C, B F. Denique quia circuli A B, BF, in eodem puncto B , secant maximum circuluA E B , in quo quidem polos habent , se mutuo tangent in B, circuli A B, B F. Quare circulus maximus A B, tangens in sphaeraeirculum AC , tangit quoque alterum circulum B F, ipsi A C, aequalem , ¶llelu. Ac proinde si in sphaera maximus circulus aliquem circulorum,&c. Quod erat demonstrandum.
HINC per te uu m est, puncta contactuum A, B, per diametrum esse opposita . Oste sum enim est . A C B, esse semicirculum . ae propterea rectam ex A. ad B, ductant esse di metrum sphaerae. seu cireuli maxim A C B, &e. .
THEO REMA . PROPOS. 7. SI sint in sphaera duo aequales, & paralleli ci
culi, maximus circulus, qui eorum alterum tetigerit, reliquum quoque tangeta.
ΙN eadem figura sint duo circuli aequales,& paralleli A C, BF, & max mus A B, tangat A C. Dico eundem A B, tangere quoque B F . Si enim A B. non tangat ipsum B F, tanget utique alterum ipsi A C, aequalem, & parallelum. Cum ergo & BF, eigem A C, aequalis ponatur,& partiletus,erunt tres circuli in sphaera, nempe A C, BF,&ille alius, quem A B , tangit, inter se aequales, S paralleli. Quod est absurdum . Non enim plures circuli aequa lex sunt, S paralleli in sphaera, quam duo. Tanget igitur circulus A B, circula B F. Quamobre, si sint in sphaera duo aequales, & paralleli circuli, &c. Quo Ierat ostendendum.
I N alia versione demonstratur er sequens theorema.
C sR C V LI in sphaera paralleli, quos maximus aliquis circulus tangit, aequales inter te sunt.
44쪽
Aus AB, tangat in A, B. D co circulos AC, B F, aequales inter se esse . Quoniam erram l .tr.1sielι ponuntur circuli AC, BR Us eιrca eo; ἡmtolos erunt, qui sint D, 3. humε. Ei per q6s,m polos circula A B, circulsu mari us describatur Α F B, qui percon o. .huiuar ta Lis A, B, transibit. Quoniam vero eirculi maximi inspbaeras mutuo secant bi ε .hmutifariam , se circulus erit ADB, atque adeosemicirculo DBE, aequatu. Dempto ergo area communi D s, aequales remanebunt a reus D A, E B it ac prὐιnde m recta DA, E B, expolis D, E, ad circunferentias circulorum A C, B F, dωcta aequales. Q are circulι AC. B F, aquales erunt .QMd estproposium. Schol. D. i. hvius.
THEOR. 8. PROP. 8. Io. SI in sphaera maximus circulus ad alique sphae . . irae circulum obliquus sit, tanget is duos circulos aequalcs quidem inter se, parallelos autem praeducto circulo, ad quem obliquus est.
IN sphaera maximus circulus A B, ad circulum quemcunque C D, obliquus sit. Dico circulum A B, tangere duos circulos inter se quidem aequales, parallelos autem ipsi CD . sint E,F, poli circuli C D, per quos,& polos cir xi.1.huiuticuli A B, circulus maximus describatur a aut .E A B, secans A B, in Α, & B. Ex polo deinde E, de interuallo EA, circulus describa . tur AG. Et quoniam circuli AB, A G, in eodem puncto A,'secant maximum circuluE A B, in quo polos habent , ipsi se mutuo tangent in A. Circulus igitur maximus AB, tangens circulum A G, tanget alterum illi aequalem,& parallelum,oui sit B H. iavero circuli paralleli A G, nil, circa eosde los sunt E, F : Sunt autem E, F, poli etii circuli CD; erunt tres circuli AG, CD, B H, circa eosdem polos atque adeo paralle Ii inter se erui. Tangit igitur maximus circulus A B, duos AG, B H, aequales quidem inter se,parallelos autem ipsi CD, ad quem obliquus est. Quocirca, si in sphaera maximus circulus ad aliquem, id . Quod ostendendum erat.
A LI v D theorema boe Iaco adiciι ur in alia issenti videlicet.
SI in sphaera maximus circulus aliquem circulorum in sphaeri- M.
45쪽
ca superficie tangat, obliquus erit ad alios circulos, quos secat, parallelOS ei, quem tangit.
I N eadem si aura maximus Hreuias A B, tangat e reulum A C, secet autem eisc. Ium C D, Ubi A , parallelum . Dico circulum Α B. obliquum use ad circulum C D . Quonia
enim maximuι crreulm AB, tangens circulum
A si, non transit per tuus potis, si namque peri nos polos ueeretur . secaret ipsum bifariam , non autem tangeret. atque adeo neque per polor circuli C D habent enim paralleli circuli A G, C D. eoAcm polos non secabit maximus cIrculus A R. circulum C D, ad angulos rec1os: Alias transret ριν eici ροIos . Igitur obliquus est ad circulum C D . Q bd.est propositum.
SI in sphaera duo circuli se mutuo secent, maximus circulus per corum polos ductus secabit bisai iam segmenta ipsorum circulorum .
IN spi aera se mutuo secent duo circuli ABCD, E DF B, in punctis B, D, S per eorum polos describatur maximus circulus A F C E, secans circulos d.ctos in punctis A, C, E, F. Dico circulum A F C E, secare bifaria segmenta B A D, B C D, B E D, B F D. Quoniam enim circulus maximus A F C E, ci culos A B C D, E D F B, secat bifariam, &ad angulos rςctos,quod per eorum polos dumis sit,crunt communes sectiones A C, E F, quas cum ipsis facit, diametri ipλrum secantes sese in G. Secabunt enim se mutuo rectet A C, E F, cum in eode plano circuli AFCE, existant , sitq; punctum E , inter puncta A,S C; atque punctum G, inter eadem puncta. Conn tantur reaee B G, D G: Eruntq; tria puncta B, G, D, in utroque plano circulorum ABCD, ED FB; atque adeo in comuni eorum sectione : Est autem communis eorum sectio linea recta. Igitur recta erit BG D. Et quoniam circulus AF CE, ostensus est secare ad angulo ectos virumque circulum A B C D. E DF v, erit vicissim uterque rectus ad circulum A F C E; atque adeo & B D, communis eorum sectio ad eundem perpendicularis erit. Recti igitur erunt an
46쪽
A C, cum per centrum circuli A BC D, transeat, sece tq; rectam BD, adari pulos .ectos, bifariam eam secabit. Itaque cum latera A G, G B, a qualia snt lateribus A G, G D, contineantq; angulos aequales,nempe rectos,erunt bases A B, A D, subtendentes arcus A B, AD, inter se aequales, ac proinde& arcus A B, A D, aequales erunt. Eodem modo ostendemus a reus CB, U, aequales esse; nec non & arcus E B, E D; & F B, F D. Circulus igitur AF CD, segmenta B A D, B C D, B E D, B F D, bifariam diuidit. Quapropter si in sphaera duo circuli te mutuo sece fit,&e. Quod demonstrandum erat.
D V O alia theoremata in alia versone hoe Deo adduntur , hac videlicet.
s I in sphaera duo circuli se mutuo secent, circulus alius eorum segmenta bifariam secans, it per polos eorum, estq; circulus m
ximus . I N eade Dura secent se mutua duo Arculi A B C D, E D F B, in punctis B, D, in
lius qui pia circu, A F C E, secet sementa S A D, B C D, B ED,B F D, bis rω. D co eiculsi AF ii repertolos et ris,esses: circulis max1mῶ. QEonta en/m arcus A D, R B, equales sunt, necno C D, C B; erut toti a reus A D C, Α Β C, aeq ales,m proptemea se m circuit. Eodem : modo semicirculi erui E D F, E BF. Ci rculus igit ur AFCE, bifartam secat circulos A B C D, E D F B, atque adeo communes sectiones Α C, E F, se intersecantes in G, ipsorum diametri sunt . Quod si ea n nectantiιr red Le B G, D G, c m tria puncta B, G, D, in utroque plano cireulorum ΑΒ CD, E DF B, Di, at que adeo in ecmmuni ipsorumsectione; sit autem communiι eorum si Aio linea reet..precta erit B G D. Quonιam vero subtense rectae D A, D C, subtensis rectis B A, BC, aurasingulis AEquales sunt, ob quales arcim , angulosi: continent aequales, nem perectas 3nsemicι reulis existentes t aequales erunt auguli DAC, B A C. Quod et ia ta probarι poterit . Quoniam latera D A, AC, lateribus B A, AC, aequalia sunt, As D C, basi n C, aequalis, erunt auguli D A C, B Α C, aequales . Morsin qu a latera A D, A G, lateribus AB, A G, aequalia sunt, angulosq; coni nent aequa res , ut demonstratum est ν aequales erunt anguli AGD, AG B, ae propterea rect . Perpendicularis igitur est B G D, ad rectam AC. Eodem modo ostendemus rectam eandem n G D, ad E F, perpendacularem esse . Quare eadem B G D, perpendicula ori erit ad planum circuli AFC E, per rectas AC, E F, ductum; ac proinde Cr trumque planum circulorum ABCD, E D F n, per rectam n G D, ductum ad idem planum circuli Α F C E reeiam erit: cr vicis m eirculus A F C E, ad orcu. ἰοs A B C Di, ED F B, rectuι erit. Itaque circulus AF CE, circulos A B C D,
E D F Bi bifariam . ad angulas rectos secat. Quare maximus est, transit per Esrum lotis. Quod strvesium.
4. primi. q. underi 13. Undecise hol. II. .
47쪽
IL. 1 SI in sphaera duo circuli se mutuo secent, maximus circulus secans bifariam duo illorum segmenta quaecumque, habens tamen arcum inter illa segmenta politum semicirculo in t qualem ; transit per polos ipsorum , duoq; reliqua segmenta bifariam secat.
IN Obara duo cireuli Aa CD, EBFD, se mutuo secent in punctu v, D : Te
maxιmαι circulus Α F C E. se eduo.quacumque 1storum segmeta, nempe, BAD, B ED, bifariam inpunctis A, E, Cr areus AF CE, intereeptus inter dicta segmenta non sit semicirculus . Dico circuritum ΑFCE, transire per polos errculorum ABCD, EBFD. secares rei qua famenta B CD, B FD, bifariam. Sa enim circulus A F C E, neu transeat per ipsorsi polos, describatur, siseripotest,ahur circulus maximus AGE,per eorum polos, quι segmenta ε ο- s. ivlus. rum bifariam stabit 3 atque adeo per puncta Α, Ε, transibit. Secabunt se Titur cirra. -buiu . cuti maximi A F C E, AGE, rn Α, Ε, bifariam: ae propterea sim circulus eris Α F C E . Quod est contra Dpothesim . Transit ergo circulus A F C E, per polos c/ro
SI sint in sphaera paralleli circuli, per quo '
rum polos desci ibantur maximi circuli ; parallelorum quidem circunfercnitae Inter maximo S ci culos interceptae, similes sunt;maximorum autem circulorum circunfeientiae inter parallelos circulos interceptae, sunt aequales.
S IN T in sphaera eirculi paralleli Α Β C D,E F GH, quo Iolus I sunt: nim paralleli circuli in sphaera circa eosderii poloso Peri, autε circuli maximi describantur utcumque A E 1 G C, B F IH D. Dico cireunserentias paral-
48쪽
esteunserentias vero maximorum circulorum inter parallelos, nempe RE, BF CG, D H, aequales esse. Sint enim communes sectiones circuli Α IC,¶llelorum rectae AC, EG,quae parallelae erunt: communes vero sectiones ιέ.vadet. circuli BI D, & parallelorum eorundem . rectae B D, F II, quae similiter para llelae erui. Et quaa circuli maximi A l C, BI D, per polos parallelorum descripti seiscant parallelos bifariam ; erunt A C , B D, t s. i.hui . diametri circuli ABC D,& punctum L,ubi se intersecant, centru eiusdem : Item E G,
FbH, diametri eirculi EFG H , & punctum
K, ubi se intersecant, centrum eiusde .Quo
niam igitur rectae E K, K F, rectis A I.,L B, parallelae sunt, sunt in diuersis planis, erunt anguli E K F, A L B, ad centra K, L, Io. unde aequales. Quare circunserentiae A B, E F, per ea, quae in scholio propos 3 s. lib 6. Eu
clid. ostendimus, similes erunt. Eodemq;
modo similes erunt BC, F G,& C D, G H, nee non D Α, Η E. RURSUS, Ouia rectae ex polo I, ad puncta A, B,C,D , demissae aequales sunt, ex des n. poli, erunt quoque arcus t A, I B, IC, I D, aequales: Et eo- 28.tetsi dem modo aequales erunt arcus I E, I F, I G, I H. Reliquae igitur circunserentiae Α E, B F, CG, D H , aequales inter se erunt. Quapropter , si sint in sphaera paralleli circuli, &c. Quod erat demonstrandum.
SI in diametris circulorum aequalium aequa-- , lia circulorum segmenta ad angulos rectos insistant, a quibus sumantur aequales circunferentiae, quarum quaelibet inchoata ab extremitate sui segmenti, ut minor semisse circunferentiae integri , segmenti, a punctis autem aequales circunferentias terminantibus ducatur aequales rectae lincq ad circunfeientias circulorum primo positorum , ip- circulorum primo positorum circunferentiae interceptae inter illas rectas lineas, & extremitates diametrorum, erunt aequales. ,
49쪽
I N diametris A C, D F , circulorum aequalium ABC, DEF, insistant ipsis circulis ad angulos rectos segmenta circuloru aequalia A G C , D H Frsumanturq; aequales arcus A G, D H , ita ut puncta G, H , secent segi non taA GC, D H F, non bifariam. Ex G, H, denique in circunferentias circulorum A B C , I E F, cadant rectar aequales G B, HE. Dico circunferentias A B, D L, isse aequales. Demittantur ex G, H, rectae G I, H K, ad plana circulorum fi BC, D E F , perpendicularcs, quae in communes sectiones A C , D F, cadent in puncta I, K. Sumptis quoque L, M, centris circuloru ABC, DEF, ducantur rectae L B, B I, A G; M E, E K, D H: cadantq; primum puncta I, Κ, in semidiametros A L, D M. Quoniam igitur arcus A si C, D H F, aequales sunt, nec Lon & arcus A G, D I l; aequales quoque erunt arcus, CG, F H; ac propterea anguli G A C, H D v, i uis insistentes aequales. Sunt autem S angui i A I G, D K H, aequales, quod recti lint ex deliri. 3. lib. II. Euci. Itaque duo triangula AI G, D K H, habent duos angulos G A I, A I G, duobus angulis Id D K, . D K H, aequales. Habent autem & la lux A G, lateri D H, qua te, ob aequalitate ar
quod angulis aequalibus I, K, lubtenditur.
Igitur S lacus A I, lateri D K,& latus G I,
lateri H K, aequale e- .rit. QEoniam vero an
cti sunt ex desin. 3. lib. II. Eucl. erunt quadrata ex G B, H si, quae in ter i e aequalia sunt, ob aequalitatem rectarum G B, H E, quadratis ex G I, I R. N exH K, KE, aequalia,ac Ppterea quadrata ex GI, I B, quadratis ex H Κ, Κ Ε, aequalia erunt. Ablatis ergo quadratis aequalibus rectarum aequaliu G l,H Κ, remanebunt quadrata rectaru I B, K E aequalia; & idcirco S rectae I B, K E, aequales. Et quia A L, D M, semidiametri circulorum aequaliu aequales sunt; osunta autem quoque sunt aequales AI, D K, erunt & reliquae I L, K M, aequales. Quare latera I L, L B, latcribus KN, M E, aequalia erunt: sunt autem& bases I B, Κ Ε, ostensae aequales. Igitur & anguli L, M, ad centra aequales erunt; ac proinde & arcus A B, D E, aequales erunt.
C A D i'N T deinde puncta I, K, in semidiametros L A , M D, productas ad A, &D: quod quidem contingere potest, quando segmenta AG C, D H F, semicirculo sunt maiora; fiatq; eadem constructio, quae prius. Ostendemus, ut prius, angulo, G A C, H D F, esse aequales; ac propterea cum tam G A C, G A I, quam LI D F,H D Κ, duobus sint rectis aequales,erui S CALH D K, aequales. Cum ergo & anguli I, K, aequales sint,nempe recti, & latera GA H D, aequalia, oK aequales arcus' Λ G , D H, erunt, ut prius, recta: G I, I A, rectis id Κ, Κ D, aequales; ac propterea & totae I L, K M , inter se
aequales erunt. Igitur, ut prius, ostendemus rectam I B, rectae Κ E, S angulum L, angulo M , aequalem esse: ac denique arcum A B,arcui D E.
C A DANT terito perpendiculares ex G, H , dc missae in plana circulo-
50쪽
cta A, D: quod etiam contingere potest , quando iermenta AG C, D H F, se
ctis igitur rectis A B , D E, erut anguli G A B, H D E,
recti ,ex des n. 3. lib. I I. Euclid. Quare, ut prius , aequalia erunt quadrata rectarii G A , A B , quadratis rectarum H D , ID E : Sunt autε quadrata ex G A, H D, aequalia , quod& rectae G A , H D, aequales sint, ob aequales arcus AG,DH. Igitur di quadrata ex A B, D E,aequalia erunt;& propterea&rectae A B, D E, aequales. Quare & arcus A B, D E , aequales erunt. Quod est ip- positum. Itaque si in diametris eirculorum aeo ualium aequalia et rculorum segmenta ad angulos rectos insistant, &c. Quod erat demonstrandum.
THEOR. 11. PROPOS. I 2. SI in diametris circulorum aequalium, aequalia segmenta circulorum erigantur, & ab ipsis segmentis aequales circunferentiae ad extremitates 1egmentorum desumantur minores dimidi j sipsorum partibus, ab ipsis autem circulis aequales circunferentiae sumantur ad easdem partes, quae sunt ad extremitates diametrorum , rectae lineae ductae a punctis in circunferenti js segmentorum ad puncta in circunferenti js circulorum, erunt quales.
REPETANTUR figurae propositionis praecedentis, cstructionibus, ponanturq; arcus 1 B, D E, aequales. Dico& re aequales csse. Quoniam enim, ut in praecedenti propos. dem