장음표시 사용
121쪽
eomplementi dat I areut BD. auseratur ex sinu toto A B. notui relinquetur sin ut versus Tridati a reus B D. Pati ratione, si sinus tectus D E, hoe est, A F. dati areus B D.dematur ex cautiato A C, notus relinquetur sinus versus C F, complementi dati arcus B in
. THEOR. 1. PROPOS. q. SIN V S rectus cuiuslibet arcus quadrante mi
sa' tectu, nori S medio loco proportionalis est. Inter te mil-
medioloe in . . . . ,- - . . -
δ pomona lem lemidiametri, seu linus totius, & sinum Ver-
hes .:ει tum arcus alterius, qui prioris arcus dupluς est,&iam ues quadrante quoque minor.
est se qua . SIT arcus quicunque C E, quadrante minor,cuius dimidium sit C D.α-diante quo uisa autem semidiametro A C, bifaria in G, ducatur ex E, ad A C, perpendiquς . . cularis EF. ungaturque recta A D, quae ducta chordam C E,secabit iis H, bifariam, ex lemmate a nobis ad definitiones supra demonstrato, atque adeo & ad 3.tertii. angulos rectos. Erit igitur C H, sinus rectus arcus C D, S C F , sinus versus arcus C E , qui duplus est arcus C D , cum E F, sit eiusdem arcus C E, sinus rectus: ut ex definitionibus constat. Dico C H, sinum rectum arcus C D, medio loco esse proportionale inter C G, dimidiu sinus totius,& C F, sinum versum arcus C E,qui arcus C D, duplus est.Quonia enim duo ansuli A C H, A H C; triansuli ACH,aequales sunt duobus angulis LG, E FC , trianguli EC F , quod angulus C , utrique triangulo sit communis ,& anguli H, F,recti; equianix. primi. C FG A. gula erunt triangula A C H, EC F . Igitur erit , ut A se xj . AC, ad C H, ita EC, ad CF: Et permutando, ut A C, ad C E, ita C H , ad J 'R 'U' CF. Ut autem A C, ad C E, ita est C G, dimidium ipsius A C , ad C H, dimidium ipsus C E. Igitur erit quoque ut C G, ad CH, ita CH, ad CF;ac propterea C H, sinus rectus arcus C U,medio loco proportionalis est inter C G, 1 chu ἡ. semissem sinus totius,& C F, sinum versum arcus C E, qui arcus C D, duplustio euius est . Igitur sinus rectus cuiuslibet arcus quadrante minoris, &c. Quod de
vis areus monstrandum erat. cognito no
rectus alte. Utius arcus, qui illius
qui illivi COLLIGITUR hine, si sinus rectus alleuius areus eognitui sit, notum ellam fieri inlidiu sit sinum rectum alterius areus . qui illius dimidium sit rita ut ex E F. sinu tecto arcus C E. 3 i. pii mi. cognito ς gnoscatur etiam C H, sinus rectus arcus C D, qui dimidium est Meus C E. Nam 3.huius, s stati. ex noto sinu recto E F. notus fiet sinus Ei, complementi i quo ablato ex sinu toto A C. t aequalis enim est sinus E I, icctae A F. notus relinquetur sinus versus C p. arcus C E. vi in eo roll.praecedentis propos. dicturia est. Cum ergo sinus CH . sit medioloeo proportionalis inter medietatem sinus totius, k ii num versum C F, ut ostendimus, em rectangulum sub dimidio sinus totius . & sinu verso C F, eontentum aequale quadrato siuus C H . uitate simultiplicetui medietas sinus unius in sinum versum C F, producetur quadratus num ei uasa
122쪽
cameri .eulua radix quadrata notum dabit sinum tectam e M. Eademque ratio 'iD E M hae etiam talione ostendi potest. Quoniam enim E sinus rectiis a reus
CE, notus ponitur, cognoscetur & E I. sinus eomplementi eiusdem arcus, hoc est, re ι .huIutim A F. illi aeuualis. Detracta igitur recta A F, hoc est . sinu complementi a reus C E. 1 ptimia ex sinu toto A C . eognitus erit sinus versus F C. areus eiusdem C E . Ut etiam in eoroll. propos. ostendimus. Quia vero quadratum tectae C E , aequale est quadratis rectarum E F. F C ι fit, ut quadrata rectatum E F . F C . notatum in unam summam eollecta ediciant quadratum tectae c E r euius radix quadrata ipsam rectam C E , reddet notam ; ae proinde huius radi eis dimidium dabit C H. sinum rectum a reus C D, qui dimidium est dati arcus S it II M Exh, e eadem propos .eolligitur . si sinus rectus alicuius arcus e gnitus Ex sinu reis sit, notum etiam fieri linum rectum at retius arcus, qui illvus duplus sit,dummodo quadrau- cto euius. te sit minor: ita vi ex C H, sinu recto areus C D , eognito cognoscatur etiam E F , sinus rectus uisato e arcus CE, qui aleus C D.est duplus. Cum enim sinus C H, sit medio loco proportionalis in . eniis notu et medietatem sinus torius, Zc linum versum F C, ut ostendi muri erit tectangulum subdi- fit sinu, te dio sinus totius. & sinu vel sci F C , eontentum aequale quadrato sinus recti C H . mare cta, alieti quadratum sinus CH, noti erit illud tectangulum; quo diuiso per dimidium sinus in us, at . qui it notus euadet sinus versus FC. Quia vero recta C E., eum sit dupla sinus C H. nota nota eli. li' sit duo erit & eius quadratum notum: 1 quo si auferatur quadratum suus versi F C. noti, telinque. dummodo tur etiam quadratum rectae E F. notum ι icum quadratu recta C E, quadratis rectatum L F, quadi an tali Edit aequaledae proinde radix quadrata illius notum dabit sinum tectum E F. minor sit.
QV OD s quando perpendicularis E F , semidiametrum Λ C , secet bifariam, is in hae figura contingit , erit adhue C H , sinus arcus C D,
medio loco proportionalis ιnter C F , Iemissem'- totius,m Cp dixti 'versum arcus CE, qui a rem CD supivi est.Erutens in rursuras triangula A CH, ECF , aequi angula I ac proinde, ut AC, au C H, ita E C, ad C F : Et permutanado , ut A C, ad C E , ita C H , ad C s . Cum ergo sit, HAC , ad C E, ita C p, dimidium ipsim ΑC , ad CH, dimi odium ipsista C Eierit quoq; νt C p,ad CH,ita C II, ad C s: propterea q: C H, suus rectus arc-C D, medio loco proparotionalis est inter C p finissem sin- totius, o C F, num versum arc- CG , qui duplus sarem C D. HlNC sid eventiculam E F , semidiametrum A C ,seeet bifariam, rectam
C H, aequalem esse recta C p. D enim maior esset,aut minor, non posset esse, t C P, ad C H, ita C Fl, ad C r: cum vna proportio esset maioris ιnaequalia atra, altera uoris ιvaquatitatis.
SIN V S rectus arcus graduum s . componi 'tur ex semisse sinus totius, & sinu recto arcus grad18. Sinus autem Versus arcus grad. 72. componiturcet semisse sinus totius, & sinu verso arcus grad. 36.
123쪽
IN quadrante ABC,sit BD,areus grad. sq. ae proinde eiu eoplementum C D,grad. 36. quod diuidatur bisariam in Imul uterq; arcuu CH,H D, habeat
grad. i8. Ducatur D M, d AB,perpendicularis pro sinu arcus grad. sq.& D E, ad AC,perpedicularis pro sinu arcus grad. yis. Iungatur quoq; recta AH, quae per lenia in definitionibus demonstratu secabit recta C D,in I, bifariam,ac proinde & ad angulos rectos:erit ei; propterea C I, sinus rectus arcus C H,grad. 18. Supta tande recta E F, ipsi E C,aequali,dividantur A C, A F, bifaria in G, K ,&ex K , ad A C, pcrpendicularis ducatur K L. Dico si. num rectu D M, arcus grad. sq. hoc est, rectam A E, illi equale,componi ex A G,dimidio sinus totius, &ex C l, sinu recto arcus grad. is . hoc est, rc iam G E, quae cu A G, constituit totam recta A E, equalε erse sinui recto CI. Item sinu versum arcus grad. 72. componi ex dimidio sinus totius,&ex C E, sinu verso arcus C D, grad. 36. hoc est, rectam E K, quae cum sinu verso C E, rectam C Κ,componit aequalem esse dimidio sinus totius,ipsam vero C Κ, este sinum versum arcus grad. 72. hoc est,arcum, C L, cuius sinus versus cst C Κ,)esse grad. 72. Ducta cnim recta L N, ad A B , perpendiculari, pro sinu arcus B L , iungantur rectae A D , D F. Quoniam ieitur arcus CH, grad. I 8. continet - . quadrantis BC, quod quinquies I 8. faciant so.
continebit arcus C D,-L. eiusdem quadrantis , ac proinde proportio arcus C D, ad arcum B C, erit ut ι. ad . Elt autem, ut arcus C D, ad arcum BC, ita
angulus C A D , ad rectum angulum BAC. Igitur proportio anguli CAD,. ad angulum rectum B A C, erit quoque,vt t. ad s. ac proinde angulus C A D, .
continebit -M. unius anguli recti. Cum ergo tres anguli trianguli C A D,contineant- unius recti, hoc est,aequales sint duobus rectis, sintque inter se aequales duo anguli AC D, A Dracontinebit uterque eorum-α. unius recti.
Et quoniam angulus D F C, angulo D C F,est aequalis, quod & rectε DF, DC,
aequales sin dii cum enim D E, E F, latera trianguli D E F , aequalia sint lateribus D E, E C, trianguli DEC, ansulosque ad E,contineant aequales, utpote rectos; aequales erunt bases DF , D C, continebit quosve angsilus D FRreaque angillo DA .F , aequalis erit. Qirare aequalia erunt latera DF , A RCum ergo recta D F, rectae D C, ostensa sit aequalis,erit & recta A F,rectae DC
aequalis: ideoque & h F, medietas ipsius A F, ipsi C I, medietati ipsius D C,.
RURSUS quoniam Α Κ,KF, aequales sunt; additis aequalibus E C,F E, .
erit recta composita ex A k, E C , aequalis rectae K E: ac proinde Κ Ε, medietas erit semidiametri A C; quandoquidem A C, diuisa est in duas partes aequales, quarum una est K. E, altera vero, recta ex A K, E C, composita . Est igitur K E, aequalis ipsi C G. Ablata ergo communi recta G E , remanebunt aequales G K. , E C. Est autem EC, sumpta. ipsi E F. , aequalis. Igitur de G. K., ipsi E E, aequalis erit; additaque communi recta F G, erit EG, ipsi F K, aequalis ,hoc est,ipsi CI, cui ostendimus supra rectam h F, esse aequalem. Co
124쪽
ponitur ergo A E, quae sinui D M, areus erado aequalis est. ex Α G, me dietate sinus totius,&G E, quae aequalis est ostensa sinui CI, arcus grad. 18. Quod est primum.1A M vero , quoniam K F, ipsi E G; & E G, ipsi C I, ostensa est aequalinerit KF, sinui recto C I, aequali se Est autem K F , ipsi A K , aequalis. Igitur erit quoque A Κ, ipsi C I, aequalis.Cum ergo A K, sinui L N, si x aequalis,erit n. Filiti
etiam sinus L N,snui C I, aequalis. Est autem C I, sinus arcus grad. I 8. Ieitur&LN , sinus erit arcus grad. I 8. ae proinde arcus B L , cuius sinus est L N, continebit grad. 18. ideoque eius complementum C La continebit grad. 72. euius sinus versus KC, coponitur ex C G, medietate sinus totius,& ex G Κ, duae sinui verso E C, arcus C D, grad. 36. ostensa est aequalis. Quod est secunum. Itaque Sinus rectus arcus graduum s q. componitur, &c. Quod erat demonstrandum.
CONSTAT ex hi triangulum A CD, euius ha fis C D, subiedit gradus 3 6.vertieemq; habet m eentro esse liniseles cuius uterque ae tralium angulorum C. D . reliqui anguli ad centrum duplus est. Nam angulus C AD. ostensus est continere a-.unius Iecii. tumque e o C, dc D. ε
DIFFERENTI A chordarii duorum arcu uni n-
1em Icirculi, quorum alter talo m Inor sit arcu arad. d i
ἈO. quanto alter maior est, aequalis est chordae arcus, quo alteruter dictorum arcuum ab arcu grad. . ' P
ΙN semicirculo ABC, sit arcus B A, grad. ino. arcus vero B D, eo tan q Ii esu to minor, quanto arcus B E , maior est , quorum chordae BD, B Erabscin- tet dictora daturque BF, ipsi B D, aequalis,&iungantur rectae A D, A E, A F. Dico E F, a reuu dis disserentia duaru chordarum B D, B E qualem esse cliordae A E, vel A D. Copleto enim circulo,&inscriptotria gulo aequilatero ABG,
cuius unum latus est AB,chorda arcus grad. 12 .cum subtendat tertia circunserentiae partem crit angulus AGB, tertia pars duorum re
125쪽
litat E semissi i semis esupe rabit exosius sentisi ta
segmento AGB; erit&A E B, tertia pars duorum rectorum. Deinde, niam latera D B , B A , trianguli DBA, lateribus F B, B A, trianguli F B A.
aequalia s uni, angulosque continent aequales; erunt bases AD, A F, inter se aequales. Cum ergo A D, ipsi A E , aequalis sit,propter aequales arcus AD, A Et, erit & A F, eidem A E, aequalis; ae propterea anguli A EF, AF E,aequales inter se erunt: Est autem A E F, ut o stendimus , tertia pars duorum recti rum .ditur & A F Ε, tertia pars erit duorum rectorum; atque adeo & reliquu&E A F, tertia pars erit duorum rectorum. Quare triangulum A E F, aequitate rum erit,ex coroll. propos. 6. lib. i. Eucl. ideoque recta E F,disserentia chordarum B D, B E, chordae A E, vel AD, aequalis erit. Di fierentia eruo chord rum duorum arcuum semicirculi,&c. quod erat demonstrandum.
S E QIITUR hine.si duorum areuum,qui simul grad. I Io. eon fietanti chordae simul iungantur, et lici chordam arcus compositi ex areu grad. ixo..deat eu minore illorum duo rum, si inaequales sim. Ita namque vides chordas B D, D R. arcuum B D.D A. eonfieientium grad. t 1o.si in ut sumptas aequata chordae s E, arcus B A E.compositi ex a. cu B A, grad.12 5c arm A E. qui minori A D. aequalis est: ptopterea qucidui demonsuatui est. viii--AE F. inter cho.das B D. B. E. aequalis est chordae A D.
THEOR. 1. PROPOS. ISI quantitas quantitatem excedat, semissis itilius semissem huius superabit excessus semisso.
quales sunt, erit reliqua F E, ipsi C, aequalis. Secetur F E, bifaria in G. Quia ergo G E, G F , aequales sui; additis aequalibus EB, F A, aequales quoque ersit GB,GA;ae proinde S AB, H . in G, secta erit bifaria. Semissis igitur B G., ipsius. - . A B,superat GE,semissem enus F E, hoc est,ipssus C, meesssu E B, qui seminis est excessus D B. Si quan- aetas ergo quantitatem excedat,M.Quod demonstrandum erat.
THEOR. 6. PROPOS. 8 IMFFERENTIA Guum duorum arcuu
126쪽
quadrantis, quorum alter tanto minor sit arcu ; is i sinu. grad. 6o. quanto alter maior est, aequalis est sinui ..hri quis. arcus, quo alteruter dicto ru arcuum ab arcu grad. tanto si
IN quadrante A BC , sit a reus C D , grad. G. arcus vero C E , eo tanto ςquacsinui inor,quanto arcus C F, maior est: quorum sinus recti EGJ H.Dico horum ς sinutim disseret iam aequalem esse sinui arcus D E,vel D F. Producto enim qua abidi leuadrante , una cum sinubus E G, F H, ad I, K; sumatur arcus C L , arcui C D, differt ab
qualis, ita ut totus arcus area grad.
D C L, cotineat grad. to. Et quia & arcus C I, C Κ, aequales sunt arcubus C E, C F ; quod per lemma indefinitionibus positum recta B C, secet arcus E CI, FC Κ, bifariam,cum & resctas EI, F Κ, bifariam se te erunt quoque reliqui arcus L I, L K , reliquis arcubus DE, DF, aequales. Sumptis quoque arcubus E M,FN, qui a re ubus DE, D F, aequato lint, ducantur chordae L M, L N. Et quoniam arcus F N , arcui K, & arcus E M , arcui L I, qualis est; additis communibus FL, MI, erit tam arcus N L, arcui F K, quam arcus ML, arcui EI, aequalis:ac proinde tan. chorda N L, chordae FK, quam chorda N L, chordae as.letiij.. Et, aequalis.Quoniam igitur a reus L M, tanto minor est arcu L D, grad. rao ruanto arcus L N , eodem maior est; erit per propos. 6. differentia chorarum L N, L M, chordae D N, vel D M, aeqtialis; noe est , recta E F, rectam I E, superabit chorda D N et D M. Quare per antecedentem propos.semi sis H F, hoc est, sinus arcus C F,superabit semissem G E,id est,sinum arcus CE,
semisse chordae D N , vel D M , hoe est , sinu arcus D F , vel D E . Quod de
ALITER. In quadrante A B D, arcus BE, sit grad. 6o. S arcu EF, E G, aequales,ac proinde arcus B F, tanto minor arcu B E,quanto arcus BG,. eodem arcu B E, maior est: ducanturque FH, GI, ad BD , perpendiculares, duae sinus erunt arcuum B F, B G. Ducta autem chorda F G, secet eam semi-iameter dum D E, in L. Et quoniam' arcus F G, bifariam sectus cst in E,erie uoque redi a F G , bisariam te ta in L , ex lemmate in definitionibus demonstrato; ac propterea & a Langulos rectos. Est ergo F L,sinus arcus E F;S G L, i .istiq.. Marcus E Gium quoque recta F ad GI, perpendiculari,stici K., re
127쪽
duorum ateuu tonfiis eientium grad. o. si
mul aequa Ies sunt sinui a reus. mpositi ex arcu grad.6 o. &arcu minore illorum duorum. Qiἷa t6ne omnia a cuum sinus
F H, aequalis, ob parallelogrammum F I. Quare GK, digerentia erit Gnuum F H, G I. Dico hanc disterentiam G K aequalem esse sitiui FL, vel GL.
Ducta enim recta B E, quae latus hexagoni est,ac propterea,ex coroll. propos. I s. lib. q. Eucl. semidiametro DE, aequalis ; secetur BD,bifaria in M,iungaturq; recta E M. Quonia igitur latera DM, ME, lateribus ΒΜ, ΜΕ, aequalia sun t,N basis D E, basi B E, aequalis, erunt anguli ad N , quales, atque adeo recti. Completo autem semicirculo ABC, S productis rectis GI, E M , ad N, O, erit arcus N O, arcui G E, hoc est , arcui E F, aequalis, ex scholio propos. 27. lib. I. Eucl. propterea quod rectae G N,E O,parallelae sunt, ob rectos angulos I, M . Addito ergo communi arcu F O , erit arcus F N, arcui E O, aequalist Sed areus E O, duplus est arcus B E. Nam tecta D B,rectam E O, secans ad angulos rectos secat eandem bifariam: ac proinde de arcum Eo, bifariam , ex scholio in definitionibus posito Igitur& arcus F N , eiusdem arcus BE , duplus erit. Quare d uctis rectis D F , D N , erit quoque angulus F D N, anguli E D B, duplus: Est autem idem angulus F D N,in centro anguli F G N,in circunferentia duplus. Igitur aequales sunt anguli EDM, F G K: Sunt autem & recti M, Κ, aequales . Aequiangula ergo sunt triangula E D M, FG Κ: atque idcirco erit vi E D, ad D M, ita F G, ad G Κ. Cum ergo
E D, dupla sit ipsius D Μ, secta enim est D B, ipsi D E aequalis, bifariam in M. erit & F G, ipsius G K, dupla: Est autem & F G, ipsius F L , .vel G dupla . Igitur recta G K, disterentia sinuum F H, GI, aequalis est rectae F L, si,nui arcus E F, vel rectae G L, sidui arcus E G. Differentia ergo sinuum duorum arcuum quadrantis,&c quod erat demonstrandum.
HINC sequi ur. si duorum arcuum eonfieientium grad. ca. sinus simul eomponantur. e mei sinum arcus copositi ex areu grad. εο.& area minore illotu duora, si inaequalet sunt. Ita enim vides in figura posterioris demonstrationis huius propos. sinus rectos F H. F euum B F, F E. conficiencium grad. fio. simul sumptos aequari sinui tecto G I. areus B E G. compositi ex arcu B E. grad. εα de areu EG . qui minori E F, aequalis est: propterea quo ut demonstratum est, diuercatis G K. inter sinua F H, GI. aequalis est sinui F L.
PROBL. 3. PROP. 9.SINVS rectos omnium arcuum quadrantis sese ordine superantium Vno Minuto, in partibus Sinus totius in quotcunque particulas distributi, sup putare.
P RIM V M omnium supputabimus sinus rectoε arcuum sese a s gradibus
128쪽
superantium ,respectu sinus totius particularum Icoom. quot nimirum communiter ab omni uus ,& 1 nobis etiam constituitur,ut supra diximus. Ut auteaccuratior fiat supputatio, ponemus in hisce supputationibus Sinum totum
partium ro oooo. Ita enim fiet, ut abiectis duabus primis figuris ad dexte- sinus tot'ra ex singulis sinu bus inuentis, addita tamen unitate, si duae figurae abie hae numeru so. superent relinquatur sinus magis exquisiti respectu lanus totius par ''u. 6 νζtium tooooo. Quod si quis sinus desiderct plurium particularum , posito ni- tatur. quotmirsi sinu toto parti u Iooon OOO. quot eum Ioan . Regio m. posuit,& nos in se particula' queti tabula statuemus, constituendus erit Sinus totus partiu rooo oooooo. Nam hac ratione,abiectis duabus primis figuris ad dexteram ex singulis sinu - sis uil ..bus inuentis,ut dictum est , remanebunt Sinus magis exquisiti respectu Sinus maint ma- totius partium roo ooo oo. Ratio huius rei est , quod in imuum inuestigatio- sis exquisi. ne error solum contingere potest in uua aut altera figura ad dextram: quare, sp ς' abiectis duabus figuris ad de Stram , relinquentur sinus respectu sinus totius filia; minoris exquisitissimi. Id quod in sup Dutationibus sinuum quiuis facile expe- io oo. vel rietur,& nos infra demonstrabimus. Pari ratione ,si inuestigandi sint sinus re- pauetorum. spectu sterius Sinus totius, qui plures, aut pauciores particulas contineat. Piu ιγ quam Ioo oo. vel Iocio ODO O. Constituendus erit in supputatione Sinus totus , qui ad dexteram illum superet duabus figuris his, o o; adeo ut illius sit
centuplus, quemadmodum &hic IOOOo- . quem in calculo assumimus,cen-eu plus est illius rooo oo. quem Πω cum alijs Astronomis in usu recipimus.
SIT igitur in quadrante A B C, arcus C D, grad. is. C E, Io. C F, 4s. ac
proinde E B, grad. 6o.&D B, 7s. Vtpote complementa arcuum erad. 3o.& Isia Horum ergo arcuum sinus rectos ita supputabimus. Ducantur EH,DIod ΑΒ, perpendiculares, quae sinus recti erunt arcuum Iad. 6o. S grad. 7s. Ductam . t autem chordam BC, secet recta A F, in L,bifariam ,ex lemmate in definitionibus demon-srato; ac proinde ad angulos recto : eritque B L, sinus rectus grad. s. hoc est, arcus B F. Ducatur rursus E G, ad A C, perpendicularis pro sinu grad. Io. Item ductam chorda C E. secet recta A D, in Κ, bifariam, ex dicto lem
mate , ac propterea ad angulos rcctos; eritque C K,sinus rectus grad. Is . Denique rcctae iungantur A E, E B. Quoniam igitur arcus B E, grad. ω. sexta pars est totius circunferentiae circuli, cum sexies 6α faciant 3 o. grad. cristrina B E , latus Hexagoni I atque adeo, ex coroll. propos. I s. lib. q. Eucl. semidiametro A E, aequalis. nguli ergo E A B, E B A, aequales erunt: Sunt autem & anguli ad H, aequales , utpote recti. Igi- s. primi. tur cum Guo anguli E A H, E H A, trianguli A E H,aequales sint duobus angulis E B H, E H B, trianguli B E H,latus Sue A E,lateri B E,aequale ierit laxus A H, lateri B H,aequale;ac proinde A H, medietas erit semidiametri A B. 1 c. primu Quare cum EG, sinus rectus grad. 3 o. sit ipsi A H , aequa iis, erit sinus rectus 3 primi.
grad. 3o. medietati semidiametri, siue sinus totius, equalis. Cum ergo sinus sinu. temtotus ponatur Iooooo oo. erit EG, sinus grad.. 3o. talium particularum ν de φκ-1ooo ooo. nempe medietas sinus totius. medielai,
Ex hoc sinu,per propos. 3. cognoscetur sinus complementi arcus grad. IO. sinu,
129쪽
. tertii. 3 .ptimi. O primi. 7. primi 4 , primi 3. tertis.17 .seni. 7. primi.
nempe sinus B H , grad. 6 o. si nimirum quadratsi sinus sonoe o. re quadrato
sinus totius Io oo oo. austratur ,& reliqui numeri radix quadrata accipia- DEINDE, quoniam recta A F, secans arcum B C, bifariam, secat quoque , ex tem male definitionum, rectam B C, bifariam, atque adeo & ad angu los rectos; erit C L, cnus arcus C F , grad. 4 s. quem ita inueniemus. Cum in triangulo C A L , angulus L , rectus sit,& angulus C A L, semirectus,erit & angulus AC L , se mi rectus, atque adeo angulo C A L, aequalis. Igitur rectae A L, CL, aequales erunt. Cum ergo quadratum rectae AC, aequale sit quadratis rectarum AL, CL, simul; erit quadratum sinus totius AC, duplum quadrati sinus C L, grad. 4s. Medictas igitur quadrati sinus totius erit quadratu rectae C L,cuius radix quadrata dabit sinum CL, 7o Io68. fere pro arcu grad. que. Qui etiam hoc modo re perietur. Quoniam quadratum rectae B C,aequale est quadratis rectarum AB, A C; atque adeo dunium quadrati sinus totius A C , si quadratum sinus totius duplicetur ,habebitur quadratum rectae BC,cuius quadrati radix dabit rectam B C, partium i i 2I36. fere, & huius dimidium rorio68. dabit sit num CL,grad.qs.
R URS VS, quia recta A D, secans arcum C E , bifariam , secat quoque
rectam C E, bifariam in K, ex lemmate definitionum, atque adeo & ad angulos rectos; erit C K, sinus arcus C D, grad. is. quem sic inveniemus. Quoni- ex propos. q. sinus C K, medio loco proportionalis est inter medietatem sinus totius,& sinum versum C G; qui quidem habetur, si E H, sinus grad. 6o. ex sinu toto A C, detrahatur, ut in coroll. propos. 3. diximus fit ut, per coroll. propos. q. notus fiat sinus C K , arcus C D , qui dimidium est arcus C E. Nam si medietas sinus totius multiplicetur in sinum versum C G , cognitum, producetur quadratum rectae C K;quod rectangulum sub medietate sinus totius,& sinu verso C G, contentum, aequale sit quadrato mediae proportionalis C h. Si igitur quadrati rectae C K, radix eruatur, habebitur sinus C K, partium 2 88i9o. ut in dicto coroll. propos. q. docuimus. Quem sinum hoc etiam modo inuestigabimus. Quoniam quadratis rectarum notarum E G,G C, aequale est quadratum rectae EC; fiet notum quadratum rectae E C; cuius quadrati radix quadrata dabit rectam E C , notam,& huius medietas erit sinus C Κ,
EX sinu autem grad. I s. cognito cognoscetur quoque,per propos. s. sinus DI, complementi arcus
C D, hoc est,sinus arcus B D, grad. 7 s. qui quidem
deprehendetur partium 96s 9238. Itaq; inuenti sunt hactenus sinus recti arcuum continentium grad. I s. ἰO.q .6O. 7s.& so. ut in hac sormula apparet.
HORUM autem sinu u beneficio ad aliorum inuestigationem ita progrediemur. Quo uiam Per
130쪽
eorol l. propos. .ex snu recto cuiusuis arcus noto e gnoscitur quoque sinuarectus dimidi j illius arcus; cognoscemus ex sinu arcus grad. I s. sinum arcus rad. 7. Min. 3o. Atque ex hoc sinum arcus grad. I. Min. 4s. qui arcus ampliusi satiam secari non potest sine Secundis, continet enim cius medietas grad. I.
Nin .s 2. Sec. 3 o. quae in Sin uum tractatione negliguntur. Deinde quia per pro Vpputatio posi3. ex sinu recto cuiuslibet arcus cognito notus quoque efficitur sinus Euuri . . complementi illius arcus, cognoscemus ex sinu arcus grad. 7. Min. 3 o. si- dibu, i. 'num arcus grad. 82. Min. 3o. Ex hoc autem, per Coroll. propos q. sinum ar- Min. 4 l. .cus grad. qi. Min. Is . Atque ex hoc, per propos. 3.snum arcus grad. 8. Min. 6 .ltem ex sinu arcus gra. r. Min. s.cognost mus,per propos 3. sinum arcua v grad. 26. Min. I s. Quod si alij arcus,quorum sinus inuenti sunt, bifariam quoque se centur,& eorum medietates marsus bifariam ,& ita deinceps, donec ad Minuta numero imparia, quae amplius bifaria diuidi sne Secundis nequeunt, peruentum sit; Itemque harum medietatum complementa accipiantur, quae rursus,eodem modo continue bifariam secutur,donec ad Minuta numero imparia sit peruentum , S medietatum complementa sumantur, & c. cognoscemus, per coroll. propos q. & per propos. 3. sinus omnium harum medietatum,& complementorum. Qxij sinus cum ita is sex primo inuentis constituentsinus 24. arcuum sese ordine superantium gradibus 3. Min. 4s . vi in hac tabula vides. Arcus Sinus Arcus Sinus
POST haec, per ea,quae propos 2. de inuentione lateris Decagoni δε pentagoni aeqvi lateri in eodem circulo demonstrauimus, inquiremus sinum arcus grad. ιε. grad. 3 6. hac ratione. Repetatur f4ura propositionis r. ubi demonstratum est, D F, esse latus Decagoni, & B F , latu Pentagoni et quilateri. Et quoniam quasdrata rectarum B D, D E, notarum Est enim B D, sinus totus,& D E, eius medietas. nota sunt,& aequalia quadrato 47. primi. rectae E B; notum erit quadratum rectae E B; ac propterea & ipsa recta E B, hoc est,recta E F, illi aequalis,nota erit, nemPe partium sere iii 8o 339. Ex qua si detrahatur recta E D,medietas sinus totius partius oco . nota fiet recta DF, partium 6i8o 339. cuius quadratum si addatur quadrato sinus totius B D, notum siet aggregatum quadratorum ex rectis D F , B D, descriptorum , atque