장음표시 사용
111쪽
cut diratur semisses tinctarum in ei reulo subleu salum . . eriij. stilus ver. sus eur diis catur sagit
Sin' versus esiplem etialieuius araui quid. Sinus rea' prini' ae secundus: liesin ut Pra m us 8c siti' secundus
diametri AC , BD , sese ad reflos argutos ferantes π totum ei culum in quatuor et Madrantes aequales dimidentes, utpote qui angulis rectis aequalιbus in centro substenduntur sumanturque arcus aequales A F, A G: Item B F , B I recte ducantur F G, F I, secantes di ametros in II , m K . Areus igitur F B , dicitur complementum arcus F Λ; quia quadrans A B, arcum F A, superat arcis F B . Eadem ratrone a reusF Α, complementum nomι natur arciss F B. Item arcus B I, complementum appellatur arcui Λιι quta arcu B I, superatur quadrans AB, ab arcu A I.
ehorda dicitur arcus F A GDer recta FI, ehorda arcus F B I. Eι quia diameter AC, feas arcis FAG, bifaria secae quoq; recta FG, bifaria, ut eae coroll. I. propos io. lib. t I. iEvcl. costat, quod tamen tralemate sequειι breuius Uedem. s. erit recta T Hsum reoctus arcus FA,iuxtapriore da fusnus reni : quia est dimi. His eborda F G , subtenientis arcis F AG, duplum arcus FA, cuius F H,dicitur sinus: itaq3s quemlibet arcis, eius, chordam bifaria secemus ,δimidia chorda dicetur si s. rectus dimidiati arcus. Hi ne fastum est, ut Sinus rear a plerisque . dicantur Semisses re lammia ei reulo subtensarum . rassem quoque rena F Π , erit sinus rectus eius emarcus F A,secundum posteriorem defin .sinus rem: quoniam perpendicularis est, ducta ab G extremo Lataleus ad Lametrum A C, ab altero extremo A,Musiam arcus d Iam , propterea quod recta E A,scans recta F G ,bifariam,secat eande ad angulos rectos. RECTA vero A H , seus versus est elusem arcus F A 3 eum si pars diametri Α C, rnιer A,extremum dicti arcus, Cr sinum eius rectum F H , intereepta. Dicitur autem versus Inc Di. - , quia verso modo collocatur , si eum siuris recto conferiatur. Hunc nonreudi dicunt suiuum , quoniam inpar sagittae es in arcu F Λ G , a chorda I G, excussa. RECTA porro F K, est sinus complementi arcus F Αν quia est us rectus arcus F B, qui complementum est arcus F Α. RECTA autem K B, os snus versus complementi arcui F A, hoe est, sinus ver- Ius arcus F B, qui complementum est arcus F A. NONNUL L l porro Astronomι Sinum , quem nos rectum diximus , appetant
Sinum reclumprimum; Sinum vero, quem Sinum complement 3 diximus, acant Sinum
rem m Iecundum . Vt rectam FII, appellant sinum re tum primum arcus F A 3 re. Eiam γιro F Κ , Dum reictum fecuncum ei rem arcu . Sunt aldi etiam , qui sinum
τι IAmsmptici ιιr et sient sinum primum, Hrsum ομι em dicant sinum secundum.
112쪽
m. Ium loquendi retinuimus. Caeterum cumscriptores de sinu aliquo loquuntur,sima per int/2uunt sinum reflism . nisi illum Noemisuum complement , aut versum. absolute.sEMi DIAMETER. draule Α Ε, sisus est tam rectus, quam versus quadra, intelligi csi is ΑΒ qui totus dicitur, siue mammψ,propterea quod maxιmu, si omni .m sinu vis sv ςαψ .
tam rectorum, quam complemetorum, mmo vero π maior omnibus Hubus ,erssilis M' Q ψεIorum arcuum , quι quadrante minores sunt: Solum mnior epsinubus νι sis illorum arcuum, quι et adraste sisut m . tores, ut infra dicemus , quι quidem rarius ιra Uum dicatur. meniunt, quam alij. vel certe dicitur totus siue maximus, quia in tabista Sinuum , tu qua si v s re Αι tautummodo ponuntur, omnium S nuum maximus est ille , qu3 qua α με
aranti deu gradibu39 o. respoudet, ut ex tabula Sinuum, quam ιnfra lanemus,perspi
cta autem F Κ, siuus complementι eiu dem anguli; γ' recta A II , eiusdem angul/m Duo a te nus tersis quoniam recta F H, est M recto are ιν F A , ιn circulo desumpto ex ana semiti reu gulo F E H tuterceptus tu er re Iis E F, E Α, anetulum die Iism eonstituentes: recta φ ' autem P ς, est siuM eo Iememti et u sem arcu per recta A H, sinus versu. habet CAETERV M duo arcur semicirculum constituentes eundem prorsus habent si- sinum.que num, tam rectum, quam complementis quemadmota duo arcus circulum eo elen. 'modum
tes uuam ea utem j, chordam habent: sinus tamen vers eorum differunt, conficiant f I bis
rotam ei reuli diametrum. Ut duo arcus F A , F C , conscientes semicιrculum A B C, fiet eiet. e 1- euutem habent sinum rectum F H, quemadmodum duo arcus F A G, F C G, eorum de chordiet dupli,eirculum eonficienter, eandem habent chordam F G , cuius dιmidium Ursinus rectus F H , ut vult prior desiuitio sinus recti qu quidem sinus rectus FH, linea differente . perpendicularis est, ducta a communi extremo F, triusque arcus F Α, F C , ad dia AE eonficie ira metrum AC, ab extrem s reIι quis A, C , ηorundem arcuum ductam, ut vult poste. o , di murior sinus recti definitio. ladem duo arcus F Α , F C , eundem sinum complementι ha B ut F K i propterea quod a reus F n , cuiui sinus rectus est F K ,s complemenium a teu, miri que arcus. Sinus tamen ve s jdem nam sunt , sed Α hi , est mira versus arcus disie malo F Ai C H, s sinus versus arcus F C: qin quidem duo sinus ve se diametrum AC, ὲ -βconstituue . V bi vides sinum versum C H, arcui F C, quadrantem seperantis maiorem Duo , Λ esse semidiametro .se sinu toto CE. li.duob' te Si C etiam duo angulι duobus rectis aequales eundem sinum babent tum rectum, cti qu les quam complement . V t patet in angulis A E F , F E C , quorum trmsque sin i re ἱis hi 'nactus est FHi'sinus autem complementa F K: propterea quod arcubus Α F, F C, mm sinu, .et. sunt,quorum utriusque sinus rectus est F H, complementi autem sinus F ut dictum sos dister ε- est. Sinus tamem versi eorundem angulorum 'dem non sunt, sed A H, sinus versus est anguli A E F , nempe arcus A F ; . H a , est DV ν'f-s angula F E C, puta ψr metiu eos
F C. Conficiunt autem ambo sinus versi totam diametrum A C. . eiant. RURSUM sinus rectus cuiusuis arcus aqualis est segmento diametra rnter ema inus P erum , m sinum rectum complement ι eiusdem arcus interiecto 2 Staius autem compleam nil cuiuslibet arciss aequalis est semento Hametrι inter centro, CT Dum rectum eui segni enei I m a reus posito. Vt F H, sinus rectus arciss F Α . aequalis est sementa diametr/ todiam et E K:σ F Κ, simus eo temerara eius em arcus F Α,eqωatis est segmanto diametra EH3 ob parallelogrammum II K : sunt enim tam re&a H F , E Κ , quam rectae KF, E H, parallelae,propter rectos angulos H, E, K, F. Uine fissint duo arius, quorum nus
113쪽
dua tuum, quotum unus alterius est complamε eum . sinus est' viriuslibet aequah, est eominplementosnus vel si alterius ar
Comple- metrium sinus vel siquid.
In eodem aliculo,aut aequalibus. arcuum x-Qualium sinus aequam sunt; M
Aterius a reus. Votamus aute eoptimentum sinus versi segmentum diametri, Θ ipse sinus versus a semidiametro superatur dieius arcus qua aerante minor est, eis midiametrum superat , si eius arcus maior est quadrante . Ut HE, dicimus compleae mentum tam sinus versi Α H, arcui F Α, respondentis , quam sinus vers C H , arcui F C, respondentis . Vides igitur , duorum arcuum F A, F B, quorum nus alterius est eomplementum, num retiam F Κ, arcws F B, aequalem esse ipsi H E, comptime uto us versi Α Η, alterius a reus F Ar Et sinum rectum F H , arcus F Α, aequalem esse in E K, complemento sinus dies B Κ, alterius arcus F B . Eadem ratιone , quoniam arcus F B, complementum est arcus F C, vides sinum rectum F H,arcus F C qualemus. Usi Ε Κ, complemento sinus Fers B Κ , alterius a reus F B: Et sinum rectum F K, arcus F B, aequalem esse ipsi Ε H, complementosnus vers
C H, alterius arcus F C. Meetiam sinus complemetiareus cuiusura aequalis es complemeto sinus versi eiusdem arcus. ut F Κ, tis eomplementi araeus A F , vel F C, aequalis est ipsi H E , eo Iemento sinus Hrs AH , vel CH. arcus A F, vel F C.
PARI ratione in eodem circulo, vel in circulis AEquaatibus , Hus tam recti, qWam es,aut sinus complemento is
rum arcuum aequatium, o quadrante minorum,aequales sunt at contra qualiumsanuis ιam rectorum, quam πιν forum, aut sinuum complenientorum,arcus quadrate mino. res aequales sunt. Areuu vero
inaequalium , σ quadrante minorum, suus inaequales sunt, sinus quidem tam rectus
quam versus maioris maior, minorιs vero minor 3 sinus autem complemeti mas oris arcus minor, Cr minoras maior 3 Et contra, inaequalium sinuum tam redurum,lisam versorum , a i sinuum complementorum , inAEquales arcus sunt, maioris qui em sinus tam relli quam vers maior arcus , m minoris minor I maroris autem suus complement ι arens minor ,σ minoris maior. Sint enim arcus aequales B F,. D G . Dico eorum sinus rectos F Κ , G L, aeqviales esse; item sinus versos Κ Β , I. D nee non snus eomplementoru ΕΚ, EL . Cum en m arcus B F, D G, aequales sunt, erunt quoque angula B E F, D E G, quales. Sunt aut e m rect/ anguli Κ, L, quales, nee non in latera E F, E G, aequalia, utpotesemidiametri. Igιtur er tam Iaιera FG G L, quam latera E K , E L,ιnter se aequalia erunt, nempe simus re ti tuter se, Crsi. mu complementorum inter se.Detraλι autem E Κ, E L,aequalibus erus iii metris
114쪽
quadrata aequalia. Cum ergo quadrata rectarum EF, EG, equalia queque sint, G 47. Pti L. εm quidem aequalia sint quadrata ex F Κ, Κ E, huic vero quadrata ex G L, L E; ac proinde duo quadrata ex F Κ, Κ Ε, duobiti quadratu ex G L, LE, aequaba : siau
ferantur duo aequalia quadrata rectarum F Κ , G L, aequalia remanebunt quadra. ta ex E K, E Ls ac proinde m rectae E Κ, E L aequales erunt. Quare cum latera EF,
F E B, G E D, aequa iras ac proinde m arcus B F, D G , aequales erunt. Quod sphius et o tet iij. complementorum E X, E L, snt aequales, ostendemm eodem modo , rectas F Κ, G L, quales esse. Quare t prιus,erunt a rem B F, D G, aequales. St tandem sum es ΚΒ, L D , ponantur aequales 3 3s ablatis ex semidiametris EB, ED, velinquentur suus complementorum ΕΚ, E L , aequales. Quare rursus ostendemin, t pr us, arcus B F, D G, AEquales esse. quod erat ostendendum. Iam vero sit arcus BF, maior arcu D M, er ducatur sinus M o. Dico sinum rectum F Κ, maiore esse sinu recto Μ Ο: Item μῶ ersum K B, maiore sinu verso o D: sin si vero coplementa Ec,minore sinu coplementiae. o. Posito enam arcu DG, equali areui BF, erunt, ut demonstrauimus,lam sinus recti F K, G L, quam versi Κ. B,LD, σφω eoplementoris ER, EL, aequaIes. Cum ergo LD,
mmor st, quam o D erit quoque mus versus KBJnu γerso OD naror: Item cis EL, minor sit,quam E O,erit quoque in eoplementi E Κ , minor sinu eoplement3 ΕΟ. Ducatur M N,ad G L, perpendicularis,eratque N L,ipsi H O, quuIis. Cum ergo G L, 3 prsm L natorsit,quam N L, hoe est, quam N Ο νιt quoq; sinus rectus F Κ aior is recto N O. quod demonstrandum erat . Sit denique tam Mus rectus F Κ , maior sinu recto N O, quam suus versus K B, sinu vers. O DI . Gus eo lementi E Ο, maior sinis
complementi E Κ. Di eo sinui maiori tam recto, quam verso respondentem arcum B F, maiorem esse arcu D M , qui minori Hui tam recto, quam χerso respondet. At malo. r sinui eomplementi arcum sespondentem D M, minorem esse arcu B F, qui minor
An ut complementi respondet. Nams F Κ, maior sit, quam M O, auferatur K P, ipsim O, aequalis,o duratur PQ ad F K, perpendicularis , dueaturque cly, ad B E, perpendicularis,qua ipsi P Κ oe est, ni M O, aequalis erit; ae proinde . t paulo ante I . primi.
osensum est, erunt arcus B Q, D Μ, aequales, propter aequalitatemfinuum rectorum R,Mo. Cum ergo arcus BF, areis BQ, maiorst,eritia arcus B F, arcu Duel,
maior. Quodsi K s, maior sit, quam o D, abscindatur a R., ipsi DP, aequalis, ducas
rque R. a , d B E, perpendicularis: Erunt1 arcus B α, D M, γtpaulo ante monastrauimus,aequater b aequalitatem sinuum versorum R. B, O D. Quare cis arcus B F, maior si arcu B , erit idem arcus B F, arcu D M, maior. si tandem maior sit E O,
L G: Trunt, arcus B F , D O , ob aequatitatem sinuum complementorum E K , Ε L, quales ha aequales, ut paulo ante fuit ostensum. Quam ob rem cum arcus D M , areis D G , sit bent sinus nor,erιt 1 dem areas D N, aren B F, minor .Quod est propositum. Uvat . c.
. I D B M prorsus dicendum est de Mimbus angulorum. Nam in anguli aequales ba. Thent sinus aequales tam rectos,qinam complevietorum, Cr vers/, c. prviere- 2 ulo latui
aquales anguli ins sunt in centro aequalιbus artubus, c. . recto angus POSTREMO in omnr triangulo rectangulo, si latus reso angulo oppositum to Oppos ii ponatur sinus totus,retiqua duo latera sunt sinus recti reliquorum augulorum acustorum, quibus opponuntur. Vt in triangulo rectangulo ERF, in quo E F,est 1iuu 1 to vitum ui . . tur , utpote smi iameter circuli ex F, descript 3, Iatus v K, es sinus rectus angulι laterum re
115쪽
t tum ui reliquorum alterum latui sinus rectiis est. Recti lineae cetro du.cta secans aliam recta bifaria secat quoque arcum ,cui illa subtenditur, hi famtiam: Et clita
SI in circulo recta linea e centro ducta aliam rectam non per centium ductam bifariam secet, secabit eadem de arcum, cui illa recta subtenditur, bifariam: Et si arcum secet bifariam, secabit quoque re- Tun et lubi elisam bifariam.
S E CET in eadcm figura recta E A , rectam F G, bifariam in M
Dico eandem secare quoque arcum F G, bifaria in A, ct contra. Ducta enim recta EG; quoniaduo latera E GEH,tria guli E F H,aequalia sunt duobus lateribus E G, E H, trianguli E G H, utrumq; virique basisI
aequalis ; erit angulus. FE H, angulo GEH. aequalis . Igitur arcus A Rarcui A G,aequalis
erit. Quod est propositu. V E RV M.fecet a
recta E A, arc m F G, bifariam in A. Dico eandem secare quoque rectam F G, bifariam in II. Quoniam enim arcus A F, A G, aequales sunt,erunt quoq; anguli F E II, GE II, squales. Igitur cum duo latera E F, EII, trianguli E F H, duobus lateribus E G, E H, trianguli E G H, aequalia sint; erunt b o nimia ses II F, H G, quales. Quod es propositum. E X hoesequitur, rectam E M, qua arcum F G, bifaria secat in A,
sectare quoque rectam F G, bifariam in H; H supra posuimus.
116쪽
tur ab Apro nim Luisus in aliquot partes aequales, ut ratione harum partium omν omnει sines alios suus metiantur,proportionesve omnium Diuum ad sinum totum, e ad fea nus exprimidiametrum in numeris exprima uia explicatam paucis erat, in quot partes semidia . , metrum dijsrabuerint: Neque enim omnes eodem modo eam sunt partiti . Ptolem ii, qua, si . namque semidiametrum secat in f .partes aequales, totam vero drametrum in I 2Ο. nus totus Quamlibet deinde partem.eοnev t diuisam esse in fo. Minuta , e r quodvis Minutum in εο.Secunda. Hanc diuisionem omnes ferme antiqui, nonn-θι ex recent toribus, sui. inter quos st Orontiusfeutisunt.Supputauit autem Ptolem us lib. i. Almetsi ta s,mlis i mehulam omnium chordarum , quae arcubus semicirculi dimidiato gradu sese oris nesu π iei ei reuliperantibus,rnuto Deio ab arcu 3O. Minutorum,respondet, inpartibus,quarum ino. in quot par tota diameter conιιnet. Orontius ero talulam condissit omnium stimum, qui arcus huι quadrantis uno Minuto sese ordines erantibus, initio facto ab arcu l. Mimul , 5. Ainalie respondent,in partitus, quarum 6 .semidiameter, seu sinus totus eontinet. Ardhel ita vero Arabs constiιxit semidiametrum partium Iso . ac proinde totam diametrum partium 3 o. quas quidem partes rursus distribuit in Minuta , . Secknda, t Pι lemaeus Sed ut reuis modo semidiameter, siue diameter diuidatur , permolesum est, alios omnes sinus siue ebordas in eiusmodi partibus inuestigare, eum semper multia plicatio, diuisio, extramos radicum per friationes Astronomi eas instituenda sit; Vel certe Partes in Minuta , ae Secunda conuertendae, contra, Minuta ac Secunda in Partes quae res valde laboriosa est nou solum parum exerertatis in Arithmeticis, me . Tum erram periti semis. Qv AMO B R. E M a Iii Astronomi, inter quas es Georgius Purbaebius, Ioanis nes RStomoutanus. Petrus Appianus,semidiametrum, hoc est, sinum totum, in multo C6mod IMPlures particulas aequales partitι sunt, utpote in partes Iooo ooo o. vel io ooo. diuisio Ita enim opus non erit partes has m innuta, ac Secunda di ribuere; cum vn ba P. c.. rum partium sit vel multo minor,quam num secutam semidiametri in partes so. ioitu, in secundum Ptolemaeum diuise, vel certe non multo maior . Nam unum Secundum est partieulaa ---. totius semidiametri diu se in solaries,eum solartes eontineant
que eti sim sinu aliquo negligatur interiam Una ferme particula ex Io oooo O particulis sinus totius, mu ito tamen minor error commι tretur, quam si' negligatur num fere secundum ex raclo oo. secundis, ιn qua sinus totus 3ntelligitur esse diutisf-s: si vero negligatur una fere particula ex Iooo Oo. particulis sinus tot us , non, multo maior error comittetur,quam si negligatur unum fere secundum ex 2 6 O. fecundu ι ii quae sinus totus distrab itur. Q iSVNT etiam , qui dismbuant sinum totum in partes focinooo. HI 6etoo . extants tabulae sinu u a Ioan. Malom. compositae, in quibus sinus totus tot particu. tus seeun. ta ponitur continere : sed magis in usu est apud Uronomos dum uo sinus totius iis particulas Iccooz et Ioco . Immo communis fere usus omnium obtinuit, Hin supputationibus, qua ex sinu bus depromuntur, sinus totus sat turparticula tui ab auiarum I CooOo. qualem . nos tam in sphaera, et am in Gnomonica alvsque operibus ctore ita in consituimus :quamui , quo maior fuerιt sinus totus,eo etιam accuratior supputatio ἶ π . atque calculus reddatur. Construxit porro Ioa v. Reaiom. sabu iam omn/μm M Mm, ti elicula
117쪽
aeeurat lo . arcubus quadrantis uno Minuto sese ordine superantibus respondendi, A parti
Lem. quo, bus sinus totius in partes ioci oo o. diuisi, initio facto ab arcu I. Minutι quam norm tox λς' cura, ae diligentia evamina uimur, cr in quibusdam lacis correximus quo Σ μ' Η ' niam propter inetraphorum incuriam mendis omnino non carebat. Hanc tabulam emendatam infra subfriemus ,si prius demonstrationes. ex Ioanne Regio montano pοσtissimum decerptas exponamus, qobus omnium arcuum sinus numeris exprimi possint in partibus sinus totius in quo tuis partes distributi. Post tabulae vero Uum sub ciemus quoque Ptolemaei eta' aliorum demonstrationes, quibus omnium arcuum chordae numeris evrimantur, ex quibus rursus facili negotio tabula sinu si construi potest. . AT QV E inprimis, si in plano aliquo Quadrans tanta magnitudinis construe retur, ut eius arcus commode ιs 9 o. gradus, singuli gradus 3n 6Ominuta; item. que traque eius semidiameter, siue sinus tot si in IoooO O .partes aequales , et etiam inprures , paucioresve diuidi posset, facili negotio sine ussasupputationu moIeastia, aut labore,omni si s usi magnitudines cognoscer tur, si ex singulis arcus Manus tu rectae ad utramque, diametria perpendiculares ducerentur. Vt in quadrate hoeu Io pacto AB C, ιι arcus B C , in G radus, ac Minuta secetur, Nos ob patij angustio eum ira nouem partes secuimus, ut singulae denos complectatur gradus. Item utraque semidia M. meten in I oo oo sarticus , et in plures,pauciores σA'e, dutribuatur,atque ad utrans que semidiametrum perpendi eulares ducantur : erunt pers pendi eulares ad semidia meis atrum A B, d lae , sinus refuarcuum quadrantis a puncto B, nerpι entium, quibus aequales sunt portiones.semidiametra A. Cknterpunt tum A, ta perpessiculares ail semidiametrum KC,ductas'. Quot erga particulas cotineἶunt Inepor
tiones exi ICozCCoo. tot oirines iinus possin t cognosci in
tationis la. bate, aut molestia
erunt sinus refuarcu quadrantis. Eodem modo tam sinus empIementoruma reuum eorundem,quam sinus versi eo iacentur. Perispendiculares enim adsemidiametrum Α C, demisse sunt sinus complementorum, qui, M. piam l. bus aequales sunt port/onei semidiametr A B, inter punctum A , in perpendiculares adsenti Iiametrum A B, D las: Portiones vero Guμem semidiametra A puna ctu,n n , G dictas perpendiculares sunt sinus versi eorundem arcuum in puncto v. ineipientium. Sed quoniam feri non potest, ut Quadrant tantae magnitudinis repetria iur. qui commode tot diuisiones recipiat , inuestigabimus sinuum magnitudines per demonstrationes Geometricas,positγsinu toto quotcunq; pari cularum, sequen i sui propositionibus. Satis autem erit nus reflos omnium arcuum inquiramus: ex his enim cognitis er sinus complementorum. vers eorundem arcuum eatefient ,. . Petram sin tabulae: Sinnum euollemus.
118쪽
IN Quadrante circuli sumptis arcubus a qualibus i ab eorum terminis ad alterutram semidia metrorum, vel ad rectam semidiametro paralle Iam, perpendiculares ducantur ; erunt segmenta semidiametri, vel illius parallelae inter illas perpendiculares intercepta,inaequalia, maiusq; erit illud, quod alteri semidiametro propinquius eli.
SIT Quadrans ABC,in quo arcus aequales sint D E, E F, a quorum terminis ad semidiametrum A C, vel ad rectam R S , iesi A C , parallelam perpendiculares ducantur D KG, E L H, F M EDico segmenta GH, H I, vel
KL, L M,inaequalia es Ie,maiusque esse G H, quam HI, vel K. L,maius,quam L M.Completo enim semicirculo BC N,producantur rectae DG,EH, FI, usque ad O, P, Q. Ductis quoque rectis E T, F V, ad D O,E P,perpendicularibus , iungantur rectae E O , F P. Et quoniam arcus D E , E F aequales sunt, erunt anguli quoque D OE, E P F,illis in si sentes , aequales: Sunt autem & recti anguli T, V, aequales. Igitur cum tro anguli trian ruti E O T , tribus angulis trianguli I P V, sint aequales; quod tam illi, quam hi duobus rectis sint aequales; erit & reliquus angulus T EO, reliquo angulo U F Ρ, aequalis : ac propterea aequiangula erut tria gula E O T, F P V . Quare erit ut O E,ad E T,ita P F, ad F U: Est aute recta OE , maior, quam recta P F; quod illa centro propinquior sit,quam h e. Igitur& recta ET, maior est,quam recta F v. Cum ergin recta ET aequalis sit Gementis GH, KL, ob paralleloeramma TH, TL;&recta F V, segmentis HI,LMOb parallelogramma V I, V M; erit quoque segmentum G H,maius segmento Aa segmentum K L,segmento L M. In quadrante ergo circuli sumptis arcubus aequalibus ,&c. Guyderat dea onstrandum. B R E v I V S . Ducatur recta DF, secant semidiametrum ductam A E, in T Se rectam E H, in a, producaturque recta F V , usque ad b. Quoniam igitur arcus D F , sectus est bifariam in Ε, secta quoque erit tecta D F, bifariam inT exlemmate in desinitionibus Eosito Lac proinde Da, maior eritquam
ter utili s m id ame in Golum vel
ad rectam semidia matro parat . telam duis ctet aufersit segmenta inaequalia.
119쪽
Σ .sexti. Disserent ii nuu tecto tu a principio quadtatis usq; ad eius finem sensim de
deo vi sitiΦmino in arma malo res haesit
maior v. da modo at habeat differentias q- quales. Laleta De. goni . Be Penta goni in uno eo. demq; cirisculo quo pacto inue.
a F. Cum ergo sit, ut D a, ad aF, it ab V, ad UF, erit quoque bV, maior. quam V F, hoc est H, maior,quam HI; S KL, maior quam L M.
CONsTAT ex hae propositione, si qxtotelinque a reus qua di sitis a semidiametro ea dεineipientes habeant aequalet differentias . excessu vel sinus tinox minorum arcuum habere maiores differentias,quam sinus aretium maiorum i adeo ut dissetentiae sinuum a prin. eipio quadrantis ad finem usque semper decrescant. Nam si in eadem figura huius proposiaeeipiatur areusF X, areu bus D E, E F, T qualis dueat utque recta X V. ad semidiameitum A C, perpendicularis, habebunt quatuor arcus B X. B F , Η Ε . B D. aequales excessus, eum B X. ip im B F. superet areu F X i & B F. ipsum B E. areu E F, qui arcui F X , positus est aequalis ι de areus B E. areum B II, arcu D E. qui arcui EF. aequalis eli . sinus autem recti eorum arcuum sunt Α Y, A I, A H. R G, ut supra in expositione d cfinitionum docuimus, eum iitu partes semidiametri A C. inter centrum A, Be linus complemento tum interiectae, ut patet. Et quoniam in hae propos. demonstrau imus. rectam G H . maiorem esse. q iam H I. & H L maiorem, quam I Yὲ liquet, excessum G H. inter sinus arcuum nimo um H E. B D, maiorem esse e eesIa H l. inter sinus arcuum malo iam B F. Η Ε . Item exeessum H I. inter sinus a reuum t ii notum B F. B E, maiorem esse excessa i V . imet sinus maiorum ar- euum B X, B F. Eademque ratio est de exteris. Constat igitur, diffe entias linuum tectorum sensim deere stere a principio quadrantis v sque ad eius finem: Id quod perspicue ex sinuum tabula apparet.
LATERA Decagoni, & Pentagoni aequilo
teri in uno eodem 5; circulo in uestigare.
QV A M VI S haec latera inueniantur per ea, quae ab Euclide lib. q. sunt
demonstrata : nihilominus eadem a Ptolemaeo lib. I. Almagesti cap. s. in uesti- antur ratione alia , quae ad plurimorum sinuum inuen tionem multum con-ucit. Est autem haec ratio. Sit circulus,vel quod satis est i emicirculus ABC, ad cuius diametrum AC, ex D,centro
educatur perpendicularis D B . Diti ita quoque semidiametro C D , bifariamin E,ducatur recta E B,cui qualis abis scindatur E F , iunga turcitie recta F B. Dico rectam B F , esia latus Pentagoni , Se D F , latus Decagoni in circulo ABC- Cum enim recta C D, secta sit bifariam in E , eique addita D F ; erit rectangu lum sub CF, DF, una cum quadrato rectae D E, aequale quadrato rectae EF, ideoq; quadrato rectae EB, quae ipsi EF, equalis est: Est autem quadratum rectae E B, aequale quadratis rectarum B D, D E. Igitur rectangulum sub CF, DF, una cum quadrato rectae D E, aequale est quadratis rectarum B D, D E: Ac proinde, dempto communi quadrato rectae D E, relinquetur rectangulum sub CF, DF, aequale quadrato rectae BD, hoc est, quadrato rectae CD. Quamobrem erit,ut C F , ad C D, ita C D , ad D F; proptereaque recta C F,diuisa erit in D,extrema ac media ratione. Cum igitur maius segmentum CD, sit latus Hexagoni in circulo ABC, exco-.
120쪽
xoll. propos . t lib.4.ruel. erit minus segmentum D p, latus Deeagoni in eodem circulo, ut ad propos. 9. lib. I 3. Eucl. domonstrauimus. Rursus quoniam quadrato lateris Hexagoni B D , v cum quadrato lateris Decagoni DFG io. iiiiij. aequale est quadratum latcris Pentagoni in eodem circulo : Est autem eisdem dee. tuadratis rectarum B D, D F, aequale quadratum rectae BF ; erit quadratum . primi. ateris Pentagoni aequale quadrato rcciae BF ; ac propterea recta B F , lateri Pentagoni aequalis . Latera igitur Decagoni ,& Pentagoni aequi lateri in uno eodemque circulo inuestigauimus. Quod iaciendum erad.
EX sinu recto cui uiuis arcus Quadrante mi
n oris cognito, Ianum complementi ciusdem arcus; lac cae chorda cuiusuis arcus semicirculo minoris. chordam reliqur arcus semicirculi cogi roscere.
SIT primo cognitus sinus rectus D E, arcus B D,cuius arcus complementi sinu, sit D F, quem cognoscere debemus. Ducta recta D A, erit quadra tum phociatur. xediat D A, aequale quadratis rectarum D E , E A . Si igitur ei quadrato sinus . piimutotius D A, noti Ponitur enim sinus totus particularum certo numero comprehensarum . detrahatur quadratu sinus recti DE, cogniti in partibus sinus totius D A , relinquetur quadratum rectae E A, n tum; ac proinde per radicem quadratam recta EA, in eisdem partibus nota erit. Cum Ggo rccti E A, aequalis sit sinui complementi arcus B D, hoc eis, rectae D F , cognitus erit D F, sinus complementi arcus B D, cuius sinus rectus D E , notus est positus: SIT deinde eognita chorda A B,arcus A B,& chorda BC,subtendens re-Iiquum areum B C,semicirculi,quam iubemur in uestigare. Quoniam annulus i ii L B, rectus est in semicirculo, erit quadratum diametri A C , aequale quadratis . ptimi,. cirdarum A B,BC i igitur ex quadrato diametri AC,notae Ponitur enim diameter diuisa in particulas certo numero comprelaenias) dematur quadratum chordae A B notae in partibus diametri.A C, notum relinquetur quadratum chordae B C ; pc proinde per radicem quadratam chorda B C , in eisdem partibus nota esticietur. Ex sinu igitur recto cuiusuis arcus,&c. cognouimus. Quod faciendam erat.