장음표시 사용
51쪽
rectae AI, I G, rectis D Κ, Κ H, aequales sunt; erunt S reliquae I L, sc si , ex
semidiametris A L, D M, ut in prima figura , ubi puncta I , Κ, eadunt in semidiametros A L, D M, vel certe erun t S totae I L, K. M, aequales, ut in se
cunda figura,vbi puncta I, Κ, cadunt in semidiametros A L, D N, productas ad A,&D. Quia igiεIL , L B, rectis K M,N E, aequales sunt; cotinentque angulos ad L, N, aequa les, Ob aequalitate arcuu A B,
DE; erunt & bases I B, K E , aequales.
tera G I, l B , lateribus H K, K E, aequalia sint, contineant Nangulos GI B,HKE; aequales,nimirum rectos, ex defici. 3. lib. t I. Eucl. erunt & bascs G B, H E, aequales. quod est propositum. Facilius idem concludetur , si perpendiculares ex G,H, in plana circulorum A BC, D E F, demissae cadant in puncta A, D. ut in tertia figura. Nam quia rectae G A, A B, rectis H D, D E, aequales sunt, ob aequales arcus A G, D H, & A B, D E, continenta; angulos aequales, ut pote rectos, ex desin. s. lib. i I. Eucl. erunt bases G B. H E, aequales. Si igitur in diametris circulorum aequalium,aequalia segmenta , Sc. Quod erat osteadendum.
18. THEO REM A i 3. PROPOS..i3. SI in sphaera sint paralleli circuli, &destiabantur maximi circuli, qui unum quidem parallelo
rum tangant, teliquos Vero secent; circunferenti et parallelorum interceptae inter eos maximorum circulorum semicirculos, qui non concurrunt, similes erunt; maximorum vero circulorum ci
cun serentiae inter duos quoscunque parallelos interceptae, erunt aequales
, MIM. SINT In sphaera paralleli cireuli A B, C DE , FGH, quI eundem noIahabebunt, nempe I. Cireuli autem maximi A F Κ, Β Η Κ , tangant parallelia A B, in punctis A, B, & reliquos secent in punctis F, C, L, M ; FI, E, D, G rseipsos aut mutuo secent in K, N,ut sint semicireuli Κ M N,N FK;KGN, ιιbvivi. N ii K. Ma mi enim circuli se secant mutuo bifariam. Sumatur quoque
52쪽
arcus K. Ρ, arcui N B,aequalis, ut sint quoque semicirculi A M O,O F A; BGP, PH B. Erunt igitur semicirculi AMO,
B H P, non coeuntes,cuse mutuo non secent. Eodem modo no coeuntes
erunt semicirculi B G P, A F O. Dico arcus parallelorum A B, L E, M H, interceptos inter semicirculos A M O, B H P,
non coeuntes similes e se , nec non de arcus A B,
C D, F G, interceptos inter semicirculos B G P,
A F O, non concurrentcs similes esse: Arcus vero maximorum eireulorum Ac, A L, B D, B r, E. quales esse; necnon & arcus C F, L M, D G, E H: quorum illi inter parallelos A B, C D E, hi vero inter parallelos C D E , F G H, interijciuntur: Eodemq; pacto aequales esse arcus A F, A M , B G , B H, inter parallelos A B, .F G H , interiectos. Per polum enim puncta contactuum A, B, circuli maximi describantur Q A I R, S B IT , secantes parallelos in QAS , V, X. Transibunt hi circuli maximi per polos quoque circulorum A FK, B HK; h- - ac proinde bifariam secabunt segmenta C A L, D BE, C V L, D X E: necno ' huiu . segmenta F A M, G BH, F Q M, G S H. Praeterea ijdem circuli ad angulos . rectos secabunt parallelos A B, C D E , F G H , Smaximos circulos AF Κ, R R B H K. Quoniam igitur diametris circulorum aequalium AFK, B H Κ, insinunt ad angulos rectos legmenta circulorum aequalia,nempe semicirculi inchoati a punctis A, B,&per I, transcutes, donec iteruit cent circulos A F Κ, B H K; iuntq; arcus aequales A I, B I, quod ex delin. poli recta I A, I B aequales sint; qui quidem minores sunt dimidijs semicirculorum partibus: cum enim dimidii lint arcuum A IR , B IT , quod, ex desin. poli, rectae ex I, ad Puncta A, B, R, T, atque adeo arcus quoque sint aequales : sint autem arcus A l R, L l T, semicirculo minores, quod semicirculi tendant ex Λ,& b, per 1, usque ad circulos A F Κ, B H K; erunt arcus A I, B I, minores dimidi js partibus illorum semicirculorum. sunt quoque aequales rectae I C, I E, ex poli dcfin.:erunt arcus A C, B E, aequales: Elt autem A C, ipsi A L,&B E , ipsi
B D, aequalis, propterea quod arcus C A L, D B E, bifariam secantur, ut demonstratum cit. Quatuor ergo arcus AC, A L, B E, B D, aequales sunt E dem modo ostendemus, aequales esse quatuor arcus A F, A M, B H, B G ; ac propterea S reliquos C F, L M, E H, D G , qui quidem singuli inter binos parallelos intercipiuntur. Qusdsecundo loco proponebatur demonstrandu. - IA uero arcus toti AL, DB E, aequales sunt, quod ipsorum dimidia aequalia sint, ut demonstratum est; erunt & rectae subtentae C L, D E,aequales,quae quidem arcgbus quoque C V D, D X E, subtenduntur; ac pro-- . Fa pter ca
53쪽
qualos erunt. Cum ergo secetur bifariam in V, X, ut dictum est, aequales erunt eorum medietates , nimirum quatuor arcus
isitur arcubus squalibus C V,DX, communi a cus addatur V D, aequa les erunt arcus CD, VXi Est autem arcus VX, arcui AB, similis. Igitur& C D, eidem A B, similis erit. Non secus oster demus F G, eidem A B, similem esse ; nec non M. ri - arcus EL, ΗΜ, eidem arcui Au, elle similes. Quod seeundo loeo proponebatur demonstranduati Si ergo in spuaera sint paralleli circuli, &c. Quod ostendendum erat.
CIRCULO in sphaera dato, qui minor sit
. . quam circulus maximus, datoq; aliquo puncto in eius circunferentia, per illud punctum describere circulum maximum, qui tangat datum ci
sit non maximus ΑΒ, euius polus C, oporteatq; per A, punctum in eius circu serentia datum, describere maximum circulum , qui circulum A B, tangat. Per polum C,&punctum Α , describatur circulus maximus C A D E B, in quo sumatur quadrans A in&polo D,interuallo DA, circulus describatur A E, qui maximus erit, quod recta subtensa DA, latus sit quadrati in maximo circulo descripti. Dico circulum maximum AE, tangere circulum AB, in A. Quoniam enim duo circuli AB, A E, eundem circulum C AD, per eorum volos transeutem se-
54쪽
iam secant in eodem puncto A, ipsi se mutuo tangent in puncto A. Cireu- ι .hullo igitur in sphaera dato, &e. Quod faciendum erat.
CIRCULO in sphaera dato, qui minor sit
maximo circulo, & puncto aliquo dato in sphaerae superficie, quod siit inter datum circulum, & ialium eidem aequalem, & parallelum, per punctum illud datum describere maximum circulum, qui tangat datum circulum maximo minore.
SIT in sphaera datus eirculus non maximus A B, cui aequalis sit¶tulus C D, datumq; punctum sit G,in ter duos circulos A B,C D; oporteatq; per in circulum maximum describere, qui tangat circulum A B. Sint E, F, poli parallelorum A B, C D, c habent enim paralleli eosdem polos. & per G, circulus maximus describatur E A C, qui per reliquum polum F, transibit, ex coroll.scholij propos Io. lib. I. huius. In hoc accipiatur quadrans B H; ca-
qum vel supra D, vel in D, vel infra D: Quodcu
ita re exe1 ἰdo Ε id interuallum E H, vel ex polo F, ad interuallum F H, ei
culus describatur H I, qui ipsis A B , CD, parallelus erit , existetq; vel f vra CD, vel idem erit qui C D, vel insta C D, litus eiit, prout punctum II. supra D , vel in D , vel infra D , postum merit. Sumatur rurtum quadrans G K, erit , punctum K, vltra id, cum G H, quadrante minor sit. P Io deinde G , interuallo autem G K, circulus dei cribatur K L, qui maximus erit , quod recta subtendens quadrante G Κ, aequalis sit lateri quadrati i a. hui . in maximo circulo descripti. Secet autem KL, orculum H l, in L & per L, F, circulus maximus describatur F L, qui per reliquum polum Ε, transibit, ex coroll. scholij proposio. lib. I. huius. Secet autem hK circulus F L E, circulum A B, in M. Erunt , arcu. M B circularum imorqm per
55쪽
7. . huius. scho. I s. t. huius.
E, F, polos parallelorum transeuntium,intercepti inter parallelos AB, IIVae quales, ac propterea e x istente B H, quadrante pe r constructionem, erit ML Ll, quadrans. Polo igitur L, interuallo autem L M, circulus dei cribatu e M N, qui maximus erit, quod recta subtendens quadrantem L M, aequalis sit lateri quadrati in maximo circulo descripti. Quoniam vero maximus eiecutus K L, transit per L, polum maximi circuli N Al, transibit vici sim maximus circulus N M, per G, polum circuli K L : atque ita transit maximus circulus N M, perdat uni punctum G. Dico iam eundem tangere circulum AB, in M. Quonia enim circuli A B,GN, in eodem puncto ba, secat maxima circulum E F, in quo polos habent, ipsi se mutuo tangent in M. Descriptus in ergo per G, circulus maximus G N, tangens circulum A B, in M. Quare circulo in sphaera dato,&e. Quod faciendum erat.
QUOD spunctum G, datumst praeei se in meilio arcus B D, erit quadrans Cp. Polo ι ratur G, interuallos G F, eιrculus deseriptici F E. secabit H I, in L, puncto, quod rursum erit potiti circuli tangentis, ut prius. Si vero G , punctum datum sae dem, quod D, erit polus circuir tangentis in medio arcus D C Α, eum Me arcus se circulus sit. Circulus autem ex illo polo descriptus tanget ΑΒ, im A , . CD in D , ut iami ei reuli Α C D B, in quo polos habent. Qv o N I Α Μ vero mut L, polus est sensus circuli maximi G N , tangeniis, circulum A B, ita qwoque ostendu potest, aliud puIctu, tu quo maximus carculiti Κ L. cireulum H I, ex altera parte secat, polis Use alterius cuius iam et rcula max/mι , qui per G, tra6eat, tangat, circulum A B, in alto puncros perspicuum est per tua. Ectum in sphaera datum inter duos circulos AEquales , Er parasielos deserabitosse duos circulos mammo1, qu c rculum Λ B, tangant in duobus punctis.
THEOR. i . PROPOS. I 6. 'MAXIMI circuli,
56쪽
r Ieg R s EcVNDVS. 47 parallelorum circulorum in sphaera auserunt, aut per parallelorum polos transeunt, aut eundem, num parallelum tangunt.
IN sphaera maximi eireuli A B C, D B E, auserant ex parallelis A D C, F G, circunferentias similes A D,F G. Dico maximos circulos A B C, D B E, aut transire per polos parallelorum A D C,
F G, aut unum eundem parallelum tangere. Aut enim alter illorum,nempe ABC, transit per polos parallelorum,atque ita ostendemus, alterum per eosdem transire,aut notransit qui de per polos parallelo ru,sed alteria tamen illoru tangit, atq; ita demonstrabimus,alterum eundem tangere ; aut denique neque per polos parallelorum incedit,neq; alterum illorum tangit: quo posito concludemus circulos maximos datos alique aliu
arallelum tangere datis parallelis minore. ranseat enim primum ABC, per polos parallelorum . Dico & D B E, per eosdem trasire, hoc est,puctum B, in quo se secant maximi circuli A BC, DB E, polum esse parallelorum A D C, FG. Si namque B, non est eorum polus, sit H, polus ipsorum. Et quia circulus A BC, ponitur transire per eorum polos critH. in circunferentia AB C. Per H, G, describatur circulus maximus HG, secans A DC. in I. Erunt* arcus AI, F G, similes, cum intercipiantur inter maximo A circulos AH, HI, per polum H, descriptos : Ponitur autem& arcus AD, eidem arcui FG, similis. Similes ergo sunt arcus AI, AD 3 atque adeo cum sint eiusdem circuli, inter se aequales erunt, totum & pars. Quod est absurdum. Non ergo aliud punctum,praeter B,polus erit parallelo rum , si alter circulorum ABC, D BE, nempe A BC, per illorum polos dueitur, Quare uterque circulus maximus ABC, D B E, per Polum B, parallelorum transit, si unus ipsorum transit. SED iam duo maximi circuli ABC,DEF, auserant rursum ex parallelis Λ D C, B E, circunferentias similes A D, B E, R neuter illorum transeat per parallelorum polos, sed alter,nempe ABC, unum eorum, puta B E , tangat in B. Dico S circulum D E F , eundem B E, tangere in E. Si enim non tangit, sed secat, describatur per E, punctu in parallelo BE,datu maximus circulus GEH, tangens parallelum B E, in E; eruntq; semicirculi, quorum alter ex E, per G, ducitur, alter vero ex B, per A, transit, non coeu
es, ut constat ex figura propos. I l. huius libri, de ex demonstratis ibidem ti .hale,
57쪽
Igitur arcus B E , Α G, similes erunt: Ponuntur autem & similes BE, A D. Similes ergo sunt inter se A G, A D; ac proinde , cum sint eiusdem circuis , inter se aequales erunt, totum, & pars. Quod est absurdu. Nullus ergo alius circulus maximus per E, ductus praeter D E F , parallelum B E , tangit in Ε, Γ A B C, eundem in B, tangit. Qigare si A BC, tangit B E, tanget &D E F, eundem B E. POSTREMO maximi et rculi ABC , DEF, auserant ex parallelis A D C, G H, circunserentias similes AD, G H;& neu ter illorum per paral
de lorum polos ducatur, aut alterum eorum tangat. Dico circulos maximos
A B C, D E F, tangere alium quendam pa rallelum ipsis A D C, BE, minore. Quoniam enim circulus maximus A BC, neque transit per polos parallelorum, neque alterum ipsorum tangit,crit circulus maximo
A B C, ad utrumque parallelorum A D C, GH, obliquus. Si enim rectus esset,iransiret per ipsorum polos, quod non ponitur Tanget igitur ABC, duos circulos aequales inter se , & parallelos utrique ADC, G H. Tangat ergo parallelum B E,qui minor erit utroque A D C,G H; cum ABC, ipsos secet atque adeo S alter sibi aequalis, parallelus minor erit utroque A D C, GH: ac Pinde paralleli ADC, G H, positi eriit inter illos duos,quos circulus A B C, tangit. Dico & D E F, eundem B E, tangere. Si enim non tangit, describatur per punctum II, quoda .huius. est inter circulum B E, & sibi aequalem , ae parallelum , ut C stendimus, circulus maximus K H, tangens B E, in I; eruntq; sc micirculi,quorum alter ex I, per H, alter vero ex B, per G, transit, non coeuntes , ut constat ex fetura 3. hut M. propoli. i 3. huius libri,& ex demonstratis ibidem. Igitur arcus AK, GH, similes erunt: Ponuntur autem & AD, GH,
similes. Similes igitur sunt A K, Λ D; atquc adeo, cum sint eiusdem circuli, inter se ae- ualcs erunt, totum N pars. Quod est ab-urdum. Nullus ergo alius circulus maxi-
mus per H, descriptus,praeter D E F, parallelum B E, tangit, si A B C, eundcin tangit in B. Quare si A BC tangit circulum B E, tanget & D E F, eundem B E. Quapropter
maximi circuli,qui similes circunferentias, Sc. Quod crat ostendendum.
MANIFEsTUM astem est, rarculos maximos ABC, D E F, ita tangere eundem parallelum BE, ut semιcirculi eorum a conta tibus ter arcus sim Iesproce. dentes non coeant . non esent arcus ablatis leι , γε constat expret .is.
58쪽
, THEO REMA 11. PROPOS. IIIN sphaera paralleli circuli , inter quos & ma'
ximum parallelorum aequales circunserentiae maximorum circulorum intercipi uti tur, sunt inter se aequales: illi vero, inter quos, δc maximum parallelorum maiores maximorum circulorum circunferentiae intercipiuntur, sunt minores.
sINT in sphaera paralleli ei reuli A B , C D, E F; stuue C D, maximus
Parallelorum. Inter circulum vero CD, de utrumq; parallelorum A B , E F, intercipiantur aequales circunferentiae A C , C E ,maximi alicuius circuli AC EF DB. Dico parallelos A B, E F, e quales esse. Sint enim communes sectiones parallelorum , & circuli A C E F D B , rectae R B, G D, E F, quae parallelae inter se erunt. Transeat autem primum circulus maximuς AC Ea F D B, per polos parallelorum . Quo posito, secabit circulus A C E F D B parallelos A B, C D , EF , trifariam , &ad angulos rectos I l . . huius. atq; adeo c ainetri erunt A B, C D, E F, parallelorum . Quoniam vero arcus A C, B D, aequales sunt,nec non & arcus C E , D F; po- . ἔα1.hulus.
niturque A C , aequalis ipsi C E ; erunt A C, B D , simul ipsis C E , D F , simul aequales: .
Sunt autem sc micirculi aequales.C AB D, C E F D: quia circuli maximi C D, A C EF D B se mutuo bisariam diuidunt. ia hutur. Igitur reliqui arcus A B, E F, aequales erunt; ac propterea & rectae A B , E F, hoc est, diametri circulorum Α B, E F , aequales. Circuli ergo AB, EF, aequales sunt. QV O D si a reus A C , maior ponatur arcu C E. Dieo circulum A B,mi norem esse circulo E F. Posita enim eadem constructione, & demonstra tione, erunt ut prius,arcus AC, B D, aequales, nec non C E, D F,Cum ergo A C,ma i huiu is ponatur quam C E, erunt duo arcus AC, B D, simul, maiores duobus arcubus C E, D F, simul. Reliquus igitur A B, ex semicirculo C A B D, minor erit reliquo E F, ex semicirculo C E F D; ac propterea re recta A B , hoe est, diameter circuli A B, minor erit,quam recta. E F,hoc est quam diameter circuli E F, ut in scholio propos. 19. lib. I. Eucl. a nobis est demonstrat , cum arcus A B, E F, semicirculo sint minores. Quare minor crit circulus AB, cir cvio E F. quod est propositum. SED .am circulus maximus A C E F D B, non transeat per polos parallelorum A B, C D, E F; sintque rursus arcus A C, C E, aequales. Dico adhuc circulos A B, EF, esse aequales. Sint enim G, H, poli parallelorum A B,C D EF,& per G, H, ac polos circuli maximi ACE FD B, circulus maximus de-
59쪽
scribatur GI H K,qui ei reulum AC E F D B, secabit duobus in punctis,ut i. I, K, ad angulos rectos. Qu.oniam igitur circulus maximus Gl HK, per polos maximorum circulorum A C E F D B,C D, transit ex constructione, tra-sibunt hi vicissim per illius polo . Puncta igitur C , D , ubi se duo hi circuli intersecant,poli erunt circuli GI H Κ; alias non uterque circulus ACEFD, C D, per polos circuli G IH Κ,transiret ae proinde ductae rectet C I, CGFx
defin. poli, aequales erunt, ac propterea & areus CI , C K , in ter se erunt aequales . Sunt autem & arcus AC, C E,per hypothesim, aequalcs. Reliqui igitur arcus A I, E Κ,aeo uales quoque erunt. Rursus quia semicirculus
lG K; semicireulo GK H aequalis est; Diu dunt enim se mutuo circuli A C EF D B, &G I H Κ,bifariam; ae proinde I G K,semicirculus est; Arcus autem G Κ H , semicireulus est propter G, H, polos parallelorum. dempto communi arcu G K, crunt reliqui arcus GI, H K, aequa les. Quoniam igitur in diametro circuli ICKD, segmenta circuloruaequalia I G Κ, K H I, quae semicirculi sunt, ut ostendimus,insistunt ad angulos rectos,suntque arcus I G, K H , aequales,& non sunt segmentorum semisses, siue quadrantes, eum G, H, non sint policisculi ICH D r Item aequales sunt arcus I A , K E, ut demonstratum est ;erunt recta demista G R, H E, aequales. Quare circuli A B , E P, aequales i
V o D si a reus A C, maioς ponatur areu C E; Dico circulum A B, mis rem esse circulo E F. Sumpto enim arcu C L, qui aequalis sit arcui C EJrit, ut proxime demonstratum est, parallelus per L, descriptus aequalis parallelo E Fr sed parallelus A B, minor est,quam parallelus per L,descriptus,eum ille longius a maximo parallelorum Atque adeo a centro sphaerae,abiit. Minor ig, tur quoque est parallelus R d, quam E F. Quod est propositum . In sphaera ergo paralleli circuli, inter quos & maximum parallelorum, Sc. Quod erat demonstrandum.
IN sphaera circunferentiae maximorum circulorum interceptae inter maximum parallelorum,& duos alios circulos aequales, & parallelos, sunt
aequales:Illae vero, quae intercipiuntur inter mai
rem parallelum, de maximum sunt minores.
IN sphaera sint duo paralleli aequa Ies A B, C D, ct maximus parallelo infit E F: Hos autem omnes parallelos secet maximus alius circulus A C D MDico arcus A E,E C, nec non B F, F D, aequales esse.Si enim non sunt quae
60쪽
las,sit Ag, maior.Erit igitur etreulus ΑΒ, minor circulo CD. quod est eon. in hypothesim. Sunt ergo quales arcus A E, A C, nee non BF, FD. I O D si eirculus AB , maior po oriatur circulo C D ;Dico arcum Α Ε, minorem esse arcu E C. Si enim non est minor, erit vel aequalis, vel maior. Si aequalis,erunt cireuli Α B, C D, aequales: si maior, erit circulus Α Β , minor circulo CD,quorum vim que est cotra hypothesim. linor ergo est arcus A E , quam E C . Quamobrem In sphaera
circunseren riae maximorum circulorum interceptae,&e. Quod ostendendu erat.
SI in sphaera maximus circulus parallelos ali quot circulos in sphaerica supcrficie descriptos se
cet quide, non tamen per polos, in partes inaequales eos secabit, excepto maximo parallelorum: De parallelorum autem segmentis in uno hemisphaeriorum interceptis, ea quae sunt inter maximum parallelorum,& polum conspicuum, sunt maiora semicirculo; reliqua vero, quae sunt inter maximuparallelorum, & polum occultum, sunt semicirculo minora: Equalium denique ac parallelorum ci culorum alterna segmenta sunt inter se aequalia.
IN sph ra maximus ei reuius A B C D, parallelos ε F, GH, IK, secet in L ,Μ; B, D;& Ο, P, non per polos,qui sint α. R; Sest GH, parallelorum maximus,&mpo ius conspicuus, &R, occultus in hemispherio, quod supra circulum maximum ABC D,extat,&ad partes F, vergit. Dico circulum Α BCD, parallelos non bifariam secare,excepto maximo G H; hunc enim bifariam te cati. segmentum autem LF M, inter maximuparallelum,& polum Q conspicuum semicirculo esse maius,& O K P, minus. Si denique