장음표시 사용
21쪽
cap. I. 3 loperibus necetis fuit non etermisi,quibus qusdam ad discendum necessaria superaddia Inuentionem quoq. motuum stestarum per tabulas ad horam medii diei ex diebus ciuitatis Aractae, per quos suit obseruatio posui. Deum itaq. lacultatis datorem qui est rerum ldominatoc omnipotens adiutor inuoco. . In diuisione caelestis circuli, multiplicatione partium ad inuicem, ac uentione lueris tetrigonalis numeri, necnon in dis sone uniusper actam Cap. II.
Orculum in 36o. partes a primis antecessoribus diuidi compertum est, cuius rationes multiplices reddiderunt. Harum autem una numeri istarum partium anni dierum numero citati sere
collimitari pretendit, qucm solaris motus ab uno puncto caelesti quolibet immobili ad idem perueniens perficit. Et quoniam innumerus medietatum tertiarum, quartarum, aliarumq. partium
collectio, quilibet numerorum pleni non participant. Ab eisdem est etiam inuentu insolem in o. caeli punctis duo aequinoctia totidemq. solstitia facere, annum q. in diuersas quatuor partes, Vcrsci licet Aestatem, Autumnum, & kIycmem diuidere manifestum est. Qui punctorum, qui q. nomine temporis ex Solis itansitu per ipsum euenientis vocaverunt. Et quia cuiusq. longi perdura extremitates & medium est diuisio, horum unumquodq. temporum per tres partes diuiserunt, unde vicani partes ia. essent, oportuit punctum quoq. vernalem plus aptum eie initijs intellexerunt. Hoc enim tempore post aequalitatem dies augmentum ineunt, Sol ascensionis initium versus medium sulcaeli septenti ionalis ingreditur, calori vires administrantur. Huius etiam natura temporis humiditati concordans calatiq. declinaus initio crescendi, & rerum existe uae assimilantur. Ab eo ergo principium assumpserimi post haecia. partes signa vocatas totidem figuras sequi compraehenderunt id q. unum quodq. signum nomine figuriesequentis appellaue runt, licet ipsa figura a loco signi ab eo denominati longo tempore remoueatur, partium ergo prima vocatur, Aries, quam Tamis, Gemini, Cancer, Leo, Virgo, Libra, Scorpio , Sagittarius, Capri cornus, Aquarius, Pisces ordinatim succedunt. Horum Vnum
22쪽
quodq. 3 o. paries gradus appellatas, ex ῖο o. caelestis circuli panitibus portionem accipit. Graduum autemsingulorum diuisio fit
in fio. partes minuta vocatas, quorum unum quodq. in 6o. iterum partes, quae secunda dicuntur sectionem suscipit. Nec harum aliqua sexagenariam diuisionem in tertias praetermittit, & sic in decenas, & sequentes, ordinata fit progressio. Integrorum ergo multiplicatio est unius numeri secundum qua
titatem unitatum alterius coaceruatio. Fractionum vero per uni- .ltates multiplicatio est ipsarum secundum quantitatem, unitatum
aggregatio vel unitatum secundum quantitatem fractionum unius diuitio, ac fractionum per fractiones multiplicatio est unius quorumlibet fractionis secundum qualitatem alius fractionis unius di Lgrcgatio. Nam si per gradus multiplicentur gradus ex multiplicatione gradus colligentur. Si vero per minuta minuta procreabum tur si autem per s cunda multiplicentur, inde secunda prouenient, disimiliter per cuiuslibet generis fractiones multiplicati eiusdem ordinis fractiones efficient. Minutorum autem & caeterorum instat gradus positorum singula in semetipsis multiplicata, fractiones toto loco a se distantes, quanto &ipsa a gradu distiterunt procre j bunt, ut si per minuta multiplicentur minuta, inde collecta secundae dicuntur. Si vero per secundas, tertias ossicient, &similiter sipor tertias, & quartas, & per deinceps multiplicentur ad hunc na
dum declinabunt. Ex secundarum autem multiplicatione perscicundas oriuntur quarta, & si per tertias multiplicatae suerint, quintae colligentur. Idemq. motus declinationis in sequentibus obseruatur. Omnis autem numerus egitis gcneribus vel multiplicando vel diminuendo collectus, per illos o o. ad quos omnes stactiones pervcni runt diuisus ad genus alterius sibi loco proximi redibit omnem etiam quantitatem istorum duorum generum, vel plurimum si neccis fuerit, ut ex eorum aliquo plures numeri, quam in ipso sint contenti minuantur unus ex altiori genere si angatur, pro quo op. compulcntur ipsiq. superaddantur, &aex toto quod neccsse fuit minuatur. Quod exloc autem remanserit ei, quod ex altiori genere
superabundauerit connumcrentur. Illud autem,quod ex gradibus coadunatum sucrit cum circumrotatione, quam ex 36o. constare dicitur cons ratur. Exinde nam l. coliccio, si una vcl plurcsci γ
23쪽
cumuolutiones excreuerint, circunt rotati es ah ciantur, & rema. ns computetur. Si ex gradibus ctiam aliquid eorum exceden numerum minuere necella fuerit, eis superaddatur circumuolutio.&ex eo quod minuendum lucrit minuatur. Reliquum autem nu.
meretur. Si autem quodlibet genus graduum vel fractionum in aliud genus multiplicare volueris per hanc tabulam, id quod col. lectura fuerit, cuius sit generis depraehendas ex alteraisHinearum, A B, spacium, cui genus quod multipl:care volueris inscribitur eligito ex quo in directum egrediens usque ad alterius generis, per quod multi plicare volueris directum peruenias proficiscere, is quod ex fractionum partibus illic inueneris id genus ad quod mu tiplicatio peruenerit esse non dubites. Verbi gratia. Tabula multiplicationis. Cum quartas per
tertias multiplicare volueris , accipies ex tabula, AB, in latitudine pagi nae quodlibet e rum duorum generum , & sit terti rum , a quibus us'. ad angularem proselidem quartarum secundum eiusdcin tabulae longitudinem progredole,in B quo septimas inuenies,&id causae genus ad quod multiplicatio peruenit,consumamus. Simit ter etiam si in tabula, A B, quartas accepcrit, di ex eis usq. ad proseli scin angula in tertiarum in tabula alicrius in lateris processcris septimas inueniet. & ac hunc modum in quo vis genere operaberis.
24쪽
Radix autem numeri dicitur quantitas, quae cum in semetipsam ducitur ipsum ci ficit. Horum vero generum radicis inuentio propter differentiarum veritatem in suis multiplicationibus ad inuicem non hac via, nisi in gradibus proficiscitur. Radix enim graduum sunt gradus, eo quod gradus multiplicati in gradus perficiuntur
gradus. Fractiones autem ex pari numero denominanteret secumdar quatiari sextae, & his similia ex altiori genere, cuius locum d plicatum obtinuerint, radices sibi vendicant, ut secundae minuta . Ex imperis vero dcnominatae, ut minuta tertiae, quintae, & his sim lia radice nota carent, nisi cum ad genus inferius depressae fuerint, quod ex pari genere denominentur, & tunc ad viam praedictam redibunt. vela si minuta in secundas, & tertiae in quartas deprimun.
Diuisio vero maioris per minorem est ipsius numerositatis in maiori, Minoris autem per maiorem quota pars ipsius extiterit c gnitio . In hac autem cum multiplicationis & radicationis conue iam secerimus via praedicta, ex graduum diuisione per gradus, exibunt gradus, in alijs vero generibus infra gradus contentis, cum minus per maius, siue secundum ordinis contiguitatem, siue non diuiditur exiens inde illius erit generis, ex quo multiplicato in genus, per quod diuisio facta fuerit diuisum genus exibit, ut odiuisione secundarum per minuta exibunt minuta. Sextae qumque per quartas diuist secundas procreant. Sed cum altius per inserius diuisum fuerit, ut altius ad inserius deprimas oportet per quod diuisio sacta gradus efficit, ut in diuisione minutorum per sextas,si ad sextas deprimantur ex diuisione gradus exibunt. Cui que per hanc tabulam scit e volueris, quid ex diuisione generum fractionum inseriorum per altiora exierit, in qualibet tabularum A, vel B, genus quod per alterius contiguum, vel semotum genus diuidere volueris inuestiges, unde vi q. in altioris generis directum in altera tabula proficiscaris, & fractionum genus, ad quod perusneris, erit id, quod ex diuisione prouenerit, & hoc est id, quod cum multiplicaueris in genus altius, per quod diuisio fuerit diuisem, genus exibit. Simili quoque ratione cum genus altius per inferius diuidere volueris, altius ad inserius deprimes , & in altera tabularum genus adqu0d depresso venerit, obseruabis. In cuius diu recto l
25쪽
CV. II. 7 soluta disi ionis. recto vi q. ad illius
in quo gradus indubitanter inueni
do cum per sibi si mile quodlibet ge-
Incognitione quantitatum chordarum partium circuli, se inpositi
ne medietatum chordarum duplicitatis arcus in tabulis, ut usu exercitentur in omnibus numerorum maneriis Ioco chordarum, se in his, quae sequuntur ad chordarum nutriam, nec non in sciemtia chordarum conuenientium per arcus arcuam conueniem riumper chordas, chordarum quo'perfectarumfer arcus, o a' cuum ter chordas . CV. III.
IN quantitate diametri circuli siue circumferentiae primorum ad
inuicem sententia discors hoc excepto , quod veritatis terminis appropinquasse intelligitur. Eorum etenim quidam circuli cir cumserentiam suo diametro triplam decem partibus, & fractione modica 7 i. super appositis afferebant. Super hoc autem Ptole. maeus,& alij quidam Astrologi iter sequentes medium eam triplam decima parte unius tertiae, & quarta unius sextae, eiusdem tertiae su-
26쪽
8 Albategnius peradiectis confirmabant. Cuius rei veritatem in chordarum positione nobis scire nequaquam est necesse, eo quod arcuum quantitates chordarum ad inuicem quantitates non determinant, nec
hoc niti per eorum chordas depra henditur, diametrum itaq. ad libitum ponere, non ossicit. Qua propter I tolemaeus, ut alleviare tur numerandi notitia ipsum ex iro. iore proposuit, & super hale hunc librum perficiemus. Demonstrationum probatione chordam sextae partis iuslibet circuli sui diametri medietalcm continere sextamq. circuli ex cio. constare partibus firmatum est. Partes ergo fio. ex rao. diametri partibus chordam sextae perficere dicemus. Cumque in semetipsam sextae partis chorda multiplicabitur, indeq. collectum ex diametri quadrato minuetur, si residui radix accepta fuerit tertiae partis circuli chorda iudicabitur. Omnis similiter arcus, cuius chorda nota suerit, chorda in seipsam multiplicata, indeq. collecto ex diametri quadrato minuto, si residui radix accipiatur chorda arcus se micirculum perficientis escietur. Chorda vero quartae partis circuli est radix duplicitatis quadrati medictatis diametri, ac si diametri medietas in seipsam multiplicabitur, & ei quarta pars diametri
in se ducta superaddatur, totiusq. radix assumatur, de qua quarta , parte diametri dempta, reliquum decimae partis circuli chordam procreabit. Si autem chorda decimae in seipsam multiplicabitur, I ei diametri medietas in se ducta superaddatur, tunc si totius radix sumatur chordam quintae constituet. Et quorumlibet duorum arcuum chordae notae suerit chorda Arcus longitudinis superantis nota erit. Chorda quippe uniuscuiusq. duorum ipsorum in chordam illius, quod alteri eorum deest ad semicirculi persectionem multiplicata, superfluoq. quod inter utrumq. fuerit accepto, & per diametrum diuiso, quod exierit erit chorda arcus superantis longitudinis. Cuiuscunque arcus chorda nota suerit, ipsius medietatis chorda nota erit. Illius etenim chorda,quod ei ad semicirculi persectionem deficit ex toto diametro dempta, s reliqui dimidium in totius diametri quantitatem ducatur, indeq. collecti radix accipiatur chordam medietatis illius arcus ossicit. Omnium duorum A
cuum chordarum notarum altero alteri ad unum arcum effciendum super adiuncto eliorda ipsius collccti. arcus erit iterum notata.
27쪽
Nam si chordam unius arcus in chordam alterius, & chordas e rem,qui micuiq. ad semicirculi perfectionem desit, alteram per alteram multiplicauerimus, ct superfluum quod interutrumq. fuerit perdiametri quantitatem diuiserimus, quod exierit , erit chorda illius, quod collecto arcus ad semicirculum perficiendum descit. Qua in se multiplicata, & ex toto diametro in se ducto minuta, si radix residui sumatur, erit chorda illius arcus collecti. Hac itaq. via, modi'. praedictis reliquae chordae in sc circulo deprahendi possibules inueniuntur. Chordae vero, quae demonstrationibus sciri non pol sunt, ut chorda unius partis,& eorum, quae ex ea via duplationis oriuntur, ut duorum quatuor & octo, & his similia via de.
monstrationum velut praedictae numerando non inueniuntur.Q Nd autem proportio chordae arcus minoris ad suum arcum sit maior proportione chordae arcus maioris ad suum arcum demonstrationibus accipitur, & quia chorda unius partis, & dimidiae, chorda qdimidietatis,&quarta demonstrationibus depraehenduntur. Est autem id, quod ex duabus terti, chordae unius parisi, & dimidia coadunantur aequum et,quod ex chorda medietatis, & quartae cum ipsius tertiae additamento conficitur. Eorum enim differentia ob nimiam sui breuitatem non sc mitur, nec aliquid in numoro nocumentum affert, accepta chorda trium quartarum, et q. sui tettia superaddita unius partis chorda colligitur; qua sic inuenta numerichordatum medij circuli partium notitia clatuita
Additio Ioannis de Monte Regio.
AZiam figuram habet Ptolemaeus in prima
Almagesi . Soae demonstremus ex hac figura chordam dimidij arcus, propter chordam rarius arcus datam. In circulo ABC , sit choriri A B, nata, quae dimidia per med m in pumcto D, eius quoq. arcus secetur per medium puncto C ,producta linea C D E, tu transibis per centrum ciscuu . Ium ducatur diameserAG, o chorda B G, arcis residui de femicireuis, ct aluino G, educatur aequeinsans linea A Pinecando diametrum cssi, i uncto F .
28쪽
uia autem duo Anguli D, or Boibi recta esse duae linea BG, DF, aeque distantes, or aequales, deposita, Daq. D F, vel BG, ei aequalidae hemidiametro, manent dua linea C D or F E,quaprobabuntur aequius , quoniam dua DT, UT T F sunt aequales propter binos angulos T FG, A DT, o FTG , AT D, aequales, or latera AT, O TG, aequalia. Sic nota sit C D, inter quam, se diametrum A C, chorda dimidν arcus, est medio loco proportionalis, unde, o ipsa nota. Et quia, quod ex quantitatibus arcuum se inuicem ignotis arcibus intersecantium scire necesse est per chordas duplicitatum a cuum notas depraehenditur, dc cum circuli per duas lineas se inuticem in ipsius centro secundum rectos angulos intersecantes fit diuisio per quartas aequales secundum q. rectos angulos abscinditur. Quorum unumquemque so . partes eiusdem formae circumdant, necnon,& duae lineae, quae de centro ad circumferentiam progrediantur , quarum uniusculii'. quantitas est diametri medietas, &duobus rectis angulis duabus quartis suppositis quaedam recta linea collimitat, quam unicuiq. duarum linearum rectum angulum vni quartarum suppositum circumdantium duplum fore planissimum est, ideoq. uniuscuiusq. duarum linearum rectum angulum circumdantium ad diametrum duos rectos angulos collimitantem est eadem proportio, quae est, & quartae circuli ad eius mediet tem et qua propter quod, & reliquorum arcuum medii circuli cho das in duo aequa diametri secat, Arcus quoque, qui ei altrinsecus formentur per duas aequas partes separat. Chordae autem uniuscuiusq. ipsorum arcuum ad totum diametrum proportio, est velut proportio illius chordae, quae ipsius arcus medietati subtenditur ad diametri dimidium, de haec est medietas chordae duplicitatis arcus, qui ex utraq. diametri parte formatur, & cuius in unaquaq. qua tarum medietas aestimet, ex eo tractare intendimus, dc hic est, qua utimur in numerorum mancrijs, ne in his in quibus opus fuerit amcus duplicare necesse sit. Ptolemaeus etiam persectis chordis, non nisi propter demonstrationes ostendendas, quas sibi demonstrare necesse suerat, utebatur. Nos autem dimidium chordae dupliciatatis, uniuscuiusq. arcuum quartae circuli sumpsimus, de illud in illius arcus directo scripsimus, augmentum q. arcuum in tabulis per quantitatem mediae partis, usq. ad persectionem so. partium tin
29쪽
tam quartain circumdantium posuimus. Qua propter medietas chordae unius partis sub media parte cecidit, & meditas chordae de 6o. sub 3 o. partibus, medietasque chordae r ro. partium sub σο.partibus, necnon,& medietas chordae I 8 o. partium, quae sunt medietas circuli, cuius chorda totius diametri quantitatem obtinet sub 9 o. quae sunt partes totius quartae, dc est diametri dimidium, cuius quantitas σό . partium esse dicitur, ad quod diametrum sci licet haru n omnium chordarum, mediatarum, praefatarum, quas in hoc ibr a scripsimus, proportio resertur,& ne in sequentibus haec nobis iterare necesse sit, edicimus omnem tractatum nostrum, siue mentionem chordarum de mediantis chordis oportere intelligi, nisi aliquo proprio nomine signauerimus, quod, & chordam integram appellabimus, unde frequentius non multum indigemus. Hoc loco videtur inserenda tabula Sinuum ineu semichordarum, si deum sit obuia, ct passim reperiatur in Regismontano, Rhesico, Fin is, Clauio, Magino, Lambergio, Pitiscio, Schoten, Caualerio, ct aliis, viseumparcere impense, se tempori. Cum ergo chordam cuiuslibet gradus ex his chordis mediatis per tabulam scire volueris, quae in tabula mediatarum chordarum in duabus lineis numeri, quae per unius partis dimidium augmentantur simile numero, quae habueris, & quod ex gradibus, minutis, ac secundis in tabula chordarumdescriptis inueneris, accipe. Illud etenim est chorda, quaesiti arcus. Si vero minuta cum gradibus habueris, suerintq. plus 3 o. vel infra gradus perfectos, vel gradusi um medietatibus, quicunque eorum propiores fuerint gradibus, ct minutis, quos habueris, ex eo, quod minus illo suerit, accipe, &quod in directo eorum in tabula chordarum inueneris sumpto eo serua, de hinc numerum, quem in linea numeri reperies ex eo, quod habueris minue. Quod autem ex minutis remanserit
in superstuo, quod fuerit inter chordam, quam seruasti, & chordam, quam in directo illius, quod maius illo fiserit per quantitatem mediae partis inueneris multiplica, & quod exierit per 3 o. per quos
in utraq. linea numerus arcuum augmentatur divide. Quodq. in
diuisione ex minutis, & secundis exierit chordae, quam seruasti, si minor fuerit superadde,s vero maior minue,& quod post augmen-ltum, vel diminutionem fuerit graduum,& minutorum chordam, il-l
30쪽
I a Albate nou 'ud esse non dubites, vel si volueris quantitatem residuorum min
torum, quia de 3 o. suerit considera, & si dimidium, seu pars tertia, cu plus minusue fuerit fecundum ipsorum quantitatem ex chordarum augmentis accipe,& supradicta viam in augendo, vel minuedo prosequere, quod vero exierit,erit chorda illius arcus, qud volitisti. S i autem per has chordas arcus scire volueris, quςre in tabnia
chordarum illius chordae, quam habueris simile, vel quod sit ci propius ex eo, quod minus ipsa fuerit, & quod in prima linea du rum linearum numeri in ipsius directo fuerit accipe, & serua, post
hoc chordam, quam in tabula repereris ex chorda, quam habueri; minue, & quod super fuerit per . minuta multiplica, indeq. corulectum per superfluum , quod inter chordam, quam inuenisti, chordam, quae subsequitur extiterit diuide, di quod ex minutis, ac secundis exierit, arcui quem seruasti superadde, quod autem exi rit, erit arcus illius chordae mediatae, quem quaesieras, vel si volueris quantitatem illorum minutorum, ac secundorum,quae superlae-rint, quid exsupersuo, quod est inter chordam inuentam , di chordam, quae subsequitur fuerit obserua,& secundum illius quantit tem ex 3 o. minutis accipias, arcuiti. quem seruasti superaddas, eadem etenim est ratio ..
Quod si chordas versas per arcus scire volueris, sinumerus cuius chordam versam quaesieris minus 9 o. fuerit illum de so . minue, &iesidui chordam , quemadmodum supi a diximus addisce, quam de 6o. quod est diametri dimidium minues, quod autem remanserit erit chorda versa illius arcus. Si vero plusquam 9 o. fuerit, id quadso. superat accipe, ipsiusq. chordam cognosce, di quod fuerit 6o. gradibus , qui sunt diametri dimidium super adiunge .. Indeq. collectum illius arcus chorda versa dicetur ia. Si autem per has chordas versas arcus scire de sideras, si chorda,
quam habueris minus co . fuerit,eam de 6o. minue,& residui arcum scito,quem de so . minues, & quod remanserit, erit arcus sinus versi. Si vero fuerit haec chorda plusco .minue ex ea 6 o. arcumq. re
sidui scito, & quod lacrit 9 o. gradibus appone, ipsumi collectum,
erit quantitas arcus versi. In scientia vero chordarum, & arcuum plura praedictis superassidere noncst necesse, & ad harum mediatarum chordarum noti- '