Introductio in analysin infinitorum. Auctore Leonhardo Eulero... Tomus primus secundus

331쪽

193 DE FRACTIONIBUS

LI B. I. quartim fractionum quaeque ex binis praecedentibus sequentem in modum invenietur

361. Fractioniblis scilicet formandis supra inscribantur induces a , b , c , d, 5 c., infra autem subscribantur indices αν , δ, dic. . Prima fractio iterum constituatur H , secunda

- - , tum sequentium quae iis formabitur si antecedentium ultimae numerator per indiceni supra scriptum , penultimae vero numerator per indicem infra scriptium multiplicetur & ambo producta addantur, aggregatum erit numerator fractionis sequentis: 1imili modo ejus denominator erit aggregatum eX ultimo denominatore per indicem supra scriptum , & ex penultimo denominatore per indicem infra scriptum multiplicatis. Quaelibet ucro si actio hoc modo inventa praebebit valorem si actionis continuae ad eum usque denominatorem , qui fractionii antecedenti eli inscriptus , continuatae inclusive. 361. Quod si ergo hae fractiones eousque continuentur quoad si actio continua iudices suppeditet, tum ultima fractio verum dab:t valorem si actionis continitiae. Praecedentes fracti nes Vuro contindo propius ad hunc valorem accedent , ideoque per Iu .m idoneam appropinquationem suggerent. Ponamus uLim verum valorem fractionis continuae atque manifes um est fract onem primam csse majorem Diuitiam by Gorale

332쪽

CONTINUI S. 19,

quam x ; secunda Vero minor erit quam x ἰ tertia a ε τiterum vero x alore erit major ; quarta denuo minor , atque ita porro hae fractiones alternatim erunt majores & minores quam x. Porro autem perspicuum est quamlibet fractionem propius accedere ad Verum valorem x quam ulla praecedentium ; unde l1oc pacto citis lime di commodissime valor ipsius ae prori me obtinetur ; etiamsi fractio continua in infinitum progrediatur, dummodo numeratores c, γ, δ, &c., non nimis crescant ; sim autem Omnes isti numeratores fuerint unitates , tum appropinquatio nulli incommodo est obnoxia. 363. hujus appropinquationis ad verum fractionis continuae valorem melius percipiatur , conssideremus fractionum inventarum differentias. . Ac , prima quidem z p termissa , disserentia inter secundam ac tertiam est rb quarta a tertia subtracta relinquit ; quarta a quinta

subtracta relinquit l, &c. . Plinc

exprimetur valor fractionis contii tuae per Seriem terminorum consuetam hoc modo , ut sit

quae Series toties abrumpitur quoties fractio continua non iuinfinitum progreditur. 36 . Modum ergo invenimus fractionem continuam quamcunque in Seriem terminorum , quorum signa alternantur ,

convertendi, si quidem prima littera a evanescat. Si enim fuerit

333쪽

DE FRACTIONIBUS

b c a H- cd γιὶ b c d e c d e di b e '- ό b e Η- c δ ὶ ' Unde, si α, c , γ, δ, &c. fuerint numeri non crescentes , ut omnes unitates , denominatores Vero a , b , c , d, &α numerῖ integri quicunque astirmati i, valor fractionis continuae eXpri metur pCr Seriem terminorum maXime conVCrgentem. 363. His probe consideratis , poterit vicissim Sc ies quaecunque terminorum alternantium in fractionem continuam coiri erit

seu Dactio continua inveniri cujus valor aequalis sit summa Seriei propositae. Sit enim proposita haec Series x - Α - B in C - D Φ E - Fl&c. , erit, singulis terminis cum Serie cx fractione continua orta

comparandis

334쪽

CONTINUIS.

unde erit

erit ex lege harum expressionum

Cum igitur his adhibendis litteris sit

erit

335쪽

LIB.

DE FRACTIONIBUS

Porro vero di Terentiis sumendis habebitur

c in

Si bini igitur in se invicem ducantur, fiet

336쪽

CONTINGI S.

C A P.

XVIII. 363. Inventis ergo valoribus numeratorum α, &c., denominatores b, c , d, e , &c. , arbitrio nostro relinquuntur :ha autem eos assumi convenit, ut, cum ipsi sint numeri integri , tum valores integros Pro α, γ, δ , &c., exhibeant. Hoc vero pendet quoque a natura numerorum A, B, C, &c., utrum sint integri an fracti. Ponamus esis numeros integros , atque quaesito satisfiet statuendo b I α - A

Quocirca , si fuerit, x - Α - B C - D-Ε - Fl&c., idem ipsius x valor per fractionem continuam ita exprimi FO-rurit, ut sit

369. Sin autem omnes termini Seriei sint numeri fracti ,. ita ut suerit

337쪽

LI Ba

eritque per fractionem continuam

Transformetur Hec Series infinita

Ex EMPLuri II, Transformetur Hec Series insenita i

338쪽

co NT IN VIS.

Substitutis loco A , B, C , D, &c., numeris I, 3, s , 7 , &c., orietur

quae est expressio, quam BROUNCKER Us primum pro quadratura circuli protulit. Ex ΕΜ P Luri III. Sit proposita ista Series infinita

Baetionem continuam mutatur

ex qua sit, invertendo , Euteri Introdua. in Anes. in .

339쪽

sos DE FRACTIONIBUS

37o. Si Series: proposita per continuos Faetores progrediatur , ut sit

A AB , ABC ABC D' A B CDEtiam prodibunt sequentes determinationes

340쪽

cONTINGI S.

unde consequenter fiet

C A P. XVIII. D

haec series in fractionem continuam convertetur ponendo

A I , B - Σ , C - 3 , D - Α, &c. : quo ergo facto habebitura a