장음표시 사용
311쪽
α 3 DE USU SEMERUIII IECURRENTIUM
Asi' , , CV , &c. . ut ea . quae Oritur eX ma imo DUm rorum P , q , r, &c., reliquas magnitudine longe superet, praecaque reliquae penitus evanescant , si n fiterit numerus plane infinite magnus. Cum igitur numeri ρ, q. r. &c., sint inter se inaequales , ponamus inter eos p esse maXimum ἔ ac PrcPterea, si a sit numerus infinitus , fiet P Ap' ; sin autem n sit
InumeruS Vel ementer magnus erit tantum proxime P - Ap .
Simili vero modo erit Q - Α . ideoque p. Unde
Patet, si Series recurrens jam longe fuerit producta , coem- cientem cujusque termini per praecedentem divisum proxime esse. exhibiturum valorum maXimae litterae p.
336. Si igitur in fractione proposita
denominator habeat omnes Factores simplices reales & inter se inaequales, ex Senie recurrente inde orta cognosci poterit unus Factor simplex , is scilicet I -ps , in quo littera p omnium maximum habet valorem. Neque in hoc negotio coeia scientes numeratoris a, b , c , d, &c., in computum ingrediuntur , sed quicunque ii statuantur , tamen denique idem verus valor litterae maximae ρ invenitur. Verus quidem valor ipsius p tum demum innotescit , quando Series in infinitum fuerit continuata ; interim tamen si iam plures ejus termini DCrint sermati , eo propius valor ipsius p cognoscetur , quo major fiterit terminorum numerus, & quo magis littera ista peX cedat reliquas q, r, s , &c. ' perinde vero est utrum haec maxima littera p fuerit signo - - an signo - affecta , quoniam ejus Potestates aeque increscunt. 337. Quemadmodum nunc haec investigatio ad inventi nem radicum aequationis cujusvis algebraicae accommodari Disiti sed by GO le
312쪽
m RADICUUS A QUAT INDAGAND. 27'
possit, satis est perspicinam. Ex Factoribus enim denominatorisI - - γ ' - - &c. , cognitis facile assignantur radices aequationis hujus
ita ut, si Factor suurit 1 -ps, hujus aequationis radix una futura si r- . Cum igitur ex Serie recurrente reperiatur maximus numerus p , indidem obtinebitur minima radix sequationis I - - γ ' - &c. o. Vel , si Ponatur ἔ ut prodeat haec aequatio
eiusdem methodi ope eruitur maxima huius aequationis radix
338. Si igitur proponatur aequatio haec
quae omnes radices habeat reales & inter se inaequales, harum radicum maxima seqtienti modo reperietur. Formetur eX coeta ficientibus hujus arquationis fractio
Hincque formetur Series recurrens , assumendo pro arbitrionumCratorem , seu , quod eodem redit , assumendo pro libitarerminos initiales ; quae sit
dabitque fractio valorem radicis maXimae x pro aequatione: Proposita , eo propius, quo major suerit numerus c a XV
313쪽
Ex EMPLUM I. Sit proposita sa aequatio XX - 3X - I o, cujus maria ram radicem inveniri vorteat.
Formetur fractio ;Hρ ' i, unde positis duobus primis
terminis I, 2, orietur ista Series recurrens L , λ , 7 , 23 , 76 , χ31 , 829 , 2738 , &c., 'erit ergo proxime aequalis radici aequationis propositae maximae. Valor autem hujus fractionis in partibus decimali-hus expressus est
qtrae inventam superat tantum una parte millionesima. Cet rum notandum est fractiones 4 alternatim vera radice esse
majores & minores. Ex EΜPLuΜ II. Proposita si isa aquatio 3x- x' - Δ cujus radices exhiabent Sinus trium Arcuum , quorum triplorum Sinus es aequatione perducta ad hanc sormam o I - 6x k8x' , quaeratur hujus , ut in numeris integris maneamuS , radix minima , ita ut non opus sit pro x ponere Formetu2ergo haec fractio
cx qua sumendis pro lubitu tribus terminis initialibus o , o, I, quia
314쪽
IN RADICIBUS AEQUAT INDAGAND. 181
quia hoc modo calculus facili me expeditur, orietur haec Suries recurrens , omittendis potestatibus ipsius x quia tantum coeliscientibus opus est , o ; o ; I ; 6 ; 36 ; χοῖ ; letoo ἔ 6912; 398o8 ; 2292 8. Erit ergo proximo aequationis radi X minima O, I7363Is, quae propterea esse deberet Sinus anguli IOR ; hic autem ex tabulis est o , I 736 8 2, quem superat radix inventa parte --. Facilius autem haec eadem radix inveniri potest pol vendo x T y , ut prodeat aequatio I 3y in y' o , ex qua simili modo tractata oritur Serius O, O, I, 3, 216, 622, 179I, FI I&C., erit ergo proxime aequationis radix minima γ - Ο,3 729 9, unde fit x y o, 1736479, qui valor decies propius accedit quam praecedens. Ex ΕΜ PLUΜ III. Si desideretur ei fidem aequationis propositae o I - 6x k Φῖκ' , raciis maxima. Ponatur x , critque y' - 3y Φ I o. Cujus aequationis radix maxima reperietur per Seriem recurrentem cujus scala relationis est o , 3 - I , unde ergo oritur, sumtis tribus terminis initialibus pro arbitrio , I, I, I, 2, 2, 3, 6, 13, 7, 33, 8, 98 - II , &c., in qua Serie cum ad terminos negativos peri eniatur, id indicio est maximam radicem esse negati Vam , est enim x -
315쪽
181 DE USU SERIERUM RECURRENTI
ex qua erit y --dc x O, 937, quae a veritate vehementer abludit
339. Ratio hujus dissensus potissimum est, quod aequationis propolitae radices sint Iin. Io' , sin. so' , & - sin. 7oV, quarum binae maXimae tam parum a se invicem discrepant, ut in Potestatibus, ad quas Seriem continuavimus , secunda radix sin. so' auhuc notabilem teneat rationem ad radicem maximam , ideoque prae ea non evanescant. Hincque etiam saltus Pendet, quod alternatim valores inventi fiant nimis magni &nimis parvi : Sic , sumendo O , 9I8. Nam , quoniam Potestates radicis maximae alternatim sunt a trina suae & negativae , alternatim quoque Potestates secundaera uicis adduntur & tolluntur : quamobrem , quo haec discrepantia fiat insensibilis, Series vellementer ulterius debet co
3 o. Aliud vero remedium huic incommodo afferri potest ,
transim ando aequationem ope idoneae substitutionis in aliam sorinam , cujus radices s hi non amplius sint tam vicinae. Sic , si in aequatione o I - 6, ε 3x' cujus radices stini sin. 7o', D. 3o', in sta. I OV , ponatur x y - , aequationis o by' - 2 ΠΦ Ioy - I radicCS erunt I in. 7οψ, I in .so'; I - -sn. Ioq.; ideoque ejus radix minima erit I sa. 7O' , cum tamen haec set n. 7o' esset radix maxima aequationis praecedentis ; atque I sn. 3o' nunc est radix maxima , cum sn. so' ante esset mcdia. Atque hoc modo quaevis radix per subititutionem in maximam minima mVe radicem nOVae aequa-Diuitiam by Cooste
316쪽
tionis transmutari, ideocli re per methodum hic traditam inveniri Poterit. Quia praeterea in hoc exemplo radix I - Dr. 7ος multo minor est , quam binae reliquae, etiam facile per Seriem
18 y - I , qua ab unitate subtracta relinquet Sinum anguli 7o'. Ponatur 3 r, ut fiat o i' --Φ 9ῖ - 1 , cujus radix minima invenietur per Sellem recurrentem , cujus scala relationis est y, - 6 , ε I , pro radice autem maXima invenienda scala relationis sumi deberct 6, -9 , in I. Pro minima orgo formetur hae: Series I, I, I, ε, 3I, 236, 2722, 17 93; Iq386I ; &c., erit ergo proxime o , Iao6I483 & y D, OsO3o AI, atque s n. 7O' I -y o , 93969238 , quae a veritate ne in ultima quidem figura discrepat. Ex hoc ergo exemplo intelligitur quantam utilitatem idonea transsormatio aequationis ope substitutionis ad inventionem radicum afferat,& quod hoc pacto methodus tradita non solum ad maximas minimasve radices adstringatur, sed etiam Omnes radices exhibere queat.
3 I. Cognita ergo jam quacunque aequationis propositae radice proxime, ita ut, verbi gratia , numerus h quam minime a quapiam radice disserat, ponatur x- y sev x γ Φ k, hocque modo prodibit aequatio , cujus radix minima erit - x - , quae igitur si per Series recurrentes indagetur , quod facillime siet , quia haec radix multo minor erit , quam ceterae, si ea ad k addatur habebitur radix vera ipsius x, pro aequatione proposita. Hoc vero artificium tam late patet, ut etiamsi aequatio contineat radices imaginarias, usum tuum retineat. Nn 2
317쪽
184 DE USU SERIERUM RECURRENTIUM
3 2. Imprimis autem sine hoc artificio radix cognosci n quit , cui datur alia aequalis sed signo contrario assecta. Scili- cet, si aequatio cujus maxima radix p, eamdem radicem habeat - ρ , tum , etiamsi Series recurrens in infinitum continuetur, tamen radix haec p nunquam obtinebitur. Sit, ut hoc exemplo illuliremus, proposita aequatio α' - x'-3xins O, cujus maXima radix et I Us , praeter quam vero inest quoque - s. Si igitur modo ante praescriptio , pro radice maxima invenienda , utamur , atque Seriem recurrentem sermemus ex scala relationis I , ε 3 , - s , quae erit
tibi ad nullam rationem constantem peri enitur. Termini vero alterni rationem aequabilem induunt , quorum si quisque per Praecedentem dividatur, reperietur quadratum maximae radicis,
sic enim est proxime ue Quotius ergo
termini tantum alterni sese ad rationem constantem comP nunt , toties quadratum radicis quaesiitae proxime obtinetur. Ipsa autem radix x Us invenitur ponendo x y ε 2 unde sitI - 3J --y' - o, cujus radix minima cognoscetur ex Serie X, I, 9, 33, 238s , IO9Φs , &c., erit enim proxime πια Σ36I , at 2, 236I est proxime V s , quae est radix maxinra aequationis. 3 3. Quanquam numerator fraclionis , ex qua Series recumrens ibrmatur, a nostro arbitrio pendCt, ta men idonea elus constitutio plurimum conseri , ut xalor radicis cito Vero Pr Nime exhibeatur. Cum enim assumtis , ut supra , Factoribus d nominatoris 33 , sit terminus generalis Seriei recurrentis
&c., Per numeratorem Damonis determinantur; unde fieri potest, ut A sive magnum sive parvum valorem obtineat: priori casu radix maxima p cito reperitur , Posteriore Vero tarde.
318쪽
IN RADICIBUS MEQUAT INDAGAND. 23s
Quin etiam numerator ita accipi potest ut A prorsus evanescat, quo casu , etiamsi Series in infinitum continuetur, tamun nunquam radicem maximam p praebebit. Hoc autem evenit sit numerator ita accipiatur, ut ipse eundem habeat Factorem I - , sic enim ex computo penitus toltctur. Sic , si proponaturaequatio x' - so I Ox-3 o , cujus maxima radix est
ut Seriei recurrentis sit scala relationis 6 , - IO , H-3I ε 3, 8, 2I , 33 , I l, 377 , &ς. cujus termini prorsus non convergunt ad rationem , Ir 3.
3 . Quin etiam numerator ita assumi potest, ut per Seriem recurrentem quaevis radix aequationis reperiatur , quod fiet si numerator fuerit produetiim ex omnibus Factoribus denomia natoris praeter eum , cui respondet radix quam velimus. Sic , si in priori Exemplo sumatur numerator 1 - 3 --, fractio -- , dabit hanc Seriem recurrentem I, 3, 9, 27, 8 I, 2 3, &c., quae, cum si geometrica , statim monstrat
radicem x 3. Fractio enim illa aequalis est huic simplicii Hinc apparet , si termini initiales, quos pro lubitu
assumere licet, ita accipiantur, ut progressionem geometricam constituant , cujus EXPOnens aequetur uni radici arctuationis , tum totam Seriem recurrentem fore geometricam , ideoque cum ipsam radicem esse exhibituram , etiamsi neque sit maxima neque minima. 3 s. Ne igitur, dum qlietaerimus radicem vel maximam vel minimam , praeter expectationem nobis alia radix per Seriem recurrentem exl theatur, hujusmodi numerator debet eligi, qui
319쪽
I IB. I. ctum denominatore nullum Factorem habeat communem , quod fiet si pro numeratore unitas accipiatur, unde terminus primus Setiei erit se I , eae quo solo secundum scalam relationis se quentes omnes definiantur. Hocque modo semper certe radix aeqirationis vel maxima vel minima , prout fuerit propositum , Cruetur. Sic , proposita aequatione γ' - 3y Φ I o , cujus radix maxima des deratur , ex scala relationis O , - - 3, - Iincipiendo ab unitate seqvcns Oritur Series recurrens I - ο ε 3 - I φ 9 - 6- - 28 - 27 Φ 9d - Izy Η- 297 . - si - - 1848 φ 3 si I - 6s &c. , quae manifesto ad rationem constantem convergit, ostenditque radicem maximam esse negati Vana, atque prOXime y α - - I , 86o676 , qtiae esse debebat - I , 867938sa. Batio autum supra est allam , cur tam lente ad Verum valorem appropinquetur , propterea quod altera radix non multo sit minor maxima , simulqtie sit affirmativa.
3 6. His probe perpens s , quae cum in genere tum ad exempla allata monuimus , summa utilitas hujus methodi adini estigandas aequationum radices luculenter perspicietur; artificia vero , quibus operatio contrahi , eoque promtior reddi queat, satis quoque sunt indicata ; ita ut nihil insuper addendum esset, nisi casus, quibus aequatio vel radices habet aequales vel imaginarias, evolvendi superessent. Ponamus ergo denomina-Iorem fractionis
habere Factorem I - pr ' , reliquis Factoribus existentibus
I --, I ri, &c. . Serici ergo recurrentis hinc nataeterminus generalis erit nΦ1 As,' - Bp' - C ' in c. , quae cujusmodi valorem sit adeptura, si n fuerit numerus
320쪽
IN RADICIBUS AEGAT INDAGAND. 18
vehementer magnus, duo casus sunt distinguendi, alter quo pest numerus major reliquis q, r, &c., alter quo p non Praeberradicem maximam. Casu priori, quo p simul est radix maxima, ob coessicientem n - - I reliqui termini B;γ' - C &c., non tam cito prae eo manescent, quam ante : sin autem q De Tit p , tum quoque tarde terminus n Φ I Ap prae B 'evanescet , ideoque investigatio radicis maximae admodum
evadet molesta. Ex EΜPLUM I. Sit proposita aquatis X-3xx H- o , cujus maxima radix χ bis occurrit. Quaeratur ergo maxima radix haec modo ante exposto perevolutionem fractionis
1 - 3 quae dabit hanc Seriem recurrentem I , 3, 9, *3 , 17, 13s , 3 3, 73 , 93 , ubi quidem quivis terminus per praecedentem divisus dat quorum binario majorem. Cujus ratio ex termino generali facillime patet, rejediis enim in eo terminis Bp', Cq' &c., erit
terminus potestati respondens ii in i Ap Φ Bp' , sequens n Φ 1 se, qui per illum divisus dat