Introductio in analysin infinitorum. Auctore Leonhardo Eulero... Tomus primus secundus

301쪽

Σ o DE PARTITIONE

Li s. I. hinc scala relationis habeatur. Quod si autem Factores deno minatoris continuo in se multipliciantur , prodibit

quae Series si attentius consideretur , aliae Potestates ipsius x adesse non deprehenduntur , nisi quarum Exponentes contineantur in hac sormula - ' ; atque , si n sit numerus impar, Potestates erunt negativae ; afirmativae autem si n fuerit numeruS Par. 32 . Cum .igitur scala relationis sit in I, ΦI, O, O, I, O, I, O, O, O, O, H I, O, O, ε I, O , o, &c. . Series recurrens ex evolutione fractionis

791x'' - 1 oox x ' in I 23ox'' ε Is 7 Ox' ' &c. . In hac ergo Serie coeniciens quisque indicat , quot variis modis Exponens ipsius x per additionem ex numeris integris oriri queat. Sic numerus 7 quindecim modis per additionem oriri Potest. 7 7

302쪽

N MERORUM. 27 I323. Quod si autem hoc productum

evolVatur, sequens prodibit Series

in qua quisque coeffciens indicat, quot variis modis Exponens ipsius x per additionem numerorum inaequalium oriri possit. Sic numerus 9 octo variis modis per additionem ex numeris inaequalibus formari potest.

qui Factores cum omnes in P contineantur, dividatur P per PQ , crit- I-x 1-x' I-x' I-x' I-α Sec., ideoque I - x I - x I - x I - x' I - α ) ωc. quae fractio si evolvatur , prodibit Series , in qua quisque coe ficiens indicabit , quot variis modis Exponens ipsus x , peradditionem ex numeris imparibus produci possit. Cum igitur haec expressio aequalis si illi, quam in praecedente contemplati sumus , sequitur hinc istud theorema. Duiligod by Cooste

303쪽

272 DE PARTITIONE

QtIot modis datus numerus per additionem formari potes ex omnibus numeris integris inter se inaequalibus p totidem modis idem numerus formari poterit per additionem ex numeris tantum imparibus , sue aequalibus sive inaeqtialibus. 327. Cum igitur , ut ante vidimus , sit

Quocirca erit hanc per illam dividendo

Q. Hinc ergo , si formatio numerorum per additionem numerorum , sive aequalium sive inaequalium constet, deducetur formatio numerorum per additionem numerorum inaequalium , hincque porro formatio numerorum per additionem numerorum imparium tantum. 328. Restant in hoc genere casus quidam memorabiles , qu rum evolutio non omni utilitate carebit in numerorum natura

304쪽

in qua Exponentes ipsius x in ratione dupla progrediuntur. Haec expressio si evolvatur , reperietur quidem haec Series

quoniam vero dubium esse potest, utrum haec Series in infinitum hac lege geometrica progrediatur, hanc ipsam Seriem investigemus. Sit igitur ι εα i ΦΣ'ὶ si φ ω' et Φα r φκ &e.,

qui valor ipsius P si cum superiori comparetur , habebitur

erunt ergo omnes coefficientes I , ideoque productum p positum P evolutum dabit Seriem geometricam x Φ Σ Α- Σ' Η- Σ' Η- - Φ Η- φ . 319. Cum igitur hic omnes ipsius x Potestates, singulaeque semel occurrant, ex forma producti I lx I Φx' I Φx' &c., seqttitur. Omnem numerum integrum ex terminis progressionis

zulcri Introduct in Anal. insin. M m

305쪽

α D E PARTITIONE

geometricae duplae I , et , 4, 8 , Iis, 3Σ, &c., diversis peradditionem formari posse , hocque unico modo. Nota enhaec proprietas in praxi ponderandi, si enim habeantur Pon dura , I, 2, , 8, 16, 32, &c., librarum ; his solis ponderibus omnia onera ponderari poterunt, nisi partes librae requirant. Sic his ducem ponderibus , nempe Ith, χ)h, 'h, 8st , I 6',31', 6 η , I 28 b, 236'h, s Iath, omnia pondera usquae ad io Σ ' , librari posscint , & si unum pondus Io χψ h, addatur omnibus oneribus usque ad 2o 8 ih , ponderandis sufficient. 33o. Ostendῖ autem insuper solet in praxi ponderandi paucioribus ponderibus , quae scilicet in ratione geometrica tripla Progrediantur , nempe I , 3 , 9 , 27 , 8I , &c., librarum pariter omnia onera ponderari posse , nisi opus sit fractionibus. In hac autem praxi pondera non solum uni lanci, sed ambabus , uti necessitas exigit , imponi debent. Nititur ergo ista praxis hoc fundamento , quod ex terminis progressionis geometricae triplae I , 3 , 9 , 27 . 8I , &c., diversis semper sumendis per additionem ac subtractionem omnes omnua O numeri produci queant ; erit scilicet.

33 I. Ad hanc veritatem Oicendendam considero hoc productum infinitum

- P, quod evolutum alias non dabit Potestates ipsius x, nisi quarum Exponentes formari possint eta Dumeris I, 3, 2,χ7, a BDisitigod by Gorale

306쪽

TABULA

tates C A P. XV L

307쪽

LIB. I. geo addi haec der

Fari In l

ducti quod Diuitiam by Cooste

308쪽

sve addendo sive subtrahendo : num vero omnes Prodeant, singulaeque semel , sic exploro. Sit Potestates C A P. XV L

Hinc itaque erit

terminis progressionis geometricae triplae , vel addendo Vel subtrahendo , Armari posse ; & unumquemque numerum unico

309쪽

α 6 DE USI SERIERUM RECURRENTI M

LIB. I.

CAPUT XVII.

De usu Serierum recurrentium in radicibus aequationum indagandis. 332. Is Dic Auret Vir Celab. Daniel BERNO ULLI insignem usum Serierum recurrentium in investigandis.radicibus aequationum cujusvis gradus , hi Coment. Acad. Petropol. Tomo III, ubi ostendit, quemadmodum cujusque aequationis algebraicae , quotcunque fuerit dimentionum , valores radicum veris proximi ope Serierum recurrentium asIignari queant. Quae inventio , Cum saepe numero maximam afferat utilitatem, eam hic diligentius explicare constitui , ut intelliga tu, , quibus casibus a hiberi possit. Interdum enim praeter experitionem evenit , ut nulla aequationis radix ope hujus methodi cognosci queat. Quocirca , ut vis hujus methodi clarius perspiciatur, ex proprietatibus Serierum recurrentium totum fundamentum , quo nititur, contemPlemur. 333. Quoniam omnis Series recurrens o evolutione cujus..

unde oriatur sequens Series recurrens

310쪽

IN RADICIBUS AEQUAT INDAGAND. 177

Terminus autem generalis , seu coussiciens potestatis e , I

venitur ex resolutione fractionis propositae in fractiones simplices , quarum denominatores sint Faictores denominatorisI - αῆ - - &c. , uti Cap. XIII. est ostensum. 33 . Forma autem termini generalis potissimum pondet ab indole Factorum simplicium denominatoris, utrum sint reales an imaginarii , & utrum sint inter se inaequales & eorum bini pluresve aequales. Quos varios casus ut ordine percuriumus , ponamus primum omnes denominatoris Factorcs stinplices cum reales csse tum inter se inaequales. Sint ergo Factores simplices denominatoris omnes i-- I- ex quibus fractio proposita .in sequentes fraetiones simplices resolvatur -- - - - Η &c.. Oui-

-hus cognitis erit Seriei recurrentis terminus generalis

ε Φ Cr' in D s' - &c. , quem statuamus sit scilicet P coeficiens Potestatis , sequentiumque Q , R , &c., ita ut Series recurrens fiat

33s. Ponamus jam n esse numerum maximum , seu Seriem recurrentem ad plurimos terminos esse continuatam ; quoniam numerorum inaequalium Porellates eo magis fiunt inaequales , uuo fuerint altiores , tanta exit diversitas in Potustatibus Dissiligod by Corale