장음표시 사용
321쪽
183 DE USI SERIERUM RECURRENTIUM
tionis est I , in s , ε 3 ; unde oritur X , I , 6 , I , 67 , 13s, I 2, I 228 , &C., quae ideo satis cito valorem 3 exhibet, quod Potestates minoris radicis - I , etiamsi multiplicentur per n in I, tamen mox prae Potestatibus ipsius 3 evanescant.
Ex EMPLuΜ III. Sin antem proponeretur aequatio x' Η- xx- 8x- ΙΣ o, cujus radices sunt 3 , - 2 , - 2 , multo tardius maxima sese Prodet. Orietur enim haec Series I , - I, 9, - 1, 6s , 3, s 7, 3ψ7 , 33 s , q9is , . quae adhuc longissime continuari deberet, antequam pateret, radicem inde oriundam cise 3.3 7. Simili modo si tres Factores essent aequales , ita ut denominatoris Factor unus esset I -ps ', reliqui 1 - qr, x - r , &c., Seriei recurrentis termiuus generalis erit
Si ergo p fuerit maxima radix, atque n fuerit numerus tantus , ut Potestates ρ', &c. prae ρ' evanescant, tum ex Serie
quae , nisi sit n numerus maximus & quasi infinitus , verum ipsius Diuitiam by Cooste
322쪽
IN RADICIBUS AEQUAT INDAGAND. 289
ipsius p valorem indicabit. Erit autem iste radice valor - p Η- C A PIV r V XVII. ni A ε B- έ n i Hii - 1 A - n-- i B Φ C 'Quod si autem p non fuerit radix maxima , tum inVentio maxime multo magis adhuc impedietur ; unde sequitur arquati nes , quae contineant radices aequales , hac methodo per Series recurrentes multo dissicilius resolvi, quam si omnes radices essent inter se inaequales. 3 8. Videamus nunc quomodo Series recurrens in infinitum Continuata debeat esse comparata , quando denominator fra tionis habet Factores imaginarios. Sint igitur fractionis
Fadiores denominatoris reales I- ρῖ, I - , &c., insuperque Factor trinomialis 1 - 2p . cos. φε Pp continens duos Factores simplices imaginarios. Quod si ergo Series recurrens ex illa fractione orta fuerit
erit, Per ea quae .supra exposuimus , coefficiens P
numerus p minor fiterit , quam unus ceterorum g , r , &c., ita ut maxima radix aequationis .
sit realis , tum ea per Series recurrentes aeque reperietur , ac si nullae radices inessent imaginariae. 3 9. Inventio ergo maximae radicis realis per radices imaginarias non perturbabitur, si hae ita fuerint comparatae , ut hinarum, quae Factorem realem componunt, productum non sit
Euleri Introduci. in Anal. in n. O o
323쪽
1 o DE USU SERIERUM RECUR NTIUM
I. majus quadrato radicis maximae. Sin autem binae ejusmodI in sint radices imaginariae, ut earum productum adaequet vel adeo stiperet quadratum maximae radicis realis , tum investigatio ante exposita nihil declarabit , propterea quod Potestasi,' , prae simili Potestate radicis maXimae nunquam evanescit, etiamsi Series in infinitum continuetur. Cujus exempla illusti iionis causa hic adjicere visum est. Ex EMPLUM I. Sit proposita argilatio α' - ΣX - o, cujus radicem. maximam investigari oporteat. Resolvitur haec aequatio in duos Factores x - 2 xx - 2x ε χ); unde unam. habet radicem realem et & duas reliquas imaginarias , quarum productum est Σ, minus quam quadrarum radicis realis. Quam ob rem ea per modum hactenus traditum cognosci potetat. Formetur ergo Series recurrens ex scala relationis o , , - 4 , quae erit 3, O , δ, 4, 4, I 6 , 2ψ,q8 , II 2, I92, I 6, 332, &c. . unde satis luculenter radix realis a. cognosci potest. Ex EMPLUΜ II.
una realis est χ, binarum inroginariarum productum vero , ideoque aequale quadrato radicis realis 2. Quaeramus ergo radicem per Seriem recurrentem , quod quo facilius fieri queat , ponamus x a. y , ut habeatur γ' - 2yy - χy - 1 o , unde formetur Series recurrens
I, 2, 2, I, O, O, I, 2, 2, I, dcc. ,
in qua cum iidem termini perpetuo revertantur , nihil inde
324쪽
aliud xolligi potest, nisi radicem maximam vel no. Esse rea--i tum , vel dari imaginarias, quarum producitum aequale sit aut superet quadratum radicis realis. EXEMPLUM III Sit iam propo ita oepiatio Κ' - 3 XX Φ qX - 2 O, cujus radix realis eji I , im nariarum vero productum Σ. Formetur ergo ex scala relationis 3 , - Α , Φ 2 , Series 3, 3, 3, s , I, 7, Is; Φ I, 33, 63, 6s, in qua cum termini modo sani affirmativi , modo negati vi , radix realis I inde nullo modo cognosci poterit. Hujusmodi vero revolutiones semper ostendunt radicem , quam Series prae- here debebat, esse imaginariam ; hic enim radices imaginariae potestate sunt majores quam realis I.
3so. Sit igitur in fractione generali prodii flum hinarum
radicum imaginariarum v majus quam ullius radicis realis quadratum , ita ut prae ρ' reliquae potestates q', δ, &c., CVanescant si n sit numerus infinitus. Hoc ergo casu fiet P -
Q A si'. Π ε δ φ Oti P Α. su. n - - I B. Ita. n φ P nunquam valorem constantem induet , etiamsi n sit numeriis infinitus. Sinus enim Angulorum perpetuo maxime manent mutabiles , ita ut mox sint affirmativi mox negativi.
3s I. Interim tamen si fractiones sequentes simili
modo sumantur , indeque aitterae Α & B climinentur , simul numerus n ex calculo egredietur; reperietur enim Ppp Φ QP. cos. p, unde fit eos. φ i similiter vero erit Oo 2 ideoque Dj itigod by Cooste
325쪽
hy, DE USU SERIERUM RECURRENTIUM
cof p - ex quorum duorum Valorum compa
O R - P a V Q - PR) R recurrens jam eo usque fuerit continuata, ut prae pq reliquarum radicum Potestates evanescant, tum hoc modo Factor trino alis I
P . cos. φ Φ ppi poterit inveniri. 312. Quoniam iste calculus non satis exercitatis molestiam creare posset , eum totum hic apponam. Ex valore ipsius invento oritur APp. sn. n - χ pin BPp.sn. n Φ I-
326쪽
IN RADICIBUS AEQVAT INDAGAND. . 293
. superiores valores prodeunt , scilicet V
- PS 333. Si denominator fractionis, ex qua Series recurrens formatur, plures habeat Fadiores trinomiales inter se aequales, tum , speetata forma termini generalis supra data , patebit inventionem radicum multo magis fieri incertam. Interim tamen si una quaecunque radix realis jam proxime fuerit detecta , tum aequationis transformatione semper valor ejusdem radicis multo. Propior eruetur. Ponatur enim x aequalis valori illi jam detecto y , atque novae aequationis quaeratur minima radix pro F , quae addita ad illum valorem praebebit verum ipsius x va
Sit proposta ista aquatio Σ' - 3xx s X - o, cuius unam radicem fere 6-- I inde constat, quod, posto I ,
prodit x' - 3XX - - s X - - - - I. Ponatur ergo te IΦy, fietque 1 - 2γ-y' o, unde pro radice minima invenienda formetur Series recurrens , cujuS scala relationis Σ, o, I , quae erit
, χ,4,9 , λο, Μ, 97, 2IA, 72, IO I, 2296, &c. , unde radix minima ipsius y erit proxime O , qs 3397, ita ut sit x I, 13397 , qui valor tam prope Vix alia methodo aeque facile obtineri poterit. 3s . Quod si autem Series quaecunque recurrens tandem tam prope ad progressionem geometricam convergat, tum eκ ipsa lege progressionis statim sicile cognosci poterit, cujus nam aequationis radix sit futura quotus qui ex divisione unius termini per Praecedentem oritur. Sint
327쪽
P, Q, R, S , T, & c. , termini Seriei recurrentis a principio iam longissime remoti .
ita ut cum progresstione geometrica confundantur ; sitque I S - - - - γ Q H--, seu scala relationis γ, - - δ. Ponatur valor fractionis x ; erit - - xx ; - - x' &
unde patet quotum tandem praebere radicem unam aequationis inventae. Hoc vero & praecedens methodus indicat , praeterea vero docet fractionem dare maximam aequationis radicCm.
3ss. Potest quoque haec methodus investigandarum radicum saepenumero utiliter adhiberi, si aequatio sit infinita. Ad quod ostendendum proposita sit aequatio - - in &c. , cuius radix minima r exhibet Arcumso', seu Semiperipheriae Circuli sextantem. Perducatur ergo aequatio ad hanc formam
328쪽
M RADIIBUS ME VAT INDAGAND. 29s
erit ergo prOXime O , 123 36 :At ex proportione Peripheriae ad Diametrum cognita debebat esse o, 323398 , ita ut radix inventa tantum partea vero discrepet. Hoc autem in hac aequatione commode usu venit , quod ejus omnes radices sint reales , atque a minima reliquae satis notabiliter discrepent. Quae conditio cum raritasime in aequationibus infinitis locum habeat, huic methodo ad
eas resolvendas parum usus relinquitur. C A P. XVII.
De fractionibus continuis. 316. Quo si ΑΜ in praecedentibus Capitibus plura, cum de riebus infinitis , tum de productis ex infinitis Factoribus
constatis disserui , non incongruum fore visum est, si etiam nonnulla de tertio quodam expressionum infinitarum genere addidero , quod continuis fractionibus vel divisionibus continetur. Quanquam enim hoc genus parum adhuc est excultum , tamen non dubitamus , quin ex eo amplissimus usus in analysin infinitorum aliquando sit redundaturus. Exhibui enim jam aliquoties ejusmodi specimina, quibus haec expectatio non parum probabilis redditur. Imprimis vero ad ipsam Arithmeticam & Algebram communem non contemnenda subsilia affert ista speculatio, quae hoc Capite breviter indicare atque exponere constitui. 337. Fractionem autem continuam voco ejusmodi fractionem , cujus denominator constat ex numero integro cum fra tione , cujus denominator denuo est aggregatum ex integro& fractione , quae porro simili modo sit comparata , sive illa assumo in infinitum progrediatur sive alicubi sistatur. Hujuia iuuat ergo fractio contiaua erit sequens expressioLD iijgoo by Cooste
329쪽
in quarum serma priori omnes fratctionum numeratores sunt unitates, quam potissimum hic contemplabor, in altera vero forma sunt numeratores numeri quicunque. 338. Exposita ergo fractionum harum continuarum serma, primum videndum est, quemadmodum earum significatio consueto more expressa inveniri queat. Quae ut facilius inveniri Possit, progrediamur per gradus, abrumpendo illas fractiones primo in prima, tum in secunda , post in tertia & ita porro fractione ; quo facto patebit fore
3sq. Etsi in his fractionibus ordinariis non sicile lex , secundum quam numerator ac denominator EX litteris a , , c,&c., componantur , perspicitur , tamen attendenti statim patebit , quemadmodum quaelibet fractio ex praecedentibus se mari queat. Quilibet enim numerator est aggregatum eX numeratore ultimo per novam litteram multiplicato, & ex numeratore Disitirco by Cooste
330쪽
re aratore penultimo simplici et eademque lex in denom natori bus obsera atur. Scriptis ergo Ordine litteris a , b , c , d, &c., cx iis fratctiones inventae facile sermabuntur hoc modo
ubi quilibet numerator invenitur, si praecedentium ultimus per indicem supra scriptum multiplicetur atque ad productum ante- penultimus addatur ; quae eadem lex pro denominatoribus valet. Quo autem hac lege ab ipso initio uti liceat, praefixi fractionem quae, etiamsi e seamone continua non oriatur . tamen progressionis legem clariorem emcit. Quaelibet autem fractio exhibet valorem fractionis continuae usque ad eam litteram , quae antecedenti imminet, inclusive continuata. 36o. Simili modo altera fractionum continuarum serma
dabit, prout aliis aliisque locis abrumpitur, sequentes valores