장음표시 사용
341쪽
343쪽
ad valores ergo integros inveniendos fiat
374. Hoc modo innumerabiles inveniri poterunt fractiones continuae id in sinitum progredientes, quarum valor VeruS E hiburi . eat. Cum enim , ex supra traditis , infinitar Series, quarum summae constent , ad hoc negotium accommodari queant, unaquaeque transformari poterit in fractionem continuam , cujus adeo valor summae illius Seriei est aequalis. Exempla , quae jam hic sunt allata , si fiaiunt ad hunc usum ostendendum : verumtamen optandum esset , ut methodus detegeretur , cujus benescio , si proposita fuerit fractio continua quaecunque, ejus valor immediatu inveniri posset. Quan .
344쪽
quam enim fractio continua transmutari potest in Seriem infi- C A p. ni tam , cujus summa per methodos cognitas investigari queat, γ' itamen plerumque illae Series tantopere fiunt intricatae , ut earum summa , etiamsi sit satis simplex , vix ac ne vix quidem obtineri possit. 37s. Qtio autem clarius perspiciatur, dari ejusmodi fra Riones continuas , quarum 1alor aliunde sacile assignari queat , etiamsi ex Serichus infinitis , in quas convertuntur , nihil admodum colligere liceat, consideremus hanc fractionum continuam
cujus omnes denominatores sunt inter se aequales ; si cnim hinc modo supra exposito , 'fractioncs formemus
Hinc autem porro oritur haec Seri s
vel , si bini termiui conjungantur, crit
345쪽
quae Series etiamsi vehementer convergant, tamen vera earum summa ex earum forma colligi nequit. 3 6. Pro hujusmodi autem fractionibus continuis, i:i quibus denominatores omnes vel sunt aequales , vel iidem revertuntur ; ita ut ea fractio , si ab initio aliquot terminis truncetur , toti adhuc siit aequalis , facilis habetur modus earum summas explorandi. In exemplo enim proposito , cum sit T 4c. serit x - - , ideoque xx - - 2x- I & xε I - έχ ; ita
ut.valor hujus tactionis continuae sit - έχ-I. Fractiones vero ex fractione continua ante erutae , continuo propius ad hunc valorem accedunt, idque t m cito , ut vix promptior modus ad valorem hunc irrationalem per numeros rationales proxime exprimendum , inveniri queat. Est enim V1-r
tam prope g , ut error sit insensibilis : namque , radicem
extrahendo , erit V 2 - I o, I 233 6 236, atque
ita ut error tantum in partibus centes is millesimis constat. 377. Quemadmodum ergo fractiones continuae commodissumum suppeditant modum ad valorem V 2 appropinquandi, ita indidem Diuitiam by Cooste
346쪽
indidem facillima via aperitur ad radices aliorum numerorum Proxime investigandas. Ponamus hunc in finem
ros I , 2 , 3 , Α , &C. , reperientur Us ; v α; V13 ; Vs ;ς δ' ἔ VIo , vs 3 ; dcc. , perductis scilicet his radicibus adsermam simplicissimam : erit ergo
notandum autem eo promptiorem ella approXimationem, quo major fuerit numerus a: sic in ultimo exemplo erit V s a. Ire
error minor sit quam --' , ubi sa a estri ia91. 1 73 'dopnominator sequentis fractionis Luteri Introduci. in Anal. in n.
347쪽
378. Hoc vero modo aliorum numerorum radices exhiberi nequeunt, nisi qui sint summa duorum quadratorum. Ut igitur haec approximatio ad alios numeros extendatur, ponamus esse
α ----Unde jam omnium numerorum radices inveniri poterunt. Sit , Verbi gratia, a 2, b 7; erit at valorem ipsius x proxime exhibebunt sequentes fractiones
348쪽
a ab '- i ὶ . ubi quantitas post signum radicate posita iterum est summa duorum quadratorum , neque ergo haec serma radicibus ex aliis numeris extrahcndis inseruit , nisi ad quos prima forma jam suffecerat. Simili modo si quatuor litterae a, b , c , d, continuo repetitae denominatores fractionis continuae constituant, tum ea plus non inserviet quam secunda , quae duas tantum litteras continebat , & ita porro. 38o. Cum igitur fractiones continuae tam utiliter ad extra tionem radicis quadratae adhiberi queant, simul inservient aequationibus quadratis resolvendis ; quod quidem ex ipso calculo est manifestum, dum x per aequationem quadraticam asse nam determinatur. Potest autem vicissim facile cujusque aequationis quadratae radix per fractionem continuam hoc modo exprimi.
Sit proposita ista aequatio xx - rx Φ b , ex qua , ciam sit x-a Φ , substituatur in ultimo termino loco x valor idem jam inventus , eritque simili ergo modo procedendo , erit per fractionem continuam infinitam
commode adhiberi potest. 38 I. Ut autem usus in arithmetica ostendatur , primum notandum est omnem fractionem ordinariam in fractionem co
349쪽
tinuam converti posse. Sit enim proposita fractio x - - , in qua sit A B ; dividatur A per B , sitque quotus a &residuum C p tum per hoc residuum C dividatur praecedens divisor B , prodeatque quotus b & relinquatur residuum D, per quod denuo praecedens divisor C dividatur ; sicque haec operatio, quae Ullgo ad maXimum communem divisorem numerorum o de B investigandum usurpari solet, continuetur , donec ipsa finiatur ; sequenti modo
Dhinc, sequentes valores in praecedentibus substituendo , erit c e εχ γunde tandem x per meros quotos inVentos a, b, c, d, &c., sequentem in modum exprimetur, ut sit - Disitirm by Cooste
350쪽
tionem continuam transmutabitur , cujus omnes numeratores erunt unitates. Instituatur scilicet eadem operatio , qua minimus