장음표시 사용
21쪽
i idesnenter , secundum proportionem cognitam, qualemcunque illam' alii gnare libuerit. Iam quaeritur quam viam illud corpus insistere de-hi at; quo in loco debeat adesse momento assignato; qua celeritate debeat procedere ubi pervenit ad talem locum, & Pia similia.
A punitio A , unde corpus motum suum incipere supponitur, debent . nte cirii .ia ,scribi lineae indefinitae A B , A C , quae efficiunt angulum B A C , s sese mutuo secent: namque AB de AC, sunt in uiri fium positae , nec sese secant, quum motus quos exprimunt directe sunt oppositi. Ita dili initia repra sentatur imaginationi, vel, sin avis , sensibus , iter quod sequeretur illud corpus si ab una tantum cκ istis viribus , de quibus supra , impelleretur verSus alterutram. rart cm Η , vel C. a. Si xis quae illud erirpus movet versus B , aequat vim quae illud movet v ri is C , debent secari in lineis A C, M AB, partes 3 1 a s I , ψ , .c i, II, III, 1 V, aequaliter dlantae ab A. Si vero vis
22쪽
movens eorpus versus B duplo major est quam vis illud movens ver- sua C, partes secantur in A B duplo majores iis quae secantur in AC; Si vis illa est subdupla, partes subduplae smantur. Si vis sit ter major
aut ter minor , partes secantur ter majores aut ter minores. Istarum
linearum divisiones adhuc exprimunt imaginationi magnitudinem diversarum virium quae aliquod moVent corpus, & eodeni tempore spatium
quod illis impellentibus potest emetiri. 3. Per has divisiones ducuntur linea: parallelae reistis A B , & A C , ut habeantur lineae I X , a X , 3 X, &α aequales lineis AI , AD , AIII , &c. & IX , IIX , III X , aequales lineis A I, A a , A 3, quae exprimunt sipatia quae corpus, viribus illis impulsum , potest emetiri , & per interseditones istarum parallelarum ducitur linea A XYE,
quae repraesentat imaginationi primo veram magnitudinem motus com- .positi hujusce corporis, quod concipitur impulsum eodem tempore Ver- .sus B , & versus C, duabus viribus diversis , secundum talem vel talem roportionem ; Secundo viam quam insistere debet ; Denique omnia
oca in quibus debet es Ie certo tempore determinato. Adeo ut haec linea non modo utilis sit ad sustinendum mentis visum in investigatione omnium veritatum detegendarum circa quaestionem propositam , verum
etiam modo sensibili & evincenti illam re luit. Primo haec linea A XYE veram exprimit magnitudinem motus Vide pri compositi. Nam manifestum fit quod si vires quae illum producunt motum possint separatim promovere corpus illud ad unius pedis spatium intra unicum momentum seu horae sexagesimam partem , motus compositus erit duorum pedum intra unicum momentum, si modo
motus compositi sint persecte aequales; tunc enim sufficit addere A Bad A C. Si vero motus illi non possint omnino aequari , compositusA E alterutrum componentium A B vel AC magnitudine superabit tota linea V E. Si vero motus illi sint oppositi aliquatenus, compositus alterutro componentium minor erit tota linea Y E. Si vero sint penitus oppositi, nullus erit. Secundo haec linea A XYΕ , repraesentat imaginationi iter quod sequi debet illud corpus, & sensibile est secundum quam proportionem ad unam partem magis progrediatur quam adalicram. Manifestum etiam fit omnes motus compositos es Ie rectos , ubi unusquisque componentium sciriper idem est , quamvis inter se inaequales sint ; vel ubi componentes sunt semper aequales inter se , quamvis iidem semper non lint. Denique manitiestum est lineas his motibus descripta esse curvas , ubi componentes sunt inaequales inter se , nec semper iidem
Postremo haec linea repraesentat imaginationi omnia loca in qui us corpus illud a duabus viribus diversis versus duas p.artes diversas impulsum existere debeat ; adeo volsi praecise assigna
23쪽
ri punctum ubi corpus illud esse debet certo momento. Si scire cupias ubi , exempli gratia, principio quarti momenti esse debeat; dividendae sisnt lineae A B , vel AC in partes quae exprimant spatium quod viribus illis separatim impellentibus corpus illud posset emetiri intra unum momentumi; deinde oportet sumere tres ex istis partibus in alterutra eκ duabus istis lineis ; ac polleae ab initio quartae partis describere lineam 3 X parallelam , rectae AB, vel III X parallelam recta A C. Namque evidens est punctum X , quod alterutra istarum parallelarum determinat in linea A X Y E , desgnare locum ubi eorpus illud esse poterit initio quarti momenti motus sui. Itaque haec ratio examinandi quaestiones non modo sustinet visum mentis , verum etiam ill rum solutiones ostendit; & ipsis satis assert luminis ut ignota ex paucis cognitis possit retegere. His praemissis susticit, exempli gratia , duntaxat scire corpus quod erat in A certo tempore , alio tempore in E reperiri , & vires diversas illud impellere per lineas emcientes angulum datum , qualis est B A C, id, inquam , scire sussicit ut lineam ipsius motus compositi deprehendamus te varios gradus celeritatis motuum simplicium: dummodo sciamus motus istos esse aequales inter se aut uniformes. Ubi enim habentur duo puncta lineae rectae , habetur linea integra ; & potest comparari linea recta A E , seu motus compositus cognitus cum lineis A B& A C , hoc est, cum motibus simplicibus incognitis. Iterum Disiligo OORle
24쪽
erum si supponatur lapis impelli ab A versus B per motum uniformem , sed descendere versus C per motum inaequalem , similem mc.. tui secundum quem corpora gravia vulgo creduntur tendere ad centrum terrae, hoc est, spatia quae percurrit inter se invicem esse veluti quadrata temporum quae insumit in illis percurrendis ; linea quam desekri et erit semper parabola , de poterit summa cum acri ia determinari punctum ubi erit certo momento motus sui. Namque si primo isto momento corpus illud spatio duorum pedum ab A versus C cadit , secundo momento spatio sex pedum, terito de- em , quario quatuordecim ; di impellatur motu uniformi ab A ver-
25쪽
stis B , quae linea longa est sexdecim pedibus, manifestum est lineam quam describet fore parabolam , cujus parameter longa erit pedibus octo. Nam quadratum applicatarum, seu ordinatarum diametro , quae indicant tempora dc motum regularem ab A versus B, aequale erit re Metuti parametri per lineas indicantes motus inaequales de Meeliratos e dc quadrata applicatarum, hoc est , quadrata temporum erunt inter se ut partes diametri inclusae inter plum de applicatas. I 6. 6 : : a. 8. 64. IH: : 8. I 8. 8ec. Ut id manifestum evadat sufficiet considerare sextam figuram. Nam
semi-circuli ostendunt A a esse ad A hoc est , ad applicatam a Xipsi Di siligod by c
26쪽
ipsi aequalem, ut a X est ad A 8. A I 8 esse ad A II , hoc est, ad applicatam 18 X , ut IS X est ad A 8, &c. Atque ita rectautiti A aper A 8 8e A i 8 etiam per A 8 esse aequalia quadratis ex a X & i8 X,&c. Ac ideo ista quadrata inter se invicem esse ut ista rectaneida. Lineae paret telae ad A B & ad AC quae secantur in punctis X. X. X. manifesto etiam ostendunt quodnam iter corpus illud percurrere debeat. Indicant loca in quibus illud debet esse certo tempore. Oculis denique repraesentant veram magnitudinem motus compositi & ipsius accelerationis tempore determinato.
Insuper supponendo corpus moveri ab A versus C inaequaliter , ut etiam ab A versus B : si inaequalitas par est initio & semper, hoc est, s inaequalitas motus istius corporis versus C similis est inaequalitati m tus versus B , vel si augetur eadem proportione , linea quam describet
Sed si supponas esse inaequalitatem in incremento aut in diminutione motuum simplicium , quamvis inaequalitas illa supponatur pro lubitu, tamen sicile erit invenire lineam quae repraesentet imaginationi motum compositum ex motibus sinplicibus; exprimendo per lineas istos motus, ει istis lineis describendo lineas parallelas quae sese mutuo secent. Nam linea quae per omnes intersectiones istarum parallelarum transibit repraesentabit motum compositum ex istis motibus inaequalibus , & inaequaliter acceleratis aut diminutis. Exempli gratia , s supponamus corpus moveri a duabus viribus aequalibus aut inaequalibus , prout libuerit; alterum ex his motibus semper augeri aut minui secundum progressionem Geometricam aut Arit, meticam quamlibet, alterum vero motum augeri aut minui etiam secum dum progressionem Arithmeticam aut Geometricam quamlibet, ut in-Veniantur puncta per quae transire debet linea quae oculis' & imagin tioni repraesentat motum compositum horum motuum , sic est procedendum.
27쪽
Ante omnia describendae sunt , ut iam dictum est , duae lineae A B & Α C , ad exprimendos duos motus simiqices, & dividenda
istae lineae secundum Happositionem acceleravimus horum motuum. Si motus expressus per lineam A C supponatur augeri aut minui secundum hanc progressionem Arithmeticam I , 2, 3, 4,s, dividenda est linea in punctis I, 2, 3, q, s, si Vero motus designatus per lineam A B supponatur augeri secundum progressionem doe Plam I, a,q, 8, I 6, aut minui secundum progressionem sub-
duplam ε , a , I , - - - dividenda est linea in punctis notatisa, Φ, 8,
ἔ, Σ, Φ, 8, 26, aut Φ, I, I, - - - Deinde per has divisionesa, Φ, 8, ducendae sunt lineae parallelae ad AB de ad AC; & linea A E, quae debet exprimere motum compositum quaesitum transibit necessario per omnia puniita in quibus istae lineae parallelae sese interseca hunt. Atque ita deprehenditur via quam illud corpus motum insistere debet. Si quis cognoscere velit quantum praecia temporis elapsum fuerit ex quo corpus illud incepit moveri , quando ad cerium punctum pere nit; lineae parallelae ductae ab isto puncto ad A B aut ad AC id indicabunt , nam divisiones lineae A B & A C denotant tempus. Pariter, si quis scire velit ad quod punctum corpus illud pervenerit certo tempore ; lineae parallelae ductae eκ divisionibus linearum A B de A C quae repraesentant illud tempus, indicabunt intersectione sua punctum quaeitum. Distantiam vero loci unde incepit motum suum cognoscere semper erit facile ducendo lineam ab illo punicto versus A ; nam longitudo litius lineae cognoscetur per relationem ad A B vel ad A C cognitas. Sed longitudo itineris quod corpue illud emensum fuerit ut perveniret Dissiligod by
28쪽
veniret ad istud punctium, difficilis erit cognitu, quia cum linea in tus ipsius A E sit curva , non potest referri ad ullam istarum linearum
Si quis vero vellet determinare puncta infinita per quae corpus illud transire debet hoc est, accurate describere se per motum continuum lineam A E ; comparandus esset circinus cujus pedes accurath move rentur juxta conditiones statutas in stippostionibus supra sectis. Quod tam inventu difficillimum est, factu impossibile , M satis inutile ad
deprehendendas relationes Mrum inter se , quoniam non selet esse n cellula cognitio omnium punctorum ex quibus constat illa linea, sed tantum quorundam quae conserunt ad imaginationem regendam ubi considerat tales minus. Haec exempla sufficiunt ut ostendamus plerasque ideas nostras posse imaginationi exprimi & repraesentari per lineas; & Geometriar, quae omnes docet comparationes seu collationes necessMias ad cognoscendas relationes linearum , usum lonsius patere quam vulgo putatur. Etenim Astronomia , Musica , Mechanicae Artes , & in genere omnes scientiae quae agunt de rebus quae varios suscipiunt gradus , quaeque ideo considerari possunt ut extenta, hoc est , omnes scientiae accuratae possunt referri ad Geometriam ; quia ciun omnes theoreticae veritates duntaxat consistant in relationibus rerum , & in relationibus relationum , possunt omnes referri ad lineas. Ex iis multae conseque tiar possunt Geometrice deduci ; te illis consequentiis per lineas quibus repraesentantur factis sensibilibus , vix ullum est erroris pericu-
tque ingentes progressus in scientiis fieri hoc pacto facillime, exempli gratia , cur in Musica distinctὸ cognoscitur & praecise notatur inflava , quinta , quarta , eκ eo est quod soni exprimantur chordis accurate divisis; te quia notum est chordam quae sonat octavum tonum esse in proportione dupla ad aliam qua essicitur Oct va, quintam esse in proportione sesqui altera, aut duorum ad tria, de sic de caeteris. Namque auris sola de senis ea quae in scientiis requiritur acri ia judicare nequit. Peritissimi Musici Practi ei , qui auri pollent delicatissima 3e subtilissimi , nondum tamen sunt fatis sagaces ut agnoscant dii serentiam quae liuercedit inter quosdam senos ;de nullam esse falso sita persiadent, quia de rebus judicant duntaxat per seruum suum. Sunt qui nullain admittunt disserentiam inter oet Nam, de tres disonos. Imo iionnulli arbitrantur tonum majorem a tono minori non differre; adeo ut conona quod constitust discrimen ipsis
si insensibile , de potiori ratione SAU quod est tantum dimidia pars
Sola igitur ratione manifesto comperimus quod , clan spatium chordae quod essicit differentiam inter nolinullos sonos , si divisibile in plurimar partes , possunt adhuc esse permulti varii seni uulcs de inutiles C a ad
29쪽
ad Muscam, quos auris discernere nequit. Unde liquido patet sine Arithmetica & Geometria Musicam accuratam notas ignotam fore, adeo ut si in hac scientia aliquem saceremus progressum , id casu fortuito vel imaginationis ope fieret. Sicque Musica non esset amplEis scientia demon: rationibus ceriis inrixa ; licet cantilenae vi imaginationis compotitae dulciores videantur cantilenis juxta leges accuratas factis. Pariter , in Mechanicis gravitas alicujus ponderis, & distantia centri gravitatis hujus ponderis a sulcimento , cum varios possit suscipere gradus, utraque potest exprimi lineis. Itaque maximus est Geometriae usus ad retegendas de demonstrandas innumeras machinas vitae utilii limas , & menti ob evidentiam suam jucundissimas. Si, exempli gratia , pondus datum , ut sex librarum , constituere
velis in aequilibrio cum pondere duntaxat trilibri ; te pondus illud sex librarum adhaereat iugo trutinae distanti ab ansa duobus pedibus;
dummodo scias axioma generale omnium Mechanicarum; stilicet, 'uderit, ut mireanta in aquιtifris , debcre es ' in proportione reciproca eum
is rum afumus ab ansa , seu Gnnia ; Hoc est , pondus unum debere elle ad alterum pondus, ut distantia quae est inter ultimum pondus de antam est ad distantiam primi ponderis ab eadem ansa; facile erit e prehendere per Geometriam qua am debeat esse distantia ponderis trilibris , ut fiat aquilibrium , inveniendo juxta duodecimam propol, tionem sexti Libri Euclidis quartam lineam proportionalem , quae habebit quatuor pedes longitudinis. Itaque , si modo teneatur axioma
generale Mechanicarum , possunt retegi cum evidentia omnes veritates quae ab iis pendent , applicando Mechanicae Geometriam , hoc est, exprimendo per lineas quaecunque in Mechanicis consideranda veniunt.
Lineae & figurae Geometricae sunt igitur apti ismae ad repraesentam das imaginationi relationes quae sunt inter magnitudines , vel interres quae differunt gradibusue ut spatia , tempora, pondera, &c. tum quia sunt res simplicissimae, tum quia facillim e imaginationem G unt. Immo id laudis Geometriae tribui mi Iet , quod lineae possunt
plura imaginationi repraesentare quam mens potest cognoscere ; ctim lineae pomini exprimere relationes magnitudinum in commensurabilium, hoc est, magnitudinum quarum relationes non IM: sunt cognosci, quia nullam habent communem mensuram qua polsit fieri coπpara . Tum illa Geometriae praerogativa non est magni momenti ad veritatis investigationem, quia istae e Iressiones sentibiles magnitudinum incoinmensurabilium menti nihil afierunt lucis
Geometria igitur est utiliis a ad reddendam mentem attentam inhus quarum relationes cognoscere volumus. Illam tamen erroris occa-xonem nobis stipe praebere fatendum est , quia circa demonstrationes evidentes Se jucundas , quas illa nobis subministrat, ita detinemur , ut naturae condiderationem negliSamus. Ex hac praecipue causa om
30쪽
tur infelix ferarumque machinarum quae quotidie excogitantur , su cessias; Hinc est quod omnes Ilusicae compositiones, in quibus proportiones consenantiarum accuratisΤmh Observantur, non sunt omnium iucundissimae; & supputationes Astronomiae etiam accuratissimae quantitatem te tempus eclipsium haud melius saepe praedicunt. Natura nequaquam est abstracta: Vectes & rotae Μechanicae non sunt lineae &circuli Mathematici; non eodem modo omnes homines sentiunt circa Musicae modulationes & concentus, immo iidem homines variis temporibus varie sentiunt. opiniones circa id variae sunt pro varietate commotionis spirituum. Denique, Astronomiam quod spectat, nulla est persecta regularitas in Planetarum cursu. Cum in ingentibus istis natent spatiis a materia illos ambiente non regulariter ,bripiuntur. Itaque errores in quos circa Astronomiam , Mechanicam , Musicam, leomnes scientias quibus applicari selet Geometria, incidimus eκ Geometria non oriuntur , haec siquidem scientia certissima est , sed ex salsa istius seleritiae applicatione. Exempli gratii, vulgo supponuntur Ρlanetae describere mollibus suis circulos de ellipses persecte regulares ; id verum non est. Ista tamen suppositio est necessaria ad ratiocinandum , nec ita damnanda est, quia parum abest quin id verum sit: At semper recordandum est , axioma quo nituntur ratiocinia esse suppositionem. Pariter , in Mechanicis, supponuntur rotae & vectes , dcc. persecte dura esse , & similia lineis& circulis Mathematicis, sine gravitate , ac sine confricatione : seu potius ipsorum gravitas , confricatio, materia , & relatio horum omnium inter se fatis non considerantur; non attenditur duritie, aut magnitudine augeri gravitatem, gravitate augeri confricationem , confricatione
diminui vim; ac paulatim rumpi & destrui machinam ; atque hoc pacto quod pene semper in parvis suum potest sortiri effectum in magnis
Μirum igitur non est si toties errent homines , dum iuxta hypotheses haud accurate cognitas ratiocinantur; nec arbitrandum est Geometriam esse inutilem , quia nos ab omnibus nostris non expedit erroribus. Suppositionibus semel factis , illius ope rectas elicere possumus consequentias. Dum illa nos attentioni assuefacit ad ea quae consideramus, eodem tempore evidentem illorum cognitionem nobis parit. Iin-mo ipsius ope dignoscimus quandonam suppositiones nostrae sint sit - . Sed sine Geometria & Arithmetica in icientiis accuratis nihil quod paulo dissicilius sit, potest retegi , quamvis caeteroquin certis nitamur
Geometria igitur habenda est tanquam species quaedam mentia universalis , qua ingenium acuitur, attentum redditur , & eo industriae adducitur , ut imaginationem temperet, & ex ea auxilium sibi necessarium mutuetur; namque Geometriae ope mens imaginationis motum