장음표시 사용
51쪽
rum una C, assumpta, inter numeros A, si D, ordi
Ias eiusdem Dico B, sumptas a C secundum num e rum D, ad singulas eas icini, a prima esse ut unitas adnumerum . Disponantur Arithmetice numeri E, D, quos , metitur per numeros A,&sintri nitates denominatae planis numerorum E constat, quod omnes Py0p ς numerii, sunt inter numeros A a D, toti lcm semper interpositis ex reliquis numeris A quot sunt unitates in D, una dempta ergo numerorum A, inter binos num ros consequentesi, singulae fiunt arithmetice dispositiones numerorum, quorum planis denominatae unitates B, sunt a C, totidem semper, quot sunt numeri intera medi yno amplius, videlicet, quot sunt unitates in D; ad ungulas F, a prima denominatas plano extremo Pro trum,qui sunt', se habent, ut numerus multitudinis ea rum, quae totidem semper sumuntur, vidclicci numerus D ad unitarcino sunt aut cin singulari, a prima ad sin Prop. 9.gula B, a prima, ut unitas ad quadratum assumpti D, ergo ex aequo nitarc B, totidcm scia per sumptaea E, ecundum numerum D, adinsulas cas-ccini, a prima sunt, ut iit m crus D, ad sui quadrarii in videlicci, ur unita ad D. Quod,&c.
52쪽
Unitates denominat e planis Arithm tis dispositorum ab unitate, pumpta a prima secundum numeros proportιouis continue Jubmultiplicis ab unitate, adnumermn mbi proximum in Arithmetica dispossitione, tineadem continue multiplici proport
SIn A, numeri Arithmetice dispositi ab unitate, quoἰrum B, proximus unitati;& sint unitates denom, nata planis numerorum A segregentur C, ut prima sit Γν, ωa secunda totidem, quot sunt unitates in B, sint E; alia toties totidem sint F;4 quot sunt F, totiesto. iidem secundum numerum B, sin G, sic deinceps: constat ita segregatas es in D, E, F, G , ut sumptae sint secundum numeros proportionis continue submultiplicis ab unitate ad B. Dico D, E, F, G, esse in eadem continue multiplici proportione numeri B, ad unitatem. Prop. i. Quia B, est secundo loco Arithmetice dispositorum,sin. oulae a primi ad totidem semper sumptas a secunda secundum numerum B, sunt ut B, ad unitatem, ergo Prop. αι. , ad E. est uti, ad unitatem. Item singulae in , ad
53쪽
totidem secundum numerum B, sumptas in F, sunt ut B, ad unitatem; inuo sunt singi: lae in Ε, toties totidem secundum numerum B, sunt in F; ergo colligendo omnes E, ad Omnes F, sunt ut B, ad unitatem. Similiter demonstrabitur omnes F, ad omnes G, esse ut B,ad unita tem, sic deinceps. Ergo D, E, F, G, sunt in continue multjplici proportione numerit,ad unitate. Quodnc.
Unitates denominata planis Arithmetice dispositorium ab unitate, quotlibet aggregata a prima sunt aquales numero multitudinis earumdem denominato per productum
eiusdem, excesius dispositionis Arisb
SInt numeri A, dispositi Arithmetice ab unitate, quorum excessiis B; Sint etiam C, unitates denominati planis numerorum A, assumptae a prima sectandum numerum D; inter numeros A, post unitatem numerito iidem sumantur,&sumptorum sit extrcmusE; sit F, excessus E,&initatio constat F, ad B, esse ut D, multitudo
54쪽
3 Muae a re ture titudo numerorum A, post unitatem ad ipsam unitatem rigitur D, multiplicando B, faciti, qui auctus unitate sit E. Dico aequales eis D, denominato per E. Ex de. nominatione B per plana numerorum A, usque ad E, fiant fractiones G, totidem, quot sunt C. Quia B, est exces ius consequentium A, F, extremorum, i,pla- Prop. I. num extremorum, videlicet unitatis,&E, sunt G,aequa. lesi, denominato per E: Sunt autem G, ad C, ut B, ad unitatem;&it B, ad unitatem, ita est F, ad D, uel F, denominatus peri, videlicet , ad D, pariter denominatum per E ergo G, ad C, sunt ut G, ad D, denominatum per E ergo C, sunt aequales D, denominato per E. Quod,&c.
Vnitates denominata planis numerorum, Arithmetice dispositorum ab unitate quot libet aggregata a prima sunt minores uniatate denominata excessu consequen tum
SInt C, quotlibet unitates denominatae planis num rorum arithmetice cum excessum , dispositorum abum late sumptae, multitudine numeri in Dico C, aggregata minores esse unitate denominata per B. Ex ductu B, in D, fiat E;&F, unitate maior, quam E igi
55쪽
Arithmeticae. Itur D ad F, minorem habit proportioncm qu .m D. ad E quia E, productus est cx B, in D,uti, ad E,ita est unitas ad B ergo D, ad F minorem habet propor tionciri, quam unitas ad B in propterea D lacnomina tus peri, est minori nitate denominata per di sunt si prop. 3. rem C, aequales D, denominato per F; ergo C, sunt minores unitate denominata per B . Quod,&c.
Vnde constat primo loco unitates denominatas 'amsi merorum Arithmetice a17po
ssitorum ab unitate in infinitum dispositas, aggregatas esse finita eatens Ionis.
Patet etiamsecundo loco, quod unitates deno minatae planis n&merortim Arithmetice aspositorum ab unitate seunt in aliqua Prop. multitudine a prima, qua replent quam libet propositam extensionem minorem ex
tensione divositarum earumdem in Ur
56쪽
Data proportione minoris i qualitatis, alteram inuemre maiorem data, quasi numeri, quem datus numerus metiatur ad nu
datus numerus C, opportet alteram proportionem inuenire maiorem data, quae sit numeri, quem C, metiatur adnumerum unitate maiorem. Data propo ' tione minoris inaequalitatis A ad B, maior inueniatur, quae sit numeri D, ad numeriami, unitate maiorem. Si contigerit Z metirim, constat proportionem D ad
quaesitam eme Quod si C, non metirur D sumatur C, toties, donec fiat maiori,& sit factus F,cui unitate agglegata fiat G. Dico proportionem F,ad G, esse'nae si tam quoniam F, maior est in habeti ad unitatem maiorem proportionem, quam D; componendo F, ad G, maiorem, quam , ad E sed D, adi, adhuc maiorem habet, quam Α, ad B ergo F, ad G, multo maiorem habet, quam A ad x inuenta est ergo proportio F numeri, quem C metitur ad G, numerum unitate maiorem, quae est maior proportione x ad . Quod faciendum erat. Theoti
57쪽
Unitates denominata planis numerors misArithmetice dispositorum ab unitate in in initum disposita , aggregata μης
aquales unitati denominatae disserentia
consequentium dispositionis Arithmetica.
B. a. D. q. E. IS. H --- F. P. G. ASInt in A, disposita in infinitum,&aggregarae unitates denominatae planis Arithmetice dispositorum ab unitate, quorum dissetentiam;& sit , unitas denominata per . Dico A aequalem esse C alias erit A, maior, vel minor C. Sit maior igitur in aliqua multi-Coroll. 1-tudine sit inplete a prima unitates disposita in x, implenti 'p C: sit huiusnodi multitudinis numerus D, qui adiceia j x. t. unitate fiat E ergo aliquot unitat cccx dispositis in A, Def. io, sumptae a prima in multitudine numerii, sunt maiores , quod est absurdum igitur non est x, maior C. Sit Prop. et minor, data proportione minora inaequalitatis A , ad P QP- , C, inueniatur altera maior, quae sit numeri in quem B, metiatur ad Ε, numerum unitate maiorem metiatur autem B, ipsum D, per F igitur F, ad D, est ut unitas ad B unitas autem ad B, est ut C, ad unitat in ergo F, adu, est ut C , ad unitatem; m, adi, maior cm habet proportionem Α, ad C i ergo ex aequo in perturbata I, ad Ε, maiorem habet proportionem, quam Α, ad unita. tem. Denominetur i, per E, ut fiat iractio; ergo ut
58쪽
esta, ad Ε, ita G, ad unitatem igitur G, ad unitatem habet maiorem proportionem quam Α, ad eamdem uni talem ergo G maior est A. Sumantur ex unitatibus dispositis in A, a prima totidem secundum numerum Fi Prop. i assemptatum e X tensi H constat quod H, est aequalis , denominato peri, nempe fractioni G; ergo etiam H, maior est A, pars toto, quod est absurdum: igitur A, non est minor C, sed neque maior Ergo i est aequalis C. Quod,&ta Alitera,
SI A, dispositio Arithmetica numerorum ab unitate, quorum consequentium differentia B ct in G, sine dispositae in infinitum, aggregatae unitates denomii . nata planis numerorum A, unitas denominata per sit D. Dico C aequalem essem. Sit E aggregatum quotlibet ex dispositis in C, a prima, quarum multitudo F;&ex F, in B, fiat G, qui auctus unitate sit Hrrho, constati, aequalem esse F, denominato per H: interdis. positas in C, si I,proxime succedens aggregatis in E; Κ, numerus ordinis eiusdem inter numeros A, cuius I, Prop i, inter nitates C .constat etiam, quod unitatum C, quae succedunt ab I sumpta semper totidem secundum numerum Κ, ad singulas easdem a prima sunt ut unitas ad D ergo colligendo, omnes C, ab I ad omnes easdem a prima sunt ut unitas ad K ergo conuertendo, per conuersionem rationis, omnes ad assumptas in E, sunt
59쪽
i sunt ut K, ad excessum Κ, super unitatem: quoniam S. I in suis dispositionibus sunt ordinis eiusuem est excessus D, super unitatem ad excesssum consequentium; B, ut multitudo aggregatarum in E , videlicet numerus
F, ad unitatem; ergo excessus Κ, super unitatem est ae qualis producto ex F, in B, videlicet numero G;ωpro Pterea, adiecta hinc inde unitate, numerus Κ, est squalis H; igitur , adi, est ut , ad Gi&i, ad unitatem est ut F, denominatus per H ad unitatem, uidelicet uti, ad H; ergo ex aequo in perturbata C, ad unitatem est ut F, ad Gi sed quia B, multiplicando F, facit G, est ut F, ad G, ita unitas ad B uel unitas denominata per B, uidelicet D ad unitatem ergo C, ad unitatem est uti, ad eamdem uultatem AEquales ergo sunt & D. Quod,&c.
statum, quae denominantur planis Arithmetice dispositorum ab unitate,quothbetasumpta adsuccedentes in infinitum unt,
Ut producitur ex 'mero multitudinis ipsa
rum,' disserentia dispositionis Ari
thmetica ad unitatem. SIn A, numeri Arithmetice dispositi ab unitate quorum consequentium differentiam; initatum, Ius denominantur planis A, sint assumpta a prima C , totidem, quot sunt unitates in D; succedentes in infiniis
60쪽
tum intelligantur dispositae,&aggregatae in E; ex B, in D, producatur F. Dico C, adi, esse uti, ad unita-m tem. Augeatur F, unitate ut fiat G: constat C, aequa. Prop. les esse D, denominato per G; M, E simul aequales est unitati denominati per B & quia ex due tui, in D, fit F, est unitas ad B, ut D, ad F;&unitas denominata per B, est aequalis in, denominato per F; propterea C, E, sin il sunt aequales D, denominato per F ergo C, ad C, E, simul sunt ut D, denominatus per G, ad D, denominatum per F uel reciproce, uti, ad . diuidendo, C, ad Ε, sunt ut F, ad unitatem. Quod,&
Vnitatum, qua denominantur pianis Arithmetice dispositorum ab unitate, quotlibet
ossumpta a prima ad ultimam assumpta
rum sunt, ut productum ex numero eiusdem ordinis cum alumpta inter Arithmetice dispositos, o numero multitudinis W- sumptarum ad unitatem.