장음표시 사용
121쪽
s. sdicta linca, portionem circulis ccci capientem argutumae litatem .c. si autem angulus .c. rectus fuerit lineam. a b. per aequalia diui. o per quartam huius, tunc manife-itum est quod si a b diameter fuerit, ipsa linea data contenta erit ab illa circunferentia oportio illius circuli erit semicirculus, quare per trigesimam tertii, continebit angulum aequalem c.led si datus angulus .c. obtusus fuerit, dUc lineam .d. a. ad extremitatem linea a. b.faciens angulum aequalem .c.per decimam huius, deinde a puncto. Derigo perpendicularem. a c. ad a. d. per primam huius , postea vero ad punctum b constituo angulti naae a Ualem. a.b.perdecimam huius, ducta b.fvsh quoco ac Urrat cum perpendiculari. a e quod patet per definitionem, quia per communesta scientiam anguli La.b. S. a.b. minor c sunt duobus rectis sit igitur sun ipsconcursus .f. modo erit per sextam prinit, inca tia .aequalis linea b.iam patet per corrcliariu in decima quintae tertii, lubd circulus cuius semidiameter. a. f.centrum autem .stanget incam. a. d. ad a.& per delinitionem circuli circunferentia transibit per puncta. a.&.b quare per trigesimam priia iam tertii patet propositum. Si vero
angulus .c. acutu, fuerit, producam lineam. a.g.continentem cum linea. a. b.angulum aequalem per decimam huius, ad quam a puncto .a erigam perpendicularem e primam huius, S reliqua omnia, supra, habe- O propositum.
122쪽
ET II. PRIMI. 'datopuncto, cuMet rectae propositae, quam rectam meam ducere Proposta linea sit.b cidatus autem punctus sit. a. quo ducam lineam aequalem b.c protraho primum lineam. a. O .indefinite qualitatis, quam seco aut produco ad aequalitatem datae.b.c.lineae per octauam auius, in puncto .i. tunc habebo propositum.
123쪽
Dati semicircis , siue femicirculo majoris minorsu pose
Data circuli portio sit. a b.aequalis, maior, vel minor semicirculo,propositumque sit, centrum illius portionis inuenire.Duco .n .in ipsa portione duas lineas qualitercunq; contingat tantum ut minime inuice aequidistent)nempe. a.c.S.db.quasper aequalia diuido per.iiii huius ducens. fm.&.e.n.perpendiculariter ad ipsas in punctis diuisionum per primam,quae quidem perpendiculares productae se inuicem in aliquo puncto secabunt per elanitionem,intellccta linea recta transeunte per .r.&.e.punctus vero concursus sit.h.quem dico esse centrum circuli, cuius portio data est: nam hoc satis clarii est cu per cor rellarium primae tertii, unaquaeq; linearum.Κm S.C.D.transibunt per centrum, quare punctus.h.illud est per communem scientiam,quod est propositum
124쪽
Diametretim circuli inuenire aequiualentis , duobus datis circulis Duo circuli dati sitit a. d.&. d. o. Ita opum diametri sint. a. s.ct d O quas inuicem perpendiculariter coniungo, Vipula adi Unctum. l. ducens. a. o. tunc dic quod a O .linea, diameter est circuli aequi polentis ambobus circuit S. a. i. 9 d. o. diuido primum a. o. per aequalia per quartam huius, quod punctu erit centrum dicti circuli, imaginemur ergo illum , cuius quidem circuitfercnita transibit per punctum .d per. XXX.tertii deinde supra una qualisnear Um a.dἰd O.&. O .a describo quadratum, secundum doctrinam. Xiiii. huius, praeterea erit pro Dorti quadrati a n. ad Uadratum. a. meadem quae circulia. d. ad circus i m. a. o per secunda duodecimi, per quam etiam proportio quadrati. O b. ad quadratum. a m .eadem est , quae circuli.Ο.d ad circulum. a. o. quare per XX lili quinti proportio quadrati. a. n.cum quadrato. a. b. ad quadratum. a. m. adem est quae circuli. a. s.cum circulo. i.O. ad cir-CUlul Ti. a. o. per. XVi. quinti, ita se habebunt quadrati. a. n'. O.b. ad circulOS .a.d.&.D. d. v qUadratil. a. m. ad Circulum. a.O sed cum per . Nivi. primi, 'Uadrati. a. n. θ.Ο b. aequales sint quadrato. a m erit per septimam quinti, proportio quadrati a. n. cum quadrato.o b. ad circuli l. a P eadem quirest quadrati. a. m. ad eundem circulum.
a. per undecimam iusdem erit proportio quadra
125쪽
R d &-d O.quapropter per nonam eiusdem circulus a. D aequalis est duobus .a.d.&.d.o.quod est propositum. Paret etiam quod inter sectio circuloru .a d.&.d O. quae est c.erit in linea .a. o.nam si ducta fuerit linea d. recta transiens per virorumque puncta intersecationum circulorum, iam manifestum erit quod si punctum. Con iungatur per rectas a punctis .a.d . o. anguli ad . rectierunt per. XXX.tertii, quare per . xiiii primi, meae. a cicc. O. Vnam constituent rectam, quam dico esse .a o id ostdiameter circuli. a.o .alioqui duae rectae lineae concluderent superficiem, quod est impossibile, reliqua vero intersectio, erit in puncto anguli recti. d. hoc clarissimum est cum a d.&.d.o .diametri sint illorum circuloruman aliis autem punctis, minime se inuicem secant circuli .a.d 5.d.o .per decimam tertii, Sc. Idibus Ianuarii hoc in
ueni problema anno. I I. Frimus Liber explicu
126쪽
ritatibus inaequalibus communicantibus, maximam quantitatem communiter eas numerantem inuenire.
HO C satis patet, ut docet sectan da septimi propositione licet Euclides, illud ponat in decimo libro, id eo ita fecit, magis uniuersale sit problema , cum dicat de quantitati bus, quia inca etiam S uperlicies est quantitas iecnon
mam, ea communIter numerantem inuenire.
Ei tertia septimi patet,id est per illum ordinem.
127쪽
T M I. Proposita qualibet recta linea, duas ei incommensurabi-DS, alter iam in potentia tantum, alteram in longitudine potentia rectas lineas inuenire. Proposita linea sit. a. intcntio aulcm sit duas rectas liueas reperire, quarum altera communicet cum a in potentia tantum, reliqua vcro sit ei commensurabilis in longitudine atque potentia, sumo primum duo numeroS, mi ni me selhabentes in proportione numerorum quadratorum, scilicet.b .c c.quo facile inuenire est, cum quilibet quadratus numerus ad quemlibet non quadratum numerum, eam habeat proportionem, quam minime habent inter se aliqui quadrati, ut colligere est eX.XXii. Octaui, praeterea inuenio lineam .d. ad cuius quadratum se habeat quadratum linea .a .vrib ad .c. hanc vero linea ita inuestigo, diuido primum a in tot partes quot sunt unitates in .b. per .Xvis vet. X l .primi huius, deinde supere Xtremitatem lineae .a. erigo perpendicularem peririmam primi huius, quam in tot partes diuido, quot sunt unitates in .c per praedictasi sedit unaquaeq; partium .e.
perpedicularis super .a aequalis sit unicuique parti ine'. a. modo quia per primam sexti proportio quadrati lineae.a ad superficiem contentam sub a &.e.eade est quara.ad .e.&per Undecimam quinti, sicut numeri b. adnuta merum .c.tunc si posita fuerit d medio loco proportionaliter inter .a S .e.perdecimamOctauam primi huius, M
128쪽
Vii. S. X i. qui illi, quare. a & d. sunt comensurabile s potentia per delinitionem in principi decim spolitam, nam cum sit proportio illius quod fit ex a ad id quod si ex . i. Vt.b.ad .c. ut demonstratum est Sinitas numeret. b.&c percssem scientiam ergo, quadrata linear Um .a.dc. d. numerata vel mensurata inunt ab aliqua comuni superficie . Ulterius a.d .d erunt in longitudine incommensu rabilesper ultimam partem .vii .decimi, quod est 3rimu propositum. Secundum autem si inuenio lineam. f. medio loco proportionalem inter. a.' .d.per. XVili primi huius, tunc erit per. X vii sexti quadratum a. ad quadratum f.scut . . ad . d. itaq; per secundam partem X.decimi, erit 'uadratu a incommesurabile quadrato f. quamobrem linea .fincommensurabilis erit in potentia lineae a. quare
in longitudine per ultimam partem. vii .decimi, &χ6munem scientiam, S ita patet totum propositum.
129쪽
nicautes, quarum longior plus posit breuiori quadraίolint. Erbi commensurabili si lonλitudine.
Ad laoc perficiendum sumo incam rationalem scilicet. a.b. accipio etiam numerum quadratum, nempe. i. e. quem diuido in puncto .fitae proportio. d. e. ad .di .eadem sit, quae alicuius numeri quadrati ad aliquem numeru qui dratum .d e . ad .f.c.non vinum cri quadrati ad numerum cluadratum, talis autem numerus est quilibet quadratus, diuisibilis in quadratum d non sit adratum, vii K. lui diuiditur in . iiii l. v.& omnes horum aeque multiplices 'c.deinde inuenio lineam ad cuius quadratum se habeat quadratum lineae a.b sicut numerus. i. adiuta merum .d. spe praecedentem, qua quideri per communem scientiam minor erit .a.b sit igitur a caunc per γlvi. primi huius, X. a.b.' a c.constituo angulum ita coniunctis reliquis extremitatibus per .b .c angulus a C. b. sit rectus. Nunc autem dico meas .ab ' b. .esse cludiciuaero, nam per. X lvi primi, quadratum lineae .ab aequale est duobus quadratis duarum line irum .a . . . . b d
quia per hypothesm,proportio illius uod fit ex .a. b. ad
id quod fit ex .a c.est vi d. e.ad d. ferit per conuersam proportionalitate in .Xi X. quinti demonstrata, proportio ullius quod sat ex .a b ad id quod sit e X.c.b Vrid .e ac fc quare qd fit x.c b.coicat cum eo quod si X 3b.per .vi
130쪽
decimi, ' per definitionem in principio praedicti posita,
quod fit e X.c.b. rationale erit, nam cum comm Uni UpCrficie communicabit quae dicitur rationalis, praeterea cuper ultimam partem. vii decimi lineae. a. b. c.b. rationales, potentia tantum communicantes sint, Sper secundam partem p raedictae. a b &.a c. in sigitudineo potentia, erit igitur manifestum propositum, si autem plures duobus reperire libeat potentia tantum rationales quarum una potentior sit qualibc aliarum in quadrato alicuius lineae secum communicantis in logitudine. Hoc vero per praedictum ordinem coadiuuante. 1lvi primi huius, ct doctrina. xvii. fecimi inuenire facile est.
quarum tongior plusposse brevior piaurum est quadratum lineaesibi incommeisurabilis in longitudine inuenire.