Resolutio omnium Euclidis problematum aliorumque ad hoc necessario inuentorum vna tantummodo circini data apertura, per Ioannem Baptistam de Benedictis inuenta

101쪽

diri,

m secet. n. . in puncto. p qui quidem punctus est in diametro per. XXiii sexti, nam superficies .h p similis est superficiei h l, per vigesimam sexti modo dico, qubdis perficies a p. est quam quaero, nam supra residuo lineae. a.b.quod es .m.b constituta est superficies aequidistantium laterum aequalis altitudinis cum superficie a p. di similis superficiei .d per XXii.&.XX.sexti, praeterea paralellogramum .a p aequale es trigono dato,c per pri

tet ergo propositum. Scire autem idoneum est φ non solum de triangulo lioc facere possumus, sed etia de quacunque recti linea superficie nobis proposita conditionavi supradictum est, B

102쪽

Sit ut in praemissa, data linea a. b. datus rectilineus. .clatsq:siaralellogramum .d.constituam enim super lineam. a. b. paralellogramum aequale triangulo. c. quod addat ad lilaeam a b paralellogramum simile . . luido lineam. a b Per 'fl 'alia in puncto c. per quartam tutius, supra b aDraco paralellogranas simile. .per. Xli. t tu VS de inde per lii tui ius designo paralello oramum simile .d. S aequale c. Dat rectilineo .c. 'circunscribo paralellogramo .e. 'uod quidem paralcilogramum suile erit per XX e Xti, erit igitur aequi an ultimi later si pro portionalit paralellogramo e .f. Orape. k .l. ProtractaQῖ diametro g h transibit per punctum b. per. XXlli se Xil, deinceps duco in uiacto a lineam aequi distatem. h.l pertextam huius producens. h. dum concurrat cum ea ud

iae per supradicta in promissa. Dico nunc uod par te logranati m. acti est illud quod quae ro produco autem

f.b usque ad. m. q. b.vsque ad. n.tu lacerit. a. h. QVale. h. b. quare est aequale. b.l. per primam conceptio laena, quia

per quadragesima natertiam primi h l, aequale aest bua .la .palalellogramum aequale nominai. e. h.f. ed iste

103쪽

dato. l. per .XXil.&. XX.sexti, quare constat propositum, sed ad constituendum .h l.supra .e sita quod angulus G. sit comunis utri , utemur octaua huius, hoc ei in protrahendo g e.&.g fama qualitatem.g. h.& x.Lpos ea vero sexta huius, mediante productae lunt.k.n.&.Lli aequidas anter .g.l.&.g. k.d caetera.

PROBLEMA XLV. LIVIUS,

Quamlibet propositam meam ecundum proportionem habentem mesum duoque extremasecare. Proposita lineadit a b. quam diuidam secundum propo tionem habentem medici duoque extrema. Ex ipsa quidem designo quadratum b.c.per xiiii .huius, Rad eius

104쪽

DI latus .a .c adiungo paralellogramum .d.c. aequale b. ita quod addat ad perfectionem linear. a.c. superficiem hoc est paralellogramum simile. b.ci latus. i. e. secet linea. a.b. in punctos.tunc dico lineam. a.b diuisam csse in puncto. f. ut proponitur, nam a.d paralellogramum, Uadratum est, quia etiam b.c.ita est, igitur d.f. aequalis est. f. a.&. e. aequalis est.a.c.per. XXXliis primi, sed etia aequalis erit.a.b per primam conceptionem, deinde cum per tertiam coceptionem. a.d aequale sit.b. α&angulus. b.f. inaequalis angulo a .f. i. per decimam quinta primi, erit

perdecima tertiam sexti .fe ad. f d. vi. a.s ad .s b. sed per septimam quinti,est.se ad .fa. ut ad f d. ergo per und cimam eiusdem erit. e ad Ca. v f a. ad .sb. est ella proportio .a.b.ad. a. vi.f. ad eandem per septimam quinti quamobrem per undecimam eiusdem erit.a.b. ad .a. LVt.a.f.ad Lb. quod est propositum.

105쪽

PROBLEM, XLVI HUIUS,

Duas lineas datas, ita angulariter confungere, ut altera earum cunt reliqua coniungant reliquas extremitateC, faciat angulum rectum. Datae lineae sint.b .la.&.g.d quas ita angulariter Oiungam, ut aliqua alia linea coniungens reliquas extremitates, faciat angulum rectum cum extremitate mitioris lineae, sit igitur g d. minor. b. h. Tunc data apertur a mediante, describam circulum. l. huius centrum.Oprotrahaq; diametrUm. q.Ο.f. qualitercunque contingat, deinde ut docet secunda pars trigesima nonae huius, lineam inueni , ad quam se habeat. q.s. t.b b c d g. l. nempe a .i. quam collocabo in circulo q. s puncto Fl.stque. q.l per trigesimamseptimam huius, ducens. la iam erit angulus.l rectus per trigesimam tertii, deinceps supra linea. b. h. data, constituo ad punctum. b.angulum .h.b u per decimam huius, aequalem angulo q.& duco lineam b. u. ad aequalitatem g d per octauam huius, postea vero si duco. u. h. modo quia per septimam quinti, ita se habet. b. h. ad .b.U Vt ad g. l. aequaliter ergo se habebit ut qf ad' i Sangulus.b .parcum angulo'.quapropter per . H. sexti angulus .u. aequalis est angulo .l sed angulus. l. rectus est, statim erit.u. angulus, rectus, quod est pro positum.

106쪽

PROBLEMA XLVII HUIUS,

QUOD IN FINE XIII. PROPOSltionis decim positum est.

Duas datas lineas, quarum una, minor medietate reliquae exi Iar, fra minorem seupra maiore erigere, ut interfectiones, mei loco proportionaliter exstar. Duae data lineae fiat.d. &.f.b .sed .sb. minor sit medietate. d.ferigam enim .sb.inalicitio puncto lineae. d.s ita quod b f. vel ei aequalis, si medio loco proportionalis inter se ctiones, erigo primo.b. orthogonaliter ad punctum .f. per primam huius, coadiuuanto .viii. deinde divido. l. f. per aequalia in puncto o. per quarta huiUS, ducens. . b. cxclata apertur mediante desse bo semicirculum ita eoeinceps a puncto e. duc per prima huius .e .c.perpen-

107쪽

Scum per hypothesin b. f minor sit.O.ferit.e. .minor semidiametro .o. per.xiiii. quinta, nunc vero ducam. c. a. per sextam huius a quid istanter.d.stmodo per communem scientiam secabit circunferentiam in aliquo puncto utputa .a .aliter. e .c. maior esset semidiametro, quod est impossibile c. suco nunc a pura fro. a.linea .a. n. a qui distanter. e .c.per se Xtam huius,erit etiam aequidistans.b. f. per. XXX.primi, duco quoq; a i S .a .e .erunt alit anguli ad .n recti per .XXi X primi, quare per definitioncm. n. perpendicularis erit ad .d ferit etiam aequalis .e .c. per xxxiiii. primi praeterea diuida. d.finiunci O.DVt .i .e. diuisa est in pucto .n per. XVis huius, postea vero a puncto. g. rigo perpendicularem ad .d.i per prima huius, Ic ea aequalem facio. b. per .viii sitq;. g.' .nunc erit per .XVtil. quinti. d. ad. fg. Vt i .e. ad .n. e.& cu per supradicta ita se

108쪽

per praedictam ergo se habebit t. l. g ad g. h. quod est propositum.

PROBLEMA XLVIII. III IUS

109쪽

P s. a ciuibus punctis ad easdem lineas, duco duas perpendiculares per primam huius, xdum concurrant, eas produco, quia ex necessitate concurrunt, nam si linea intelligatur protrahi a puncto d. ad punctum e ipsa quidem,

angulos rectos secabit per communem scientiam, quare per definitione concurrunt, conueniant ergo ad punctum .f.&duco. a.f. Lb.&.f. tunc quia.a.e .aequali est e.

c.per supradicta,ct anguli ad e aequales, quia recti sunt per definitionem perpendicularis lineae super lineam, latus ero .se .commune es , quamobrem per quartam primi f. aequale erit lateri fa per easdem etiam rationes.b.faequalis erit lineae. a sti per primam conceptionem b.f.&aec pares erunt, quapropter per nonam te iii, punctus .ferit centrum circuli transeuntis per pun

110쪽

PROBLEM, XLIX. HUIUS,

Proposit fit, tri Hum d signaresimilem dato,ua quod

punctus datus sit celitrum circuli illum circundantis item quo enicitameter illius circuli datast. Datus triangulus sit. a. b.c. punctus autem .g.linea vero. h. i. nanu rigonum describa similem. a b .c taliter quod punctus .g sit centrum circuli, illum circumeuntis, cuius Gmidiameter minime maior vel minor existat data linea.

. UCO lineam g e per octauam huius, aequale in data .h a deinccps supralliaeam. g e. constituo duos triangulos eXVtraque parte quorum alter sit. g.c. f. similis. b. s.c reliquit Vero .g e. q.similis. a. b. d. per . si . huius, ducens po

: na iter ' g. ad a.d sed cum per supradi a. s.c aequa