Resolutio omnium Euclidis problematum aliorumque ad hoc necessario inuentorum vna tantummodo circini data apertura, per Ioannem Baptistam de Benedictis inuenta

41쪽

Datam lineam quae minorsit data apertura in longum ars directum producere,it spars protracta qVati sit priori parti datae.

Si data linea. O. a.& apertur a. a.l. quae quidem maior lit,cata linea ducam modo. o. a. in longum directum*, taut pars producta aequalis sit datae lineae scilicet. O .a nam in puncto. a. ad lineam o. a. erigam perpendiculare lineam per praecedentem, quae sit. a.q. quam etiam protraha in in alteram partem: deinde super cetrum.o describo circunferentia. r. q.Z. qua Ut patet secabit. a. q.lineam in pucto. q. cum .O. a. minor sit.Ο.Z. per hypothesim praeterea coniungo puncta. Ο &.q per. O. q. lineam, S super e trum' depingam aliam circuserentia partem quae vocetur per .X.i. v. haec enim secabit.o .l.in puncto 1 ob id,*CUm. q.O. maior. a. q. per Vili. primi. q. X. maior etia erit a. q igitur per communem scietiam manifestu est quod dixi demum ducam q.l .caeterum quia .O. q. lc.q.i .a qua

les inuicem sunt per hypothesim, anguli quoq;.q.O l. dc

42쪽

PROBLEM, III HUIUS.

Si data linea maior erit data apertura, dem ere.

describam portione circuli. s.citavi in residuo. a.e. UΟ- usi perueniam ad partem linea .a .e. minore data aper tura, qua quidem pars, sit c e .nunc per supra dictam pro Hucam .c.e usq; ad .O.ita quod. e. o. alci Uali sit.C. inde inde.a .e.Ο.lineam,indefinite duco, ac in tot partes diuido partem ultimo protractam, data apertur mediante principio sumpto in puncto o.)in quot diuisi .a c. atqUepe desinitionem circulio hypothesim habebo propo

situm.

Datam lineam per aequalia diuidere. Data sit linea. a. l. quam per aequalia diuidam laoc modo procedam, si aper centrum .i mediante data aper tura describam portionem circuli. l. p. similiter i super centrum. a. partem circuli. m.b. si portiones hae circi lotarum,non se intersecent,tunc super centrum I .d centru

43쪽

b. tuas alias circulorum portiones designabo, d sint e

t S c n. lua si iterum se non intersecent, protraha alias duaS quarum centra sint .e.&.c.si se inuicem interiacent sint puncta intersecationum .d.&.q.cumper. X. tertii n6 possint esse plura deinde ducantur .c d .se .e.q.q.c.S.q d.praeterea. .d. l.e e.q.&.q.c. Omnes inuicem aequales sunt per definitionem circuli.Modo per viii primi trigona.d.e.q.&.d.C.q. aequiangula sunt, est etiam per iiii eiusdem C. F. aequaliS. y.e.&. y.y.l. per ii petitionem,

quod est problema.

PROBLEMA V. HUIUS,

dato puncto ad datam lineam perpendicularem pro

trahere.

Si punctus. l. unde ad lineam .f.c oporteat perpendiculare ducerc.MOX abeXtremitate lineae .fC.per punctum da tum duco lineam .f.d.qua protraho quous a d.a a qua-

44쪽

nil sit .sci per ii vel iii .huius. deinde ducam. a Gquam per aequalia diuido per praemisiam in puncto b .produco postea.d b quae quidem a quidistans erit f. quemadmodum ex correllario XXXix primi videre est, demiaeX puncto .d. ad lineam .d.b. extraho lineam qualiter prima huius docet,protractam ad linea s.c.ergo per XXi X. primi,& definitionem lineae super lineam perpendiculariter erecta patet.d.c.perpendicularcia esse ad datam lineam a puncto dato d.tunc ita patet problema.

PROBLEMA , I HUIUS,

ET m. P, Im I. dato puncto ineam ducere aequis stantem datae lineae. Datus punctus sit oea quo lineam ducere libeat a quid istantem datae lineae .a b. erigo primo. a puncto .l, ad lineam a b per primam huius perpendiculare quae sit.b .d protrahoq; indefinitae,ad quam a dato puncto e duco perpendicularem. e. q. per praecedentem, unde per xxviii. primi arguendo habebo propositum.

45쪽

dato puncto,ducere lineam aequalem datae lineae, Psibi aequidiritantem. Esto datus punctus .e .ab eo extraham lineam aequalem quidistantemq; datae a.b lineae, coniungo enim punctae. Jc.b.per .e.b.lineam, deinde dato puncto .e. ducoli neam.e.q aequidistanter datae lineae .a.b per praemissam per quam,aliam etiam produco ex .a ad .e. b. Sit autem a. q.quae quidem concurret cum e q.aliter esset ei aequi- distans&per xxx primi aequidistaret etiam lineae .a b. contra hypothesina, concurrat ergo in puncto q. Tunc manebit conclusa superficies aequidistantium laterum, atque hoc pacto per xxxiiii primi.e. l.aequalis est.a.

b. quod est problema. Vnde patet correllarium quod perfecta erit superlicies

aequidistantium laterum scilicet.a.e.

46쪽

III. M I. Duabus lineis inaequalibus propositis de longior earum partem bycindere ad ei qualitatem minoris uel nitro revi protrahere ad ne qualitatent maioris. Datae linea sint. a b & g. i sitq; linea g.d quam abscindere vel producere ad aequalitatem a b.oporteat, lucam primo lineam a puncto d. a quid istantem aequalem. a. b. iitqr .c. l. per praexedentem deinde super centrum. d. de scribo circunferentiam. c. r. lata apertur mediante postea vero protraho. s.c. ad circunferentiam si opus tiae mi,& mailiter d.g.vel non, vel unam earum tantUmmodo,prout oportebit, vel nullam, praeterea duco. r.e di a

c. v ad d. per lx eiusdem d.c aequalis . l f ergo per primam petitionem .dis aequalis .a.b Sed si M.c longior

47쪽

PROBLEMA a X. HUIUS,

Datum angulum, per aequalia diuidere. Datus angulus sit O .a .p quem per aequalia diuidam super

porrbducam lineam .i l eamqdiuidam per aequalia in puncto ia per iiii huius, protrahendo etiam. a. n.praeterea. a.l. aequalis est.a .i per definitionem circuli δ .i. n.lunca linear. n.l per hypothesim anguli ergo i .a .n . n. a.l. aequales inuice erunt per Viii primi,quod est propositu.

48쪽

PROBLEMA HUIUS,

E IX P, Im I. Dato angula duper datam lineam angulum aequalem Onstituere. Datus angulus sit .u .l. h. dc primo acutus cui aequalem constituam supra linea. e. n. in puncto .e. protraham enim. l. h.indefinite, eodemq; modo .l. v. super centro .l describo circunferentiam. .a. p proinde Uper Centro. a. Cir cunferentiam. m. q.b. quae quidem lineam l. h. proracta secabit, quod si non esset, tunc anguluS. a. l. h. aut rectUS esset, aut obtusus. Hoc quidem uidere est in. XV. vel .XVii. tertii,ita esset contra hypothesim igitur secabit Rc punctus vero intersecationis sit. I dUcamqUe a. q. erit. a. l. aequalis . a. t per definitioncm circuli consequenter an gulus a. l.l. aequalis fiet angulo a l. q.per. V. primi, dein de protraham, vel abscindam e .n ad aequalitatem. I I

per viii. huius, sique .c.fδ super .e S.f.depingam duos circulos qui quidem se inuicem intersecabunt, quia per XX primi .e. f. minor est duobus semidiametris illoru circulorum simul dirccte iunctis, nam per praedictam. q. a.directe coniuncta cum a l .longior erit q l. modo peT communem scientiam patet dictum, scinceps ab altero

nam ipsis per hypothesim inuicem aequales P Unt,etiam lineis a. t.' a l. lemum cr. Viii primi an 'illUS. i. e. f. aequalis est angulo. a. t l. sed per . V. et Us Uidem. a. q.l. angulus par est cum angulo. l. t ergo per primam Oi

49쪽

quod est propositum. Sed si angulus datus obtusus fuerit, i.V l. n.protraham enim. h.l.in longum at directu factusque erit angulus .u.l.X. acutus per. xiii .primi, S co munem scientiam nunc autem super lineam.e.n.in puncto. e constituam angulum per hanc aequalem angulo. u.l. X.st ille .n. e. r.ut in figura videre est, protractatur e. usque ad.o vel indefinite,erit tuc angulus o.e.n aequalis angulo.u.l.h dato per .iii conceptionem coadiuuante. Xiii .primi. Si vero angulus datus,rectus fuerit, puta.u. J t.erigam in puncto .e.perpendicularem ad e.n per primam huius sitque .e .s. per definitionem lineae perpendicularis super lineam,habebo problema per tertiam

petitionem.

50쪽

PROBLEM, MI HUIUS,

equid latitium laterum superjiciem defiguare, haben 'rem duos angulos diametraliter oppositos,ita quod uterque eorum,ungulo dato aequalisi ipsa verosuperjicies, triangula fgnat aequalis.

Datus angulus sit. a triangulus uero .c.b. d. Tunc designa bo superficiem aequidistantium laterum aequalem trigono .d.c.b.duos angulos diametraliter oppositos habentem,ita lubd uterque aequalis sit angulo dato .a diuida

enim c d per aequalia in puncto e per .iiii huius, 3 supere. d. in puncto e constituam angulum .d. e. g. aequalem angulo a per praecedentem deinde coniungam. b.Me. puncta per lineam e .b.θ a puncto.b.ducam lineam.b findefinite xae luidis Mater .c.d per vi huiuS ducalaa porro .e.g.dum Coeat cum.b.fnec dubium est coituram, quod si non,esset igitur aequi sistans.bs . necflon. .d.per XXX primi,contra Hypothesim,concurrat ergo inpudi o. g.praeterea a puncto. i ducam lineam.dsper .vi huius, aequi sistateret e. q.usque quo concurrat cUm linea.b. g.

in puncto f.quod quideira et per praedicta, ct italiabebo superficiem laterutra a quidistantium, quod clarum est, Erit etiam angulus. d. g. aequalis angulod .e.g per trigesimam quarta primi aequalis aligulo

dato,per primata conceptionem, deinceps cum trianouli.C e.b.&.e.b. d.inuicem sint aequale Per. XXXuili priini,

paralellograinuiti. e. g. Jhiplum sit ad trigonum