장음표시 사용
71쪽
m I M. f. et les, .l per .v.huius protrahere etiam.U.t.'-X-t. dum concurrant , essetque triangulus .u. t. Y similis r .st. per XXii primi aequilaterus vero per . primi bis sumptam quod esset propositum, sed sint inaequales deinde manifestum est quod b.d opposita erit maioriangulo trianguli compositi ex b.d: s.c.&.c b.per xviii primi, per eandem rationem.b .c.opposita erit angulo acuto dicti trigoni,& d.c.angulo mediocri, quo perpedicularem ad d.c. inueniam,primu hoc modo. Ex quadratis enim linearum b.d.&.c. s.costituo quadratum,num per.XV. huius,vel etiam per .Xix.si illi quadrati prinati per triai gulos diuisi fuerint,postea procedendo ut docet praedicia. Xix.huius,si autem ille quadratus fg. quia mens est, perpendicularem inuetii res descendentem ab angulo contento sublineis.b.d.&.c.b .ad lineam. c. l. et protractam accipio cnim quadratum lineae b c squi quidem longe minor est quadrato. g. nam . b c .minima omniurri una illarum linearum est per hypothesim quam ex quadrato. g subtraho per. v.huius remaneat ergo su
ram, vel sibi aequalem per visi huius,super quam constituo arquidistantium laterum superficiem rectangulam, aequalem superficiei in triangulos diuisae, per.xiii huius,
quoties oportuerit sumptam. Tunc scire oportet, quod
D linea. b.d. aequalis fuerit lateri tetragonici quadrati aequalis duobus quadratis X c d θ b.c. c6stituto enim quadrato ex illis duobus,tunc facile videre est mediante viii.huius, ct per . viii .conceptionem ilinea.b d. opposita E
72쪽
per aliquam rectam lineam, ipsa quidern aequalis esset.
b d per primam ceptionem coadiuuante. Xlvi .primi, sed Π.b. d.minor fuerit illo latere tetragonico supradicti quadrati,scito, quod perpendicularis ab angulo contento sub.b.d.&.c.b. ducta versus .cid cadet intra trian gulum ad .c.d.ut videre est in .Xiii .socudi, si vero.b. l. maior dicto latere fuerit, perpudicularis dicta cadet extrac d .hoc est: extra dictum triangulum quemadmodum colligere est ex .xii secundi,sit igitur primum minor, perpendicularis, modo cadet intra dictum trigonum. Tue superficies,quae superius constituta fuit supra. .d.nempe.c.h.i.d. accepta cum 'nadrato c.b. aequalis erit quadratis duarum linearum.b.d.&.c.d simul sumptis, per communem scientiam,coadiuuante prima ceptione, praeterea,divido .c.i per aequalia in puncto.o .per .iiii huius, a quo puncto, duco. .' aequidistantem .c. d.per. i. huius, erit etiam aequidistans i h per .XXX.primi, S.c.q.
aequalis erit.o. h per .xxxvi. eiusdem, deinceps pono itearum .c.d.ad partem separatam, vel ei aequalem per .viii. huius, deinde manifestum est,cr.c.o.minor est.c.d.si autem aduersarius dicati non,sed aequalis, erunt nunc.c. q.&.q i.duo quiadrata, ct cum .i.d cum quadrato.b .c. aequalis sit quadratis .c.d.&.b d subtracto enim ab tricque quadrato .c d. remanet quadratum o .d. quod quidem est quadratum lineae c. d. vi vult aduersarius Icum quadrato.b .c.aequale quadrato b d quod est contra hy
73쪽
poti iesm,sed si dicat,*.c.o .maior si .c.d.cum eruma.d. Cum quadrato meae.b. aequales sit quadratis duarum
linearum.b.d.&.c.d.erit igitur quadratum.b.d.cu quadrato. .d maius eo, psit ex.c.d.bis, cum quadrato.c.b. dempto vero ab utrisque quadrato linea .c.d.reman bit quadratum.b.d.maius quadratis .c.b.&.d c.quod et esset contra hypothesim .Est ergo .c.o minor.c.d.quam subtraho, ab illa ultima .c.d.ad parte, collocata, per.viii. bulus, sitque .e.d.erit nunc per communem scientiam, quod est iub c. d.&.d.e.bis,aequale a.d. phleto autem .e
ad lineam .c.d.erigo perpendicularem,per primam h iussit itaque .a. praeterea.b.d.maior eli.c d per hyp thesim, multo etiam maior .e.d. per communem sciet tiam, erit etiam quadratus linear.b d aequalis quadrato lineae e .d.cum quadrato alicuius partis perpendiculariS .e .a per .Xlvi primi, quia per definitionem lineaepe
pedicularis super linearn angulus a e d .est rectus, pars vero illius perpendicularis,inueniatur sic subtraho quadratum linear.e.d.ex quadrato lineae b.d.Sex residuo, constituo quadratum per.Xix.huius,deinceps,abscindo.
a. e.vel protraho quousis e b aequalis sit vim lateri illius quadrati per viii huius, duco.b.d quae quidem per xlvi primi, dc primam conceptionem aequalis erit linea:
b. d.datae,duco etiam b.c.demum, cum per.xiii.secundi, quod est sub c .d.&.d.e.bis, cum quadrat lateris .c.b. aequale sit quadrato.b d cum quadrato c.d.&smiliter. i.d cum quadrato lineae.b c datae, aequalis dictis quadratis si, erit .i.d.cum quadrato lineae.b.c.datae, aequalis ei uod est bis sub.c.d.S. e. d. cum quadrato lateris.b. c.
74쪽
subtractavero superficie.i. l. eo quod est bis sub c .d. ct e d. quae quidem inuicem aequalia sunt, per supradicta)remanet ergo. c.b.latus, aequale datae lineae per ter tiam conceptione. Si aut. d. b. malo fuerit, tunc perpendicularis extra triangulti cadet ut sus erius dictum fuit)conficio enim quadratu, ex duobus quadratis linearu .cid &.b.c.per supradicta xv huius, quod quidem quadratu subtraho per praedicta ex quadrato linea .b. d. datae. ex residuo vero constituo superficiem rectangula a qui distatium laterit,prout docet. xiii huius,sit Xepli gratia. i.d.& diuido .c.i. per aequalia d. o. per iiii hui'. per Vi.
duco. o. q. arquidistanter.c.d.eritvo q. aequalis. O. h. per XXXVi primi, qa per .XXX. eiusde. . l. aequi distat. i. iidem de,pono .c.d. ad partem separata,qua protraho, tum C. e. aequalis sit .c.o .per. viii. huius, postea vero,erigo a puncto.c. ad linea.d.e perpendiculare per prima huius,sitia e praeterea, manifestu est l. d.e .minor est. b.d. lata, si aut aduersarius dicat,hnoia,sed aequalis,luc quia, quod est bis lub. d.c.&.c. e.cu eoAd fit ex .d. c.& quod fit exi. ca quale est ei quod fit x.b. d. per hypothesina, sed etia. coadiuuante prima coceptione ei aequale est,id quod est bis sub.d c.&. c. e.cu eo quod fit ex d.c.& quod fit x.C.e. per.iiii. secundi, subtracto igitur eo, quod est bis sub .d.c.&.c.e.cum eo quod fit ex .d c. remanebit quod fit x. c. e. aequale ei quod fit ex b. c. ergo.b c.s mulisictavii .d. . in longu atq; directu,non erit maior.b d quod est crura hypothesim,sed si dicati b. l. minor erit .d.e. abscisa igitur sit. l.b.e X. l.e. in pucto.y.qui quide punctus erit infra. c. S.e qui hypothesis est e b. d. maior sit. d.c.erit lino ,
75쪽
fit X. ly aequale ei, quod bis est sub dca .c e .cu eo la,ste X d c d quod fit x.b .c.sed etiam,aequale est et,quod fit ex di cu eo quod est sub d c S c. .bis,cu eo quod ste X.c.Υ. per .illi secundi,subtracto aute, quod fit ex.d.c. b trisq;,reia lanebit per iii conceptione,quod fit bis sub .d. c.&-C .cum eo, quod fit cX.c.y.a quale ei, quod bis est sub M .c.&. .e .cum eo quod fit eY.b .c.deinde, cum id
est bis sub d c &.c.y.minor sit eo, quod est bis sub d c.
c. ς ut par S toto, manebit per coniniunem scientianas, id quod fit ex b ciminior eo,quod fit X.c y.R. b. ἰc.y.ergo d c &.b .iniongum dire tvmq; coniuncirae, minore nataOunt liueam linea.d b. quod est contra hypothesim, est igitur d b.longior. i. e postea vero subtraho quadratum lineae. l.e .e quadrato lineae d. . datae,i ex residuo c6ficio quadratu, ut oeet.xiv.huius,cuius unum latus te litigonale δε e b. vel per octauain huius, bo dc duco d. bΚ.c.b erit itaque, latus .d h. aequale lineae clatae d.b perquadragesimanas extana coadiuuante prima conceptione, & cum per .Xii secundi, quod fit e latere. d.b. aequale sicci, quod si bis sub d .c.&.c. ex uiri eo quod fit ex latere. d.c.Me X latere .c b. per hypothesim est etiam ei aequale, quod est sub d .c.&.c.e. bis cum eo quod fit exd Glatere trigoni. d.c b. Lex data b c.subtractis igitur communibus quantitatibus, remanebiti per communem scientiam quod fit ex latere .c.b aequale ei quod fit ex data.b.αθ latus.b.c datete b. totusque trigonus
compostus erit, ex tribus lineis, aequalibus datis, quod est pi positum. Et contra illos omnes eccellcntissimos Mathematicos, priscos, modernosque, qui dixerunt,
76쪽
ii possibile esse Boc problema, alio modo posse concludi quam ut docet.xxii primi Euclidis, ego vero deo dante labente. Anno Diuinae incarnationis. MD L II. Die. xv.Octobris illud inueni.'
Intra a nat circulam , triangulam constituere, riangulo dato aequiangulum.
Datus circulus sit.e.d.f. triangulus vero.a.b.c designabo enua triangulum aequiangulum triangulo a.b.c.in dato circulo e .d.f.duco primum ab aliquo puncto extra circulum dato, lineam tangentem circulum,peraxilii.h
77쪽
ius 'im hyre contingentiae si .d linea auteni tam egens, sit g aequum protritho in longum atque directu,
briua quidem ex necessitate extra circulum cadet, si a tem circulum secarer, timen essettatigent: hoc satis patet. Deinde in puncto H.ad lineamd.h. mltituo angulum aequalem angulo.a.c.b.trigoni.a.b.c da per decimam huius, protracta.d.f. usque ad circuns Entiam, quod patet per xv tertii praeterea supra e
de punct. ad lineam.g d describo alium angulum,per
supradictam decimam huius aequalem angulo.a.b c. dati trigoni, protracta.d.e. que adjircunlarentiam, deinde duco .e. quia angulas .ds e.aequalis est angulo g.d eier.XXXi.tertii erit aequalis angulo.αb.c.per primam conceptionem , Sper easdem rationes angu-Ius.d.e.faequalis est angulo.a c b 'angulus .e.d.f. a qualis angulo c.aab.per trigesimamsecundam primi, per desinitionem, ergo similium superficierum patet propositum.
78쪽
Sit circulus datus ... cuius centrum.g.circa quem, triangulum aequiangulum triangulo a b.C extructuruSfr traho a centro .g.ad circunferentiam ., lineam .g.d.superci Liam,in puncto .g cs nitituo angulum aequalem angulo.b extrinsecos protracta prin .b c.in tranque partem sit itaque .d.g.e.per .X.huius, supra eodem puncto ad eandem lineam sed ex aduerso conficio angulum .d g.f. per eandem, sed aequalem angulo .c.eXtrinseco, deinde per puncta d e C duco per primam huius, tres perpendiculareS, ad lineaS.d.g. g.e.&.g.f.quaS pro trahodum concurrant, clarum in quod concurrent, quia lineas intelligatur recte protracta, per puncta. i. ' f ipsa quidem rectos angulos secabit g. l.l. .g fl. erui autem anguli ad partem l .minores duobus rectis, concurrunt ergo per penultimam petitionem, concurrant igitur in puncto .l ita etiam reliqua .e. h. s.cum .d.l. in puncto .h.praeterea cum enim de molastratum sit in trigesimasecunda primi, lubd Omnis quadrilaterus, quatuor angulos habeat aequales quatuor rcctis, quadrila teriaUtem .d.fg l ' d.g.c.h.Vnus quisque inquam eorum, quatuor angulos habebunt aequales quatuor rectis, sed quadrilaterus .g l duos angulos rectos habet, hoc est g d.l dc g.f.l per hypothesina, remanebunt au-
79쪽
m Ii V s. alltem anguli. d g f&.fl g.aequales duobus rectiλpen e tiam coceptionem docum angulus.d.g.s aequalis si ai gulo .c.e X trinseco, erit angulus i. aequalis intrinseco per decimamtertiam primi,d tertiam conceptionem, per easdem etiam rationes,angulus .h.e aequalis erit angulo. a.b C erunt ergo anguli .L&.h.minores duobus rectis, per primam conceptionem, S .XXXii primi, concurret ergo α. h. vina finiuncto k. angulus v. aequalis erit angulo a per praedictam igitur trigonus .h.h l.a quia gulus est trigono dato.a b.c.quod est propositum.
80쪽
huius, quod sit e per quei protraho diametrum.b. e.d super quem a puncto e crigo perpcndicularem, pCCpriaraam huius, quam in tranque partem prorraho, usq; ad circunferentiam, si itaqr .a. e C. deinde duco.a.b- b c ἰC d.'. i. a.tunc dico, quod .a.b. c. d. et qUadratUm,na omnes angus ad .e inuice sunt aequales, quia recti sunt, per definitionem lineae perpendicularis super lineam, comneS lineae scilicet .a C.b .c. eae.&.e.d inuice etiam aeqUales sunt, per definitionem circuli, lineae igitur .a.b b.caeiad.&. l. a aequales inuice sunt per .ilii .primi deinceps anguli .e.c.d di e .d.c.aequales inuicem sunt,per. V.primi, cuni recto aequales,por xxxii primi, ergo nusquisqr eorum est dimidius recti, similiter xanguli. e. d. a .e .a. d. erit italangulus.C.d.a rectus,&similiter angulUS .d. a. b. dc angulus a b .c xita reliquus, ergo c5stitutum est quadratum in proposito circulo, quod erat propositum.