Resolutio omnium Euclidis problematum aliorumque ad hoc necessario inuentorum vna tantummodo circini data apertura, per Ioannem Baptistam de Benedictis inuenta

51쪽

m Im V s. e b d .per Hi .primi,demum erit ipsum paralellogramuaequale trigono . c. b. d. dato per eonceptibnem,quod est propositum.

PROBLEMAM L VII S.

Triangulo dato, triangulam equalent,similemque con li-- tueresuper datam lineam Triangulus datus sit e d fcui aequalem similemque constituam super lineam g.b datam indefinitam. Abscindo

vel protraho g b.ad punctum.a .facienS a g. aequalem. e .f. per viii. huius supra puncto .g.linear .a.g.conficio angulum aequalem d cf. pcr.X huiu sit ille hs a. deinde abscindo uel protraho g.h ad aequalitatem e.d.perdictam. viii .huius, postea vero duco. a Tunc arguendo

per quartam primi,&definitionem similium superficietarum in principio sexti positam habebo propositum.

52쪽

Proposita recta linea, super eamsuperficiem aequidistantiu laterumfabricare,quae quidesuperscies aequalissis tr gono dato, duos habeat angulos diametraliter oppositos tri uterque eorum aquatissit angulo dato.

Data linea sit. a.b. angulus autem .c. triangulus Vero . e. d. f.

Modo super lineam a.b superficiem equidistantium laterum designabo aequalem triangulo. e. d.f. habentem duos angulos diametraliter oppontos, it uterqr illo-

rtia qualis sit angulo c. dato. Protralao enim. a.b. par te. a. donec. a. g. aequali sit e .f. per .viii huius,atq; supercam,triangulum aequalem triangulo .e. d. f.dato coniti tuo,scilicet g. h. a. per praecedentem: mox super punctu, a .line '. a. b. fabric angulti .l. a. g. aequale .c. per. X. huiu , dcliade a puncto. h. protraho. .. m. n. indefinite aequi-

53쪽

m I . s. sdistanter .a b.per. vi. huius, postea vero a punisto h. qui liudem medius sit lineae .g. a. per.iiii. huius protraho. b. m. o. per Vi huius, a quidistanter .l. a.praeterea. a.l.cocurret cum .h n quod si non ergo erit ei aequidistans o similiter lineae. a.b. per .XXX.primi,quod esset cotra hypothesma,per eande rationem. h. in .cum .h.n .concurret. Porrba puncto. b.per eande vi .huius duco.b.n. aequidistat ter .a l. lua per supradictas rationes concurret U. m. h. l in aliquo puncto, puta. n erit etiam aequid istanS. h. m.

per XXX primi, nunc aut protraho .n a .etiam ad concursum cum m l .in puncto o.quod clarum est per supradicta quia concurrit cum . a i sibi a quidis ante, unde pro

satis patet per supradicta,tunc habebo superfaciem a quidis antiu laterum scilicet.o. n.Demia protraham l. a. ad O. q. in puncto p &erit .p.b .superficies laterum quid ia stantiu per coem scietiam, duco post modum k h.&crit triangulus. g. . h. aequalis triangulo h. . sper. XXX viii. primi,et per .Xis .eiusdem,erit superficies. m. a. aequalis trigono .g. .a communi scientia coadiuuante, ct trigonus. e.d.f. aequalis erit superficiei ii .l per primam conceptio ne,sed per .Xliii. primi,superficies. a. l. aequalis est superficiei. a. m. ergo per primam conceptionem superficies a uel aequalis est trigono dato e .d f&cum habeat angulos ex aduerso collocatos, inuicem aequale per. XXX iiii .primi igitur. Xv.eiusdem coadiuuanted prima conceptione,patet propositum.

54쪽

E I. M I. Ex data linea, tuadratum describere. Data incessit. a.b super quam quadratum costituam, nam in puncto a per primam huius ad a b .protraho perpendicularcna,qua produco vel abscindo ad. l. per viii .h ius faciens eam aequalem a b eodem modo a puncto b. ad. a.b duco perpendicularem,per praedictam primam

o. aequidistantes iunt per XX viii primi huius, inuicem aequales, ut dictum est, crit etiam. l o aequalis ca quidistans .a.b por. XXX iii primi, o per. XXX ilii eiusdematigilli. l.O b.R Oq.a .recti crisit ergo per definitioncm quadrati,i abcbo propositum. Problema

55쪽

PROBLEMA X

HUIUS,

Fropositis quibuscunque quadratis, alteri illoram gnomo nem reliquo aequalem describere.

Sint duo quadrati. a b δ.c d sit propositum,gnomonem circunlcribere quadrato . a. b. aequalem quadrato .c.d. protraham primo, unum latus quadrati .a.b.nempe.b.Lquousque.fe. a qualis sit,uni laterum quadrati.d.c.per viii .huius,producenS a e. Tunc erit,quadratum line. r.a. e. aequale, quadratis duarum linearum,scilicet.f. a. S. se. hoc est quadratis a b S. s.c per .Xlvi. primi, di cum per XX.eius derri.b.e.longior sit.a e. abscindam ab .cib.lineamb.c.aequalem lineae a. e.per Viii huius , di super eam per praecedentem, constituam quadratum,qui quide aequalis erit quadrato linear. a e per commune scientiam, hoc est quadratis .a .e.&.d.c. Modo per tertiam conceptio

inem, intelligam propositum. Ex hac enim patet, quod ex duobus quadratis datis, unum possumus constitue re, eis aequalem.

56쪽

PROBLEMA AEVI HUIUS,

Data linea sit .a.b. quam ita diuidam,ut propositum est. Ex ea enim constituo quadratum per Xilli huiUS, Vt D Uta. a. d. cuius latus .dh per aequalia diuidam per. iiii. huius, in puncto .e. a quo ducam e .a & e .l, prodi cam, quousque e fa qualis ut e.a per viii .huius, iterum X b spe praedictam xiiii. huius,constituo quadratum cuius unum laterum erit.b .h per communem scientiam,protrahamomi, usque ad. quae quidem per XXX. primi, a qui lillas crit.... . tam,quod est sub. s.f. S.b.fcum o quod si ex .e.b aequale est, quod fit ex eae per vi secundi Imriliter ei quod si ex .e a per primam conceptionem, sed quod fit

58쪽

E I. E X M. Infer duas datas haeas lineam mediam proportionalem inuenire Datae lineae sint.a.b.&.b .c inter quas, mediam proportionalem lineam inueniam. Describo semicirculum .e. h. g. mediante data apertura, liameter autem sit e g. quena diuido tu puncto spe praemissam, sit e fad .fg. Vt .a.b. adbα.deinde, puncto. per primam huius, extraho.f.h.

59쪽

tinnalis erit inter . e. f.&.f.g per i g. sexti, item pono ad

artem lineam .e .fδ ei in longum atque directum ad iungo lineam si, quod facile est per viii .huius, adiungo itiam angulariter ad .e .finiuncto. lineam a b vel ei aequalem per praedicitam, S duco.b f.deinde a punctuli .duco. h.d. aequi sistanter.f.b per .vi huius quam protraho cum . a.b dum concurrant quod clarum est, aliter esset.h.d aequidis fans. a. d. similiter.b sper xxx primi, contra hypothesim Erit itaque persecundam sexti, ita .a. b.ad.b. d. Vt.e.fad .fh sed per lupradicta est. e .f. ad fg. Vt .a b.ad.b.c. per definitionem in prino pioquinti, proportio e .s ad fg est proportio.e.fad. f. h. duplicata,ergo per communem scientiam propobio .a.b .adb.c.ect proportio a b ad.b.d.duplicata, igitur per eandem.b d. medio loco proportionalis es inter .a b.&.b c

60쪽

Datus trigonus sit.q.cui quadratum aequalem describam, fibrico autem primum superficiem rectangula, a qui distatium laterina quale dato trigono per xi huius, quae

sit .a .l.deinde lateria b. adiungo ni tonse uat directum lineam.b c quae quidem aequalis sit.b.l lateris secundi,superficiei .a .l per . viii initus, per praecedetem inter .a.b. b.c.inuenio lineam mediam proportionalem, quam erigo perpendiculariter ad a b c in puncto b .per prima ira huius, vel ci aequalem per . viii postea diuido tota ac per aequalia in puncto .i per iiii. huius, ct clarum est quod si punctus .i fuerit centrum,cuius semidiameter. a. i. vel .i .c. circunferentia transibit per punctum .d.lineae. d. b. quod si non esset, sed secaret lineam d. b. secet ergo in

ad . d.b ergo per dona quinti.b.o. aequalis est.b.d. parsa qualis suo toto, quod fieri no potest,per easdem etiam rationes, non transibit supra punctum d sed per ipsum punctum, protractaque l.d ipsa aequalis erit.a. i.Vel .i .c. per definitionem circuli, S cum per .v.secundi, quod est iub. a b.&.b .c. hoc est superficies a .l.)cu eo quod fit ex

quale sit ei quod fit ex .i .c. hoc est ei quod fit ex .i. d. 'id quod fit ex .i.d aequale ei quod fit exu. .csi eo d