장음표시 사용
461쪽
688. Cum s exprimat arcum curuae coordinatis rectangulis x et a respondentem, sic definitur curua, cuius arcus aequatur iunctioni cuicunque unius dimensionis ipsarum xet I; quae ergo erit algebraica, si integrale
per Iogarithmos exhiberi potest.
689. Simili modo resolui poterit problema, si s eiu modi formulam integralem exprimat, ut sit Θs QΘx, existente Q functione quacunque quantitatum p , u et C. Tum autem ex aequalitate valorem ipsius p elici oportet, et quia vi per u datur, erit I x Exemplum I. 69o. Si debeat esse s αx- βF, erit . α--βu, et q g, hinc ν - qumca, ergo ι x I a - l f I--uu - α - - a u)' --
462쪽
Quare posito u aequatio integralis quaesita est, sumtis quadratis,
unde mutata constante fit ergo vel P o vel QTb; solutio ergo in genere est β β - 1) I --αβxaea'έγα -- ββ - I c, quae est aequatio pro linea recta.
463쪽
go ex primis formulis repeti conuenit, unde fit
et qq-I - . Quare habebitur seu N
Quoties ergo est numerus quadratus, aequatio inter x et a prodit algebraica. Sit m erit n etssm s. cui conditioni satisfit hac aequatione alia gebraica
464쪽
69s. Si posito E p, eiusmodi detur aequatio inter MI et p , in qua altera variabilis unicam tantum habeat d mensionem, inuenire reIationem inter binas variabiles x et F.
Hinc ergo st aequabitur functioni cuipiam ipsarum x et p, unde differentiando fiet 33 ' Ρ Θ x - 3 p. Cum igitur sit Θs p Θx, habebitur haec aequatio differentialis P - p dx- -Qὰρ π o, quam integrari oportet. Quoniam tantum duas continet variabiles x et p, et differentialia simpliciter inuoluit, eius resolutio per methodos supra expositas est
Primo ergo resolutio succedet, si fuerit PT p, ideoque ΘITpΘx- ὸ p. Quod euenit, si F per x et p ita determinetur, ut sit 3 π p x II, denotante II fumstionem quamcunque ipsius p. Tum ergo erit Q πx--ου-, et cum solutio ab ista aequatione QΘpno pendeat, erit vel Θ pzo, hincquep ta α, seu I π α x - - ubi altera constantium α et β per ipsam aequationem propositam determinatur, dum posito p π α fit 9 α II; vel erit QTo, ideoque xta -M , et I ' - - - Π, ubi
465쪽
ubi ergo utraqne solutio est algebraica, si modo II fuerit funis ctio algebraica ipsius p.
Tertio resolutio nullam habebit dissicultatem , s denotantibus X et V functiones quascunque ipsius x, fuerit a mX--Vp. Tum enim erit
ideoque sit , ut R sit etiam sunctio ipsius x, erit
466쪽
quae aequatio relationem inter x et I exprimit. Quarto aequatio Ρ - p da: -- Θ p o resolutionem admittit si fuerit homogenea. Cum ergo terminus p Θ x duas contineat dimensiones , hoc euenit, si totidem dimensiones et in reliquis terminis insint. Vnde perspicuum est, P et Q esse debere functiones homogeneas unius dimensionis ipsarum x et p. Quare si ν ita per x et p definiatur, ut 3 aequetur functioni homogeneae duarum dimensionum ipsarum x et p, resolutio succedet. Quodsi enim fuerit Θ3 P Θ x Q δ p , aequatio solutionem continens Ρ- p δύο - Θ p o, erit homogenea , fietque per se integrabilis, si dividatur per Ρ - p x-- Q p.
696. Pro casu quarto si ponatur F et Σ , aequatio proposita debet esse homogenea inter tres Variabile x, et et p. Vnde si proponatur aequatio homogenea quaecunque inter x, et et p , in qua hae ternae litterae x , et et p ubique eundem dimensionum numerum constituant, problema semper resoluti nem admittit.
69 . Simili modo conuersis variabilibus, si ponatur x v v et q, ut sit p ac proIonatur aequatio homogenea quaecunque inter I, v et ρ, problema itidem resolui potest.
467쪽
aequatio 11 P - ρ' ς' δ υ-ν Q ρ' 3 3 ρ o homogenea inter v et ρ, eritque P sunctio homogenea ν dumensionum , et Q iunctio homogenea la dimensionum. Cum iam sit
Θ γ ΡΘΣ - Θ pzzzμΡ Ο - Θυ- ν ρ' ' δὰρ, erit a functio homogenea μ -- ν dimensionum. Quare posito Fraz ' problema resolutionem admittit, si inter x, a et peiusmodi relatio proponatur, Ut positio γ x υμ etp habeatur aequatio homogenea inter ternas quantitates et, v et ρ, ita ut dimensionum ab iis formatarum numerus ubique sit idem. Ac si proposita fuerit huiusmodi aequatio homogenea inter Σ, v et ρ, solutio problematis ita expedietur. Cum
ponatur iam z - rq et v sq, et aequatio proposita tantum duas litteras r et S continebit, ex qua alteram per alteram definire licet, tum autem per has substitutiones prodibit haec aequatio
quae est aequatio differentialis separata , quoniam s per r datur. Quin etiam hini casus allati manifesto continentur in formulis 3 x τ' et p prior scilicet si la m x et M I, posterior vero si lx a et v - I. Hos igitur casus perinde ac praecedentes exemplis illustrari conueniet, quorum primus praecipue est memorabilis, cum per differen
468쪽
39tiationem aequationis propositae I p x II statim praebeat
aequationem integralem quaesitam, neque integratione omnino sit opus, siquidem alteram solutionem ex δρα. o natam exincludamus.
ν a P cx- st in ---ἀvnde fit x x --yI a a , quae est etiam aequatio integralis, sed quia nouam constantem non inuoluit, non pro completo. integrali haberi potest. Integrale autem completum duas aequationes complectitur. Scilicet y α x - a ἡ 1 - ρια) et x x --F a a , quae in hac una comprehendi possunts F - α x ' - a a I-α GJ x x -DII - aa O.
Ioo. Nisi hoc modo operatio instituatur, solutio huius quaestionis fit satis dissicilis. Si enim aequationem differentialem 33x - x 33 a Θ x' -- 33 quadrando ab irrationalitate liberemus, indeque rationem A per radicis extractionem definiamus, fit Μ m m a x x Disiti od by Corale
469쪽
xx aa δν - x xΘx 'aδx έ xx-μυ- a a quae aequatio per methodos cognitas dissiculter tractatur. Μultiplicator quidem inueniri potest utrumque membrum per se integrabile reddens; prius enim membrum xx - a a) Θν-xνΘx diuisum per γ xx-a a) fit integrabile, integrali existente . t Pi Ξ Ξ.j . Vndo in genere multiplicitor id integrabile reddens est
quae lanctio ita determinari debet, Ut eodem multiplicatore quoque alterum membrum a Θ x x x -s ν-a ab fiat integrabile. Τalis autem multiplicator est:
Iam ad integrale prioris membri iuvestigandum, spectetur x ut constans, eritque integrale l fy -- έ xx -FI - a a) J -- X, denotante X functionem quampiam ipsius X , ita comparatam, ut sumta iam a constante fiat
470쪽
quae autem tantum est altera binarum aequationum integralium, altera autem aequatio integralis xx-3yzaa iam quasi per diuisionem de calculo sublata est censenda. Caeterum ea dem solutio aequationis a a - xx 33--xIΘx ta maΘxέ xx-II - a a facilius instituitur ponendo FTu aa - xx , unde fit
cui quidem satis fit sumendo um 1, neque tamen hic casus inaequatione integrali continetur, uti supra iam ostendimus. Ex quo suspicari liceret alteram solutionem xx-DII .aa adeo esse excludendam, quod tamen secus se habere deprehenditur ;s ipsam aequationem primariam- α perpendamus. Si enim x et 3 sint coordinatae rectangulae lineae curuae, insemula ad exprimit perpendiculum ex Origine coordin tarum in tangentem dimissum , quod ergo constans esse debet. Hoc autem euenire in circulo, origine in centro constituta , dum aequatio fit x x--3IT aa, per se est manifestum. Atisque hinc realitas harum solutionum, quae minus congruae videri poterant, confirmatur, etiamsi earum ratio haud satis clare perspicitur.
- OI. Proposita aequatione disserentiali IΘx - xΘa m ' - E Laeta eius integrale inuenire. M m m a Posito Disiti od by Corale