장음표시 사용
431쪽
quae expresso, nisi sit algebraica, certe vel per Iogarithmos , vel arcus circulares exhiberi potest. Tum vero post integrationem tantum opus est, ut loco ι restituatur eius Valor x --I.
6 6. Si velimus, ut posito arma sitat γ' b, constans L ita debet definiri, ut sit c L b a ' ΣΑ - B a -- b)- Cab- D ab a b -- Ea abb
6 r. Eodem modo etiam differentia lanctionum Π: x- Π: γ exprimi potest, mutando alterutrius formulae radicalis fgnum , quo pacto formularum differentialium signum alterius
6 8. Quantitas V comparationi harum lan 'Ionum in Ieriliens, erit algebraica, si haec formula differentialis
432쪽
23 Integrationem admittat; quia altera pars D -- a et per se est integrabilia.
6 9. Hoc ergo argumentum pIane nouum de eo paratione huiusmodi iunctionum transcendentium tam copiose pertractauimus, quam praesens institutum postulare videbatur. Quando autem eius applicatio ad comparationem arcuum curvarum , quorum longitudo huiusmodi functionibus exprimitur, erit facienda, uberiori euolutione erit Opus, ubi contemplatio singularium proprietatum, quae hoc modo eruuntur, eximium usum afferre poterit. Commode autem hoc argumentum ad doctrinam de resolutione aequationum differentialium referri videtur , siquidem inde eiusmodi aequationum integralia completa et quidem aIgebraice exhiberi possunt, quae aliis methodis frustra indagantur. Hunc igitur huic sectionis finem faciet methodus generaIis omnium aequationum disserentialium integralia proxime determinandi.
433쪽
Proposita aequatione differentiali quacunque elus integrale
.completum vero Proxime assignaro.
Sint x et ν hinae variabiles, inter quas aequatio disse- Tentialis proponitur, atque haec aequatio huiusmodi habebit sormam ut sit ba V, existente V sunctione quacunque ipsa-Tum x et F. Iam cum integrale completum desideretur, hoc ita est interpretandum, ut dum ipsi x certus quidem valor pu ta x a tribuitur, altera variabilis F datum quemdam valorem puta F b adipiscatur. Quaestionem ergo primo ita tractemus , Ut inuestigemus valorem ipsius F, quando ipsi x valor paulisper ab a discrepans tribuitur, seu posito x a -- ω, Vt quaeramus F. Cum autem sit particula minima, etiam valor ipsus γ minime a b discrepabit; unde dum x ab a Vsque ad a -- ω tantum mutatur, quantitatem V interea tanquam consantem spectare licet. Quare posito x ' a et ' ' b fiat UTA, et pro hac exigua mutatione habebimus A, ideoque integrando F h -- A e- ab , eiusmodi scilicet constante adiecta, ut posito x a fiat I b. Statuamus ergo xta a- ω,
434쪽
42sfietque 3 b -- A ω. Quemadmodum ergo hic ex valoribus initio datis x a et b, proxime sequentes x a iaet 3 h-- Atti inuenimus, ita ab his simili modo per intemvalla minima ulterius progredi licet, ouoad tandem ad valores a primitivis quantumuis remotos peruet latur. Quae operationes quo Marius ob oculos ponantur, sequenti modo successivo itisti tuantur. valores successui I, ara H ,
vero pro secundis erit V h - A H - a , disserentia es an inima pio lubitu assumta. Hinc ponendo x a et ν - νcolligitur U A , indeque pro tertiis obtinebitur , - ν-- A a' - a ), ubi posito x a' et ν b inuenitur V et Ari Iam pro quartiς habebimus h V P . . A.' a ' a ), hincque ponendo x a' et I b colligemus V AV sicque ad valores a primitivis quantumuis remotos progredi licebit. Series autem prima valores ipsius x successi uos exhibens pr lubitu accipi potest. dummodo per interualla minima ascendat vel eciam descendat.
6s r. Pro singulis ergo interuallis minimis calculus eodem modo ins ituitur, sicque valores, a quibus sequen iarcndent, obtinentur. Hoc ergo modo singulis pro x assumtis valoribus, valores respondentes ipsus I astignari possunt.
6set. Quo minora accipiuntur interualla, per quae Va-Iores ipsius x progredi assumuntur, eo accuratius Valores pro Hhh sinis Disiti od by Corale
435쪽
26 singulis eliciuntur. Interim tamen errores in sin illis eommissi, etiamsi sint multo minores, ob multitu uiRem coaceruantur.
Sss. Errores autem in hoc calculo inde oriuntur. qnod in singulis interii allis ambas quantitates x et 3 Vt con stantes specitemus , sicque functio V pro constante habeatur. Quo magis ergo valor ipsius U a quo ui 3 interuallo ad sequens immutatur, eo maiores errores sunt pertimescendi.
6s . Hoc incommodum imprimis oecurris, ubi valor ipsius V vel evanescit vel in infinitum excrescit , etiamsi mutationes ipsis x et y aceidentes sint satis paruae. Ηrs autem easibus errores saltim enormes seqirenti trodo euita buntnr: sit pro inicio huiusmodi i merualli a a et I h. tum vero in ipsa aequatione proposita ponatur x a -- tu et b ut sit U, in U antem ita fiat substitutio ac a - tu et ν δ - b, ut quantitates tu et q/ tanquam minimae specitentur, reiiciendo scilicet alii ores potestates prae inferioribus, hoc enim modo plerumque integratio pro his instruallis actu inst tui poterst.. Hac autem emendatione vix unquam erit opus, nisi termini ex ipsis valoribus a et 3 nati se destruant. Veluti si habeatur haec aequatio La ac pro initio de-hesi essie x a et ν I; ram pro interuallo hinc hacipienteponatur at Ita a -- ω et y σ-- habebiturque Σ - - ,stu seu 3 ω - 21 2 - φ ,
quia posito vi o fieri debet ψ o. Hinc ergo habetur
436쪽
et . seu a a - a V - h ', existenteh a; unde colligitur pro sequente interuallo b b έ - a a a), quo casu patet Valorem x non Vltra a augeri posse, quia a fieret imaginarium.
6ss. Ρassim traduntur regulae aequationum differentialium integralia per series infinitas exprimendi, quae autem plerumque hoc vitio laborant, ut integralia tantum particularia exhibeant, praeterquam quod series illae certo tantum casu convergant, neque ergo aliis casibus vllum usum praestent. Veluti si proposita sit aequatio δ ν --3 Θ x a P Θ x , iubemur huiusmodi seriem in genere fingere
statuatur ergo α - T n, seu α n -- T, eritque Atum vero reliquis terminis ad nihilum reductis
437쪽
vum. Quamobrem hine minime cognoscere licet valores ipsus qui respondeant valoribus quibuscnnque ipsius x. Hoc autem vitio non laborat methodus , quam hic adumbrauimus , cum primo integrale completum praebeat, dum scilicet pro dato ipsius x valore datum ipsi F valorem tribuit, tum vero per interualla minima procedens, semper proxime ad veritatem accedat, et quousque libuerit progredi liceat. Sequenti autem modo haec methodus magis perfici poterit.
6s6. Methodum praecedentem, aequationes disserentiales proxime integrandi, magis perficere, Ut minus a veritate
Proposita aequatione integranda V, error methOdi supra expositae inde oritur, quod per singula interualla lanctio V ut constans spectetur, cum tamen reuera mutationem subeat, praecipue nisi interualla statuantur minima. Variabilitas autem ipsius V per quod uis interuallum simili modo in computum duci potest, quo in sectione praecedente S. 121. usi sumus Scilicet si iam ipsi x conueniat γ, ex natura differentialium ipsi x - nΘx vidimus conuenire
qui valor sumto n infinito erit
hic que valores in quovis interuallo ut primi spectentur , dum extremi per x et I indicantur. Cum igitur sit , fieta mDiuiti do by Coral
438쪽
quae expressio, si x non multum superat a, valde convergit, ideoque admodum est idonea ad valorem I proxime inueniendum. Uerum ad singulos terminos huius seriei euoluendos, notari oportet esse fa U, hincque Cum autem V sit functio ipsarum x et 3, si ponamus ΘU ΜΘx-- Νῖν, ob fa V, erit se M N U, seu exprimendi modo iam supra exposito zα -- V quae expressio uti nata est ex praecedente U, ita ex ea nascetur sequens
Quoniam vero ipse valor ipsius 3 nondum est cognitus, hoc modo saltem obtinetur aequatio algebraica, qua relatio inter x et I exprimitur ; nisi sorte sufficiat in terminis posuisse
Altera autem operatio g. 322. exposita valorem ipsius F, qui ipsi x in fine cuiusque interualli respondet, explicite determinabit, cum in initio eiusdem interualli fuerit x aet h. Cum enim hinc posito x zzz a -- n Θ a, si quidema et h ut variabiles spectemus, fiat s m b-nΘb-- Η Θ Θ b - η IlLT h . . ete.
quia est ideoque numerus infinitus, erit
Est vero V, siquidem in functione V scribatur x a et y b; tum vero iisdem pro x et F valoribu& substitutis, erit
unde sequentes simili modo formari oportet. Sit igitur post- , Uhh a quam
439쪽
a b H- A tu H- οῦ Β ἰ C tu' -- D-- etc. qui duo valores iam pro sequente interuallo erunt initiales . ex quibus simili modo finales erui oportet.
6s . Quoniam hic variabilitatis stinctionis V rationem habuimus, interualla iam maiora statuere licet, ac si illassormulas A, B, C, D, etc. in . infinitum continuare Vellemus, interualla quantumuis magna assumr possent, tum autem pros oriretur series infinita.
6s 8. Si seriei inuentae tantum binos terminos primos sumarnu, , Ut sit h - ω, habebitur determinatio praecedens , unde simul patet errorem ibi commissum sequentibus terminis iunctim sumtis aequari. ' . .
σ39. Etiamsi autem seriei inuentae plures terminos capiamus, consultum tamen non erit interualla nimis magna conititui, ut ua valorem modicum obtineat, praecipue si quantitates B, C, D, etc. evadant valde magnae.
66o. Maximo ineommodo hae operationes turbantur, si quando horum coem cientium A, B, C, D, etc. quidam in infinitum excrescant. Euenit autem hoc tantum in certis interuallis, ubi ipsa quantitas V vel in nihilum abit vel in infini
440쪽
3x finitum, eui ineommodo, quaemadmodum sit oecurrendum , iam innuimus et mox accuratius Ostendemus. Caeterum calc Ius pro singulis interuallis pari modo instituitur, ita ut cum eius ratio pro interuallo primo fuerit inuenta, quod incipit a valoribus pro lubitu assumtis x ma et I b, eadem pro sequentibus interuallis sit valitura. Cum enim pro fine inter.
F b -- Αω - ήBQ - IC. etc. zz V, hi erunt valores initiales pro interuallo secundo, ex quibus si nilli modo finales elici oportet; hic scilicet calculus innitetur perinde litteris ιγ et ac prior litteris a et b, id quod clarius ex exemplis subiunctis patebit.
66 I. Aequationis disserentiolis da 3 ae γ' est H- egrale complerum proxime inueFigare. Cum hic sit V m Ara x -- cI, erit differeatiando