Leonhardi Euleri *Institutionum calculi integralis Volumen primum in quo methodus integrandi a primis principiis usque ad integrationem aequationum differentialium primi gradus pertractatur

451쪽

Scholion 2.

6 ra. Cum igitur hunc casum, quo aequatio Vel inter x et ' vel inter a et p proponitur, generatim expedire licu rit , videndum est quibus casibus euolutio succedat, quando omnes tres quantitates x, F ct p in aequatione proposita i sunti Ac primo quidem obseruo, dummodo binae variabilesa et F ubique eundem dimensionum numerum adimpleant, quomodocunque praeterea quantitas p ingrediatur, resolutionem semper ad casus ante traictaios reuocari posse; tales scilicet a quationes perinde tractare licet, atque aequationes homogeneas, ad quod genus etiam merito referuntur, cum dimensiones adisserentialibus natae ubique debeant esse pares, et iudicium ex solis quantitatibus finitis ae et ' peti oporteat. . Quae ergo dummodo ubique eundem dimensionum numerum constituant, aequatio pro homogenea erit habenda, veluti est

Deinde etiam eiusmodi aequationes euolutionem admittunt, in quibus altera variabilis x vel ν plus una dimensione nusquam habet, utcunque praeterea differentialium ratio p ingrediatur. Hos ergo casus hic accuratius explicemus.

Problema 89.

6 . Posito p a, si in aequatione inter x, F et p

452쪽

Solutio.

Cum in aequatione inter x, I et ρ proposita binae variabiles x et 3 ubique eundem dimensionum numerum constituant, si ponamus I x, quantitas x inde per diuisionem tolletur, habebiturque aequatio inter duas tantum quantitatesu et p, qua earum relatio ita definietur, ut vel u per p, vel p per u determinari possit. Iam ex positione F u x sequitur 3y'uΘx-xῖν, cum igitur sit Θ3zpΘx, erit p Θ x -uΘx - xδυ, ideoque Quia itaque p per u datur, sermula differentialis ' unicam variabilem complectens per rogulas primae sectionis integretur, eritque Ix f, sc-que x per u determinatur; et cum sit I v x, ambae variabiles x et a per eandem tertiam variabilem u determinantur, et quia illa integratio constantem arbitrariam inducit, haec relatio inter x et a erit integrale completum.

Corollarium I.

6 s. Cum si ta, erit etiam I x' - I p-u quae formula commodior est, si sorte ex aequatiO- ne inter p et u proposita, quantitas a facilius per p definitur.

Corollarium I.

6 6. Quodsi integrale a vel f per Iogarithmos exprimi possit, ut sit fz I V, erit I x z I C --ἰU ;hincque at TCU, et C Uu; unde relatio inter x et I algebraice dabitur: et eum sit una, haec tertia variabilis usacile eliditur.

Scholion.

6 . Eandem hanc resolutionem supra in aequationi bus homogeneis ordinariis docuimus, quae ergo ob dimensio-Κ k k a nes Diuitigod by Corale

453쪽

nes differentialium non turbatur; quin etiam succedit, etiamsi ratio differentialium VH p transcendenter ingrediatur. Hoc modo scilicet resolutio ad integrationem aequationis differentialis separatae perducitur, quemadmodum etiam supra per priorem methodum negotium fuit expeditum. Altera vero methodus, qua supra usi sumus, quaerendo factorem qui aequationem differentialem reddat per se integrabilem, hic plane Iocum non habet, cum per differentiationem aequationis finitae nunquam differentialia ad plures dimensiones exsurgere queant. Non ergo hoc modo inuenitur aequatio finita inter x et I, quae differentiata ipsam aequationem propositam reproducat, sed quae saltem cum ea conueniat, et quidem non Obstante arbitraria illa constante, quae per integrationem ingressa, integrale completum reddit.

Exemplum I.

6 3. Si in aequationem propositam neutra variabilium x et a ipsa ingrediatur, sed tantum disserentialium ralio v p, integrale eompletum flavare. Posito ergo p, aequatio proposita solam variabilem p cum constantibus complectetur, Unde ex eius resolutione , prout plures inuoluat radices, orietur pTα, p β, p etc. Iam ob p E, ex singulis radicibus integralia completa elicientur, quae erunt I α x -- a, I α β x -- b, 3 V - -- c, etc.

quae singula aequationi propositae aeque satisfaciunt. Quae si elimus omnia una aequatione finita complecti, erit integrale

completum

454쪽

b, c, etc. comprehendit, tot scilicet, quot aequatio differe tialis plurium dimensionum habuerit radices.

Corollarium I.

6 9. Ita aequationis differentialis 33' - Θ xy o seup p - 1 o, Ob p --I et p π - I, duo habemus integralia I x--a et I - x--b, quae in unum collecta dant

Corollarium 2.

quae aequatio etiam ita exhiberi potesta' - - xy - fa I - g x I - Θ x x AF - Bx-C O, ubi constantes A, B, C, ita debent esse comparatae, Vt ae quatio haec resolutionem in tres simplices admittat.

455쪽

unde colligitur

Exemplum 3.

682. Huius aequationis

Quare habetur

456쪽

vnde fit

ae m

Si n I, est quidem ut ante

Scholion.

68a. Haec aequatio sumendis Vtrinque quadratis et radice p E extrahenda, ad aequationem homogencam Ordiis nariam reducitur. Fit enim primo IF-a p xIp p x x m n n x xn n p p x x,

quae etiam per partes integrari potest, cum a xyδF-FI Θx integrabile fiat per factorem f: U, quo ut etiam parsatae dat integrabilis reddatur, illa forma abit in sicque habebitur ULM TIMET - Θx m o,

457쪽

solutio x zz o hinc non eliciatur. Verum cum aequallo illa quadrata posito n T, subito abeat in simplicem, altera radix perit, quae reperitur ponendo n I-α, quo fit I γ - 2 p xy x x - 2 α x x - 2 αpp x x , ideoque pae infinitum, reiectis ergo terminis prae reliquis eu nescentibus est -pxI xx zαpp xx, quae diuisibilis per x, alteram praebet solutionem x O. Talis quidem resolutio succedit, quando Valorem p per radicis extractionem elicere licet; sed si aequatio ad plures dimensiones ascendat, vel adeo transcendens fiat, mςthodo hic exposita carere non possumus.

68 . Proposita aequationex o) --a Θ x α δ ν δ x xy Θ x' -- ὸ θ, eius integrale completum inuesigare.

hincque

unde colligimus

In quorum membrorum posteriore, si ponatur ' M q, ob Disiti od by Cooste

458쪽

ubi membrum posterius neque per togarithmos, neque areus circulares integrari potest.

Exemplum S.

At posito p zz I ', fit

hincque

459쪽

Est ergo aequatio inter x et Ir interscendens, uti vocari soIet.

Scholion.

686. Facilius haec resolutio absoIuitur quaerendo si tim ex aequatione v -- p g et u 1 -- p M, stu uu - avp--pp zu-- aup p

vsorem ipsius p , qui fit

hincque

460쪽

terminanda, Ut eius streus s sit a xy, erit aequatio eius naturam definiens

Caeterum euidens est simili modo quaestionem resolui posse, si arcus s functioni cuicunque homogeneae unius dimensionis ipsarum x et I aequae tur, seu si proponatur aequatio quaecunque homogenea inter x, a et i, id quod sequenti problemate ostendisse operae erit pretium.

Problema 9o

Proponatur homogenea quaecunque inter x, ' et s, in qua scilicet hae tres variabiles at, a et s, Vbique eundem dimen- sonum numerum constituant, inuenire aequationem finitam i ter x et I.

Solutio.

Ponatur F m x x et s v ut hae substitutione exaequatione homogenea proposita variabilis x elidatur, et a quatio obtineatur inter binas u et v, unde N per u Mefiniri