장음표시 사용
441쪽
- quae series sumta quantitate ae satis parua, quantumuis promte convergit, sicque posito a - ω m et respondente valore i su. 3-b hinc simili modo ad sequentes perueniemus, quam opera iovem, quousque lubuerit, continuare licet.
66α. Aequationis disserentialis 3s 3 ar x x --ys in 'egrale completum proxime inuesuare Cum hic sit m V m x x--σI, erit continuo diciis rentiando
Quare si initio sit x m. a et 1 b, erit
unde valori enicunque alii x m a -- ia conuenieta b -- A ιο-ή Β ω' --ἶ C t, -- .. D Σ' - - ,,, Ε Σ' -- ete. atque ex talibus binis valoribus, qui sint x zza et a b denuo sequentes elici possunt. λ
442쪽
663. Quoniam totum negotium ad inuentionem horum coem cientium A, B, C, D, etc. redit, obseruo eosdem sine differentiatione inueniri posse, id quod in hoc postremo exemplo v x --I I ita praestabitur. Cum statuamus posito x a fieri 1 b, ponamus in genere x a -- ω eta b et nostra aequatio induet hanc formam
et quia evanescente ae simul evanescit vi, sumamus se α ω - - β Σ' - - γ αλ --- δ Σ' - - ε ΣΤ --- etc. hocque valore substituto prodibit
singulis ergo terminis ad nihilum reductis fieta a a b b, 2 β m 2 α θ - - 2 a, a V 2 β b -- α α -- T, εδ ma Vb--Σαβ, se Σπαδδ--Σαγ--ββ, 6 ζ aeb-2αο - 2βY, etc. unde iidem valores qui supra per differentiationem eliciuntur. Vti haec methodus sin plicior est praecedente , ita etiam hoc illi praestat, quod semper in usum vocari possit, cum illa interdum frustra applicetur, veluti in exemplis allatis euenit, si Valores initiales a et b evanescant, ubi plerique coem cientes in nihilum abirent. Quod idem incommodum iam supra animaduertimus, cum adeo euenire positit, ut omnes coem cientes vel evanescant, vel in infinitum abeant. Verum hoc non nisi
443쪽
in certis interuallis usu venit, pro quibus ergo ealculum peculari modo institui conueniet; reliquis autem interuallis methodus hic exposita per differentiationem procedens commodius adhiberi videtur, quippe quae saepe facilius instituitur quam substitutio, certisque regulis continetur, semper locum habentibus etiam in aequationibus transcendentibus. Quare pro singularibus illis interuallis praecepta tradere Oportebit.
66 . Si in integratione aequationis ' V pro quopiam interuallo eueniat, Vt quantitas V vel evanescat, vel fiat infinita, integrationem pro isto interuallo instituere.
Sit pro initio interualli, quod contemplamur x aety b, quo casu cum V vel evanescat vel in infinitum abeat, ponamus, L, ita ut posito x a et 3 h, vel P vcI Q vel utrumque evanescat. Statuamus ergo ut ab his terminis ulterius progrediamur, at a tu et 3 bH- ν, fietque
atque tam P quam erit functio ipsarum tu et vi,
quarum altera saltem evanescat, facto tu o et q. o. Iam ad rationem inter tu et q/ proxime saltem inuestigandam, ponatur xk mis', erit m n tu' ', hincque m n ω P;
hi P et Q ob m tu' meras potestates ipsius tu continebunt , quarum tantum minimas in calculo retinuisse sussicit, cum altiores prae his ut evanescentes spectari queant. Infimae ergo potestates ipsius tu inter se aequales reddantur, simulque ad nihilum redigantur; Vnde tam exponens n quam coefficiens m determinabitur. Si deinde relationem inter tu et ιν exactius cognoscere Velimus, inuentis m et n, ad altiores potestates ascendamus ponendo Disiti od by Corale
444쪽
c APUT VII. asψ α 1n 6' -- Μ μ - - Ν ω -ν ete.'hineque simili modo sequentes partes definientur, quousquo ob magnitudinem interualli seu particulae ω necessarium visum fuerit.
66s. Si posito x a et F b, neque P neque Q. evanescat, substitutione adhibita reperietur hincque proxime α Θ ψ ΑΘ tu et O ω, qui est primus terminus praecedentis approximationis, quo inuento reliqui viante se habebunt.
666. Si α tantum evanescat, habebitur
proxime: unde posito ψ mA - mn tu M- - N m ' iquod autem non valet, nisi sit ν x-μ γ μι seu ν γ . Sin autem sit ν α' statui debet n-o scun altero termino Vt infima potestate spectata. At si fuerit ν -, ambo termini pro paribus potestatibus erunt habendi, fietque n x - μ et Aramn Μ-N mo, unde m definiri debet.
66 . In genere hic vix quicquam praecipere licet, sed quouis casu oblato haud difficile est omnia, quae ad solutionem perducunt perspicere. Si quidem Omnes exponentes essent integri, regula illa Neutoniana, qua ope parallelogrammi resolutio aequationum instruitur, hic in usum Vocari pos-I i i a set, Diuiti od by Corale
445쪽
sit; tum vero exponentium fractorum ad integros reductio satis est nota. Uerum huiusmodi casus tam raro occurrunt, ut inu ile soret in praeceptis prolixum esse, quae quouis casu ab exerci ato facile conduntur. Veluti si perueniatur ad la anc ae
mam Operationem dare unde fit . unde m ininotescit idque duplici modo. Quin etiam haec ac- quatio, posito ad homogeneitate in reducitur, ideo Quere uera integrari potest: verum haec vix unquam usum habitura fusius non prosequor, sed, quod adhuc in hac parte pertractandum restat exponam, quomodo eius imodi aequationes differentiales resolui oporteat, in quibus differentialium ratio puta sa p vel plures obtinet dimensiones, xpl adeo transcendentir ingreditur, quo absoluto partem secundam, in qua differentialia altiorum graduum Occurrunt, aggrediar.
446쪽
METHODUs INUESTIGANDI FUNCTIONES UNIVs VARIABILIS EX DATA RELATIONE QUACUNQUE DIFFERENTIALIUM PRIΜI GRADUS.
RESOLUTIONE AEQUATlONUΜ DIFFERENTIALIUM MAGIS COMPLICATARUM.
448쪽
RESOLUTIONE AEQVATIONUΜ DIFFERENTIALIUM IN QUIBUS DIFFERENTI ALIA AD PLURES DIMEN SIONES ASSURGUNT, VEL ADEO TRANSCENDENTER IMPLICANTUR.
JPosita disserentialium relatione Era p, si proponatur aequatio quaecunque inter binas quantitates x et p, relationem inter ipsas variabiles x et I in uestigare.
Cum detur aequatio inter p et x, concessa aequati num resolutione, ex ea quaeratur p per x, ac reperietur functio ipsius x, quae ipsi p erit aequalis. Peruenietur ergo ad huiusmodi aequationem p X, existente X functione quapiam ipsius x tantum. Quare cum sit p habebimus OzXΘ scque quaestio ad sectionem primam est reducta, unde sormulae XΘx integrale inuestigari oportet; quo facto integrale quaesitum erit 3 fX Θ x. Si aequatio inter x et p data, ita fuerit comparata, ut inde facilius x per p definiri possit, quaeratur x, prodeatque x m P, existente P functione quadam ipsus p Hac igitur aequatione disserentiata erit Θxπὸ Ρ, hincque D pΘx pd P, unde integrando elicitur a zzz fpὸ Ρ, seu 3 p P-LP δ p.
449쪽
nde relatio inter x et I est manifesta.
Si neque ' commode per x , neque x per p definiri queat, saepe effici potest, ut utraque commode per nouam quantitatem u definiatur; ponamus ergo inueniri x - V etp U, ut V et V sint functiones eiusdem variabilis u. Hinc
per eandem nouam Variabilem v exprimuntur.
669. Simili modo resoluetur casus, quo aequatio quaecunque inter p et alteram variabilem y proponitur, quoniam binas variabiles x et I inter se permutare licet. Tum autem sue p per ν , sue a per p , siue utraque per noua in Variabilem v definiatur, notari oportet, esse 9x a.
6'o. Cum g Θ x' - - Θ ν' exprimat elementum arcus curuae, cuius coordinatae rectangulae sunt x et si ratio
aequetur fundi ioni vel ipsius x vel ipsius y, hinc relatio inter x et a inueniri poterit.
6τI. Quoniam hoc modo relatio inter x et F per integrationem inuenitur, simul noua quantitas constans introducitur , quocirca iIla relatio pro integrali completo erit habenda. σ
6 2. Hactenus eiusmodi tantum aequationes disserentiales examini subiicimus, quibus posito p , eiusmodi relatio
450쪽
Iatio inter ternas quantitates x, I et p proponitur, Vnde Valor ipsius p commode per x et re exprimi potest, ita vi p gaequetur functioni cuipiam ipsarum x et F. Nunc igitur cius modi relationes inter x, 3 et p considerandae veniunt, eX qui bus valorem ipsius p vel minus commode, Vel plane non, per x et a definire liceat; atque hic simplicissimus casus sine duinbio est, quando in relatione proposita altera variabilis x seu Fplane deest, ita ut tantum relatio inter p et x Vel p et a proponatur; quem casum in hoc problemate expedivimus. Solutionis autem vis in eo versatur, Ut proposita aequatione inter x et p, non littera p per x, nisi sorte hoc facile praestari queat, sed potius x per p , vel etiam utraque per nouam variabilem v definiatur. Veluti si proponatur haec aequatio
hinc minus commode definiretur p per x. Cum autem sit x b g r --pp) - a p, ob γ fpῖx p x-fxΘp, erit