장음표시 사용
461쪽
ri itis. Sic in hypothesi Diophanti, ubi in utroque nunteio Numeri .ssiciuntur sign pluris, procedet
si conliderentur tres numeri S N. q. 6 N. q. & q. Nam cum in toruli ituet uallum sita minorum o N. quaerendi sunt ouo quadrati, quorum intcruallum sit triens interuau, quo minor illorum latus i N. -- 2. fiet quadratus I Q - 4 N. ' qui una excedat q- num Q N. cuius triens i N. hoc addito, ipsi quadrato, scin Mormiar tus1: - s N. - Α.Hic ergo aquandus est quadrato,& ad tollendas tractiones omnia ducetido inmitim ut aquatio reducatiar ad minimos, omnia diuidendo per q. fit 3Ia N. s. atqt-dus quadrato, cuius latus ut praetinfinitis modis fingi potest, & cum qualibet data Numeti determinatione , fingatur. cum Dior intos N. -3. fiet i N. Erunt ergo latera quadiatorum ἰ: de Q. ipsi quadrati V. . . quorum Pr rem si aeques 8 N. 4. vel steliorena o N. - 4. fit vitibique N. : l. ΠSecundus casus est. Quando uterque minimis. Numerorum aflicitur sigilo minoris, ut si sint aequandi quadrato 16. - N. & 36 - s N. Tuncque eonsidero tres Numeros ii . I 6 - I N. i5 - 1 N.& quia maiorum interuallum est i N. minorum N. unde interuallorum ratio est quadrupla, quaero duos quadratos, quorum interuallum sit quadruplum interualli, quo maior superabitur a i6. Ponatur latus maioris 4 - I N. fiet quadratus i6 -8 N. - i cui superatura I 6. interuallo 8 N.
3r N. - in Quod si auferas a praedicto quadrato, manet nunor quadrat o N. at cuius latus ita fingo, uti N. st minor quam P. ob numerum I 6- N. Pone illud 4 -6 N. fiet i N. Erso latera quadratorum sunt & ips quadrati V . quotum
maiorem si aecives I6-I N. minorem vero i6-y N. fiet utrobique valor Numeri, Totius earus est , cum in maiore propositorum numerorum Numeri assiciuntur signo pluris, in minore vero asticiuntui signo minoris, ut si quadrato aequandi sint i5 -- 6 N. N I6- a N. Tuncque considerans tres numelos i6-6 N. i . & i5 - 2 N. ubi maiorum interuallum 6 N. . Aptuni est interualli minorum 2 N. quaero duos quadratos, ut interuallum maioris super i6. sit triplum interualli quo I6. superabit minotem. Esto latus minotis 4 - I N. fit quadratus 36 - 8 N - - i Qqui superatur , I s. interuallo 3 N. - cuius triplum M N. -3 Q. quod addito ad 36. fit mai quadratus is -- 24 N. - 3 Q. cuies latus ita fingendum , ut i N. iit maior quὶm 4. quia latus minoris quadrati ponitur 4-I N. Ponatur F N. - fiet i N. ': eruntque quadratorum la eraquadrati : -. T. cruorum maior imi aequalis 16 -- 6 N. vel minor aequetur i6-2 N. tat vir
Itaque quoniam ut supra docuimus secuntas easus secundi modi semper reduci potest ad prinium. ae Der consequens es aliquem horum trium capium, & in quolibet horum trium casuum solutionesuifinitae repetiti toti unt, eonstat utique & secut dum casum secundi modi cum omnibus suis sump-
tomatis Lemper intinitis modis tesolui posse. Qv IN et v s M o D vs quem ipsi commenta sumus est. Quando uterque propostorum numer ritin quadrato aequandorum com nitur ex Numeristi unitatibus, & numeri Numerorum sunt inaequales, nec habent iniet te rationem quadrati ad qliadratum, nec etiam unitatum numeri sint quadrati. Quoniam vero invisum hunc, & duplicem illius casum ius E ad quadrastesimam uitii tamquam explicauimus, non est cur ibidem adnotata hic reponantur, ne inani eiusdem rei repetitione commentarios noltros augere velle videamur.
numeri diuersim Eeomponuntur ex quadratis, Nimmeris & unitatibus, de hic pro omni casu qui excogitari possit, duae regulae sunt obseri andae, ut
aequatio sit explicabilis. Primo enim oportet, ut Vul quadratorum , vel unitatum numerus uti dratus sit. Deinde oportet interii allum Propositorum numerorum, ex una vel ex duabus speciebus
tantum componi. Caeterum casus innes possbiles explicare nobis non est propositum, sedΣ --
Primo ergo accidit Otrumque propositorum Numerorum componi ex tribus speciebus supradi- in viii -, ut vim ma ter iij, ubi Muantur quadrato' N. L quorum interuallum I N. ad quod conficiendum mutuo du-ὼ possunt loli α. & 4 N. t in eorum summa reperiantur N. duplum scilicet a N. lateris Quadrati Quare unica contingit solutio. Sic etiam vigesima prima tertii , aequantur quadrato 4 α -- 3 N. I. & 4 Q. - 1 N. - i. quorum interuallum N. quod mutuo ductu consciunt l. & 4 N ob causam supra allatam. Et unica tantum eontingit solutio. . cundδ accidit utrumque propositorum numerorum ex duabus componi speciebus, alterum scilicet ex quadrMis & unitati ias, alterum ex Numeris &vnitatibus, interuallum autem illorum constate ex quadratis & Numeris. Sic prima qurnii aequamur quadrato I Q. - ra. & 6 N. -I 2. Quin
interuallum i Q 6 - N. Rare tales deligenῖi numeri quorum tuo ductu id fiat, ut in
eorum summa reperiantur a N. duplum lateris quadrati i Igitum sumi possium quini r . deIN. 6, Sic rursus secunda quinti aequamur quadrato I in o. N N. D. orum
462쪽
inretirallum i - N. quod fit in I N. in I. N. - . Sic denique sexta serii, aequantur quadra I - - I. & 1ψ N. - l. quorum interuallam μὲν ' dimus i tu ex i N. in I N i4.
b Ieriima urit alterum propositoὶum numerorum con poni in quadratis, Numeris . de unitati-hus. Alterum ex quadratis & Numeris, ut decima quinta tertii , .ubi aequantur quadrato a P -r
. accidat alterum pros chorum non ςwrum equiliai ex quadratis Numeris, & unitat sus, altenim ex quadratis& unitatibus. Sic vigesi quarta quarti , aequantur irator in in i N. I dc I i. quorum interua sum I N. quod si ex in a N. Sie rursus octaua sexti, aea Iamur duadrato Q. - 1 N. ---Lquorum intravissum b. uod fit ex a N. iis v. Posset edam in hoe casu interuallum mimetoriam compotii ex Numeris de unitatibus, ut nobis accidis vigesimam quarti, per di iplicatis aequalitatem: Aluentibus, aequauimus enim quadrato I Q. - IV. N i I. quocum interii lium a - i N. quod fiι ex ἱ . in -a N. into denique accidit alterum propositorum numerorum componi ex quadratis, Numeri &Ttatibus, alterum vero ex Numeris&vnita ibus, ut propositioneta vigesima quarta libri huiu , - - ε . aequantur quadratis. Quo casu ut interuallum die duabus tantum speciebus eomponatur, necesse est vel unit es, vel Numeros utrobique aequales multitudine repetiti, vel saltem inter eos rationem quadrati ad quadratum , quo polluit ad aqualitatem reduci, ut in data hypothesi, quia unitates Io 8176. & 6 . iunt in ratione quadrati ad quadratum , eum uterque numerus sit quadratus , reducuntur ia aesti talitatem 'ducendo 1 N. -- 6q. in I638 . denominatorem rationis quam habet io 8s76. ad 6 . & fit i' N. -- Ioah 76. aequandus quadrato, una cum ipso i io 8s 6- N. Quare horum interitalium, iam ex duabus tantum constat ψ'iebus, est enim etas 28 N. -i Q vel eontrai Q 22128 N.&duobus modis resolui potest aequatio, quia tam quadratorum qitrii unitatum numerus quadratus est, ut iii , latis iuperque driuimus.
HVir de arualitatibus tractatui multa possemus adiungere quae nec
veteres nec noua detexera H. Suffit nunc , νι methodi nostra digniιatem or
am asseramus , is quasionem sequentem qua sane dis uima est resoluamus.
. Inu ire triangulum rectangulum numero', cums h oren a sit quadratus , o pari- ter summa laterum circa res m. toguli quaesitum repraesentant tres numeri se quentes 687298sio28s. 6 s 86o2 763. Iosi6 229372o. Formatas autem a duobus numeris sequentibus ais os os . Atiά autem meιhodo sequentis quasionis solutionem detexi s. Inuenire ινι ungatum rectangulum numero eά conditione ut quadratum d erentia laterum xirea rectum minus dapis quadrati a minore latere eonfiat quadratum. Vnum ex triangulis quae huic quaesioni aptantur est ιήρασἀsequitur Ini . 116. formatar a numeris a. . Imo con enter a divingsanus duo triangula rectangula qua ιam exposuimus adsolutionem duarum propositarum quaestιonum esse minima omnium in integris quasso
Methodus nostra hae est. uaratur quaestio propo=a seeundum methotim vulgarem, si non succedat solutio post absolutam veνationem quia nempὶ valor
numeri notά defectus insignitar ideo minor esse nihilo intelligitur , non tamen despondendum animam considenterpronumiamus qua oscitantia, vi loquitur meta , fuit se iesus es veterum analysarum. Sed iterum quasionem testemus o pro valore radicis ponamas i N. - numero quem sub signo defectui aquari radici incognita in prιma Veratione inuenimus, prodιbit noua haud dubιὸ aquatio qua per veros numeros stationem quaestιonis ν praesenιabit. Et hacria superiores duas quasiones alioquin dissicillimas resoluimus, demonstrauimus pariser o construximus numerum ex duobus ea bis compositum in duos alios cubos diuidi posse, sed hoc persteratam ter aliquando operationem. Sapias enim contingit ut veritas quaesita ad mult/plices operationum iterationes solertem se industrium necessario adigat anal sam ut facillime experiendo deprehendes.
463쪽
εω ο ς γινεοι ι γ ε . υἰ τα Ἀπα δῆλα.IN va Ni ηε triangulum rectangulum, ut quadratus hypotenti sat sit alius quadratus, & latus; rediuisiis per unum laterum circa rectum, faciat cubum & Iatus. Statuatur unum laterum circa roctum IN. alterum vero i in& manet quadratus hypotenusae aequalis quadrato aucto sito latete , idemqtie diuisus per unum laterum circa rectum, facit cubum cum suo latere. Restat vi I Q Qi-I Q. aequetur quadrato. Et omnia peri Q. diuidam tur, fit I Q. - I. aequalis quadrato. Esto quadrato a latere I N. - r. fit I N. :. & reliqua sunt manifesta. IN ELAE AESTIONEM XXV.
TE scio quid somniat hie Xilando de mi tilatero regulari, & de numero M. Sanὸ in eodice manu exarato sie habebatur, ἴ- ο γήπ τῆς iamτεινουσης or .r e π. Quare clim passim hoc libro vox exprimatur unico π cum λ. superscripto, hae ratione satis eolligi poterat, veram lectionem esse, ἔαψος τε γνοο, 6 πλευρα. erum artificiosa Diophamus pet ipsas positiones, duabus propositi partibus ratissacit, minqu-dratus hypotenusae fit ima. - x . qui est quadratus eum suo latere ,&idem quadratus hy-
P nuta diuisus per alterum laterum circa rectum, puta per I N. dat quotientem IC. - I N. cubumicilicet cum suci latete. Quamobrem superest solum, ut quadratus hypotenuis, nempe Issaequetur quadrato. Et diuidendo per a Q. fit a Q. I. aequandus quadrato, cuius latus .nt . seu l. qui continet cubum &eius latus ζ. seu Non soliis autem inuenti hac arte numeri praestant ea quae requirit Diophantus, sed praeterea summa laterum circa rectum est quadratus cum suo latere. ut patet tum expositionibus, nam summa laterum circa rectum posita est Iin I N. tum ex ipsa solutione, nam est latus quadratum de AHie etiam formati poterit expeditus Canon. quemoria quadratum unitate mactatum , Hiade per duplum fui lateris, veIὶ eonuerso, vim mi eris quatiantum erit alterum iaterum eirea rem m.'eius quadratus erit Hierum carus. Horum ausem quadinati simia conficiem hypotenus quadratum Vrebi gratia aufer i. a quadratop.&residuum L diuide pet 6. duplum lateris ipsus s. vel con- ροὶ diuide6. pet L quotiens t. vel . alterum laterum circa rectum. Ergo alterum erit vel fi&hyp uenusa vel Quare uniea operatione duplex reperitur solutio, cuius rei ratio est, qui ac tingit 2 Q. -- 1. aequari quadrato, di quia tam quam T. quadratus est, potest latus illius fingi vel IN. -- qnotlibet unitatibus, vel x- quotlibet Numeris, puta, vel I N. - . vel 1 -3N.
ut unum laterum circa rectum sit cubus , alterum vero sit cubus suo multatus latere, hypotenusa denique sit cubus auctus suo latere. Statuatur hypotenuia IC. -- i N. unum vero laterum circa rectum I C. - I N. Reliquum ergo latus erit
464쪽
a Q. Restat vi r . aeqirentur cubo. Et tot C. & fit 1 N. a. Ad positiones. Erit triati gulum 6. 8.io. & constat.
Hie duo maximE notanda sunt. Primuin non sine arte poni u potenusam I C. I N. & alterum laterum I C-IN. Nam hae ratione satisfit duabus possulati partibus, siquidem hν
tenuia est cubus cuin liuolatere, & alterum laterum est cubus suo latere multatus. Deinde eunt vi habeamus tertium latus, oporteat a quadrato hypotenus r, nempe ab I CC. -- a QO. - . ia
auferre quadratum lateris secundi, puta r CC. - a i Q. dc quod superest etenim quadratus tertii latetis, res optimE silc cedit, eo quod Q in est quadratus, ac proinde latus eius a Q. est tertium latus. Et simile semper eueniet si hypotenula ponatur quilibet cubotum
numerus cubicus, plus suo latere, & secundum latus ponatur idem cubus, minus suo latere. Nam interuallum quadratorum , erat semper certus quadratoquadratorum numerus , qui fit quater
ex cubo in suum latus, quandoquidem hi quadrati sunt omnino similes , nisi quod in quadrato hypotenusae continetur duplum producti ex cubo in suum latus cum signo pluris, & in quadrato lateris secundi, continetur idem duplum produisti ea cubo in suum latus eii in signo minotis Proinde quadratotum interuallum aliud non est qui in quadruplum producti ex eu In suum latus. Igitur quadruplum hoc semper esse quadratum demonstrandum est. Non solum autem hoc ostendemus, sed quod uniuersalius est, ducto quolibet quadrato in aliquem numerum,& producto in cubum eiusdem numeri multiplicato, produci quadratum, ut non de quadruplo tantum, sed etiam de
noncupio, sedecuplo, &α idem constet.
Dy. Ei. Fi. quilibet numerus A. euius quadratus B.& cubus C. & sumat ut quilibet Aet. B4. Cf. qu dr iusta quo ducto in A. fiat G. dico si G ducatur in cubum C. fieri quadra-Gi8. Hii. I Wy- Suis turpi im E. latus Quadrati D.&sit Funitas, ductoque E in B producitur
Pater igitur per ea quae ad definitionem quartam primi , demonstrata sunt, tam tres ABC. quam tres D E F. esse proportionales. Quare cum ex primo D in primum R. fiat G. tertium Q fiat ipse C. etunt&ues G. H. C. proportionales. ' Quare ex G in Q fiet quadratus ipsius H. Quod erat propositum. Hinc euidens est dupliciter variari posse solutionem 3c politiones. Nam primo licet ponere pro hypotenuis quemlibet cuborum numerum cubi eum, plus latere ipsius cubi, & pro altero laterum, eundem cubum minus suo latere. Deinde tertium latus quod semper reperitur certus quadrator unanimi erus, potest aequari diuersimode alicui cubotum numero e ubi eo , ut in hypothesi Diophanuas possunt x Uri iC. se C. 4 QSc. ut si ponas a Q. aequales C. fiet quaesit uiri triangulum 4 i ta
Ao . si 2. Necesse est autem hic a inaequati alicui elaborum numero eu bico minori quam a. Quia cum alterum latus positum sit a C. - i N. oportet ut i C. fit maior suo latere, quod aceidet si i N. siit maior unitate. Id autem continget si a inaequentur euilibet cubo minori quam a. ut euidens est, quia valor Numeri teperitur diuidendo a. per aliquem cubum. Si ergo cubus ille sit minor quam tinet utique quotiens malot unitate. IHie etiam formabitur huiusmodi Canon. Per quemlibet cubum minorem bioris, diu de binarium, rinis asohaaebis hypotenusatri, or unum iarem . Gran- νοὸ iatus eraι duplirari auariari u ιι entis eiusdem. , 'δSed & simili prorsus artificio Ite ebit soluere huiusmodi quaestiones. Inuenire triangulum rectangulum, ut unum laterum circa rectum, sit quadratus, alterum quadratus absque latere: hypotenuia quadratus cuin latere.
Esto hynotennsa I -- I N. unum latus i N. ergo quadrato hypotentiis auferendo lateris Quadratum, manet tertii lateris quadratus C. quod quia volumus esse quadratum, Oροπος ut quadratus istus sit quadratoquadratus. Igitur Q aequamur quadratoquadrato. Esto a Q .nt igitur I N. q. estque triangulum 2o. ia. I 6. ubi etiam necesse est in C. aequari alicui quadrato- qu drato minori quὶm ob causam supta explieatam. Et si ponas 4 C. aequali 1 fiet 1 N. 6a.
Hic finem impositurus eram nostris commentariis in hoste Diophanti Arithmeticorum libros, clim venit in mentem , multa alia, eaque non iniucunda proponi posse de triangulis rectangulis problemata , quae huic libro subiicere non abs re visum est, ab illis sumentes exordium quae determinationes varias de lateribus, vel de ipsa tria guli area docent.
465쪽
Dato ambitu trianguli, inuenire terminos intra quos consistere debet hypotenus
Datus ambitus esto io. Primum certum est hyporenusam, in inore tu esse debete leniisse dati ambitus, eo quod cuiuslibet
trianguli latus, minus est duobus teliquis stinui. Quare maior quae litorum terminorum est y. -- clusive. Vt autem habeat ut ininor terminus, ponatur hypote nuta I N. ergo reliqua latera simulerunt Io - I N. Quare ut fiat triangulum tectangulum, Oportet diuidere I. - I N. in duos nuine rotiquorum quadrati lini ut colaficiant i duod ut fieri possiit per Canonem trisesimae primi, constat oportere, ut duplum luminae quadratorum, puta a Q superet quadratum iummae duorum minae ruin, nempe I- -- N. I Q Qxiare sublatis utrimque aequalibus, & addito deiectu, fit rQ - - 2o N. maior q uim I . ex irae autem aequatione fit I N. v aoo - Io. Ergo certum est hyp tenulam, non posse esse mitiorem quam Ra- -io. Quaproptet v. 2-- Io. est minor terminus
inelusiuE. Dico inclusiuE, quia hypotenuia poni potiu u a - io. si videlicet latera circa rectum ponantur aequalia. Nam conditio ad trigesimam primam primi apposita, eatenus locum habet, Satenus inaequales numeri quaeruntur, vi ibi adnotauimus. Ex his igitur elici potest huiusmodi
Semissis tali ainbitus est maior terminus exelusive. Eissumi duplion Padrati eiusdem ambitus, Ur imus Diere auferas imm anu itum, re u- erit minor terminus ines M. Itaque si in rationalibus numeris i pium minorem terminum exhiberi cupias, id fiet per approximationem hac arte. Quia vi constat ex supta dato Canone , minor terminus hypotenus ae rei pectu ambitus, est R et i N. sume latus proximum de et M puta V N. di hinc aurer i N. restat N. Quare talem habeto tegulam. Ductio aiarum ambitum in ast. Productum diuide per a. orietur minor ter os quaestus. Vt data circumseremia io. ducito io in ast. fit 2 o. quem diuide per To. fit mi in raemii nusqua- situs ε I. Quare dices dato ambitu Io. hypotenusam fore minorem quam . non mi rem quam 4 I.
Dato ambitu trianguli rectanguli, inuenire terminos summae laterum circa re etiam.
Ex praecedente pendet haec quaestio, quia enim summa laterum circa rectum, una cum hyp tenusa, conficit totum ambitum, patet terminos summae laterum circa rectum refrendere tetminis hypotentisae, ita ut ab ambitu trianguli auferendo sigillatim terminos hypotenusae, relinquantur termini summae laterum. Sic posito ambitu lo cum per praecedentem sam termini hypotenus y.&I. B a-- Io. si vinimque auferas a toto ambitu ro. remanebunt termini summae laterum circa tectum, nimirum minor exclusiue s. inclusiuὰ - - u et . Vnde Canon. Semissi duri amsitus est minor terminus excrus, , O si a Gilo ambitas, .mferas iatus dii qua atι 3psius ambitus. resitaum erit maior terminus 'inclusine. Eiet igitur terminus respectu ambitus a N. - u 2 in seu per approximationem - N. unde regula. Ducito datum ambitum in ι. prias ctum d uide Ur 7o. orietur malis terminus quaesitus. Vt dato ambitu Io. ducito io. in fit. fit to. quem diuide per o. fit maior terminus quaesitus s . oportet ergo summam laterum ei rea tinum cadere inter s. &s ri
Dato ambitu, inuenire terminos aggregati ex hypotenuia, & ex altero laterum.
Ambitus esto I 2. Primo patet maiorem terminum exclusiuὰ esse ipsum ambitum ia. potest enim aggregatum hypotentiis & alterius lateris, statui quilibet numerus insia i a. di quantumuis exiguus numerus relinquatur pro tertio latere, perfici poterit tutanylum. Minor vero terminus est 6. semissis ipsius μῖ-ρ ris ra. sie probatur. Quia quadratus ipsius ambitus ra. aequatur duplo producti ex aggregato hypotenuis& baseos, in aggregatum hypotentiis N perpendiculi, semistis eiusdem quadrati, puta 72. aequabitur producto ex agererato eodem in idem aggregatum. At . fit ut patet, ex Ia. in suum semissem 6. Quare si a. diuia ut pet6. fit quotiens ra. Ac si a. diuidatur per i uinetum minorem quam6. fit quotiens maior 'uam iet. Evidens ergo est aggregatum hypotentiis re baseos noli posse esse6. vel minorem quam dioquin sequeretur aggregatum hypotenuis & perpendiculi esse ra. vel maius quam Ia. Quod et Impossibile cum totus ambitus ponatur ra. Itaque fiet bre
IU . binu, ct eiusAmisi Iunt si ii t ni exclusitiae. PROBLEMA
466쪽
Arithmeticorum Liber VI. 33s b
Dato ambitia inuenire maximum areae terminum. Datus ambitus esto Io.
Inueniatur per secuniam harum maximus terminus sit minae laterum circa rectum, puta 2o oo. & huius quadratus esto 6- - R 32--. cuius tristava pars sit 7y. - . so . dieci hunc esse maximum areae terminum; quia enim octava pars alicuius quadrati aequatur semissi quadrati l tete subduplo lateris pro uti quadtati, erit 1 - u som semissis quadrati a semisse ipsius 2O - Ret . puta semisiis quadrati ipsius Io -R D. Itaque quoniam quadratus semissis alicuius numeri ' Lmaiot est producto duarum quarumlibet inaequalium partium eiusdem numeri, erit quadratus ipsius Io - a so. maior producto duarum quarumlibet inaqualium partium, in quas secari possit aci-R et . quare cum area trianguli sit semissis producti duorum laterum, quorum summa in u et . non poterit area maior esse semisse quadrati ipsius Io B N. hoe est non poterit esse maior quis s--R Foo. Hinc ergo fiet huiusmodi Canon. A disdrou p adrati dari ambitus , feriatio εαriaratum semifris eiusdem ambitus, resi m erit φω is termi-. Proinde si libet in rationalibus quaestum terminum praescribere, cum ex dato Canone area tenpectu ambitus sit -R Q. sume proximum latus de nempe in quem auset a i superest L Hine ergo formabit ut Canon.
Ducito p ad tu ambitas in .produntiam ideper7o. orietur area terminus.
Sie in data hypothesi ducito quadratum imus ro. puta Iom in 3. fiet 3 . quem disside per γα fiet 4 quaesitus areae terminus. Non praescribitur autem minimus terminus areae, quia dat I non potest. Etenim summa laterum circa tectum, semper diuidi poterit in duos numeros, quorum mutuo dum fiat quantumlibet exiguus numerus , ut e stat ex eonditione apposita trigesimae primi, quae ut quaestio sit possibilis, requirit tantiun 'uadratum summae maiorem esse quadruplo producti. Unde euidens est, quo minor erit productus, eo magis solui posse quaestionem.
Data hypotenuia praescribere terminos summae laterum circa rectum. Esto hypotenuia S.
Quoniam ex conditione apposita trigiamae primae primi, oportet duplum quadrati hypotenusiae sib
rate, vel saltem aequare quadratum summae intexum ritea rectum, eum duplum quadratis sit m. non merit summa laterum einea rectum excedere uso.sed eadem summa laterum circa tectum do
het superare hypotenusam, ut duo trianguli latera simul sint maiora reliquo. Igitur quaesiti termini sunt exclusive . & u so. inelusiuE. Hine fiet Canon. Ipsa pote se est minimas teramn M. Atiatur du, quadratiispalenusa es max vis ter--r. Quia ergo respectu livpotentiis maximus terminus summa laterum circa tectum est R a Q scia. tus proximum de a Mest N. hunc habeto Canonem. Ducit. D tenus m in ρρ. productum divi per νο. oris r quaestus term - .ut in data hypothai ducitori in s fit 49s'. quem diuide per γ. fit terminus quMtu 7
Data summa laterum circa rectum praescribere terminos hypotenuis. Sit summa laterum circa rectum 6.
Igitur ex dictis ad praecedentem quadratus ipsus 6. puta 36. non debet exeedere duplum quadrati hypotenusati Quare hypotenui a non potest esse minoi quam R i8. Debet autem eadem esse minoi quam summa laterum 6. Ergo quaesiti termini sunt 6. exclusiuE, & a i& inelusiuE. Vnde
I e summa uterum Area re tam est maximus ter Inus exclusitio. - utus seimssu quadrati eis dem summa laterum, est minimus terminus inera λQuoniam igitur respectu summae laterum et ea rectum, fit hypotenuis minimus terminus .cum proximum latus de t: N. hane habe regulam. Ducito summamiaterum circa rectum in o. pria tam disiae pero oriatur minimus terminus potet . Vt in data liypothesi ducito 6. in 7o. sit so. quem diuide per D. fit quaesitus terminus Dp tenuis V
467쪽
Dara hypotentisi praescribere totius ambitus terminos. Sit data hypotenuia
Inueniantur per o intam termini laterum circa rectum, puta se & a so. qui addantur sigillatim si hypotenulae s. nent quaesiti termini Io. exclusit te, Ny - ου o. inclusiuε. Vnde Canon. Duplum inius hypalenuse est minimus terminus exclusiae. At aggregatum ex Hypote sa-latereavit quadratι eiusdem potetruse, est maximus terminus inclusita. Clim ergo maximus ambitus terminus respectu hγpotenulae sit I N. Ra Q. dc Ra et approximationem sit ' N. inuenietur quassitus terminus in rationalibus hac arte. Duelio 'potenusam in 1 ρ. troauctum d uide per ro. orietur maximus Areu rentia tremimis. sic in data hypothesi ducito s. in 169. sit 8 s. quem diuide per γα fiet Ia quaesitus terminus.
Data summa laterum circa recti ina, praescribere circumferentiae terminos. Sit data summa 6.
Inueniantur per sextam hypotenuis termini, puta 6. de R I8. qui addantur sigillatim datae sum- .mae laterum 6. sent quaesti circumferentiae tertuini, puta I a. exclusiue de 6 -- R I 8. inelusiud. unde Canon. Duplum summa uterum circa rectum, es mximur terminus exclusiia. At auretarum exsi-ma laterum, cst ex iatere semissis quadrati eiusdem summa , est mininus terminus ininsiti . Cum ergo minimus circumferentiae terininus, respectu summae laterum circa rectum, siti N. - Q. Scu ἰ per approximationem sit Inuenietur quaesitus terminus in rationalibus hoc pacto. Ducitofum m iarenum in υν. pratactum disiae per ι o. orietur minimus circumferentiate
Sie in data hypothesi ducitos. in ra9. fit 1 3 . quem diuide petit o. fiet quaestus terminus Io
Data summa laterum circa rectum, inuenire maximum areae terminum. Esto data summa q.
Sume quadratum datae sammae, puta IM huius octava pars nempe a. est quaestus areae termi-aius, ut demonstratum est quai a liai uiti.
Data hypotentia inuenire maximum areae terminum. Data hypotenusia esto 6.
Sume quadratum datae hypotenuis, puta 36. huius quarta pars nempe p. est quaesitus areae ter minus. Nam per quintam duplum quadrati hypotenuis debet si perare, vel saltem aequare quadratum summae laterum circa rectum. Quare quadratus seminae laterum cirea rectum , ad maximum est r. cuius octau ars r praecedentem est maximus areae terminus. At octava pars de
a. est quarta pars semissis ipsius se. puta ipsius 46. Igitur patet propositum.
Data area inuenire minimum terminum summae laterum circa rectum. . Area esto 6. Sume iniiplum putas. huius latus nempe u o. est minimus terminus summae laterum
circa rectum, ut constat ex quarta, de nona.
Data area inuenire miniamum terminum hypotentiis. Area esto f. Sqme quadruelum areae, ruta al. huius latus nimirum Ras est minimus hypotenusae terminus, ut constat ex quinta, & decima. c
468쪽
Data area praescribere minimum ambitus terminum. At ea esto 6.
Sumantur per duas praecedentes minimi termini si immae laterum Sc hypotentiis, puta a 48. N R q. hotum summa R48. - - R24. vii quaesitus circumferentiae terminus , ut euidens est.
Triangulum rectangulum in rationalibus constituere , ut summa laterum circa rectum sit datus numerus. Summa laterum circa rectum esto R.
Ponatur unum latus IN. erit alterum 8 - I N. clim ergo horrum quadrati simul debeant aequati quadrato hypotenulae , fiet summa quadratorum 64 - 16 N. - - a Q. aequalis quadrato, cuius latus ponatur8 - tot numeris qui excedant a. ut scilicet fiat I N. minor quam λ quia latus alterum politum est 3 -i N. fingatur ergo latus praedictum 8 - 3 N. fiet quadratus 3 N. - Q. aequales 6 - i5. N. - 2 c unde fit I N. unum laterum circa rectum, estque alterum hypotenuia I Idine elicitur facilis Canon. Same numera rimaiorem binario, inde I. residui duplum iuuito in ritamsonmam, prodamis diuide per quadrretum sumpti numeri νinario mustatum, orietur unum iaterum circa
Inuenire triangulum rectangulum in rationalibus, ut eius ambitus sit datus nu. Esto ambitus 2Ο. Pone Iitera quaesiti trianguli 3 N. N. I N. fit summa ia N. aequalis ao. est ergo IN. I.&quaestum trian nilum1 6 2. 8 d. de sic infini hin reperientur solutione si loco 3. . s. deligantur alia atque alia trianguia non si in ilia. Sed & licebit inuenire triangulum simile cuicunque dato triangulo tecta noulo, eodem numero ambitus manente. Liter sume semissem quadrati ipsi; zo. puta etoo. & statue aggregatum hypotenuis de baseos quemlibet numerum inter a o. N eius semissem Io. ob ea quae demonstrata sunt tertia harum. Verbi gratia pone tale aggregatum is . erit ergo Perpendiculum x. At diuidendo 2 . pet II. quotiens 13 erit aggregatum hypotenuis oc Perpcndiculi per decimam nonam tertii potismatum. .are si inde auferas'perpendiculum , Putas. manebit hypotentita 8 l. quam si subtrahas, 11. set basis 6 I.
Dato ambitu, & data area trianguli rectanguli, inuenire triangulum. Esto ambitus M. Area 6o.
Pone hypotenusam IN. ergo latera circa rectum simul sunt o. - IN. cuius quadratus I 6- D. N. - . I Q. aequatur quadratis laterum circa rectum, de duplo plani sub ipsis contento, boeest quadrato hypotentiis, de suadruplo areae. Quare I Q - - 2 o. aequantur I6- - N. H. I Q. Vnde fit i N. 17. Ipsa scilicet hypotenus a. I tur summa laterum circa rectum est 23 Quam b rem dupliei .ii inueniti possunt ipsa latera, diuidendo scilicet et3. in duas partes, quarum quadrati simul essetant 289. per trigestinam primam primi, vel in duas partes quarum mutuo ductu fiat Iro. per triges mam primi, & utroque modo reperientur latera is.& 8. Hine fit Canon. A quadrato ambitus aufer quia piam area, re in um Luide per duplum ambitus, Oriet kr h potenus.
Dato ambitu, & selido sub tribus lateribus, inuenire triangulum. Esto ambitus tr. selidus 6o.
Pone hypotenusam i M. eriint latera circa rectum simul la - i N. At planus sub iὶsdem lateribui Quadratus autem summae laterum circa rectum est I a. - 24 N. - unde si auferas quaiadratos ipsorum laterum, hoe est ilis aequalem quadratum hypotenuis, relinquetur I - 24 N. dii. plum plani sub lateribus. Igitur huius dimidium, puta 7a - 12 N. aequatur se. Unde fit a N. r. hypotentia scilicet, est ergo summa laterum circa rectum . de planus sub ipsis 1 r. unde etiam vi septi duplici via, nimirum per trigesimam vel per trigesimam primam prima inuenies latera 3. 5 4. Hine elicietur sicilis Canon.
469쪽
Dato uno laterum circa rectum , di plano sub altero latere & hypotenuia tu uenire alterum latus & hypotenuiain. Esto alterum latus . Planus sub altero & hypotenuia r . faciat.
Ponatur latus quaesituni I N. ergo hypotenuia est cuius quadratus aequatur quadratis laterum , pura 15 - . I in. dc tandem I- - 16 Q. aequantur zzy. Ec fit a N,quaesitum latus. Est ergo livpotenula s. Sie miri potest hypotenusai N. alterum latus de fiet I Q. aequalis 16 eo tandem 1 ines aequabitur 16 Q - 2as. unde fiet 1 N. F. Hinc formatur Canon. Haraditi piam adde q-drati semissu quadrat dati lateris,summa latio adriti dimeeiam semis quaisara dati laterii, pro υ hinc g δεστι p Uti rareris, inde auadratiis h potenus
Inuenire triangulum rectangulum , cuius ambitus sit quadratus, &idem ambitus siue adfiimpta . siue detracta area quadratum faciat.
Primum quaerere oportet triangulum rectangulum, cuius ambitus sit quadratus numerus. eo set triangulunt, per decimam quintam, cuius ambitus aequalis erit cuilibet dato quadrato. Esto et eo tale triangulum q8.6o. cuius ambitus est quadratus 3qq. de constituatur in quadratis, stitque quaesiti trianguli latera 36 Q. 6on Superest ut ambitus siue adsumpta siue detracta area se ciat quadratum. mia ergo in quolibet triangulo rectangulo quadratus semissis hypoletiuis sue illi addatur, siue adimatur area facit quadratum, ut ex demonstratis ad vigesimam iecundam tertii Deilξ insertur, sumatur quadratus semissis hypotenuis, Puta 9-QQ. Ac is statuatur aequalis ambitui , puta I iet ergo i N.4. ει erunt quaesiti latera trianguli T de eonstat.
Inuenire triangulum rectangulum , cuius area sit datus numerus. Oportet autem ut quadratus areae duplicatae additus alicui quadratoquadrato, faciat quadracum. MSit Α datus areae Numerus , euius duplum B. cuius quadratus F. quo addito ad quadratoqua- D si Et, .pi . dx xum D βὸς qu dxδxus E. Oportet inuenire triangulum cuius area sit A. C. Αου ni, K i xvi qu drax quadrati D. εἰ sit ipsius X quadratus C. diuisoque R i. G L A a P K pr Mς G. cui V duplum esto H. Quia ergo ducto Κ in G. prodis eitur Α. est A ad G sicut Κ ad unitatem , sed sicut Κ ad unitatem , ita est Cad Κ. Igitur ut est C ad Κ. se A ad G de permutando ut C ad Α. sc K ad G. sed ut A ad B. se esti. 1, is G ad H cum utrobique sit ratio subdupla, ergo ex aequo ut C. ad B. sic est K ad Ire sed C B sui i liteia
circa tectunt trianguli rectanguli, cum eorum quadrati D F simul conficiant quadratum E. Iei. tur Se Κ H sunt latera circa rectum trianguli rectanguli, cuius utique area est Α. cum Α producatute, Κ in G. semissem ipsius H. Quamobrem constat propositum. Porro eonditio adiecta non solum sussiciens est, seo de necessaria , ita ut dari non possit triangulum rectan ulum , quin quadratus areae duplicatae additus alicui quadratoquadrato, faciat quadratum. Quod eadem facilitate probaturo sint enim ΚH. latera eitca rectum trianguli dati, de ipsius H. dimidium sit G quo ducto in Κ fiat area A. euius duplum B. cuius quadratus. F. dico F. additum allevi quadratoquadrato facere quadratum . sit enim C quadratus Usius K. dc ipsus C. quadratus , hoc est quadratoquadratus ipsius Κ esto D. Ostendetur ut supri eta C ad B ut X ad Id. Quare cum X H sint latera circa rectum trianguli rectanguli erunt de C B. Iatera circa rectum trianguli. Proinde qua lini ipsorum, pura D F. simul component quadratum. Quod erat propositum. .
A η'. rq y voti in nMmeris non potest esse quadratus, huius theorema- tua mpora in enti demon ationem O Vs tandem non sine operas es
470쪽
laborio meditatisne deteximus, sublutaemus. Noe nempὲ demonstrandi genus miro M arithmetieissuppeditabιt progressus, A area trianguli esset quadratus darentur
duo suadratoquadratι quorum aurerentιa esseι quadratus : naessequitur dari duo q- . ata quorum summa , se asserentia esset quadratus. Da ιur itaque numerus com Uuus ex quadrato es duplo quadrati aequalιι quadrato , ea conditsone νι qua- a ιι eum componentes faciant quadratum. Sed si numerus quadratus componιtur eΝ adraιο plo alterius quadratι eius latas similiter componitur ex quadrato OdvIo quadrati νι facillime possumus demonstrare.
ynae concludetur latus illud esse summam laterum eirca rectum trianguli re Gangali se unum ex quadratis illud componentibus es fere basem O dulum quadratum aquari perpendiculo. Illud ita 3ue triangulum rectangulum conficietur a duobus quadratis quorum summa es disserentiai erunt quadrati. At ιφι duo quadrati minores probabuntur primis quadratis primὸfuppositis quorum tamIumina quam disserentia Iaciunt quadratu. λrgos dentur duo qucdrata quorum umma es di erentia faeianι quaararum,dabitur
in integris summa duorum quadratorum eiusdem natura pνιore minor. Eodem
ratiocinio dabitur se minor istά inuenta per viam prioris o semper in infinitum minores inuenientur nameri in integris idem prasantes: .riod impossibile es, quia dato numero quouis integro non possunt dari ιnfiniti in integris illo minores. D monstrationem integram ct fusus explieatam inserere margini vetat ipsius exiguitas.
I. ae ratione deprehen imus se demonstratione confirmauιmus nullum numerum triangulum prater ωnitatem aquari quadraιoquadrato.
Itas x. Quare verum est ιn quotibet triangulo res angula quadratum arta duplicata in tu piariato ei juslibet laseris ciria rectum umere quadr.itu. Vt in data hypothesia inum quadrinoquadra ris ι ornm s. r . puta cum 3ι. O facit quadrator za 1.' σο.Ad ct condition 3 adjecta neces sper algebramsic demo Dabitur. Data area cuiuslibet mauuti rectanguti puta 6.ponatisr υ-m iaterum circa rectum t. N. eris aherum .d. Ut autem sit triane usum rationati o Met , ut summa quadratorem, Pua ι -- aequetur quadrato , ct omnia dure et L in δ μι ι . aquadas quadrato. Vndepatet aratoqua iratum cui libet iaterra circa recti m cito qua aio area duptieata, debere
Prer. hanc ipsam instianem tractans Franciscus Vie/a Zetetico ιε. tibia quarti, duas asas eἰ tras it condationes. Prima est. Oportu ut area Hia 3do quem quadrato dratum , sias quadratoqua velut ducendo aream in aliquem Maratum, prodactum addendo alicita quadratoquadrato, fiat quadraroquadratiis. Eι hae conditio, fusticient quidem est, ut demon ai Vieta, sed ansis nec a- νι emerito qnιs ambigat. Sane arbitror tam eius necessitatem demonstrare non posse si a vir ingenii. secundam excogitasse. Serainda conditio est. Oporto ut datus area numerus, sit cubus suo multatus Diere, vel ut idim per quadratum aliquem multiplicaria, sit e ηs Do multatus utere. Et hae con datio nonΡlum se ens est, ιι ostendat Vieta, sed etiam necessaria ut demonstrabimus, ne tanta τινι commentum Libare videatur. s inuis tusius sit hanc conditιonem ita proponere. Oportet ut areἀnumerus sit cubus suo mutiatus linere , iatusve sed mutiatum cubo. VHνι eo per atiquem quadratum biplicata veldiuiso , fiat Obus sua multatus iatere, Drusue suo multarum culo. Huius autem reoratio est, quia quoBibet trιanguiam rectangulum, potest concipi iis Hiera trianguis, quod formarum sit ab unitate, abatio quouis quadrato, cuius quadrati siponas latus ν N. fra trianguli h potenus ι ζ - ι. aherum titeru- circa rectum a N. alterum ι ι vel ι - Q prout ι N.Fupponιtar miasor vel mi- unitate. mare sit area 1 C. - ι N. vel ι N. - ι C. ita si fingas triangulu- ab ι. ct . modo traito tertia tertiis porsination. Fient latera s. . 3. rea vero ι. erubus scilicet ε. suo multatus la-δere. At siformes triangulum ab ι. ct siet triangulum ). cuius area. l. e 1 latus: mutiatum suo
cubo I. Proposito vero qualibet alio triangula , Omper quartam tertis pors senatum, necessit illisformario duobus planissimilibus, hor piano, sament, est virumque per minerem ipserum figillatim diu denti μοι duo quotientes ιn eadem rartione, quormis minor unitar, a qu/bM siformes triangulum, erit