장음표시 사용
451쪽
IN AESTIONEM XX. PA R v M differt huius quaestionis tractatio, 3 praecedentis mctitione, vi satis indieam ipsa Di
phanti verba. Pendet itaque ibi utio a lemniate illo, quo quaeritur cubus qui adiecto binario, quadratum faciat. Vbi subtili sanὰ altiscio ponitur cubi latus I N. - r. vi in cubo reperiatur H I. cui adiicienclo binarium sit -- I. Aliter enim . nisi incubo binario ait no numerus unitatum esset quadratus, non posset aequari quadrato. Ponitur autem latus quadrati I -- tot numeris qui sint dii nidii im Numerorum in cubo contentorum, puta N. dimidium de 3. N. ut scilicet duplum ill rum aeqtiet Numeros in cubo contentos, sic cum & unitates & Numeri multitudine aequales viti que se mutuo elidant, manet aequalitas inter eubos oc madratos, puta inter i C. & Porro aceidit ut cubo adiiciendo binarium, fiat quadratus, quia a. componitur ex cubo de ex quadrato. Quare licet pulchrum problema uniuersaliter proponere.
Dato quoi iis numero composito ex cubo, de ex quadrato, reperietur cubus qui adsumpto dato numero, quadratum faciat.
Sit datus I7. compositus ex eu 8. do ex quadrato P. quaero cubum qui adsimpto r7. faciat quadratum. Ponatur latus cubi i N- a. fiet cubus I C. ia N. - 6 Q. - 8. cui adiiciendo i . fit iC -- Ia N. -6 - . s. aequandus quadrato, cuius latus, pono 3 tot numeris quorum duplumi er3. multipli earum , hoe est quorum sextuplum aequet Ia N. in cubo contentos. Fingetur ergoatus quadrati 3 a N. fiet quadratus p - . Ia N. - 4 aequalis I Q --I2 N.-6Q. - s. denti N. Io. Est ergo cubi latus 8. cubus si a. eui adiiciendo 17. iii Iam quadtatus a latere 23. Idemque in similibus eadem semper ratione perfletetur. Nam semper latus cubi ponetur i N. - latere cubi ex quo datus numerus componitur, de se in cubo huiuimodi binomii reperietur earumdem unit tum cubus affectus signo minoris, eui addendo datum numerum, fiet unitatum numerus aequa. lis quadrato, ex quibus datus numerus componitur. Posset autem lemma Diophanti mutata paulum operatione x aE benὸ solui. Ponatur latus quadrati I N. i. erit ipse quadratus I Q - - a N. I. unde auferendo binarium , manet i - . a N. - I. aequandus cubo, cuius latus fingam a tot Nummis ' I. ut eorum triplum aequet a N. positu in quadrato. Finsam ergo latus cubi I N. - r. de fiet N. Quare latus quadrati ut prius erit 'A latus eubi superest ut integram quaestionis solutionem exhibeamus, quani tomisit Diophantus ob molestas stactiones. Quadratus hypotenuis sit - aequalis quadratis laterum circa tectum, pura IQ-- - 4. Quare tandem manent . N. aequales εἰ fit i N. .. i aequalis areae, itemque uni laterum circa rectum , alterum vero est a. hypotenusa denique quae addita areae facit cubum : HL At summa laterum χ K 'quadratus v latere v.
ς. ιον κυα, λίιπον σοι Iuc iam visea τρο ορθὴν -- τηγα-IN vs N r κ ε triangulum rectangulum, vi numerus areae adscito uno laterum circa rectum, faciat quadratum, at circumserentiae numerus sit cubus. Statuatur triangulum ab aliquo numero indefinito, & ab alio qui eum unitate superet. Esto itaque ab i N. & ab i N. I. Erit igitur cathetus a N. I. Basis αλ-- a N. hypotenusa a Q. - a N. r. Restat ut circumferentia sit cubus, & numerus areae cum vno laterum circa rectrini faciat quadratum. Fit autem circumfercntia 4 - 6 N. - a. aequalis cubo. Et est numerus compositus quem metitur N. - 2. per I N. -- r. si ergo unumqliodque latus partiamur per i N. - i. habebi mus circumserentiam ψN. -- a. aeqMalem cubo. Restat igitur ut areae numerus adscito uno laterum circa rectum faciat qua-
452쪽
um. Fit autem areae numerus a C. --3Q. --I N. sub denominatione partis rQ. - - 2 N. -- I. unum vero laterum circa
rectum a N. I. sub denominatione partis I N. - - i. & si haec duo ad eiusde in denominationis partem reducamus , fiunt a C. - Q. -- Α N. - l. sub denominatione partis I a N. - I. & ii partia. mur in denominatorem partis fiunt a N. - i. Ita ut duo haec composita faciant a N. -- I. aequalia quadrato. Quaerebamus autem etiam ψ N. -- a. aequalia cubo. Igitur eo deducta res est , ut inueniamus cubum quadrati duplum. Est autem 8. resipectu . sint igitur N. - - 2. aesti tales 8.& fit i N. i b Erit ergo rectangulum L P.
PV L c R Ea R et M v M problema , Et rara subtilitatu, quod ut persectὸ explicet ut siqua sunt sup
ponenda, nimirum. Primo datis duobus numelia planus bis sub ipsis contentias, summa quadrat Otum. & litteruallum eorundem, aequamur simul productis ex duplo summae numeror uim in maiorem numerum.
- Sint dati duo numeri A minor B maior , dc duplum summae illorum esto C. at quadrati eorundem D. E. quorum summa F. interuallum G. Ac demum sit H. duplum plani sub A. B. eomenti. Dico tres numeros RG. H. simul, aequali producto ex D 9 V si C in B. Q iam enim F est summa duorum DE dc G eorundem interia allum, 'erunt 'ia C aequales duplo maioris E Cum ergo ex B in seipsum fiat ta patet ex ia in ' iduplum sui, fieti numerum aequitem ipsis FG. simul. At ex eodem B. in duplum ipsus A fit A. Ergo ex B. ni duplum sunmae ipsenim A iu hoc est in C. fit numerus aequata tribus
F. G. H. simul. Quod erat intentum. Secundo. Ditis duobus numeris unitate distantibus, interuallum quadratorum ab ipsis aequatur simmae datorum numerorum. Etenim ' ex intervallo numerotuin, in summam ipsbrum, fit inter- 4.1.pori . uallum quadratorum. Q lainobrem si interuallum numerorum sit unitas, patet ex unitate in silmmam numerorum, produci summam ipsam numerorum, pro interuallo quadratorum. Terio. Datis duobus numeris unitate distantibus. si maiori eorum addatur planus biss eon. e. tentus, fiet quadratus maioris. Sint enim duo mimeri A B. A C. quorum interual.
A R V sii Unita, B C. dieo si plano sub A B. A Q addatiit A C. produci quadratum siu, AC Etenim quadratus ipsius A C. aequatur planis sub A C. A B.&sub Α C. BC. contentis. i. his in. At planus sub A C. & sub unitate B Q aequat ut ipsi A C. ergo A C. eum plum sub A C. A B.
aequatur quadrato ipsi is A C. Quod erat demonstrandum. Quarto. In similibus triangulis si areaptimi multipliceriir perquadratum denomitiatinis proportionis laterum . producitur area secundi. Etenim ' areae sunt in duplicata ratione latet lini sedde. nominator rationis quae alteriu, sit duplicata, est quadratus denominatoris prioris ratioim, quo--. i. niam & quadrati sunt in ratione duplicata laterum. Igitur patet proposmim. His positis nullo iiegotio explicatur operatio Diophanti. Nam lineatur trian tum ab t N. & i N. - . i. est hypotenuia summa quadratorum, nimirum a Q. -- ΣN. - . I. Alterum latiis est inter uallum eorundem quadratorum, nempe a N. I Alterum denique est duplum producti, puta a M. 2 N. Quorum summa fit in - - 6 N. - - 2. quae si diuidatur per I N. - I. maiorem numerorum , quibus efiictum est trianguli un, set quotiens duplum summae numerorum, puta N. - a. per primum suppositum. Ut igitur numerus aequandus Obo sit simplicior. N exmesticit aequatio, ab inuento triangulo formatur aliud simile . diuidendo scilicet singula illius latera per i N. - . r. se enim lumia a trium laterum fit 4 N. -- a. aequanda cubo. Area vero per quartum suppositum, fiet si area prioris trianguli puta a C. - N. diuidatur per quadratum ipsius t N. - . videlicet per i in F a N. -- I. hinees quod huiusmolli aream esse ait Diophantus eui ut addatur alteriam latus, nempe l. omnia facienda eiusdem denominationis, dueen tacet a N. I. in IN. F I. unde sita α-- zN- i. quoad-
453쪽
3 et in Diophanti Alexandrini,
dito supradictae areae sub denominatione eiusdem partis, fit . Haec autem si lirite ducitur ad integros, quia denominator ine iniit numeratorem. Q. ua probo. Numeratot componitur ex duobus numeris , puta es a C. -- 3 Q. -- I N. area prioris trianguli, & ex 2 - - 3N. -- i. qui saetas est ex a N. - - I. in IN. - I. Prior itaque numerus, nempe area prioris triansuli , fit ex litteruallo quadratorum a numeris a quibus tormatum est triangulum, in planum iubi piis numem contentum, hoc est ex a N. - t. in i in se i N. Posterior vero nunt eius fit ex eodem litteruallo quadratorum a N. - - I. in maiorem mulierorum a quibus euictum est triangulum, pura in i N. -- i. fiet ergo totus numerator ex 2 N. I. in summan ipibrum I N. N i N. - . I. . At cuira I Q -- IN. sit planus contentus sub numeris unitate distancibus, ta horum maior si 1 N. - i. patet pet tettium suppositum, horum sit minam a quari quadrato ipsius maioris, putat --2 N. - 1. Quamobrein constat si pradictum numeratorem produci ex a N. I. in ipsum denomi natorem i - a N. - . 1 Quare diuiso numeratore per denominatorem, fiet quotiens a N. - . i.
aequandus utique quadrato, autem hic quotiens subduplus ad priorem quotientem N. a. qui aequandus est eu . Etenim N. 2. vi supra ostentan est, cst duplum suminae numeroranti N. N i N. - t. at a N. I. est interuallum quadratorum ab ipss. Porro interuallum quadra torum aequatur summae numerorum per secundum suppositum, quia numeri unitate differrent. Et duplum sumitiae numerorum est duplum intervalli quadratorum. Iam igitur eum habeamus N. -- a. aequandum cubo, & a N. I. aequandum quadrato, patet quae tendit inesse cubum quadrati duplum . cuiusmodi infinitos reperiri posse docuimus ad primam huius. Sumit Diophantus cubum 8. N quadratum q. aequatque N. -- et ipsi 8. vela N. r. ipsi 4. Sst inobique t N. Quare latera prioris trianguli fiunt P. sed cum omnia diuidi debeant per i N. r. puta per b fiunt utique quaesiti latera trianguli V. l. estque area cui addendo latus fit quadratus A. At cireumferentia est I seu 3. eubus. Caeterum pollet prius triangulum fingi ei iam a a N. & a N. - I. vel a 3 N. & 3 N. - 1. & fiea quolibet Numetotum numero, N altero, unitate illum superante. Sed eadem semper solutio coiis tinget. si cubus & quadratus quibus cum ultima aequatio instituitur, iidem seni per seniantur. Ρ i int autem alii e ubi & quadrati infiniti reperiri in eadem ratione a. ad i. per Canonem traditum ad primam huius, dum seruetur, cubum maiorem esse debere quesn I. N quadratum maiorem esse oportere quam x. quia scilicet cubus aequandus est 4 N. -- 2. N quadratus aequalis faetetulus a N. - . r. Id autem contingit, si operando perdictum Canonem, sumatur quilibet cubus minorunit,te, per quem diuidatur a. denominatot rationis datae. Verbi gratia si sumas, . N per e m diis uidas a. net 16. latus quadrati quaesiti, nam quadratus est 236.. cuius duplum sar. est cubus. Unde apparet ex hoe eapite quaestionem infinitas recipere solutiones. Nam si loco ipsorum 8. de . sumas sit. & ry6. fiet i N. & diuosa continget solutio, ut Potes expetiti.
ut numerus areae adscito uno laterum circa rectum, si cubus, at circuna serentiae numerus sit quadratus. Si rursus eodem utamur ductu quo in praecedente eo res deueniet, vi N. -- a. aequanda sint quadrato, &a N. -- I. aequanda cubo. Et oportet inuenire quadratum cubi duplum. . Est autem is . respectit 8. Et rursum
aequabimus is . & N. - r. & fit i N. 3 c. Erit ergo rectingulum P. IN. M AESTIONEM XXII.
OM N r A ex dictis ad praecedenteni sunt manifesta. Et vii potes Cahone ad primam huius tradito ad inueniendum cubos infinitos quadrati subduplos, diuidendo scilicet ἰ denominatorem rationis subduplae per aliquem eubum habebis latus quadrati quaesiti. Obseruandum autem hic est, ut cubus per quem diuidetur l. sit minor unitate , ut proueniat quadratus maior binario. Verbi gratia si diuidas . pet ἰ. fiet quotiens 4. latus quaesiti quadrati I 6. quo utitur Diophantus. Quod si diuidas per fiet quotiens P cuius quadratus Ri. duplus in cubi & sic de alijs.
454쪽
terrum tam haee quaestio , quam praecedens extendi potest ad quaslibet duas species proxi
mas, vel et tamd non proximas, dum non sint quadratae, quia ut monuimus ad secundain huius, datis duabus speciebus non quadratis, lacet unam repetate alterius duplam. Itaque Dierunt eadem facilitate solui problemata quae sequuntur.
inuenire triangulum rectanguluna, ut ambitus eius sit cubus, area vero cum altero laterum circa rectum saciat quadratoquadratum. vel e conuerse, ut ambitus sit quadraroquadratus, area vero cum altero laterum iaciat cubum. Item Inuenire triangulum rectangulum , ut anabitus eius si quadratoquadratus, area vero cum altero laterum , iaciat quadratocubum. vel E conuerso. Item. Inuenire triangulum rectangulum, ut ambitus eius sit quadratocubus, area ver lcum altero laterum iaciat cunocubum. vel o conuerso. Item Inuenire triangulum rectariguli im, ut ambitus eius sit quadratus, area vero cum altero laterum faciat quadratocubum. vel e conuerso.
Inuenire triangulum rectangulum, ut ambitus eius sit cubus, area veto cum altero laterum faciat quadratocubum. vel E conuerso. Et se de aliis.
IN v ε Ni a a triangulum rectangulum, ut circumserentiae numerus sit quadratus , & adsumens areae numerum, faciat cubum. Fingatur rectangulum abi N. N i. fiet unum laterum circa rectum a N. alterum i Q I. hypotentia vero I Q - i. Et oportet quaerere a Q. a N. aequales quadrato. &I C --a i N. aequalis cubo. Et sanὰ et in a N. conficere quadratum, facile est Nam si bina rium diuiseri per quadratum binario multatum, inueniesi N. oportet autem eum talem inueniri , ut compostus ex cubo
ipsius, duplo quadrati eiusdem, &ip
met numero , faciat cubum. Est ergo i N. ex binario diuiso per i Q - a. At cubus fit 8. sub denominatione partis quaesit cubus a latere i Q a. & duo quadrati fiunt 8. sub denominatione partis quae quadratus est a latere i - 2. Ipse vero numerus est et .sub denominatione partis Ιχ-2. S. si omnia ad eandem partem reducantur, fiunt x QQ. sub denominatione partis, quae est cubus a laterer - a. Et est pars cubica. Oportet ergo vi& xint aequentur cubo. Sc omnia per IC. dividantur, fiunt x N. aequales cubo. Et si ponamus aequales unitatibus cubicis , inuenietui 1 N. cubi alicuius dimi-
455쪽
dium. Esto cubus 8. Fit ergo I huius dimidium, nempe q. cuius quadratus estis. Statuo in quadratis, Mnuntis inaequales a Qi - 2N.&fiti N. I. At quadratus fit . . Et oportet ab hoc auferre r. Quandoquidem unum laterum circa rectum est i r. Quamobrem res eo deducitur, ut quaerere opus sit cubum, ut quadrans quadrati qui ab eo fit maior sit quam a. minor quam Et si eum ponamus i C. quaeremus . C C. maiorem quidem quam a. minorem vero quam A. Ergo i CC. maior est quam 8. minor quam IATalis est Ergo cubus V. Pono ergo a
N. aequales P & fit et N. : , Quadratus K. Et si binarium diuidamus per Iunc binario multatum, inueniemus i N.: se&poterit ab illius quadrato unitas auferri.
TOTA operatio Diophanti se habet. Fingitur triangulum abi N. de ab L erit hypotentia
I -- I. alteri in laterum I Q - r. alterum veto a N. Quare ambiriis siue summa trium latorum, erita in se a N. aequanda quadrato. Area vero in I C. - i N. eui si adiiciatur ambitus, fit
IC. - Σχ-- N. aequandus eu . Et quidem AcilE est aequare quadrato a Q. H. 2 N. si ad hoe sellim respieiamus, nam poterit aequari cuilibet quadratorum numero quadrato maiori quam a. de fiet olor Numeri, ab huiusnodi quadrato auferendo a. de per residuum diuidendo 2. Talis autem debet esse valor Numeri, ut per eum resoluendo hypostaso I C. - - aQ --I inueniatur eubus. Quare a rei necessitas seeundae opstationis , qua quaeritur quadratus, qui multatus binario, des binarium, det quotientem, eui adiiciendo suum cudum, de duplum sui quadrati, Gediuidetis bus. In secunda isitur operatione, ponitur quadratus quaesitus I unde auferendo 2. Ac per residuum diuidendo a. ni is euius cubus est . n. p . . duplum autem quadrati eiusdem est. 4 -- are ut haec omnia simul addantur reducantur ad maiorem denominationem, der At .. fiet Tum omnia simul eonficient. e in . um aequandus cubo, de cum denominator sit cubus, ut constat ex ipsaeonstructi ne, restat ut aequemus cubo numeratorem, puta 2 od facit E fiet, nam aequari potest eui, libet numero cuborum cubico, eritque simplex aequino , eum sintd- species proximae. quae te- dueetur ad primam simplicium, diuidendo omnia per I Q ut innuit Diophantus. Erit itaque valot Numeri in hac secunda operatione, semissis alicuius cubi, cuius utique quadratus aequa itura Q. - a N. At h;e duo curanda sunt. Primum, ut huiusmodi quadratus sit maior qu,n a. ut euide est. Secundum, ut idem quadratus talis sit, ut multatus binario, dc diuidens a. det quotientem ni iorem unitate, ut scilicet i insit etiam maior quam l. eo quod unum laterum circa rectum positum est I. ut autem in diuisione prodeat quotiens maior unitate, op et diuis rem minorem Hiediuidetuo. Igitur iQ. - a. debet esse minor quam a. de addendo utrimque a. I Q. debet esse minotquina . Constat ergo, quod ait Diophantus, quadratum esse debere maiorem quam a. minoremqu3m . Gm autem quadrati huius latus sit semissis sieuius cubi, ut dictum est,&quadratus semissis alicuiui numeri, sit quadrans quadrati totius numeti, rect E infert Diophantus, quaerendum me cubum. vi quadrans quadrati qui ab eo fit maior sit quὶm a. minor quam q. & iaeo tertiam instituit operationem. In tertia operatione ponit cubum quaesitum I C. euius quadratus I C C. euius quadrans : C C. debet esse maior binario, minor quaternario. inare I C C. debet esse maior quam L minor qμὶ n s. 'omodo autem inueniri possint tales quot quis voluerit, cuboeubi, contare potest ex iis quae in simili adnotavimux ad seeundam huius. Reducantur enim L NI6. ad stactionem cubocubi- eam , puta ad em cuius denominat M. fient 27. & inter quos eum cadat cuboeubus is optimὶ satis iaciet proposito. Porro eius latus quadratum, puta v. ineu bus quaesitus ,κquandus
456쪽
a N. unde fit in secunda operatione I N. ri. euius quadratus nota quadrati infimitus aequabitur in prima operatione cum a a N. Reliquam operationem omisit Diophantus molestiam subterfugiens , nos in gratiam studio rum , eam persequemitra a N. aequantur la Qid fit I N. l. per quem resoluendo primas hypostales, fiunt latera quaeliti trianguli haec vel Area est simina trium laterum s st quadratus 1 latete de ipsi miniae laterum si addas aream, fit cubus cuius latus Caeterum tota ratio diuersitatis in solutione, pendet ex eo quod a N. qui debet aeqirari cubo,potest diuersis aequari eubis . cum infiniti reperiri possint ad hoe idonei. Nam quod attinet ad primas Positiones, vix reor eas aliter institui posse , ita ut in commodam incidamus aequationem.
IN v Nrax triangulum rectangulum,
ut numerus circumserentiae sit cubus, ta adscito areae numero,iaciat quadratum. Primum inspicere oportet datis duobus
numeris, quomodo inueniatur triangulum rectangulum, ut circumferentia quidem aequetur uni datorum numerorum, area vero aequetur alteri. Sunto duo numeri 12. de . de iii iunctum si ipsum ia. aequari circumferentiae , ipsum vero 7. arcae. Qui fit ergo ex mutuo ductu laterum circa rectum , et it i . Et si ponamus ipsorum alterum ira erit alterum i N. Est autem circumferentiara. Quamobrem liypotenusa erit Ia - . . -i . N. Restat ut huius quadratum, quod quod est ri z---I7a - Λ-336 N. aequetur quadratis laterum circa rectum , hoc est et in i 6 Q. Communis addatur desectus, & a similibus auferantur similia, & omnia in i N. ducantur, fiunt i 7a N. aequales 336 Q. - a . &non possibile est hanc aeqitationem absolui,nisi dimidium numerorum in seipsiim , detracto produlto ex quadratis in unitates, iaciat quadratum. Et sint numeri quidem compositi ex quadrato circumserentiae , & ex quadruplo areae, productum vero ex quadratis in unitates, fit ex octu-plo quadrati circumferentiae in aream
ducto. Quamobrem si huiusmodi dentur
numeri , luetur quaestio. Esto numerus areae i N. circumferentiae vero numerus
cubus simul&quadratus, puta 6 . Et Vt constituatur triangulum , oportet ut dimidium compositi ex quadrato ipsius 6 .&ex . N. ducentes in seipsum, auseramus inde quod fit octies ex quadrato cir
457쪽
OP a R Ari o Diophanti subtilis est, quam ipse eompendios E persequitur. Nos autem ut omnia fiant dilucida , eam Asius explicabimus. Data circumferentia trianguli I 2. & area 7. constat productum ex lateribus circa rectum esse i . sit emo alterum latus I . N. alterum . . ut eorum mutuo ductu fiat I . vltoque igitur de summa laterum i a. detracto, relinquitur hypotenuia ra- ί. - N. Mare ut triangulum exhibeat ut in rationalibus, oportet huius quadratum , aequari quadratis reliquorum laterum simul iunctis. Vt autem habeamus quadratum de etai N. sum
mus 'uadratos partium, & quod fit bis ex qualibet parte in quamlibet ex alijs, per primam secundi
potismatum , fietque totus quadratus Q - 196 Ira -Z.-336 N. aequalis quadratis laterum circa rectum, puta λ - I96 Q Quare tandem ira. aequatur ' 336 N. de ducendo omnia ini N. fiunt ira N. aequales a 336 Quae est tertia compositarum. Quamobrem operando mole Diophanti, ut docuimus ad trigeum alti tertiam primi, oportet ducere unitates in quadratos , hoc
est 2 .in 346. 3e productum auferre . quadrato numeri M. qui est semissis numeri Numeroti intra . hoc est 17396. Quod fieti nequit , quia 7396. minor est. quam 8 4. Hae igitur aequatio est impossibilis. Itaque inspiciendum est unde prouenerint i a N. itemque a . & 336 O Quod si consideres
qua ratione sumptus sit quadratus de ia A. -r N. faeile omnia eonsequi . Nam I a. si adi quadratum de Ia. addendo 28. duplum ipsius I . Qua recum Iq. sit duplum areae 7. ac proinde M. eiusdem quadruplum. Rem dixit Diophantus t a. numerum Numerorum , componi ex quadrato circumferentiae,& ex quadruplo areae. Atia est duplum. circumferentiae. ΙΣ & 336. est numerus qui sit bis ex tr. in I hoe in ex duplo ipsius I a. in i . Atqui 1 . est duplum areae , & quod si ex duplo unius numeri in duplum alterius, idem est atque id quod fit ex quadruplo unius in alterum. Igitur 336 fit ex quadruplo circumierentiae I 2. in aream 7. Constat ergo unitates et . esse duplum circumierentiae, & uumerum quadratorum 336. esse productum ex quadruplo circumferentiae in aleam. Proinde dueere unitates in quadratos, idem est ac ducere duplum circumferentiae in quadruplum ipsius circumferentiae, & productum in aream. At ex duplo alicuius numeri, in quadruplum elusidem, fit octuplum quadtati ipsius numeri. Rectὰ igitur infert Diophantus numerum qui fit ex quadratis in unitates, produci ex octuplo quadrati circumserentiae in aream. Cottigenda igitur est prima operatio, & tales ponendi numeri areae& cireumferentiae, ut a quavdrato semiissis compositi, E quadrato eircumsuentiae, & ex quadruplo areae, ause tendo octuplum producti ex quadrato cireumferentiae in aream, supersit quadratus. Idcirco ponit aream Diophantus I N. eircumferentiam numerum Cubum , puta 64. quia id requirit lex problematis , quem vult praeterea esse quadratum , ob causam quam inita explicabimus. Est ergo ipsius 6 . quadratus o . cui addendo quadruplum areae fit My6 - N. cuius sentissi3 2o 8 - - a N. cuius quadratus est 4 - - I9 3o . -- 8ipa N. unius auferas octuplum ex quadrato ipsius 6 . in i N. nempe 3a GN. suteres qi9 3o . - a s76 N. aequandus quadrato, di sumendo quadrantem Imore Di phanti i Q. io 8y76 - οι' N. aequandus quadrato. Quoniam vero requiritur, ut & circumferentia adsumens aream, faciat quadratum, tisortet etiam i N. - 5 . aequari quadrat Quare in dupli eatam incidimus aequalitatem. Quae ut resolui possit, imitando artificium decimae octauae tertii, exaequandae prius sunt vimates, ut tangit Diophantus. Quod quidem facit E praestari potest, quia uterque Io 176.&64. quadratus est, unde patet cur 6q. v rit esse quadratum, nam aliter non posset 6 . ad quadratum Io '76. habere rationem quadrati ad quadratum. Necessatio autemroos76. quadratus reperitur, quia quadrans est quadrati de zo 8. ut ex cori structione manifestum est. Itaque quoniam denominator rationis 6 q. ad io 8s76. est quadratus I 6 ducto hoc quadrato in i N. - 6 . fiet hine i 84 N. - Io h 76. aequandus quadrato. Inde ut prius I Q - Io 8776. - st N. aequandus quoque quadrato. ia vero uterque di quadratorum & unitatum numerus
quadratus est, duplici via resolui potest duplicata aequalitas. Primo enim respiciendo adi a sumo interuallum Numerorum quadrato aequandorum, quod est 22y28 N. - 1 Q. quia mutuo duῖu conseiunt 121G -i N. & i N. hi soli uti sunt aequationi resoluendae, ut constat ex iis quae pastini libro tertio doeuimux, ut scilicet in semisse interuiali eorum reperiatur I N. latus i QO Horum summaestris L cuius semillis quadratus 126877696. aeqaatur Is; N. -- Io 8376. unde si I N. 76M. numerus scilicet areae, cum circumserentia sit 6 . sed omnino impossibile est triangulum constituere euius area sit 76go. circumferentia 6' Quia ex σε fieri nequeunt tres partes , quarum duae inuicem du eisciant 11;6o. duplum scilicet areae, cum οὐ neque in duas partes diuidi possit
458쪽
qux id praestent: siquidem quadratus semissis ipsius 6 . puta im . maior est producto multiplica-xi uis duarum quarumlibet inaequalium partium, in quas secari posite 6 . per quintana secundii u lidis. Quod ii priuiam operationein repetendo quaeras triangulum cuius area 76M. circumse-1untia 6 . inuelites sane a quadrato semitiis compositi E quadrato circuiti rentiae o . ec in quadru-Piis arcae 76 . non posse iubduci octori uiti proditi sti ex quadrato circuit serentiae in aleam. Dc-
iquc si Per valorent Numeri 76M. te uas prima, hypostases, inuenies hypotenusam lotas mi-i.Orci a nihil O , cum visum laterum dirca rectum, fiat multo in ius tota circumferentia. Aliam igitur mire viam cogimur, qua respicienao ad unitates, sumo interualluiri numerorum l .drato aequandorum I QE- arsa 8 N. Tum quaero duos numeros, quorum mutuo diaetu id fiat.: a tamen ut in semisse summae illorum , vel interualli, reperiantur unitates ior . quod est latus
psius io 8176. Sunt ergo huiusmodi numeri ii N. N N. - 2o 8. horum interuallum zo 8 - . cuius semiiss im . s N. enius quadratus loqu76. - N. - I in aequat ut O 8176 - - 16;84 N. unde si I N. 17s. Area scilicet quaesiti trianguli. Redeo ergo ad pro- P sitam nitio quaestionem , & quaero triangulum, cuius ambitus sit '. area i7s Pono vi uini terum circa rectu in alterum N. sit hypotentisa 6 N. euius quadratum si facias aequalem quadratis laterum circa tectum, sunt tandem aequales et N. Zc ducendo omnia iiii N. tum in za3. fiunt IO7ς296 N. aequales 288 . - I 92sqq riirsus diuidendo omnia per i 28. ut in minimis exhibeantur , habes 8 3a N. xqitales azy -- 78848 Quare fit i N. vel x. .. minimis vel Et si per utrumlibet valorem Numeri ie- luas hypostases, fiunt utroque modo latera ei rea tectum is di 17 Est ergo hypotenuia actambitus 6 cui addendo aream, puta i7s 'ἴ.. fit quadratus r. cuius latus E. Haec ad omnium pulcherrimi sit btilissimique problematis explicationem adnotaise sufficiat. Quoniam vero in his libiis Diophantus diuersini ἡ utitur duplicata aequalitate, non abs re me ficturum arbitror, si Omnes quos usurpat modos sigillatim recenseam , & unum in locum quae sparsim a nobis adnotata sunt, collecta coniiciam, ut sie tota duplicatae aequalitatis distina di iacentiunt animis firmum inhaereat. Nec solas Diophanti hypotheses afferemus, sed& alias plerumque exhibebimus , quibus varia huiusmodi aequationum symptomata declarentur, novaliaque insuper quam excogitauimus aequationis rationem, quamque ad quadragesimam quintam quarti explicauimus, aliis adiiciemus.
Vbi non sufficiunt aeuplicata aqualitates via δὲ et σο -, recurrendum ad τρππλοι- ο τα: seu tripluatas, aequalitaιes quae eis nostra inuentio adplurima probisma- δη pulcherrima prauiam faeem priserens. GEq.entur videlicet quadrat.
I At - oratur triplicata aqualitas cuias solutio per medium duplicata aqua a N - - litatιs est in promptu. Si ponatur loca r N. numeras ina cum in quadra 1 δε - tum conficiens M. 1 - .. N. fiet prιmus numerorum aquandorum
qua aerato I α N. - fecundus igitur erit a -- q. tertius 3 2O N - ψ. primus autem ex constructione est quadratus , ergo debenI aequari quadrato a α-- 8N- - Osa' -- 2oN-- cse oritur duplicata aequalitas quae unicam certe exhibebit folutionem , sed ea exhibita prodibit rursum noua, a secunda tertia deducetur is in infinitum . modo tis ita procedet τι inuento πα-lore i N. rufus ponatur 1 N. esse i N - numerus qui primam ipsi I N. inuentus est aquatis. Hac enIm via sonitae priorιbus solutionibus solutiones accedunt p rema semper derivabitur a proxime antecedenti. Huius intientionis beneficio infinita triangula eiusdem areae possumus exhibere, quod imum videtur latuisse Diophantum,
ut patet ex quaestione oriraua lib. s. in qua tria tantum triangula aequalis area in uestigat ut tequentem quaestionem ιn tribus numeris construat qua ad insinitos ex iis quae nos primi deteximus , recipit extensionem.
PRIMvs Monus utendi duplicata aequalitate est, quando uterque numerus quadrato aequandus componitur ex Numeris Ac ex unitatibus, & numerus Numerorum idem est utrobique. Et hic quatuor casus considerari possunt. Primus casus est, eum uterque numerus & unitatum & Nume rorum a scitur signo pluris, ut accidit duodecima seeundi, ubi aequandi erant quadrato I N. -- MN N. 3. Itemque decima quarta tertii ubi aequandi erant quadrato Io N. -- 6.& Io N. -
Et hic iacilis est aequanorus ratio. Nam inueniendi sunt duo quadrati, quorum idem sit interuallum
459쪽
atque ipsarum unitatum quae reperiuntur in numeris quadrato aequandis , hae tamen lege ut maior
quaesitorum quadratorum excedat maiorem unitatum numerum, minor quadratus excedat minotem unitatum numerum. Vt cum aequantur quadrato IN. a. & 1 N. - quorum interuallum a. quaeremus duos quadratos ,quorum interuallum sit r. ita ut maior quadratorum excedat 3. minor
excedat a. idcirco sumi non possunt I. & .m que V dc o. sed sumpsit Dioptantus & ': . Si
militer cum aequandi sunt quadrato io N. 6. α Io N. - quorum interuallum O. sumit Di rhantus quadratos I 6. x q. quia Io. excedit O. α σε. excediti . pon potuerunt autem sum I. αq9. ob de tum conditionis adiectae. secundus casus est, cum unitatum numeri assciuntur utrobique signo minotis , vi accidit decima quarta secundi, ubi aequandi fuere quadrato I N. - 6 & I N. - 7. di in hoc casu absque ullae ditione sufficit inuenire duos quadratos , quorum interuallum aequet interuallum propositorum numerorum. vi in data hypotheu, quia interuallum est L duo qui ei inque quadrati unitate distat
tes, satisfacient proposito, sumpsit Diophantus A&ti sumete potuisset; de P. vel alios quo
cumque quotum interuallum sit unitas. Tettius easus est. Cum Numerorum numeri assiciunt ut utrobique signo minoris, quod nusquam accidit in Diophanto, sed nobis decimam tertiam secundi per duplicatam aequalitatem soluentibus, in hune casum cotingit incidisse,aequantibus quadrato tum y - I N. tum 2i-I N. Hic autem inuenitndi sunt duo quadrati eodem interuallo distantes, quo de propositi numeri, ea tamen lese ut maior ipsorum sit minor unitatibus maioris proposit tu numerorum; minor autem sit minor unitatibus minoris. Vt in data hypothesi, quia propositiorum numerorum interuallum est 12. Quaerendi sunt duo quadrati, quorum interuallum sit ra. ita tamen ut maior quaesitorum quadratorum sit minor qua meti. minot autem sit minor quam s. quales sumpsimus A. & ILQuartus casus est. Cum in uno propositorum numerorum , unitatum numerus ascitur signo pluris, in altero allicitur signo minoris, ut si sint aequandi quadrato I N. 8. & I N. -ia. Tuncque inueniendi sunt duo quadtati quorum interuallum sit idem, atque propostqrum numerorum, absque ulla eonditione. Sie in data hypothesi, quia propositorum numerorum interuallum est zo. inam duos quadratos, quorum interuallum sit D. quales sunt 36. & 16. Itaque in his omnibus
casibus, manifestum est propositam quamcunque duplicatam aequalitatem innitatis modis explibeati posse.
SEcvNDvs Monus utendi duplicata aequalitate est, quando rursus uterque propositorum numerorum componitur ex Numeristi unitatibus, & Numerorum numeri sunt inaequales, sed Vnitatum numerus utrimque quadratus est. Et hae duplex exsus eonsiderari potest. Primus casus est, cum idem quadratus numerus unitatum utrimque reperitur, ut accidit in prima operatione quadragesimae quinta quarti ubi aequantur quadrato 8 N. - & 6 N. - q. N in hoc casu cum interii alium proposito tum nymercitum eonstet ex solis Numeris ut vides in data hypothesi huiusmodi interuallum esse a N. quaerendi sunt duo numeri, quorum mutuo ductu nat dictunt interuallum, ea lege ut in summa eorum contineat ut duplum lateris quadrati, qui est in utroque propositorum numerorum, ut in dato exemplo cum latus quadrati . sit a. cuius duplum 4. deligendi sunt duo numeri quorum mutuo ductu fiant a N. ita ut in semi e summae illotum tepetianti ir'. unitates, unde patet alios deligi non posse quam N. & . quorum summae semissis quadratum si aeques maiori 8 N. - . vel eorundem interualli semiuiis quadratum aeques minori 6 N. M. fit utrobique I N. ita. unde Iiquet in hoc eam unicam tantum dari posse solutionem. Reducit uetamen his casus ad quartum modum, ut iniri ostendemus, qua ratione infinitis modis resolui potest. Secundus easus est, elim in propositis numeris, ina quales unitatum numeri quadrati eontinet tur , ut aceidit decima septima tet iij, ubi aequantur quadrato Io N. - N. -- q. quorum interuallum eum eomponatur ex Numeris& unitatibus, est quippe s N. - tales sunt deligendi duo numeri quorum mutuo ductu id fiat, ut in eorum summa reperiatur duplum latetis maioris qua drati, & in eorum interuallo reperiat ut duplum lateris minoris quadrati, hoc est ut in summa teperiatur 6. in interuallo . Quare per Canonem primae primi iactu repetientur huiusmodi numeri puta F.&I. Aliter eosdem numeros repeties, si eapias summam & interuallum laterum quadratorum s. &4. hoc est summam & interuallum ipsorum 3. S: a. fient enim ut prius I. Quia igitur ad conficiendum interuallum s N. - s. sumendi sunt duo numeri, in quorum altero sint unitatest in altero I. Patet non nisi duobus modis tales numeros sumi posse,puta vel f N. - - s. & I.vel IN. -- I. N s. unde liquet in hoc casu eoni sere posse ut duae solutiones exhibeantur, dico contingere posse quia plerumque unica prouenit solutio , ut in data hypothesi, non enim sumendo 1 N. y. r. solui potest quaestio, quia horum summae semissis quadratus, puta I Q. - - Is N. - '. tria ior est omnino quam Io N. s. ae proinde illi aequari nequit. Contingit autem duplex scibiti si proponantur aequandi quadrato 36 N. -- qm dc ra N. - - I quia enim horum interuallum est 2
N. - 48. constat ex tradita regula produci posse huiusmodi interuallum, siue ex 6. in N. - ου. sue ex 8. in 3 N. - - 6. Unde fit I N. vel 2. vel v.
460쪽
Porro in hoe.eeundo easu potest accidere ut uterque vel alter numerus Numerorum assiciat ut signo minor, . Ut si sint aequandi quadrato 36-6 N.&i6 -IN. quorum interuallum zogg'Quod si potatur fieri exa. in Io - N. optimE resollietur aequatio, & fiet I N '. Ru aequanA quadrato 36 - I N.& 16-9 N. quorum interuallu in ro - io N. hoc si ro, at l. λςxi' in Io N.vel etiam ex io in a - i N. duobus modis resoluetur aequatio, re i N. vel ατ, uri a Attimen utrumlibet horum accidat, sat μ eontinget aequatione , nullatenus rei e , VL nsim aequandi quadrato 36-I N.& i5 -o N. quorum interuallum -- s N. Etenim si per regulam traditam sumantur numeri, quotum mutuo ductu sat ao 1 N. horum fuit maeseimuis quadratus semper erit maior quin 36 -I N. quia omnes illius partes incient ut signo Pluris. 'uouς, cunque minor Nuniciorum desectus se tenebit ex parte maioris quadrati, elit impossibilistionis duplicatae resolutio. Sed etsi minor desectu, iungatur minori quadrato, non semper rei otia poterit aequatio, ut si sint aequandi quadrato 9 -8 N. de ε -6N. Cum enim horum interuallum iit y-a N. siue ponas illud produci exi. in1 - 2N. siue ex s. in I - N. nil ages, nam horum tum niae semissis quadratus semper erit maior quam v-8 N. Similiter cum numeri ex una tantum rar deficiunt, potest impossibilis esse aequationi siesbii tio, vis sint aequandi quadrato 36 - 3 N. MI 6 - 9 N. Cum enim horum interitallum silao - . ia N. non potest id fieti nisi ex 2. in io - ο N. ves ex io. in a. - N. sed utroque modo, illorum summae temissis quadratus ni aio: est qu)m 3οr N. Quia veto & casus iste saecundus eum omnibus suis symptomatis reduei pineit ad Quartum modum , ut insi, docebimus, semper huiusmodi aequationes non una ratione resolui poterunt. TERTIVs Mouus est, cum mitias propositi numeri componuntur ex Numeris & Iit tibias inaequalibus multitudine, & unitatum numeri quadrati non sunt, sed Numerorum nuthera lunt
plani similes. Ut accidit decima octaua R decima nona tellii. Itemque trigesima quinta quarti . Et reducitur hic modus ad primum , saciendo numeros Numerorum aequales. Nam intercum minodueitur in denominato tem rationis quam habet ad eum maior , 8c sic fit aequalis maiori, ut DP
sma quinta quarti, Vbi cum aequandi sint quadrato 61 - 6 N. N 24. a . etio quadrupla ducit ut 4. in 61 6 N. & fit 166-2. N. Iam e si aeques quadrato 26o - γ.& Θ N. id perages pet ea quae dicta sunt de tertio ea tu primi modi. Interdum vero ad vitai das stactiones sumuntur quadrati duo in eadem ratione quam habent inter se propoliti umerorum numeri, quique habeant nartes propositis sexctionibus expresso, & maior ducitur in minorem,& minor in inaiorem, unde productorum existit aequalitas ob ideiuitatem pri portioni: Sie decima octava terti j cum aequanti sint quadratos: N. - εἰ & N. - lanitiis Numerorum inter te sit ratio quadrupla, non ducitur tamen . nil olemri Numerorum sunt quadrupli, sumuntur quadrati de i6. in eadem ratione qui habent partes stactionibus expressas, puta de l. Factaque decussatim multiplicatione sunt aequandi quadrato
ION. - 26.&ION. -t qui est secundus casus primi modi. Caeterum aduerte simili motius atti-fieio easum secundum feeundi modi reduci posse ad primum. Sint enim aequandi quadrato μ α
- i6.&IN. --4. Quia 16. ad 4. est in ratione quadrupla, si ducas A. in 7 N. -- q. fient iam aequandi quadrato 28 N. -- I6. & p N. - - is. qui est primus casiis secundi modi. Quod si unitates quadratae in propositis numeris contentae, sint minimi in suis rationibus numeri, tunc ad vitandas fracitones, commodius erit quemlibet propositorum inumerorum vicissim multiplicare per unitates alterius, ut in hypothesi decimae septimae tertii, ubi aequandi sunt quadrato Io N. -- 9. di s N. -- 4. duces . in Io N. - y. 8c duces 9. in s N. - q. fientque quadrato aequandi N. - 36. dc εἴ N. - 36. Et in uniuersunt quoties rationis quadratorum talis est denominator, ut eo durio in illum propoli totum numerorum, in quo continetur minor quadratus, non fiat integer numerus Numerorum, sumptis similiter minimis in ratione quadratorum eorundem , pet eos decussatim multiplicabis propositos numeros, ut si sint aequandi quadrato, Io N. - 36. des N. - fumes minimos in ratione dis ad r6. puta p. de 4. le per eos facta decussatim multiplieatione, fient iam aequandi quadrato UN. - - 144, 3: N. - I q. qui est utique primus casus secundi modi. . . . QvAR Tvs Monus est, elim propositi Numeri quadrato aequandi constant ex Numeris de viniis ratibus,3t unitatum numerus 'uadratus est, &idem utrimque, ut in primo casu secundi modi. Sed eum per seeundum modum vix una aut altera contingat solutio , per hunc quarium nidium infinitae possunt exhibeti solutiones , etiamsi requirat ut ut valor Numeritos limites. Sie Diophantus quadragesima quinta quarti aequauit quadrato 8 N. N 6 di. q. volens valorem numeri minotem esse quὶm a. Cism Pet secundum modum , valor Numeri necessitio fili iij. 8t hie triplex casus consid ri ρο ζst . α α P imus casus est, quando uterque propositorum minariorum, continet Numero astedios signo