장음표시 사용
431쪽
fieri posse docuimis ad duodecimam, quia let. & et . simul conficiant quadratum, & qui talis quadratus suinendus est minor quam s. ut aequati possit 6 N. sic polito quod 6 N. Mquem
turi it i N. l. M sint latera quaesiti uianguli V. I. 4.enque area unde auferendo sigiuatim latera circa rectum, lupellunt quadrati l . N l. mod autem ad extremum, ait Diophantus, loco vnitatis, sumi posse alium quadratum, verum est implorando auxilium lemmatis ad duodecimam allati. Id tamen caute agendum, quia quadratus ine debet esse minor quam s. Quare sic ratiocinatur Diophantus. Imprimis loco Ia 2 .iuiam 3 Q. - - o. cuius rei duplex assignati potest causa. Prima est quod abius a . iuuiit quadrant m 3 Q. - 6. suo mole, ut rem in minimis confietat , de euidens est si 3 9. aquc ut quatiato, sine ut & eius quadruplum lain et . sit quadratus. Secunda cauta, quae mihi magis arridet pendet ex dictis ad duodecimam. Quia enim ra. est planus sub lateribus trianguli perduia imminuenti, at a . est solidus sub maiore laterum , sub interuallo eorundem, di iubar ea contentus, diuidendo utrumque per maius laterum carea rectum, puta Φ. qui est quadratus ex lege duodecimae fiunt numeri s. &, Quorum prior est minus laterum circa rei iuni, pollerior est Plauus sub area & interuallo laterum, quare hoc diuiso per interuallum laterum quod etiam aequaturquadrato ex lege duodecimae otimi ipsa area, quae rursus per duodecimam adscito minore latere facit quadratum. Quamobrem ex ultimo lemmate quod ibidem attulimus , constat 3 - 6. aequali posse infinitis modis quadrato. Ponatur eius latus I N. I. erit quadratus I Q -- a N. I. quo ducto ii 3. de producto addendo O. fit 3. -- 6 N. - - s. aequandus quadrato, cuius latus finget ut 3 - certo Nutrierorum mamero, sed quia quaesitus quadratus debet esse minor quam 5. eum latus proximum ipsius 6. sit oportet latus quadrati quaeliti esse minus quam '. inare cum ponaturri clatus IN. - . I. si auseras unitatem , remanet due quo patet minorem esse debere i N. Proinde cum aequando quadrato 3 Q -- 6 N. -- p. debeat fieri valor Numeri, quodam quadrato multato tetitatio, diuidente sextuplum sui lateris auctum senatio, si potiatur huiusmodi quadratus I fiet - . . . ruinor quim b. & tandem fit y N. -- sq. minor quam 13 34a aequatione, ut par est, per approximationem resoluta, fit I N. maior quam x Quare numerus Numerorum in latere sciitio ponendus excςdere debet y. . Ponax ut verbi gratia latus illud 3.-6N. fiet I N.
Quare latus quadrati quaesti, quod positum erat i N. - . I. erit :. ipse quadratus Proinde α πη N. statuemus aequalem Q , fiet a N. Quamobrem erit quotum triangulum Er. fit unde auserendo sigillatim Iatera eirca rectum, manent quadrati a lateribus VI. Quod si lubeat uti triangulo 36 N. N. ς' N. fient aequales quadrato 878 6 QO N.&878 6 -36; Nac ductum Diophanti sequententandem inueniemus I7s692 aequalem quaLato, de omnia diuiuendo per o . maius latetum circa rectum, quod est quadratum. set 363α- i 29366. aequalis quadrato. Quod fieri potest infinitis modis, quia ducendo in 363. quiaratum Iai interuallum scilicet laterum circa rectum & producto addendo lo62 366. fit quadratus. Quia vero oportet quadratum quaesitum minorem esse quam 878 6. sumemus ipsi imiai. vel inueniemus alium eodem quo supra artificio. Quod si sumamus 12I. fiet 878 6 QE- 8 N. aequalis i21Q. unde fit t N. Sunt emo quo siti trianguli latera ' p. estque area P. 1 detrahendo sigillatim latera circa rei in , manent quadrati m ,.quorimilatera & xi,
sutam rectangulum ut alterutram laterum circa rectam multatum area facias quadratum.
INV Ni κε triangulum rectangulum, ut numerus areae tam hypotenuia quam altero laterum circa rectum detracto, sa-ciat quadratum. Esto triangulum datum
specie 3 N. N. s N. & rursus oportet
quaerere 6 Q. -s N. aequalia quadrato, &Q.-3N.aequalia quadrato. Et si fecero
6 Q - 3 N. aequalia quadrato, fit i N. a. sub denominatione partis si Q. de tab
432쪽
inuento numero, o Q si uiri s . subdeno naitiatiotae partis is in- - ia in Soportet a stib denominatiotae partis r 3ο - ia in auferre Vo I liii, cui tomi iratiotie eiusdem partis , &reliqua aequalia facere quadrato. Et pars quidem quadratus est. Ergo etiam is Q. - 36. aequalida sutit quadrato. Atque haec quidem impossibilis est aequatio, quia i s. in duos non diuiditur quadratos. Non autem omnino impossibile est quod initio erat propositum. Oportet ergo determinare de triangulo. Facti sunt enim is ex quodam quadrato minore quam arcae numerus, ducto in producti im ex hypotenusa in unum laterum circa rectunt. At quae desunt vilitates 36. filiit ex solido contento sub area, & uno laterum circa rectuin, re interitatio quo liypotenuia superat idem latus. Eo itaque res dedi icta est, ut prius oporteat inueniri triangulum rectangulum , & quadratum numerum minorem area , ut quadratus ductus in productum ex hypotenuia in unum laterum circa recti im , detracto Glido contento sub area , praedicto latere, Scinteruallo quo hypotenuia superat idem latus, faciat quadratum. s Factum esse ex duplo producti eorum , & omnia diuidamus per productum ex hyporenuis in praedictum latus, quaeremus rivisus alium quendam quadratum , quo ducto in productum ex hypote ivisa in unum laterum circa rectum in primum latus interualli quadratum. BEt si statuamus eos a quibus triangulumem agetur , planos similes , distatuemus qliae itionem. Formetur triangulum abs .& i. At quadratus, ut minor sit numero areae, esto 36. ac sermans triangulum statuo illud ita numeris 8 N. is N. 1 N. fit nutrierus areae detracto uno laterum circa rectum 6o - 8 N. Haec aeqtiamur 36 Q. &fiti N. i. Ad positiones. Erit triangulam l. manet. πιι ου oc μοι- αιδι ἀπι- ἐξ-ι εδε ξ. δ' ἄμα M p δ is διὸ
Hic qiiod attinet ad primam operationem . eluti ea similis sit omnino operationi diratum praecedentium, nihil est quod nos motrivi. autem ait Diopliantus 36. eae solidum cinHrentiam sub area. uno laterum circa tectum, & tutetuallo inter hoc Ie by potenuiam, idem ess orsus eum theoremate ad decimam tetriam demonstrato. Deniqi in quod ait Is Q. -36. aequari non pol se quadrato quia Is. non diuiditur in duos quadratos, pendet ab iis P mox ossent su-
433쪽
Hus. Necessitas autem secundae operationis euidenter colligitur ex desectu prioris. Nam ad hoc ut Q -- 3s Disit aequari quadrato, oportet inuenire quadratum quo ducto in is & 1 producto au- 'endo 36. maneat quadratus. Et cum quadratus inueniendus aequari debeat 6 CL - N. curandum est , ut iit minor numero areae 6. Quia crgois. est planus sub by Potenus a de altero laterum , at 36. est Alidus lub area, praedicto latere, &interuallo inter idei .i iacus & hypotenusam, euidens est quaerendum esse triingulum, & quadratum minotem area trianguli, ut quadrato ducto in productum ex hypote lain unum laterum circa rectum , fiat numerus a quo detrahendo solidum iubarea, praedii: to latere, & interuallo inter idem latus & hypotenusam , relinquatur quadratus. Equidem triangulum fingendum esse ait Diophantus a duobus numelis qui sint plani simile . sed qua ratione id colligat. α unde sumendus sit quadratus, non constat ex comi pulsimis illius 'vel bis quae id citeo astetis eis inclusimus more nostro. Quorum tamen desectum ut ego suppleant, pronuncio , quadratum illum, eum esse qui fit ex quadrato interualli dictorum planorum simili uin, an quadratum qui fit ex mutua eorundem multiplicatione. Quod ut demonstrem, di simul tri Dcutissimae lucem afferam , aliqua prius suppono. Primum suppono, in quolibet triansulo esscto per methodum , Diophanto traditam, quamque demonstrauimus stopositione qui maiib. terti j potita. hypotenusam superare quadrato numero, latus illud quod ni bis ex mutua ni ultiplicatione numerorum a quibus es lictum est triangulum. Quod euidens est, quia hypotenusa est summa quadratorum, a qua si auferatur duplum multiplicationis laterum , superest quadratus interualli laterum per quartam secundi potismatum. Secundo suppono, interv xllunt duorum : quadratorum esse maius quadrato interualli laterum, quod ipsi in iam demonstrauimus ad sextam secundi.
Tertio suppono, in triangulo efficto a duobus planis similibus, si excessus hypotentiis petu ι latus illud , quod aequatur interuallo laterum , ducatur in alterum latus, neti A s. Κ, quia ratum. sint enim plani similes A B. quorum quadrati CD. quorum summi E interuallunt F. tum ex A in B fiat H. cuiua duplum G. eritque E F G. iii an uulum rectangulum. Sit ergo Κoeessiis E super F. &ducto Κ in G. fiat L dieo Lege quadratum. Quia eniin A B sunt plani similes, ' erit H quadratus. Et quia E est summa duorum C D. At F. est eorundem intervallum, detracto F exE. reliquus Κ erit duplus ipsius D. Cum ergo G. c. sint dupli quadratorum Ho sequit ut Gad K habere rationem quadrati ad quadratum, ac proinde G Κ sunt plani similes, ' & productus ex eorum mutuo ductu, puta L quadratus est. Quod demonstrandum erat. Ilis positis, totum quod supponitur, Diophanto, sic demonstrabitur. Sint plani similes A tas. N peris
Item ducto C in E fiat L quo ducto in H sat P. & rursus dii E in M. fiat R. quo ducto in a fiat Q. Dico si in solidus sub area
M. altero laterum circa rectum Ε, &-Ginteruallo inter idem latus de hypotentisana, auseratur ab ipso P. qui fit ex quadrito id in L planum sub hypotentiis C depraedicto latere E contentum, residuum esse quadratum, de ipsum quadratum H esse minorem area
tribus numeris o E K. Quia ex Din Κ fit M. cruo ducto in E fit R. set idem R. si E ducatur in D. de productus N in Κ. Igit ut Ix fit ex N in K. Rursus eadem Me causa coiisderatis tribus G Κ N.
Quia ex K in N. st It ut ostensum est, & ex R in G si solidus in idem in fiet ducto Κ in G. &producto H in N. Igitur Q. producitur ex H in N. At per constructionem ex eodem H in L fit P. Ergo P. sumat .nunieto qui fit ex H in interuallum ipsorum LN. Atqui eum ex eodem E in ipsos CD. fiant L N. patet etiam L superare N. numero qui fit ex H in interuallum ipsorum CD. hoe est quadrato F. Igitur P. superat producto ex Hin F. sed hie productus est quadratus, cum
vietque H F quadratus sit. Ergo P. superat Q. ,quadiato numero; quod erat intentum. Deinde quadratum H minorem eme area M. probatur. Etenim cum ex eodem Κ in ipsos G D. producantur
H M , & D sit maior quὶm G per secundum suppositum , constat & ipsum M maiorem esse qu imH. God erat propontum. Denique L componi ex duobus quadraus eoinat ex septima tertii potismatum, quia scilicet producitur ex C in E quorum Herque componitur ex duobus quadratis, puta C ex quadratis ipso rum Α B. At Eo dii plo quadrati X. unde etiam per Scholium propositionis citatae apparet ipsum L componi tantum semel ex duobus quadratis, quia E non eomponitur ex quadratis inaequilibus. Sunt autem quadrati ex quibus L componitur. ipse H qui fit ex K in G. & quadratus qui fit ex eodena Κ in quadratum summae amborum A B. Ex
434쪽
Ex his sata quae cum incredibili labore comnienti sumus, eausa omnium quae peragit Di phantus iit manitelia. Reliqua operatio nil habet difficultatis, cum sit penitus similis operationi duarum praecedentium. Eam tamen in studioibium gratiam non pigebit adiicere. Formatur tria sulum , .eca. dc constituitur specie, puta 17 N. Is N. 8 N. fit area multata tum hypotenula, tum latere tertio in i 7 N.&6OQ 8 N. Quare vitiamque aequare oportet quadrato , quod si6o x 8 N. aequemus quadrato, quaerendus erit quadratu, quem auferendo 1 6o. & per tenduum diis uidendo ου. fiat quotiens cuius quadratum ducendo in tio. de a producto auserendo quod fit ex 17. in supradicti ini quotientem, remaneat quadratus. Esto quaesitus quadratus. I in hunc auserendo 1 6o. di per residuum diuidendo 8. fit quotiens οδ α cuius quadratus . 4 4 .quo ducto in clo. . eat . unde si auseras productum ex II. in re et . pura leu sub eadem denominatione remanet aequandus quadrato. late eum denominator sit quadratus, superest ut numerator 136 Mro. aequetur quadrato, quod facit E fit, quia ex supra demonstratis quadrato36. ducto in I36. N , producto auserendo q32O. remanet quadratus. Est ergo I o 36, Quamobrem oo .-8N. aequalis erit 36 Q. Bd fiet i N. z. erunt igitur trianguli Iatera V. si area . unde auferendo tum l. tum et . remanent quadrati seu q. dc ζ. seu I. letum quaestio infinitas recisi solutiones, tum quia loco ipsorum 4. de r. sumi possibiliqvi libet alii plani fimiles a quibus estingatur triangulum. Tum quia sumptis iisdem 4 E: I. inueniti possunt infiniti quadrati loco ipsius 36. vel minores ipso 6. vel etiam maiores, qui tamen non excedant aleam oci. quibus ductis in i36. & de producto auserendo quo. relinquatur quadratus, ut docebimus ad sequentem.
DAris duobus numeris, si aliquo
quadrato in unum eorum ducto, &altero de producto subtracto , fiat quadratus; inuenietur de alius quadratus maior quadrato prius sumpto, qui hoc idem praestet. Dentur duo numeri 3. & ii. Sequadrato aliquo , puta a latere f. docto in Sa producto detracto ii. fiat quadratus a latere 3. Oporteat inuen ire alium quadratum maiorem quam et .qui hoc ipsum praestet. Etho latus quadrati s N. s. sit quadratus i in io N. - a . Huius triplum dempto ii. fit 3 3o N. - σε. aequale quadrato ; sit eius latus 8-i N.&fiti N. 6 r. Est ergo latus 67. quadratus 4 89. qui praestat imperata.
le omnia sunt perspicii a. clateriam quod vult Diophantus quailratuin quaesitum maiorem essex L quadrato expoia, id agit obsequentem quaestionem, inquatile quid postulatur,x ad quem e est veluti te ina. Sed hoe non eisi sic accipiendum , quas In simili sere operatione, non
possinus etiam inuenire quadratiim minorem. Sint enim iidem 3. Sc II. dati numeri, dc quadratus; . ductus in I. iaciat 7s unde aituerendoli. supersit qua status 6q. volo reperire ilium quaciatum minorem ipsoas. qui hoc idem praestet. Pono latus eius S 'I N. em quae ius 2 -ION. -- r in
quo ducte a. de ex producto inserendo D. supeost 6 -30: ε 3 STtItus ita fingetidum est, ut fiat i N. minor quesii s. fiet autem I N. ponendo latus fictilium g - tot Numeriri de quorum quadrato auferendo . per residuum diuulet ut sedecuplum iotarum Nitine- roriam multatum numero 3ο. Quare ii ponatur quaesitus Numerorum numerus I N. fiet i. minor quam s. dc tandem i6 N. minores quam sin-- is. quod per te manifestum est, quia qua tratus semissis humeri numerorum puta 6 minor est qu in productus ex quadratis in unitates puta quam c. vhae patiat nulla hie opus esse Numeti determinatione, sed ponimest latus fictilium 8- quotlibet Numeris, quotum qua iratus excedat 3. Ponatur 3-2N. fiet I N. a. Quare latus quadrati quaesiti quod positum erus se i N. erit 3. de satisfieit proposito. nun eius quacitato s. ducto in 3. fit a7. unde si austratui Iutemanet quadratus I 6.
435쪽
Hac ratione, ut iam monui , applieabis hoc lemma praecedenti quaestioni. Nam primo reposti, numeris Ma quorum altero ducto in quadratum 36. altero de producto sublato, relinquitur quadratus s7 inuenies alium quadrat uni minorem quam 36. qui prasset idem. Eso latus illius 6- i N. huius quadratus ductus in tui . di multatus numero q32o. ni 176--163a N. 136 aequandus quadrato. velum latus quaesiti quadrati non solum debet esse minus quam 6. sed etiam quia quadratus talis esse debet ut eo ducto in I 36. producto possit auserit q32α cum diuiso Aaro. yet 135. fiat 3I. cuius latus serὸ est y oportet utique Iaius quadrati non esse minus quant 1 :. at illud positum est 6-IN. quare cum auferendo 1 4 6 - 1 N. supersit 4-IN. curandum est utique ut i N. sit minor quam I. Igitur numeri 176-I63a N. -- I36 Q. latus ita fingendum est ut prodeati N. minor quam et. Quamobrem si modo sap/ Hias uobis usitato, determinationem qua ras numeri Numerorum in Iatere fictilio ponendorum , inuenies latus fingi debere 24 - tot numctis qui sint eiusqLirim 34. Ponatur ergo a - ca N. fiet I N. i':. quo detracto . o. manet latus quaesiti quadrati Ipse ergo quadratus est 'dixta'. ducto in I 36. st unde si auferas η3m vel sub eadem aenominatione 't. .: '. manet quadratus a laterem Deinde si velis adhuc quadratum maiorem quam 36. minorem quim 6o. pone latus illius 6 -- i N. quadratus ductus in I36. & multatus numero 43ao. fiet y76 - 163a IIc aquandus quadrato. Sed quia valor quadrati debet esse minus quὶm do. cum latus proximum ipsius εα sit & ab hoc inserendo latus quadrati quaesiti quod positum est 6 N.supersi r i N.patrex N. minorem esse debere quis s quaeras determinationem numeri Numerorum in Ia tete fictilio ponendorum, invenies latus illud fingi debere a3 - tot Numeris qui excedant ps P oatut ergo 24 - 16 N. fiet 1 N.M. Quare latus quadrati quod positum est 6 -- i N. erit ipse quietatus . . qui utique minor est qiam . eoque ducto in IV. di de producto auferendo q3ro. remanet quadratus a latere q. .
numerus areae tam hypotenusae quam alterius laterum circa rectunt numero
adscito, faciat quadratum. Si statu an usillud datum specie, rursum cogimur determinare , & quaerere triangulum rectangulum, & quadratum numerum maiorem areae numero, ut quadratus dueius
in productum e by potenuia in unum laterum circa rectum , detracto solido contento sub area , de praedicto latere circa rectum , & interuallo hypotentiis sepra praedictum latus, faciat quadratum. Formetur ergo triangulum a 4. & i. &sit quadratus 36.Sed is non est maior areae
numero. Habemus igitur duos numeros,
alterum quidem qui fit ex hypotenuia in
unum laterum circa rectunt, nempe Ir6. alterum vero , solidum contentum rubarea,vno laterum circa rectum,& excessu
hypotenuis supra praedicti im latus, nempe Meto. Quoniam igitur quadratus alia quis , puta 36. multiplicatus in 136. de detracto Aaro. facit quadratum, quaerimus autem quadratum maiorem esse quam 36. si statuamus ipsum I Q. Ia N. superiorem sequamur demonstrationem, inueniemus infinitos quadratos quaestionem luentes. Quorum unus erit
436쪽
et Entetur benefeio nurra methodi sequens quaestio alioquin dis illima. Inuenire
triangulum rectangatam utram hypotenus a quam γnam ex titeribus detra ἰ area faciant ρ dratum.
EX adnotatis ad duas praecedentes. omnium hie aguntur eausa fit manifesta. Quare sufficiet integram subiicere Operationem. Ponatur triangulum datum lyeie 8 N. 1s N. 17 N. fiet area 6 Q. cui adiiciendo tum hypotenusam II N. tum latus 8 N. fiunt I N α 6o Q - S N. aequanti quadrato. Quod si instituamus aequationem respectu . --. 8 N. H etiam valor Nu meri steti nu mero ritε applicari possit, opportebit inuenite quadratum a quo iusciendo per residcum diuidendo R fiat quotiens, cuius quadratus sexagesies sumptus , adscito latete suo decies di septies, faciat quadratum. Esto quadratus quaesitus i in detracto G. fit 1 - 6o. per quem di uideado 8. fit cuius quadratus si ducatur in co fit iaci. cui si addatur decies di septies ..... hoc est sub eam denominatione net utique. ' 'o aequandus quadrato. Quare cum denominator sit quadratus, restat, ut numerator 115 - 432o. aequetur quadrato. Quod factu sit eum ex demonstratis ad decimam quintam qu drato 36. ducto in i 36. N de producto auferendo 3ro. supersit quadratus. Verum quadratus 36. hic usui esse non potest, quia non est maior quam Go. quod necesse est, eum quaeramus quadratum aequandum cum so Q -- 8 N. Igitur implorandum est auxilium praecedentis lemmatis, & inueniendus quadratus maior quam 36. immo quam fio. quo ducto in i 6. & de producto aliferendoq3ao. relinquatur quadratus. Ponatur latus qxiaesiu quadrati 6 -- i N. fiet quadratus 36-ia μ- i auo di icto in Sc de producto auferendo q3ao. fit 1 6 - I6;χ N. - Ι36 aequandui quadrato. Quia autem quadratus quaestus debet esse maior quam εα sumpto quadrato proximEmaiore quam o. puta 6 . cuius latus 8. , quo auferendo 6. remanet 2. patet ita fingendum latus quadrati ; ut N. non sit minor quam 2. Quare si quaeras Numeri determinationem inuenies latus litatium poni debere a ' tot numeris, qui non excedant 2I. ita tamen ut eorum quadratus excedat 36. quales sunt omnes numeri a iti usque ad 2I. inclusiuE. Ponatur ergo 14 16 N. fiet I zo. Quare latus quadrati est s6. Ipse quadratus 576. mitemus ergo 6 6 Q. eum 6o Q F 8 N. fiet x N. latera quaesiti trianeuli erunt ἰἰ Area fit eui ii adiiciatur tum hypotenus tum primum latus, fiunt quaa rati & quorum latet a
IN vs Nia a triangulum rectanguluna, ut acutis eius ansulis bifariam scissis. numerus angulum lecantis sit rationalis, Ponatur secatis angulum bifariam 3 N. unum vero segmentum basis 3 N. ergo cathetus erit N. Statuatur itaque ab initio basis unitati ina quotcunque quae trientem habeant. Ac sit 3. erit igitur
reliquum basis segmentum 3 -3 N. sed quoniam angulus bifariam sectus est, &cathetus ad abscissam partem est sesquitertia, erit 3e hypotenusa ad reliquum basis segmentum , sesquitertia. At positum est reliquum basis segmentum 3 ET P ΕΙ N rhim. νον οροσγ ώνιον, ἔ- oo - Φε-ου-e εἱ- Ιων αν-ῆ -τος.
437쪽
2 3N. Igitur hypotenuia erit - N.Restat
ut huius quadratus , ne inpe Is Q. - 16 32 N.aequetur quadrari, laterum carca rectum, hoc est i5 -- - & fit i N. dereliqua sunt manifesta. Et si omnia ducamin 32. erit utique cathetus 28 Basis 96. Hypotenti a Ioo. At secans angulum 33.
HIe nulla ser E est dissicultas. Nam quod ait Diophantiis Cathetum ad alteriam baseos seg en- tum eandem habete rationem, quam habet hypotenuia ad alterum eiusdein baseos segmentum, id mani sestὰ insertur ex tertia sexti Euclidis. Sit enini triangulum rectangulum Λ B C. N ducatur Α D secans angulum acutum A bifariam. Quia ergo . ut ostendit Euclides loco citato, se habet A B ad A C. ut BD ad DC erit & permutando A B ad BD, si ut Α C ad C D. Quod est proposituit . Itaque sun it - Diophantus latera trianguli rectangulis. Φ3.&con- . - D 3N s stituens illud datum specie , applicat lateribus tristi
guli A P B. tuque A 2 1 N. AB N. B D ; N. Necesse est autem A B statui maiorem quam L D.
quia enim est A Bad BD. ut A C ad CD. sed AC maior est quam C D. immo quam tota C a. erit α Α Η maior quam B q. Tum vero tota basis C B ponitur quilibet unitati im nomerus cui Iubeat trientem ad vitandas fractiones, puta 3. Quare fit reliquum segmentum CD. 3-3N.Athypotenula AEq- N. cuius quadratum aequando quadratis laterum circa tectum fit i N. uateri Uen ... B UN. A C 'I. secans vero A D Z. & si omnia multiplices per 3a. fient 12 es Aoo s.hoe enim licere constat ex prima tertij potismatum. Quod si loco trianguli s. q. . sumas illud AD A Qt minisestum' st pyφῖς QRς inuςnies latera trianguloiuni ACB Caeterum non docet Diophantus quomodo inueniri possit triangulum rectangulum , ut numerus angulum rectum secantis bifariam sit rationalis. quia id est impossibile. Qiod si e demonstratur. Λ Esto triangulum rectangulum ABC. rationale, & du-eatur Α D diuidens angulum tectum A bisai iam. Dico A D non esse rationalem. Diicatur enim ab angulo Di inea D E. perpendi eulatis ad latus Α C haec sata cadet intra triangulum A D C quoniam ansuli D A Q DCAsi in t acuti. Itaque ' quoniam est B A ad A C. sicut B D ad D C erunt & componendo B A. A C. simul ad A C. sieut tota B C ad D C. sed A B. A C sunt ta-
Mare cum B C. C A. DC. sint rationales, em &quatia CE rationalis, ac per consenuens&re
ή -' duplus cst quadrati ipsus A E quare cimi A Eosthus. 6d Est dyb xvr ii' numς is quadratus quadrati duplu,.
perci uni. Quod erat demonstrandum.
Quoniam veris pleraque non iniucunda problemata proponi possunt ad inueniendum quotlibet rei angulum in rationalibus, ita ut vel prpendicularis a quolibet angulo iii latus oppostum ducta Vel etiam linea diuidens basilii vel angulum bifariam, si rationalis , opere pretium Predur ei h laeo explicare. Equidem aliqua horum iam tentariit vir doctissimus C istophoriis Clauius ad duodecimam, Et ad decimam tertiam secuirili Elementorum, sed praeterquam de sola exit perpendi. culari , municat tum proportione propositum absoluit, nee vllan: profert demonstraen Nos autem Ae uniuersaliorem methodum pruseremus, ela omnia demonstrando persequemur ζ n
lum de perpendiculati, sed & delinea basim vel angulum secante bifariam nondL Vulsa pio
438쪽
blemata subiiciemus. Sed quoniam, ut professi sumus, nil, ii quod ab Euclide demonsbataim non
sit sapponere nobis propos tum est, ne alio lectorena amandemus, demonstranda sunt in primis lemmata quae sequuntur.
LEMMA PRIMUM. In omni triangulos duae perpendiculares a quibuslibet angulis ducantur ad opposita latera, erit ut latus ad latus , ita reciprocς Perpendiculat , ad perpendicularon.
Esto triangulum A B C. & ab angulis C A ducat tui in latera opposita Λ L. C B. perpendicu C late, C D. A E. dico esse ut latus A B ad latus B C. ita teciprocε perpendie, larem A E ad Perpendiculare in C D. Nam vel vitaque
perpe icularis cadit intra triangulum vir lima sigilla; vel aia , iter, ea sit intra, altera extra, ut in icciriada figura. Vel utraque indit extra urin tertia figura. Vel secunda perpendicularis , adiein ipsum angulum , unde demittitur prima ,-vι in quarta figura,
de iii duobus prioribus casibus unica est demonstratio. Quia enim trian pila C D B A E A sunt aequangula, cum in utroque sit at pulus ructu sis N angulus B communis, ' erit A B ad A E. sextu. ii eut CB ad CD. N pcrmutando, erit A Blatus , ad latus CB. C se ut perpendiculari: A E ad perpendicularem C D. Quod erat propositum. Αunt cito D casti, quoniam etiatriansiit a C D B.
gula , eo quod in utroque sit angulus Is . primi. rectus, & anguli
ad verticem C B D. A B E. sint atquese, , sequitur ut prius esse Α B ad A E. si eut C D ad c D.
Q re re permutando erit A B latu . ad litus C B. sicut perpendicularis A E ad perpendicularem CD. Mamobrem patet propositum. C Denique si perpendicularis A C. eadat in ipsum angulum C. unde demissa est perpendi eularis C D. vi aceidit in trianiatulo rectingulo ς erit ob similitudinem triangulorum C A B. A D. ut latus C B ad latus B A, sic perpendicularis C D. ad perpendieularem C A. & Rulsus ob similitudinem triangulorum C A B. C D R. erit vi latus C A ad latus A B. si e perpendicularis CD ad perpendicularem C B. Quod ipsum
etiam demonstratum est ab Euclide ovilia sexti. Quam brem ex omni parte patet propositum.
Hinc sequitur si omnia trianguli latera sint rationalia, Se una perpendicularium rationalis, & reliquas perpendiculares a reliquis angulis demissas, fore rationalcs.
Quia cum quatuor proportionalium , tres sint rationales, necesse est & quartam esse rationalem.
LEMMA SECUNDUM. Si a quo uis angulo trianguli demittatur in basim perpendicularis, interuallum quadratorum a lateribus angulum comprehendentibus, aequale est rectangulosiit, tota basi de interuallo segmentorum basis, vel sub tota basi de aggregam segmetitor uin basis
In triangulo ABC sit demissa in basim BC. perpendieulatis A D. quae primo eadat intra triangulum, di eo interuallum quadratorum a lateribus A B. A C. aequale esse rectangulo sub tota B C. α interuallo segmentotuin B D. DC eomprehenso.' inia enim ' quadratus ipsius AB. aequatur quadratis ipsarum A D. DR & quadratus ipsius A Qaequat ut quadratis ipsarum AD. DB. erit excessus quadra. ti A B super quadratum A C. aequalis excessui quadratorum ab ipsis A D. D B. super quadratos ab ipsis A D. D C.& auferendo utrimque communem quadratum ipsius A D.
439쪽
erit interminum quianaeorum ab ipsis BD. DC. aequale interuallo quadratotum abi AB. A C. Porro interuallum quadratorum ab ipsis B D. CD. aequatur rectangulo sub tota BC. &imet uallo ipsotuin BD. C D. Igitur&interuallum quadratorum is ipsis AB. AC. aequatur retringulo sub tota B C. & sub intriuallo ipsarum B D. C D. Quod erat propositum. Deinde cadat perpendicularis A D. extra triangulum. Dico interuallum quadratorum ab ipsis A B. A C. a quati rectangulo isub basi B sub ata egato segmentorum B D. C D. Nam ut pinis, . qui ' quadratus A B. aequatur quadruis ipsarum B D. A D. & quadratus Α C. aequat ut quadratis Λ ipsarum A D. CD. ablato utrimque communi quadrato ipsius A D. interuallui . quadratorum ab ipsis A B. A C. aequale est interuallo quadratoram ab ipsis B.D. C D. M interuallum quadratorum ab ipsis B D. C D. aequatur tetringulo seb B C. ii teruallo ipsarum BD. C D & sub antesito earundem BD. C D. Igitur interuallum quadratorum ab ipsiu Α B. A C. aequatur tectangulo sub basi B C. te aggre to segmentorii in BD. CD. Quod demonstrandum erat.
COROLLARIUM. Hinc ninnifeste sequitur si omnia latera trianguli sint rationalia, &segmenta quoque basis a perpendiculari lacta , esse rationalia.
Nam eum latera angulum comprehendentia erum rationalia, erit de interuallum quadratorum ab ipsis, rationalis nummus , quo diuiso per basim rationalem, prodibit vel interuallum, vel aggregatnm segmentorum basis rationale. Quare de ipsa segmenta rationalia erunt.
LEMMA TERTIUM. Si ab angulo acuto demittatur intra triangulum perpendicularis in basim, erit in inor proportio cujuslibet segmenti baseos ad perpendicularem, quam perpendicularis ad aliud segmentum. Sed si ab angulo obtuso demittatur perpendicularis , erit maior proportio cujustibet segmenti ad perpendicularem, quam perpendicularis ad aliud
segmentum. & angulo acuto B A C. demittatur intra triangulum perpendieularis A D. dico minorem esse proportionem B D. ad D A. quam D A. ad D C. & E conuerso minorem quoque esse proportionem D C. ad D A. qu m D A ad DB. Ducatur enim ad B A. perpendicularis A G. quae sanὸ cadet extra trian lum, quia angulus B A C. ponitur acutus. Tum ob triangulum rectingulum erit B D. ad D A. sicut D A. ad D G. sed eadem DA. ad maiorem DG. habet minorem proporti
nem , quim ad minorem o C. Igitur & B D. ad D A. minorem habet rationem qu m D A. ad D Q similitet quia est D G. ad D A. ut D Α. ad D B. N D C. minoris, ad DA. minor est proportio, quam DG. maioris ad eandem D A. erit di minor proportio DC. ad
D A quam DA ad D B. inod est proposituin.
440쪽
eadet intra triangulum ob angulum rectuin B AG. minoieni obtuso BAC sed tamen eadet inter D. & C. quia scilicet angulus -- - Β Α D. acutus est, ac proinde minor recto B Λ G. Hoc autem
B D G C posito eadem est prorsus demonstrandi ratio. Quia enim est BD. , ad D A. ut D A. ad D G. sed D A. ad D G. maior est proportio, quam D Aad D ta erit di B D. MDA. maior proportict quam D A. ad D ta similiter quia est & DG ad D A. si e D A. ad D B. sed D C. ad D A. maior est proportio, quam D G. ad D A. et it quoque D C. ad D A. maior aroportio, quim D A. ad BD. od demonstrandum erat.
LEMMA QUARTUM. Si ab angulo acuto vel obtusi demittatur intra triangulum perpendicularis in basim, itemque linea secans angulum bisariam 1 interuallum laterum angulum c8mprehendentium, est medium proportionale, inter interuallum segmentorum basis a perpendiculari factorum, de ster interuallum segmentorum quae fiunt ab angulum
.iecante linea. sit triangulum A B C. & in eo angulus B A C. acutus vel obtusus . quo demittatur peri en Λ dicularis A D. itemque linea Α E. secant ansulum bifariam. Et Inmitore latere A B. sumatur A G. aequalis minori lates A C. ita ut B G. sit interuallum laterum , sumatur etiam in segmento B D, linea Κ D. aequalia ipsi D C, ita ut B L sit interuallunt segmetitorum a perpendiculari Actorum. Denique sumat ut in B L linea H E. aequasi, ipsi E C. ita HBH sit interuallum segimentorum , secante an gulum Actorum . dico BG esse mediam proportionalem inter Κ B. HB. hoe est esse ΚΒ ad BGris Gad B H. Quia enim m- C t uallum quadratorum , lateribus AB. AC. aequatur rectangulo sub BC.-BΚ. At idem inter tum quadratonini' aequatur rectangulo sub aggregato laterum
rectangulo sub B C. de B I gitur est aggregatum ipsarum AB. Λ ad BC. licut B adnis. . .' Quyniam vero est A B. ad B H sicut AEad C E, et e & antecedentes simu
ipsi Ezetit& AG. ad HE sicut ΛR Mi BE &sicut ΒΚ. ad BG. Cum igitur sit ut tota λ m Bia sie ablata AG. ad ablatam HE. erit & reliqua BG. ad reliquam B H, sicut Ariad B E. vel B ad B G. Quamobrem est B K id B G. sicut B G ad B re Riod demonstrandum crat,
co ROLLARIUM.Hine senuitui primo interuallum segmentorum , perpendiculari Actorum, maius interuallo 2 m qu fiunt a linea secante Magulu , nem Blem'im 'A D. A C simul ad B C sed A B. A C. simia sunt maiores quam B C. ergo & B Κ maior est qu1m
BG ae proinde & B G maior est qu1m B H. mobrem multo magis B Κ maior est quam B in Secundo lsequitur maius segmentu in eorum quae fiuiu a linea secante angulum, Ut Brimitius esse maiore eorum quae h.nt a perpendiculari, puta ipso B D. Yontra E C maius esse quam D C. Quia enim BKmaim est qu1m B H. erit reliqua KC. minor quam reliqua AC. quare & h :um semict, sumendo, et it DC minor quam E Q Igitur Ecadit antet s& D. ac pioinde BE -
dium ipsius Η Κ interualli interuallorum. Quia enim o est H C. ia E C. fie ΚD C nam vitobique est ratio dupla, erit & reliquus H Κ. Mi reliquum E D. in eadem ratione
dubii. LEMMA QVINTVΜ . . - . In triangulo rectangulo, si ab angulo recto ducatur linea diuidem hypotentium bi. sariam, erit ducta linea aequalis dimidio hypotenuis
A In trianeulo rectangulo A B C. ab angulo tecto B AC sit dum linea AD diuiden, B C. bifariam. Dim Α D aequalem esse ipsi B D vel DC. Nam sint primo AB. AC aequales. Ergo & anguli AB C. A C B aequites erunt , di s. νει- quilibet eorum dimidium eiu recti, cum B AC sit rectus. Sed&angulus δυμ .. B A D. est dimidium tecti eadem de cauta Ig tur cum in trisne to ΒΑ 'B D C', rigilli B A D Α Β D. sint aeduales, ' erunt di lateo B D. A D. aequalia. , Ud erat propositum.