장음표시 사용
441쪽
Deinde A B. A C. sint ira quales, sit A C.maior quam AB Quia ergo latera A D. D C. trianguli A D C. aequalia suiu lateribus A D. D Berianguli A B D. & basi, A C.basi A B maior est, . erit angulus A D Cangulo A D B maior. inare ADC obtusus est, ae proinde perpendicularis A G. cadit inter B & D. ne in eodem triangulo alter angulus sit rectus, alter obtulus' & tres anguli trianguli sint duobus rectis m
, iores. Itaque quia B C Diuisa est bifariam in D. & inaequalitet in G. quadratus semissis D C.
aequalis evrectangulo sub BG. GC.& quadrato ipsius G D. At quoniam' Α G. est media proportionalis inter BG. G C. rectangulum sub BG. GC aequatur quadrato ipsius ΑG. Igitur qua--- dratus ipsius DC aqv tur quadratisipiarum A G. GD. sed eisdem quadratis mitatur quadratus ipsius A D. ergo quadrati ipsorum AD. D C. aequalςssunt inter se, ac per consequens A D. aequatur. ipsi D C. Quod erat demonstrandum.
LEMMA SEXTUM. In oxygonio triangulo, linea quae ducitur ab angulo acuto diuidens basim bisariam maior est dines dio hasis.
In triangulo oxygonio A B C. ab angulo acuto B Α C. ducta sit A D diuidem basim B C. bifariam dico A D maiorem esset hia BD. vel DC. Nam primo sint AB. A C. aequales,' erunt igitur & anguli BC aequales. ecum A C. CD. aequales sint ipsis AB. B D. & anguli BC. aequales , erunt & reliqui anguli triangulorum A B D. A D C. aequales , & anguli ad D.recti. Itaque si A D.non est maior quam BD. est utique vel aequalis, vel minor: si aequalis, erunt & B D C anguli DBA. D A B. aequales, & eadem ratione angulus D A C. aequalis erit; . ,--.--Quare totus angulus B A C. ae abitur duobus angulis B C. ae proinde ' cum tres ansuli trianguli ABC. aequentur duobus rectis , erit angulus B Α C. etectus contra hypothesim. Si autem A D. ponatur minor qu,n B D. N erit angulus B minor angulo B Α D. de eadem de causa. angulus C. minor angulo D A C' Quare totus B AC..maior erit utroque R C. simul, ac proinde angulus idem BAC maior erit recto, contra tapothesin. Quare Λ D. non est aequalis ipsi BD. nec minor. Igitur maior est. Quod erat propontum.. ει Deinde sit Λ C. maior quam Α B. Cum ergo A D. DC. sint aequales ipsis A D. D RA de basis A C. sit maior basi AB. .etit angulus Α D Q maior angulo A B G. ac per consequens angulus ADC. obtusius est. Quare perpendiculatis Α G. cadit intex BND. Itaque quoniam BC. secta. est aequaliter in D. & inaequaliter in G. erit quadratus ipsius D C. aequalis rectareulo sub BG. G C. & quadrato G D. sed ob angulum aeutum B Α minor est ratio B G. ad A G. quam ipsius A G. ad G C. ae proinde qualitatus ipsius Α G. maior est rectangulo sub BG. G C. ut ostendit Clauius ad vigesimam septimi demonstratione, quae non minus limis . competic quὶm numeris. igitur quadrata ipsaru i Α G. G D. maiores sunt quadrato ipsius D C. At-ο. LAG G α aequantur quadrato ipsius A D. Ergo quadratus ipsius A D. maior est quadrato ipsius D C. ac proinde Α P. maior estquM D C. Quod demonstrandum erat. s CHOLIUM.
Α---J vera esthae in triangulo rectanguis vel ambivonio, dum linea A D .
e- ab uno Mutinum angulorum. Sis enim angultu ABC. rectus vel obtuser,
O sit A D. . indos B C bifariam, dico nihilominus A D. maiorem esse quo B D. est Didem ma esum', A D. maiorem angulum B. sotendat.
LEMMA SEPTIMUM. In'amblygonio triangulo , linea quae ducitur ab angulo obtuse diuidens basim bifariam, minor est dimidio basis.
In amblygonio triangulo A BC. ducta sit ab obtuso angulo linea A D diuidens B C. bifariam.' A Dieo A D. minorem esse quὶm BD. vel DC. Nam primo AB. A C. PO-e . tiamur aequales erunt ergo anguli B. C aequales, & ut supra ostendetudi
ansulos aa D. esse tectos. Itaque si Α.D. non est minor quam B D. erit . t utique fel aequalis, vel maior. QiDd si ponatur, ergo angulus B aequa B G . C lis erit angulo BAD vel maior&aligulus C. angulo DA C. Quare uter- que B C simul Nnabitur toti BAC. vel maior erit quam BAC. Quare clim B A C sit obtusus, erunt tres anguli trianguli A B C. aequales duobus obtus , ac proinde maior duobus rectis. Quod est impossibile. I tur Λ D non est aequalis ipsi BD. neque maior. Quamobrem Glinqui tur risu minor. Quod est propositum.
442쪽
Deinde sit A C ninior quain A B. Igitur vi miis ostendetur anui litin A D C. obtusum esse, ac A proinde perpendicularis A G. cadet inter D. Q i iam itaque
B C. iam eii aequalit et io D. N maeo i et in G. em quadratus 18sius DC aquaint cetangulo iubB G. G Q α quadroci ipsus G D. I DUM At quia ' uiator est proportio AG ad A . quani a. ad G C. quadratus ipsius AG iii inor ιst tectangulo sub BG. GC. ut ostendit lenim . Clauius ad vigesimaui septimi , demonstratione cuilibet quamitato
conueniente. I tur quadrati ipsirum A G. G D. xiiinores sunt quadrato iritus D C. ised quadrati ipsarum A G. G D. aequantur quadrato ipsius Λ D. ergo & quadratus ipsius A in minor est quadrato ipseas D C. ac proinde Α D. minoi est quam D C. Quod demovitiandum fuit. Himi.
Si a quolibet angulo triansuli ducatur linea diuidens basim bifariam, erunt qua .drati laterum dictum angulum comprehendentium , simul dupli quadratorum, tam dimidia basi quam exducta linea ortorum.
Α In triangulo AB Q quolibet angulo A. ducatur AD. diuidem BC. bisu lain, dico quadratos simul ipsaruiu AR A C. duplos esse quadratorum ab ipsis A D. BD. Nam ducta perpendiiseulari A E erum quadrati ipi. m AB. Λ C. aequales quadratis segmentotum BR EC una eum duplo quadrati A E. ted quadrati BE EC. inaequalium segmentorum, ' dupli suntquam at ima dimidii BD. di ab intermedia DE. I tur quadrati satiam AB. Λ C. dupli sunt quadratorum abi pus BD. DE. AEAtqui duplum quadratorum ab ipsis DE. AE. aequρtur duplo quadrati ipsius A D. Imuir quadrati ipsarum 6 AC aequan- 47. pom. turduplo quadratorum ab ipsis B D. A D. Quod demonstrandum et M.
PROBLEMA PRIMUM. Triangulum Isosceles constituere in rationalibus, siue oxygonium, sue amblysonium, ut perpendicularis ab angulo a lateribus aequalibus contento ducta in
tertium latus inaequale, sit rationalis.
Α Sit primo eonstituendum trianguluns Is celes oxygonium AB Q euius omnia latera sint raticinalia, de perpendicularis quoque 4 D. sit talion iis. Ponatur quodlibet aequalium utetum A B. AC. qvnim numerus, puta s.& ipsius s. quadratus 1s. diuidatis per oeburam secun/i Diophanti in duos quad tos, puta 16. & p. quorum latera & 3. Et Avoniam Ni constat exprima parte demonstrationis.lammatii sexti A D. mai t est dimidio bius. Ponatur A D. . DC. 3. eruerso tota bacis C . di factu i est quod proponebatur, ut manifestum est. Ri
443쪽
Deinde lit constituendum triangulum am Mygomum Isosceles AB Q ius omnia latera sint rationalia, N perpendicularis A D. st rationalis. Ponatur ut prius A B. vel A Q quilibet numerus, puta s. di ipsus s. quadratus 2y. ciuidatur in duos quadratos 16. N s. quorum latera A. N I unc quia per prunam partem demonstrationis lemmatis septi ini A D. minor est dimidio basis , ponetur Λ D a. D C q. α erit tota batis B C. R di laetiimetit quod requirebatur.
Non ad tra V lo in eo perfici non mus problema. Sit enim triauu Λ ἀο uitaterum A B C. dicosia rea illius ronantur rationalia, perpendicii rem, D. esse non posse raraianailem quis e tim A D. Huissit B C. bifariam, cam
ι arum A D. DC. sint aequales quadrato imus AC. erit quadratus . a , A D. i. quadrati ipsiH A C. ae proind. adratus imas A C. ad quadratumi ut A D.ρ habestiit . ad 3.. Hesi A C. cst A D. ponanti ratiori sis in D q. ds. habre trationem quadrati ad Padratum, ' ae proinde ei m . D quadratus. erit est 3. quadratus. Vimd est a Urdo. da obrem AC. A D. mn ssint ρω esse rationatis Angitud ne commensurabιles. Don Vindius etiam de trianguis rectanguis I ceti, ob eandem ea ι m. Denim si utera AB. A C. Ponantur aquatia, est anuus B A C. rectus , erit perpenssicularis A D. aer alis dumidus basis D C. ut eo instat ex primis parte Aemonstrationis tereranatis quinti. cae re eum Dadratus ex is C. st quadratis i arum A D. D C. aquatis , quadratus ex A C. ι rus est quadrari ex A D. quadratus ex A D ad Padratum ex AC. est ut ι. ad a. Q re si A D. B D C - c. ponantur ramnatis baiabit ι.- a. rationem quadrati apιadratum, ac proinde iam r. sit quadratus erit er a quadratus a est absurdum. Hel c.m A D. D Lisus ιε' ati, cuius A C. est diameter, ' iatus erit rammens rabile eo . Quod est impossibile. Porro sic constituto trιanguis saevonio vela nostgonio , nanhiam A D. ducta ab angina lateriabus qualisur comento, est Orionatiis ,sed quati ,et Hiis perpend cularis, ducta ab atio anguis, pura B E. vi constat ex Caro ria Iemn iis primi. Est enim ut A c. ad B coHA D. ad B E. VHersit A C. s. B C. 6. A D. . ιnuenietur per regu Iam trium P E. 4 ι in triavuti ovgorio. At in ambi Mii UPa A C. s. B C. . A D. 3 inuenietur rursus per regulam proponionum, E E. cyasmes mon e susticiat, ut drinceps P tiescumque constituerimus triangulum D Hiber inrationatibus ,'ostenderimus unam perpendi tirium esse rationiam , intelligatum re adias perpe Mares esse rationales. Quod si lubeat est era omnia trianguli, ' ροτο-Mares exhiberi in numeris ιntegris, oportet omnia multiplicareper canuminem denominatorem fractionum Pa anseruenia u. μι i. disio exemtis, si omnia dueat in s. simi in angonia triangMO AB. AC. as. B C. so. A D. a. . R E. a . At in ambi Ianio, erit A B. vel A C. as. T C. o. AD. 13. B E. a . Attamen B E.
intinuetur cario extra triangulum. PMest tem quadrupliciter construibae problema. Primo si prascribatur numerus unius eruassu laterum, ut iam docuimus.
itsius to p ta s. cmur quadratus s. quaram pro quadrato ριγηπῶ ari , quadratum numerum ada . adiutus 3 dratum faciat. Sed si ovgomum triangulum est eonaituendum, oportisit hiatu ossiquariatum maiorem equamas. si utaris canone ad υndecimamsecundi Diορhanti tradito, in tostales Misatos reperier. Nam quarenssi erum duo numeri, quorum mutua ducta fatas. ita tamen ut inseruallo eorum sit maius quam to . 'mors arte certa conseqvi velis , pone minorem ι N. erit or. d. harusa inter iam x. - 1 maior est quam ισ.lcst omnia sicendo in ι N. est fontinis ectum, fit tantim os. maior Pam 3 Q to N. M aquatione per approximationem resint sit 3 v. non maior duo a. sumes erga tro minore quemlibet numerum γε non excetat a. qualesseant ε. ι i. t. i. a. ct i mii Hii. Verbi variasiume L erit maior as. quorum inter iam a cuius sex ιιιa. erit perpenricularis A D. nam eius qua tur 1 . adiutur qua to ipsius D C. puta ipsi as. facit ιερ. qua tum ipsus in c. Q re A c. vel se R. est 13. E C. io. A D. ra. Sed si ambhionium triangulum constituensum est, Qta ut prius B C. ια. p. are i erιν qua tus minor I m as Diadas. adtatus quaisatum faciat. Sunt erro inueniendi duo nun πιι quorum mutua AIT, as. ι taut eorum inter Gum sis minus 3 π ιo. 3-si ponar ut prius ι N. O M. fra tan n. minor quam
444쪽
cere ι Ogutam, quaremia quadratum minorem quam ιpse . sin autem ambinomam consituendumst mangultran, qua emus quadratum maiorem quam tη . utrumque, ut prius, perficietur.
Caterum non agi s de segmentis basii a perpenili Masauit, qHa eum triangulum est ratio is, ct figmenta ilia αι rationa a per corollarium secunῶ is alis.
PROBLEMA SECUNDUM. Triangulum Oxygonium scalenum constituere in rationalibus, ut perpendicula-culatis ab angulo acuto demissa sit rationalis.
A Ponatur latus A C. quilibet numerus, ut pote Io. cuius quadratus I . diuidatur in duos quadratos , ut pote ino se quorum
latera &6.& ponatur Α D maius horum laterum, puta 8. & DQminus puta 6. N esto B D. I N. quadrati ergo ipsarum BD. A D. puta I --- 64. aequantur quadrato ipsus A B. ut A B. sit rationalis, oportet 64. aequari quadrato. Quoniam vero angulus Aponitur acutus ' est ratio D C ad A D minor ratione A D. ad B D. M proinde productus ex BD. in D Q puta 6 N. minor est quadrato ipsiu, A D. qui est 6 . ut ostendit Clauius ad vigesinam septimi. Ergo
elim diuidendo M. per6. fiat Io. . patet c minorem esse debet eqii Zimio '. Aliter reperietur Numeri determinatio, hac arte scilicet. mia ut trianguli omnes anguli sint aeuti, oportet quadratum cuiustibet lateris minorem esse aggregato quadratorum ab aliis lateribus. Hoc autem visit oportet quadratum cuiuilibet latetis minorem esse semisse aggregari quadratorum , singulis lateribus, tumo aggregatu quadratotu 1 singulis lateribus, est autem quadratus A C. I . quadratus BC. LR----- ta N.quadratus A BI - 6 . quorum sit inmaa 2 -- Ia N. euius semissis i Ioci. -- 6 N. quem euidens est maiorem esse tum quadrato ipsius A C. ioo. tum quadrato ipsius A BIQ. -- 64. Restat ut etiam I I- - 6 N. ut maior quam I Q. - - 36 H. Ia N. Quare ablatis utrimque aequalibus, oportet ut 64. sit maior quam 5 N. Quare diuiso 64. per 6. fit I N. minor qu in io. ut prius. Itaque quoniam fingentes latus quadrati I in - sq. ponemus illud 8. - tot numeris, i quorum quadrato auferendo I. per residuum diuidatur sedecuplum ipsorum numerorum, oportebit hunc quotientem minorem esse quam Io o Ponatur ergo numerus Numerorum i N. fiet minor quam io '. & omnia ducendo in i in I. & ru sus in fient tandem 48 N. -- 3a. minores quam 32 eu 3 N. - a. minores qit,m a Q. qua aequatione resoluta eum fiat IN. a. patet fingendum latus quadrati 8. - tot Numeris qui excedam
duos quadratas qui adiuti - ι . quadrarum ipsius ta faciant quadratum, hae tamen lege ut vel viri que quasitorum Diussit minus quam ra. vel si Hierum, maius alterwm minus , miseria ad 1a. sit minor ratio, quam ipsius ia. ad minus ut videlicet constituatur triaurium ovgorium. Guadrari quom ratera minorahunt quam ιa. Anto ιι. ct an Po=a ergo A D ια erit BD.L DRq. at νι adeo tota E Q
445쪽
P R O D L E M A T E R T I V M. Triangulum amblygonium scalenum colastituere in rationalibus, ut perpendicularis ab angulo obtuso demisia sit rationalis.
Ponatur A C. ut supra quilibet numerus 1 o. cuius quadrato in duos quadrato, diuiso, ponatur D Q alterum latus 6. & A D. altetum S. & siit B D i N. fiet ergo ut prius I Q. 6 . aequandus A quadrato. Sed quia ob angulum obtusum ' maior est ratio B Dad A D. quam A D. ad D C. productus ex B D. in D C. puta o N. maior est e debet quadrato ipsius A D. 64. Quare i N. debet esse maior quem io si ergo quaeras ut surri determinationem numeri Numerorum in latere fisitio ponendorum, inuenies fingendum esse latus illud 8. - tot Numeris qui sint minus quam 2. sed opo tet etiam ut sint plus quὶm i. ut videt ieet eorum quadratus excedat 3 Q Pone ergo 8.-r : N. fiet I N. Ist ἔ. tamaei it B D. ergo tota BC. 21 Α B. ao . . A C. Io. Α D. 8. Vel ponit ut A D. quilibet numerus vi pote tr. & quaerantur duo quadrati, ut quilibet additus
ad rq . quadratum iptii. n. faciat quadratum, ita tamen ut cujus ibet quaesitorum quadratorum Iatus sit maius quivi ia. vel si alterum sit maius, alterum minus, maius ad ia. maiorem habeat rationem, quis, ra. ad minus, ad hoc ut angulus B A C. constituatur obtusus per lemma tertium. sumi possunt maiora latera i 6. nam addito quadrato ex 3s. ad quadratum ex ita fit quadratus ex; . di eidem addendo quadratum ex i6. st quadratus ex 2o. Posita ergo Α D. I a. erit B D. i6. D C.
3s. tota B C. si . A B. zα Α Q 37. si autem sumantur latera 33. & s. quia maior est ratio 31. ad iti tu in I 2. ad 9. erit BW9. D C. 3s tota B C. q. A C. 7. AB. Iy. Vel denique si sumas latera u.& s. quia etiam maior est ratio 3s. ad ia. quam 1a. ad s. fiet B D. y. D C. 31. tota B Q o. A Q37. A B. I 3.
Animaduersione dignum est, posita perpendiculari M. I mari posses x Gersa trianguia in inireris,
ΡROBLEMA QUARTUM. Triangulum scalenum , Oxygonium, vel amblygonium constituere in rationali bus, ut ab Magulo acuto, vel obtuse ducta linea diuidens basim bifariam, sit ra
tionalis. . Sit triangulum mygonium AB C. in quo dum si A D. diuidens
tis compositum, ut II. compositum ex ς. & q. quorum latera 3. &x minus latus a. tribue dimidio basis D C. maius vero 3. tribue
lineae AD. quia se ilicet ob ansulum acutum A D. debet es maior quam D Tum vero quia quadrati ipsarum Α R A C. sunt dupli quadratorum ab ipsis A D. D C eum se inma quadratorum ab ipsis A D. D C. ponatur 13. erit summa quadratorum ab ipsa
-- AB. AC. 26. Porro quia 13. componitur ex duobus quadratis, quorum latera 3. & a. duplum ipsius 13. puta 26. ' componetur etiam ex duobus quadratis, quorum latera s. N t. aequalia scilicet tum summae. tum interuallo laterum quadratorum ex quibus 13. componitur. Sed si tribuas s. ipsi A B. & t. ipsit A C.manifestum seque tur absurdum. Quia etiam AB. ponitur summa ipsorum et .& 2. & Α C. eorundem interuallum. At BC ponitur duplum minoris a. puta Φ patet addendb duplo minoris interuallum numerorum fieti summam numerorum, ae proinde latera AC. B C. simul aequalia sere reliquo AB. Quod est absurdum. Superest ereo vi numerum 26. compositum ex duobus quadratis 2s. &I. rursus di uicimus in duos alios quadratos per decimam seeundi Diophanti. Ponat ut alterum latus y-i N. alterum et is a N. fiet summa quadratorum 26-ς o N. aequalis 26. unde fiet i N. f. sentergo quaesta laterari.&3ἰ. Posita igitur A D. 3. et it AB. 3:. Λ C. 3 L&BQ vel omnia ducendo
446쪽
Contraria ratione in triangulo amblygonio ABC statuemus DC. 3 N A D. a. quia AD minor est quam DC Tum
ut prius quia quadrati ipsarum Aia. Dia ponuntur 13. ' erunt 'uadrati ipsarum A B. A C. 26. qui ei in sit duplus numeri ex Quobus quadratis compositi, eomponetur di ipse ex duobus quadratis, ted maius latus s. est summa ipsarum A D. B C. de misC'nus latus est interualluin earundem, pura I. Quare si AB ponas DA C. t. cum maioris duarum AD. DC. duela sit A C. li aggle- fato earundem A D. D C. puta ipsi A L. addas earundein interuallum A C. net aggres tum ip-iarum AB. A C. ' aequale ipsi B D. Q iod estobsurdum. Quare rursus 26. diuidendus est in duos , i. i. aris alios quadratos, ut factum est supta, sint ergo eorum latera T. &-ΑD. a. fiet BC. αα primi. 6 ΛΒ. . . A C I. vel omnia ducendo in s. erit A B. I9. AC. 7. B C. N. A D. ia.
eae isto imLgentio A D. DC . veni Vatia VmGur A B. A C. ι. erit summa P dratorum in. euias semissis A aruatur qua atιs Usarum AD. DC. M ct i e s. componitur ex Δοbus Daha- tmni, eis semisi numeri ex Eribus quadratis compositi, sed latera irarum mniossunt applicis; si A D. D C. Ob e fissura alutas. ab e variet rursus Huidere 1. ιn s risos 'adrator ponantur eorum iastra ι - - N. O 2 - 1 N.fiet summa pindratorem 1 -- ε λ . aer alii Aunde erit ι N. D Sunt ergo lamera quadratorum sim posita A T. 3. A C. t. si libet facere irrangulo ovgomum, pones A D. ι B D. r. l . unde tota B C fet 3. Alsivelis eam stituere ambstgonium, poner A D. t B D. ι l . totam BC. sM-ea tamen si ab r.e vlla eautione numeri ex duobur dratis eampositi, rursus diuidunt in alios duos quadratos per Iolum aerii ieium decima secundi Diophanti , accidere ρσssem in idem ab surdam incidatur , ad qαad vitandum huiusmori subiuisio instituitur , ut scilicet inueniantur iatera quadratorum qua minime possint applicari lateribus triangMi. tutius erit huiusemodi numeros Hindere per artificium a Grima it inti, in Hus quadratos , quorum exiguam sit interuallum , A
enim iurate ιncommodum nunquam incurretur.
basim bifariam, sit per nae Iaris ad basim, non disserere huiusmodi probum Non ρνοριμ etiam de trian uti rectantiao solens , quia In omni triangulo rectan uti rationali probum perseitur, eum linea Avidens hseote sam bi uriam sit semper aqualis dimidio Braten a
Supersant elegantissima ἀ- Π'blemata quibus D ritur mam tam tum o. gorium, tu ubi sonium, ut aeuto vel obtuse angMa bifariam scisse , numerus angulum se utis sit ration iii ; qua sane magis accedunt ad q stionem Diophanti , quamvis sint tingὸ subtiliora.
Triangulum Oxygonium iniienire in rationalibus , ut numer angulum ac ut uni bifariam secantis sit rationali . Esto triansulum Oxygonium A BC.&di 'a perpendicularis A D.& li , Α E se is angulum
B A C. yifariam . cmortet Deere omnia latera trianguli rationalia , & aibeam A E. rasionalem. Sumatur segmento CD. aequale D K. vi K R. sit interuanuiti segmentoriim a perpendiculari factorum. Item segmento C E. sumatur aequale E H. vi H B. sit interuallum legmentoruin a secante angulum factoriam. Denique sumatur A G. aequalis ipsi AC. ut BG. sit interuallum laterum AB. A C. Quoniam ergo ut est ΒΚ ad BG. sie est BG. ad B H. sumantur tres quicunque numeri L m a quarta. Proportionales, puta as. ao. is& ponat ut BK. as. BG. χω. statuatur A C. t eu AG. I N . erit ergo tota A B i N. - - 2o. ae proinde interuallum
quadratorum ab ipsis A B. A C. est o N. - - oo. quo diuiso petinteruallum segmentorum basis , perpendi eulari sectorum, pura per 11. prodit tota basis B C. N. - io, cui si dii tu di tiri uelisis matur interuallum frementorum , puta s. semissis iummae de in residui ostendet ipsa segmenta. Fiet ergo minus segmentum D C. 3 N. - . cuius quadratus PQ - - ου. - qui si miseratur 1 quadrato lateris A et puta ab I Q remanet quadratus ipsius perpendicularis. A D. nimirum ζ
447쪽
interualli Interiistorum ΒΚ. BH. vi constat ex Corollario lemmatis quarti. Quare tam interuallum ipsorum s. Ac I6. sit p. cuius semissis est . tanta erit E D. de eius quadratus V. pet quadratus lineae A ta nimirum N. Quamobrem ut A E. sit rationalis oportet aequari quadratis, & omnia ii 2I. ducamur, tum dividantur per M. fit i -- 2. N. aequa diis quadrato iacilis quidem est aequationis latio, sed oportet prius determinare de Numero. Quia enim volumus triangulum AB C. esse Oxygoniuin,' ne- cole est quadratum cuiuslibet lateris, minorem esse aggregato quadratorum a reliquis duobus lateribus , seu quod tuum est, oportet semissem aggregati quadratotum a singulis lateribus, maiorem esse quadrato cuiust bct lateris. Cum ergo sint tria latera I N. i N. - m. l N. - - I6. erit amegatum quadratorum
328. qui quidem ut apparet maior est quadrato primi lateris, sed de aliis duobus non statim apparet. Oportet ergo ut Q. - - - 328. sit maior quam a qo N. qco. quὶ aquatione resoluta fit I N. maior quὶm P. Rursus oportet ut X - 'N. -- 328. sit maior quam V N. - - 2s6. qua aequatione resoluta , fit I N. minor quam V. Oportet ergo ita fingere latus quadrati I Q. zo N. ut sat I N. maior quam P. minor quam R Porro fiet valor Numeri si a quodam quadrato auseratur 1. N per residuum diuidatur Io. Ponatur ergo quadratu, quast quo eum instituenda est aequatio I Q. fiet miret. maior qu in m minor quam Quare utraque aequatione resoluta constat quadratum quaesitum maiorem esse debere quam 3 L. minorem quini
et Ponatur verbi gratia 4. de sint I -- ao N. aequales η fiet a N. I. latus scilicet ΑC. erit autem AB B E item ue segmenta n D. D C. fient & L segmenta veto DE E C. et unt r& EDet. Quamobrem a quadrato ipsius A C. hoc est a auferendo quadratum ipsius DC puta : . remanet P. quadratus perpendicidaris A cui si addas quadratum ipsus u inputa sub eaclem denominatione fit seuo . quadratus lineae A E. Ac proinde ipsa linea A taei 8. N rationalis ut requirebatur. Quod si omnia latera pet 3. multiplices, habebis omnia in integris . eritque A B. D. A Q ao. B C. D. A E. a . .
ΡROBLEMA SEXTUM. Triangulum amblygonium constituere in rationalibus, ut obtuse angulo bifariam scisso, numerus angulum secantis sit rationalis.
Esto triangulum ambirgonium AB C. perpendicularis A D. angulum feeans A L interuallum segmentorum B D. D Q perpendiculari factor uni sit BK. interuallum autem segmentorum B SEC. a secante angulum factorum esto B H. ae denique interuallum laterum A B. Λ C. sit BG. igitur ob demonstrata lemmate quarto sumemus . t supra
tres numeros proportionales , ut 23. 2o. 6. & statuet nus
ΒΚ. 2I. BG. ao. BH. I6. tum posito A C. i N. fiet ut, prius A B. t N. - m. & BC. , N. 36. Quare tandem inuenietiit quadratus ipsius A Eri Q. - - N. Quare omnia ducendo in as. tum diuidendo pers. set i Q. H. ao N. aequandus quadrato. Quoniam ver 5 volumus angulum B AC. esse obtusum , oportet ut quadrati simul. laterum AB. A C. sint minotes quadrato baseos B C. Quare et Q - o N. - - - . mimis esse debet quὶmα-- LP N. - 2s6. unde tandem i4 . minor esse debet quim α -- N. & te in integris ad minimos deducta fit i8 . minor quam 7 -- I O N. Qua aequatione ut decet, res ut a, fit x N. maior quam'. Oportet igitur aequantes quadrato I Q. - ao N. efficerei N. maiorem quὶin p. Quamobrem cum sat I N. quodam quadrato unitate multato, & per residuum diuidendo 2α si ponatiir quaesitus quadratus 3 Q fiet maior quam p. & tandem 29. maior quam s Q. Quare oportet quasitum M ladratum,minorem esse quam 3 . Ponatur ergo I Q - 2o N. aequatur
Q. & fit IN. F. latus scilicet A C. Quare A B. est B ta segmenta B D. D C. dc
448쪽
At segmenta BR E C. &U. denuaue Λ E fit & si sumta minii nos similium , fiet Ari
-- ut areae numerus cuin hypote lausae numero faciat quadratum, at circumferentiae numerus ut cubus. Ponatur areae numerus I N. hypotenuia vero statuatur unitatum aliquot quadratarum cum desectui N. Esto 16 -I N. cum ergo posuerimus aream IN. qui fit ex lateribus circa rectum erit a N. Atqui a N. producuntur ex x N. in a. si ergo alterum circa rectum statuamus a. erit alterum i N. & fiet cir cum serentia i8. qui non est cubus. At 18. ortus est E quodam quadrato ,& unitatibus a. Oportet itaque inuenire quati turi aliquem, qui binario adiecto cubum faciat ; ita ut cubus quadratum superet binario. Ponatur igitur quadrati latus iN. . t. At cubi latus i N. - i. fit quadra
superare quadratum binario. Quare qu Hς α dratus cum binario , puta r in ' N- ὸ-οῦ Q Q, - - aequalis est i C - 3 N. - 3 Q - 1. unde inuenitur I N. . est igitur quadrati latus s. cubi vero 3. ipse quadratus 2s.
449쪽
AN'aatem alias in integris sua aeratas praeter ipsum inueniatur qui adsumpto binario cubum I/ciat. Id fa- di estis ρrimo obtutus et rds qui tio is. Cer is is τῶ tamen demonstratione probare possum nullum aliut' quadratum praeter a . ιο ιυσνιsia tecto bravario occre cab m. Ins Vis ex methodo Badf- ιι δε petunt infiniti, sed doctνinam δε numeris integris io sanὶ pumerrima Osubtilissima est, nee Baehetus nee alius quin s cuiusscripta ad me peruenerant, hacte
TR r A hie postulamur. Primo ut exhibeatur triangulum rectangulum in numeris rationalibus. Secundo ut area cum hypotenuia faciat quadratum. Tertio ut ambitus trianguli, hoe est summa trium laterum, sit numerus cubus. Pran ii in autem, ultimum est quod curat Diophamus, aequando quadratos laterum ei tea rectum, quadrato hypotenuis. Reliqua duo postulata praestiti pus positionibus ingeniosE Diris. Nam ut axea eum hypotenusa iaciat quadratum, posita are a N. ponit hypotennsam quadratum aliquem numerum unitatum cum desectu I. N. Puta i6--i N. Iuni veto quia area est semisss plani sub lateribus circa tectum eontentiι sequitur planum fiab lateribus eirca tectum esse 2 N. inare ut habeantur ipsa latera ei rea rectum, sumendi duo numeri quorum, mutuo ductu fiant a N. Ex infinitis autem huiusmodi numeris sellaunturi N. de r. qui hypotenuia positus est i N. eum signo desectus . ac proinde addendo simul tria latera. δiduntur Numeri, te manet summa later tuni sol ps 'nitatum dumerus, compostus scilicet ex quadrato illo qui positus est in hypotenuia, de ex binario qui ponitur pro athero lateriam eitcaiectam. Cum ergo summa haec debeat eonficere cubum, apparet necessitas secundae positionis, qua inuestigatur quadratus qui adsumpto binario cubuin ereet. Hoe sanὰ loco deuoluimur in aequationem complexam, in qua duae species, duabus speciebus muses sunt. Clim enim i Q. a N. -- 3. Miuenturia C. - 3N.-3 I. sunt tandem C. - I N. aequatv a Nec vero sciri eoust qua ratione buiusmodi aequationem resoluat Di tiliantus, cum in libris eius qui extant, nusquam id doeuerit. Certia regula generalis de reis nactenus ignoratur. Particul tis autem quae in hoc casu locum habet, traditur a multis , dc est huiusmodi. Si r C. - I N. aequetitur cuilibet Quadratorum dc unitatum numero, quorum tamen multitudo sit aequalis, sti N. ipse ratorum, ve nitarum numerus. Quod facilὸ demonstratui. Etenim ut se habet ςubus ad quadratum, se Numerus ad unitatem. Quare dedito anteceden. t exstinui inpe i C. 3 N. se halisbunt, ad consequentes simul, nempe adi sicini N. ad i. Quare si quatuor proportionalium sumant ut secundi de quarti aequε multiplices, verbi gruia quadruplices , erit & a C. - I N. ad uti - 4. sicut I N. ad 4. Ac Proinde si i C. -- IN. ponantur aequales -- erit de i N. aequalis 4. Quod erat propositum. Eidem de eausa si i C. - I inaequentur certo Numerorum de Witatum numero erit i Q. aeqv lis ipsi numqt' Numerorum vel viritatum , ae proinde si numerus ille sit quadratus. etit s lutio rationalis. ut si i C. -- I in nantur aequales 9 N. -- 9. fiet i in m de I N. 3. de ratio est
quia et C. ad i N. se haiat via inas i. Neeesse igitur fuit tam aptE fingere latus quadrati, de latus exibi, ut tandem proditent i Q --IN aequales quadratis ες unitatimis multitudine aequalibus , utpote 4 α- - '. sed qui ratione orta id fuerit Diophantus , it ut modii ab illo usurpatus alijs huiusmodi quaeitionibus applicari posse, non constat ex eius verbis, de vero pridissielle arbitror id diuinare. sit enim propositum quaerere qua lotum, cui addendo . fiat cubus , quomodo quae fingenda sunt latera quadratidici ibi, ut eommoda proueniat aequatio, Ac solutio sit rationalis 3 Fateor equidem me ignorare& et qui talesu;d docuerit, non paruam habebo gratiam. Sanὸ quod pr' ostum est, non est proruas impossibile, nam non unus, sed plures quadrati quastioni satisfacientes possunt inueniri, sunt de ui. quorum utrique si adiici s 4. fiunt cubi L de irs. fortuita ergo videtur Di ph uti or uo , nisi quis firmiora ad eam sulciendam ponat fundamenta. Et hae ratione operando unica tantum re ritur solutio, cum tamen quaestio se de earum s uere quae plures solutiones admittunt.
450쪽
Huie autem vi imo incommodo nostra subueniet industria , tali expedito lemmate. Dato quadrato qui adsumpto dato nunieto, cubum faciat, inuenietur alius qua dratus idem praestans.
Sit datus quadratus 2s. qui adsumpto 2. cubum sicit, puta 27. inueniendus est alius quadratus, qui praestet idem. Fingatur eius latus 3 - i N. fiet quadratus as. Io N. I ui addendo 2.iit an ' IO.N. -- I aequandus cubo. cuius latus fingo 3 - tot Numeris , viducii in triplum quadrati ipsius' nempe in a7. ciliciant Io. habebo autem talem Numerorum ni inietum diuidendo Io. Peta7. ciique S . fingatur ergo latus cubi 3 - f N. set cubus 27- io N. E. t o C. aeqxialis 27' Io N. -- I Quare tandem T. Q quantur . C.& fit i N. ed go latus quaesiti quadrati ipse quadratus cui adiiciendo binarium fit e ubus nimis cuius latus
Simili ratione si datus sit quadratus a. cui adiiciendo . st cubus R. ii uenietur alius quadratus idem praestans. Etenim pone latus quadrati a -- a N. fiet quadratus auctus quaternario 8 - 4 N. - aequandus cubo. Cuius latus fingatur 2 -- tot Numetis, H ducti in triplum quadratia. puta in Ia. faciant 4. erit ergo numerorum numerus & fingatur latus cubi 2 - N. fietque cubus 8 - N. s C. aequalis 3 - N. -- i RSe tandem aequatur di C. de fit IN. v. Est ergo latus quadrati II. ipse quadratus iar. qui adsumpto . iacit cubum 1as. Hic autem posui latus quadrati ai N. non auteni a- a N. quia si posuissem a -i N. isset latus cubi poni a i N. Tuncque in eubo tam Numerorum qu m cuborum numeri affecti fuissent signo minoris. Quare ut in praecedenti exemplo, unitates quidem N Numeri se mutuo elisissent. At A C. in alteram aequationis partem eoneessisset ob inpolitum signum defectus. Quamobrem t Q. - Δ C. mansissent aequales , in Quod est impo labile, quia i in maior est quimi Ad simile vitandum incommodum conitalia ratione positiones institui in siperiore exemplo, quia videlicet I Q. minor erat quam in unde etiam si .dato quadrato IaI. alium quaereremus qui adsumpto saceret cubum , poneremus latus quadtati it --I N. de cubis N. & iuueniremus adhuc alium quadratum diuersum ab ipsis . &Iai. Porro examen operationis Dioidianti tale est, fit i N. N. Ergo sit hypotenuia quaesiti trianguli ra. A basis a. cathetus ia ἰ . Estque summa laterum cubus 27. At hypotenuia eum area quae estia. facit quadratum 2s.
IN uxu i a a triangulum rectangulum,
ut numerus areae adscito numero hypotenuis faciat cubilin, At numerus ci
cumferentiae sit quadratus. Si perinde ut in praecedente areae numerum constituamus I N. numerum vero hypotentiis unitatum aliquot cubicarum - I N. eo deuenitur ut quaerendum sit quis cubus ad Dcito binario saciat quadratum. Ponatur cubi latus i N. - i. fit cubus adiecto binario IC. - 3N. - Ι -3Q. aequandus qua drato. Esto quadrato a latere I et N. - I. &fiti N. V. erit igitur cubi latus Ipse vero cubus V P. Pono rursus areae numerum i N. Hypotentisam vero V .i N. Habemus autem & basim et . cathetum vero i N. Sc si aequemus quadratum hypote nuta , quadratis laterum circa rectum,