장음표시 사용
61쪽
cularem D I, non latebit ergo eius area - θ tius triplata patefaciet aream trium trianguloium. D AH , BL C, DB - φ -I; Ad habendam vero area semihexagoni A D B C, ita procedemus, constat enim hexagonum Omne ordinatum sub semiperimetro & perpe dicuIari a centro figurae ad unum latus ducta , sed ei pedipendiculari aequatur DI, ergo sit Di ducatur in semiper, metrum A D B C,prodibit area totius Hexagoni,
a cuius semisse, di , si dematur area trium triangaeorsi, T ' Hi , remanebit rectilineum D H L B M, υ
is , aequale semicirculo X,at semicirculus X est pars octaua maioris circuli' A DB C, quare si octies assumatur s
di S, . i. , habebitur area maioris circuli A DB C , 648z7-a roz,quod erat faciendum .
T Acile hinc deducitur ratio circumferenthe ad diame. trum,nam cum circulus suit adinventus, hi 6 8 27 azO diametro.existente 7.sequitur necessario latus quadrati circulo ςqualis esse Rad. Bidomiae fi 4 27.- aao at latus quadrati circulo ςqualis mediat inter semidiame. trum & semipertietiam, ergo si quadratum lcirculo aequale, hi 643 27- aro T, diuidatur pta semidiametrum, T, orietur semicircumseientia , δι Ia'a 63 i quae duplata dabit integram circumferentiam, a II 68 - 116.ratio igitur ciris
62쪽
eumstrentiae ad diametrum est, ut-2 II 68 - II 6. ad 7. hoc est a o. ad 7. maior quam vera, seu I9. ad 7. minor quam vera.
Liquido quoque apparet ratio quadrati a diametro ad
ipsum circulum, nam diametro existente 7. erit eius quadratu 9.at circulus scit adinventus-66827 21o-b, quare quadratum a diametro ad circulsi se habet ut 49 adiit 6 8a7-aroet, hoc est 69 ad 334, maior quam vera, seu ερ ad 3 et minor quam vera.
Α ssumpsimus diametrum 7. ut periculum faceremus, num haec quadratura numeris Archimedetis consentiret, quod sane non contingit, nam demonstrauit Archimedes eircumferentiam ad diametrum maiorem habere rationem, quam a 23.ad 7I minorem vero, quam a 2 ad 7. sed secundum hane quadraturam circumserentia ad diametrum, maiorem habet ratione, quam I9.ad 7. minorem vero,quam ao.ad 7. ecce quod ratio a o. ad 7.quq maior est quam vera', deficit aratione 223. ad 7 I. quae fecundum Archimedem minor est quam vera, prioris enim denominator est 26 posterioris vero 3 F. Eode modo dicenda est de ratione quadrati a diametro ad circulum, nam deis monstrauit Archimedes, quadratu a diametro ad circulu, maiorem habere rationem, quam Iq. ad II. minorem vesro, quam 2 8 . ad 323. sed secundum hanc quadraturam, 'quadratum a diametro ad circulum, maiorem habet ratio-H nema
63쪽
Nem, quam q9. ad 3 minorem vero, quam 49 ad 33 ecce quod ratio q9 ad 3 4 , quae minor est quam vera, excedit rationem a 8 . ad 223, quae secundum ArchimedE maior est quam vera, prioris enim denominator est I - - - posterioris vero et Het- . Quadratura igitur haec extra limites Archimedis reperitur.
PROPOSITIO ILIN quibus haec deficit Quadratura lucu
Paulo ante diximus Prop. 34. & 4. falsas esse, at q. salsa est ex 3. igitur tertiar incumbendum, & profecto in eo latet desectus, dum asseritur lunulam C G L F triangulo C R L squale in esse, nam quamuis lunula CGLF in utroque triangulo A C L, C D L comprehendatur, & utrique quoque triangulo commune sit triangulum C R L, no . hinc sequitur triangulum C R L lunulae CGLF adaequa ri, nam si quis dixerit lunulam CGLF res. pectu trianguli ACL, Occupare tantum spa-cium C O L, sed respes ictu alterius trianguli
corrueret tota Portae demonstratio, legitime ergo demonstratum noest limulam C G L F triangulo C R L aequalem esse, legi time tantum demonstratum est per I. Prop. triangulum
ACL valere duas lunulas ABC Τ, CGL F, di per a.
64쪽
Exercitationes Mathemat leae. sp
iriangulum C D L valere lunulam C G L H, & nihiI amiplius Sed quaeso manifestius per numeros explicemus hareomnia, hoc est indagemus aream triangulorum A CR,RCL & lunarum ABCT, CGL F, nam sic videbimus num triangulum ACR Iunulae ABCT, & num triangulum RCL Iunulae CGLF aequale sit . & primo in uestigemus aream triangulorum,constat equidem ex calculo Prop. an tecedentis perpendicuis larem C I esse θ-& recta ARN : T s quare reliqua R L
itaq; trianguIa A CR,RCL notas habeant bais L ses A R, R L cum perinpendiculari C I, quae
utrique triangulo coinmunis est, non Iatebunt eorum areae, est ergo
Pro area vero lunularum vestiganda sic procedemus, excentro P ducta P C, constituentur duo triangula A C P, P C L , & duo sectores PATC, PLFC, triangula inter se aequalia sunt,at sector PATC dimidium est sectoris PLFCest .
Area trianguli A C P, siue PCL hi M Area sectoris P ATC 'RV . Area sectoris P L FC
65쪽
Demum inuestigemus aream duorum semicirculorumta ABC, LGC hoc modo, eorum diametri notae sunt, AC FCL, FG. sed ut diameter AL 7. ad suam semiperiseria ACLht s a sa-63. sic erit diameter AC P ad suam
semiperistriam ABC 'P . & sic diameter C L -- - ad sua semiperistria LGC 8888l erit igitur Area semicirculi ABCArea semicirculi LGCQuare si a semicirculis ABC,LGC austrantur segmen. ea ATCM, LFCN, remanebit., Lunaea ABCT ' λm ' -- lo
66쪽
Exercitationes Mathematicae. 6β
Deuentum est ad quantitates adeo irrationales,quod non apparet euidenter quid statuendum sit de conuenientia triangulorum A C R, RCL & lunularum ABCT, CGL G. expurgemus quaeso eas a vitio fractionis , multiplicentur ergo omnia per ε . & erit hoc modo multiplex. Triangulum AC R. 388. I I 268Triangulum I CL. N. Io3723a - 88 Lunula ABCT. N I 8928- S6 7IIa - . I 88 Lunula CGLF. hi 373 o3 Ia 'N 3 93o8oo' 88 Deprimantur ad minores terminos, eas diuidendo per a.
Triangulum ACR. 29 - 288 IaΤriangulum RCL. Na 393o8 29 'Lunula ABCT. NIo37233'NI IIII 8 - 29 Lunula CGLF. hi 9333o88 -N66827oo-29 Resoluantur potastates, tribuendo tot cyphras numeris absolutis, quot cyphras conditionarias potestatibus ipsis, tribuamus quaeso numeris absolutis quinque cyphras, deerit potestas resoluta. ν-.
Apparer nunc euidenter maiores esse lunulas ABCT, CGLF, quam triangula A CR, RCL, lunula enim ABCΤexcedit triangulu ACR in H. a. di R. ἄ- & lunula CGLFexcedit triangulum R C L in ,-E a cra ., quare si aeque multiplicia inaequalia sunt, & partes aequesubmultiplices inaequales quoque erunt.
67쪽
6 a Ioannis Camilli Gloriosi . '
Sed Iubet eundem calculum exhibere in via Archime dis, hoc est supponendo circumferentiam ad diametrum se habere,ut aa. ad 7. quamuis haec proportio maior sit quavera indagare couuenientiam praefatorum triangulorum& lunularum , erit ergo sector PATC τἀ- sector PLFC. HL a quibus sectoribus si austrantur triangula A CP, P C L, remanebit.
Semicirculus ABC erit semicircuIus L G C. Quare si a praefatis semicirculis ABC,LGCauserantur stgmenta ATCM, LFCN, remanebit.
Deuentum quoque est ad quantitates & si irrationaIes, non ita tamen laboriosas ut priores tamen ut euidenter constare possit de conuenientia triangulorum ACR,RCL,& Iunularum ABCT, CGLF,expurgemus quaeso eas a vitio fractionis; multiplicentur ergo omnia per q8. & erit hoc modo multiplex.
68쪽
Exercitationes Mathematica'. 63
Apparet nunc euidenter ex hoe calcuIo minores esse Lu nulas A B C T, CGL F, quam triangula A CR, RCLirriangulum enim ΑGR excedit lanulam ABC T in 'o is ,& triangulu RCL e cedit lunulam CGLFin UM:-:- ψή-: 3 , & sic nunc totum oppesitum adin uenimus quam prius, in dubium itaque per calculum res redacta est ob irrationales quantitates, quarum valor in numeris absolutis exacte dari non potest, tamen satis constare arbitror nullam aequalitatem reperiri inter praefatas Iunulas & triangula , qualiscunque assumatur calculus, quod erat a nobis inquirendum. Attamen ut studiosis morem geramus,non grauabimur per aliam viam experiri num triangula lunulis adaequentur, supponamus quaeso triangula lunulis adaequari,& ac cipiamus triangulum ACR & lunulam ABCT ex primo calculo,quare si triangulum ΑCR aequatur lunulae ABCT
aequabitur hi ' p. . hoc est aequabitur hi
69쪽
hoe est r378 aequabitur 67ss ε' quod est salsum, maior est enim quantitaS 67s με et, quam r378 ἱ-l P . Accipiamus quoq; lunulam ABCΤex secundo calculo, quare si triangulum A CR aequatur lunulae ABCT, aequabitur
dc per antithesim hoe est aequabitur
hoe est x et si Me aequabitur ' - iquod est falsum , maior est enim quaantitas I I6---: quam IIa --. Ex utroq; itaq; c4lculo apparet euidenter lunulam ABCT triangulo ACR non adaequari, quod etiadicendum esset de Iunula CGLF & triangulo RCL, si ad eande praxim reuocarentur, sed suscit de triangulo ACR& lunula ABCT ostensionem stcisse, triangula ergo ACRRCL non adaequantur lunulis ABCT, CGLF. Sed si fortassis aliqui conquerantur, me auctoris demo strationem euertisse, satisfaciamus eis, & propriami suam
ipse affert Prop. 6. integre proferamuS. P ROP. VI. Curuit. Element. Duas lunatis inaquos insemicirculi ambitu descriptas seorsum
70쪽
Exercitationes Mathematieae. 6ς
x Ta Sto rectangulum triangulum A C L. cuius porreis . ctius latus CL sit duplum exilioris AC, & circumserantur lunulae ex more, quibus ad jce suas literas CGLF& ARCT,mox parallelogrammum constituatur ex lateri. bus AC,CLδε sit AKCL, di fiat quadrans circuli CDLFI, S subdupli A E C S, nos rationem reddituri, lineam CR triangulum A CL partiri taliter, ut trianguli compares mutuo correspondentes & aequales sint, ut A C R par sit RDL, & triangulum ACR par sit lunulae ABCT, & triangulum CRL ipsi CGLF, Quonia lunulae CGL F, & ABCTpares sunt triagulo ACLquarta huius nostri ad. iuuante,&triagulo ACLpar trimetrum C DL, quoniam utrumq; sui parallelogrammi dimidium est,ut figura q. huius demonstratu est, ergo tria-gulum C D L est duabus praesignatis iam lunulis. γ' an μ' CGLF, & ABCT a quale, sed triagulum CDL est aequale lunulae CGL H,ergo Iu.nula CGLH est aequalis CGLF, & ABCT, subducatur se milunula CGL F, utpote viriq; communis, remanet subi nula CFLH aequalis A B C T, & quemadmodum trianguis tum CDL aequatae ACL , subducatur commune CR L, reis liquum triangulum RDL reliquo triangulo ACR aequale, lanularum partium repraesentantia, sequitur triangulum RDL esse aequale sublunularCFLH, ct triangulum AC Raequale lunulae ABCT, a quo si triangulum A C S subtrahatur, aequale lunulae A B C E per prima huius, remanet subtriangulum ASR imae lunulae A E C T par, quod erat