장음표시 사용
21쪽
s De Infinitorum Spiralium gradus cum spirali supra similem potestatem A C, is ad senilem potestatem A C. Li
Sed cum, ut potestas F A, eiusdem gradus cum a spirali ad si nile ii potestatem CA, sic F A, ad viti. diimuin terminam proportionis FA, ad C A, eontinua- Liae ad tot term nos quotus est numerus spiralis uni- littiate maior: erit & arcus Nos R, ad arcum Os R, tivi F Α, ad hinc vltimam proportionalem . Nempe is in lineari ut FA, ad C A. In quadratica, ut FA, ad tertiam proportionalem minorem ipsarum F A , , C A. In cubi ea ad quartam: Et sic in infinitum. Et di diuidendo, erit No, ad OSR, ut excessus FA. x supra ultimam minorem proportionalem ad ipsam. f.
Si in quamcunque infinitarumspirabum ev aliis reuolutioniis bus genitam,qm sibi circumfriptum circulum inci aut duae Ioeae, mi prius. Potestates inci eutium in Dira- rtem ni lem gradus cum spirali erunt ad inuicem, mi ar- cusprae ct ., tua cum tot integrisper berii r, quotus rs h
numerus reuolutionum vnιtate minor.
SEd po elate semidiametri AR, congruent spirali, da plata, triplata, in G, ut explicatum suit supra,intelligamus continuatis motibuS,spi
22쪽
Spatiorum Mensura. Tralem AC FR , continuatam fore in ΤUMG &c. cui A. AF, incidant in V, M. Dico in prima spiraIi, esse δε M, ad A V, ut tota circumserentia circuli RSOR, tot vicibus accepta, quotus cst
Bul P erus reuolutionum unitate minor, Una cum am
cu N OSR, ad eundem numerum totius circumfe-IMiae RSOR, una cum arcu RSO. In secunda, scesse quadra tum AN, ad quadratum A V. In tertia, sic cubum ad cubum. Et sic in infinitum . Diximus autem AM, A V, esse in praeductis rationibus cum circumferentijs circuli cuius semidiameter quia isti arcus sunt in eadem ratione cum similibus arcubus circuli cuius semidiameter ΑG, ad cujus peripheriam intelligendae sunt extensae ARAM; quia sunt concentrici. Haec proposit. ostendetur ad modum superioris,&ad modum Archimedis in proposit. 1 F.
Ergo conuertendo, & diuidendo,erit excessus p restatis ΑΛ , eiusdem gradus cum spirali supra similem potestatem AP, ad potestatem A V, Vt a cus dio, ad arcum OSR una cum tot integrisi eripheri)s RSOR, quotus est numerus reuolu
23쪽
Si em diametro primi circuli circumspitissatis dirali ab-fludatur quaelibet linea, gr centro initio ,semidiametro abscissi describetur circuli peripheria. Erit tota circumferentia pruni circuli, adperipberiam deseripti circuli comtentam inter lineam initium reuolutionis, m spiralem, in praecedevtia , mi pote Lias radii primi circuli ino gradis
altior potestat p.ralis, a sim impote ADtem abscisi e IN schem. seq. abscissa AV, ab A E, semidiametro primi circuli circumscripti primo spatio
cuiuscunque spatij spiralis AI EA, centro A, interuallo AU, describatur circulus UT IU. Dico totam circumferentiam EM SE, csse ad circumferentiam VTI, ut potestas BA, uno gradu altior potestate spiralis, adsimilem potestatem A V. V. g. in lineari , ut quadratum ad quadratum. In quadratica, ut cubus ad cubum. Et sic in infinitum. Namque, ratio circumferentiae E M S E, ad U TI, componitur ex ratione ipsius ad totam circumferentiam VTIV, & huius ad UTI, s nempe circumferenti et E M s E, ad E M S.ὶ Sed ut B M S E, circumferentia ad totam UT IU, se EA, ad A V; &ut eadem EM SE, ad EMS, sic ex propositi pIi potestas E Λ, ciusdem gradus cum spirali, ad similem potestatem Al, seu A V. Ergo & ratio circumferentiae ad circhimserentiam componetur ex his duabus
24쪽
duabus rationibus: nempe circumferentia ad cidicumferentiam erit, ut potestas uno gradu abrior potestate spiralis, ad similem potestatem Λυ
Si in excessus diametri circuli circumscripti cuilibet alia Helico a primo , sepra semidiametrum circuli initate minoris, sumaturpunctum; es' centro initio , interualloi u ptop mcto, describatur circuli peripheria. Eris i
25쪽
ιo Da Infinitarum spirabumta circumferentia maioris eirculi , ad portionem circumferentia descriptae, contentam inter spiralem, stes bineam initium reuolutionis, MDt factum seu emidiametro circuli maioris, in excessum potestatis ipsius eiusdem gradus cum spirali, supra similem potestatem minoris circub, ad factum siub femidiametro descriptae circumferentia , o sub excessu pote fiatis ipsius eiu em gradus cum spirali, . supra similem potestate umidiametri circub minoris.
IN schem. seq. supponamus G M s I B G, esse ,
quodcunque spatium cuiuscunque spitalis a primo , nimirum vel secundum, vel tertium, vel quar tum, &c.& circulus radis AB, sit circulus eiusdem numeri spatio circum scri plus, ut circulus rad j A G, sit ipso unitate minor: nimirunt ii ipse fit secundas, sit circulus radj A G, primus in tertius,secundus:&c.&inter G B, accepto puncto E, intelligatur it
circulus radi j AE. Dico periplabriam radii AB, i esse ad periphetiam E , i, contencam intcs A B, dc t spiralcm in M, ut factum sub BA, in cxcesilitia i testatis BA, eiusdem gradus cum spital , supra stimilein potestatem A G, ad factum sub EA, in sc xcessum potestatis ipsius eiusdena cum spirali gra- idus, supra similem potestatem A G. V. g, in proma sspirali , yt rectangulum ABG, ad rectanguium iAEG. In sec. ut factum sub Am in disserentiam quadratorum AB, AG, ad factum sib Α Ε, in excessum quadrati ipsius supra quadratum A G. Et licin infinitum in altioribus spiralibus.
26쪽
Spatiorum sera. a Ie e Ratio enim circumferentiae radii AB, ad circum serentiam EM, deforis sumpta circumserentia ra- dij Λ Ε, componitur ex ratione ipsius ad circumserentiam radij AE, & huius ad circumferentiam . EM. Sed ut circumferentia radij AB, ad circu serentiam radij ΛE, sic radius o B, ad radium . A E: &vt circumferentia radij A E, ad arcum EM, sic circumferentia rad j AB, ad arcum B F. Quare ratio circumserentiae radi j o B, ad arcum ΕΜ, componetur ex rationibus AB, ad AE, & circumferentiae radij AB, ad arcum B F. Verum, quoniam ex proposit. secun d. est ut circumferentia radi, AB, tot vicibuS accepta quotus est numerus spatij, ad eandem acceptam secundum numerum unitate
27쪽
. Iz De Infinitorum Spiralium minorem, simul cum arcu B F, sic potestas BA, eiusdem gradus cum spirali, ad similem potestatemAM, seu A E : ergo & ut unica peripheria radij AB, ad arcum solum B F, sic excessiis potestatis AB, eiusdem gradus cum spirali, supra similem potestatem A G, ad excessum potestatis AE, itidem eiusdem gradus cum spirali, supra similem potestatem AG ex genesi enim spiralium, potestatis AB, eiusdem gradus cum spirali, potestas AG, continet tot partes, quotus est numerus spatij unitate minor,& differentia potestatum, unicam. Ergo ratio peripheriae radij A B, ad arcum E M, componetur quoque ex ratione A B, ad A E, & ex ratione excessus potestati& Α B, eiusdem gradus cum spirali, supra similem potestatem A G, ad excessum similis potestatis A E, supra eandem potestatem A G. Nempe erit ad ipsum, ut factum sub A B, in priorem excessum, ad factum sub A E, in posteriorem excessum. Quod erat ostendendum.
Quae sint infinita trilinea palabolica explicatum fuit initio primi libri eorum, quos de infinitis par, bolis euulgauimus. Diximus enim ibidem, nos pro talibus trilineis intelligere spatia, quae sunt excess parallelogrammi circumscripti infinitis semipara-holis supra ipsas. De infinitis trilineis in proposit. 23. & xq. eiusdem libri ostendimus duas propriet
28쪽
Spatiorum Mensura. I Ites, quae, quoniam statueramus ab initio cum opere de infinitis parabolis edere etiam hoc opusculum de infinitis spiralibus, in harum gratiam explicatae fuere. Verum , quoniam multa nos coegerunt absoluere quamprimum opus illud , citatae propositiones tunc temporis proprium finem haud fuerunt consecutae. Cum autem sint in praesentiarum necessariae, determinavimus, ut cuilibet sint in promptu, ipsas ex citato opere transcribere; sed nunc vigesimam tertiam, infra suo loco,vigesimamquartam. Sit ergo.
Sia Dertice cui unque trilinei a primo ducatur linea in basim secans curuamparabolicam: γ' per punctum et bJecat cumam ducatur m que ad diametrum parallela basi. Erit basis tri ei adsui partem interceptam inter Δ-ctam , m diametrum, mi potenas diametri trilinei thogradu inferior potestate trilinei, adsimilem potestatem dia
metri trilinei ad everticem. '
SIt quodlibet trilineum a primo nempe primo
excepto, quod est triangulum in CB A, cuius vertex B, diameter BA, & a vertice B, ducat BD, in basim secans curuam in E &per E, ducatu E F, parallela C A. Dico C A, esse ad A D, ut po testas AB, uno gradu inferior potestate trilinei, ad sinitem potestatem BF. U. g. in thil meo quadrati eo, erit C Α, ad Λ D, ut A B, ad B F. In cubico, ut
29쪽
quadratum AB, ad quadratum B F. In quadrato- quadratico, ut cubus AB, ad cubum B F. Et sic in i finitum. Quoniam enim proportio C A, ad AD, ipcomponitur ex propoitione CA, ad EF, & huius ')ad DA: ex genesi autem parabolarum, est ut C A, ad EF, sic potestas AB, eiusdem gradus cum trili- ilneo, ad similem potestatem B F & ut E F, ad DA, Psie B F, ad B Α . Ergo ratio C A, ad A D, compo netur ex rationibus potestatis A B, eiusdem gradus reum trilineo ad similem potestatem B F, & ex rati0- rne BF, ad BA. Sed ex istis duabus rationibus com p nitur ratio potestatis AB, uno gradu inferioris hpotestite trilinei , ad similem potestatem BF. Ergo patet propositum.
30쪽
Excessus primi circuli supra quosibet spirale spatium eae
prima reuolutione , est aqualis trilineo parabobco inogra
si altiori spatio spirali, cuius diameter sit aequalis fem
diametro circuit,balis Nero circumferentiae.
Si qWaecunque spiralis ex prima reuolutione AIE, A E, verbsit linea reuolutionis initium, sique etiam semidiameter circuli primi ; pariter esto parallelogrammum rectangulum Z Q, circumscriptum semiparabolae Z O R, cuius basis Z R , vertex O, quae si gradus unitate altioris gradu spiralis rv. g. si spiralis sit linearis, parabola sit quadratica: si spiralis iit quadratica, parabola si cubica: &c. insuper ZR, seu O in sit aequalis semidiametro EA, ZO, Veio, seu R Q , si aequalis circumferentiae EM SE. Dico excessum circuli supra spatium spirale qui d. inceps breuitatis gratia vocabitur excessus absoluteὶ a qualem esse RGO in trilineo. Accipiatur in A E, arbitrarie punctum V, S centro A, interuallo A V, describatur circulus secans spiralem in i, & ducatur AIS: deinde fiat OX, a qualis A v, seu AI, R ducatur X GΥ, parallela RQ,&per G, ipsa G B, paralicia RZ. Quoniam enimc X natura palabolae ea plicata initio lib. pri. dein f n. para b cst ut potestas RZ, seu OQ, congruen Spa-iab be ad similem potcstatem BG, scd OX, sic