장음표시 사용
41쪽
26 Infinitarum Spiralium trianguli diuidatur bifariam in Π, & partes rursum bifariam in P, P, & hoc semper fiat , donec a vertice F, ductis F ζ , F Π, F P, tandem deueniatur ad iii angulum FVG, quod sit minus spatio R; &per puncta I, h, L, ubi ducta a vertice F, secant curvam parabolicam, ducantur parallelae ipsi HG, ut in 'ischemate. Habemus ergo trilineo circumscriptam figuram constantem ex trianguIO FI Q, & ex trapezijs hQ, LT, HUs, & alteram inscriptam constantem ex traper ijs NOT, P U; & excessus circumscriptae supra inscriptam minor est spatio μ: quia excessus praedictus ut consideranti patet in a quatur triangulo FVG, quod ex constructione, est aequato Ergo trilineum superabit figuram sibi inscriptam multo minori quantitate quam sit μ. Ergo triangulum H FG, ad talem figuram ii rili. nco inscriptam adhuc erit in minori ratione quam circulus ad excessum supra spatium spirale. Quod
Tunc A B, diuidatur similiter in 3, , , scuti diuisa est FG, in Q, T, V: & centro A, interuallis A 3, A , A 7, describantur circumferentiae 3 S, 4 R, 7 8 si M, secantes spiralem in S, R, M, per quae transeant A SD, ARC, A ME, productae ad
Quoniam ergo circumserentia B D C E B, ad citacumferentiam 7 8 s M, est ex proposit. I. utpotestas B A, uno gradu altior potestate spiralis, adsimilem potestatem A 7, A B, G F, sectae sunt prin
42쪽
Spatiarum me ra. 27 portionaliter in 7, Vi, unde est ut potestas B A, uno gradu altior potestate spiratis,ad similem potestatemA , sic similis potestas G F, ad similem potestatem ' bF v ; ergo & circumferentia B D C E B, erit ad cir- . cumferentia 7 8 s M, ut potestas G F, uno gradu altior potestate spiralis nempe eiusdem gradus cum trilineo, quod supponitur uno gradu altius spirali inlad similem potestatem FV. Sed ex natura trilinei, est ut praedicta potestas GF, ad potestatem FV,
43쪽
cumserentia BD CEB, ad circumferentiam 7 8sM . Eodem modo probabimus, circumserentiam BD CEB, esse ad circumferentias 4 R, S,
ut HG, ad Κ T, Lin idemque probabimus de
alijs circumferentijs inscriptis in excessu, si adessent. Cum ergo 34, sit proportionalis ipsi QT; circumferentia 3 S, ipsi I in & circumferentia 4R, ipsi N T: Ergo fascia circularis 3 S R4, erit proportionalis trapezio N ex luculenter explicatis in proposit. 7. lib. a. de infinit. parab. & in scholijs
eiusdem; unde erit circulus totus ad fasciam praedictam, ut triangulum H F G, ad trapetium I T. Eodem modo probabitur esse circumferentiam ad fasciam q*R987, ut H FG, triangulum ad trapezium k V; & eirculum ad fasciam 78sMECDB, ut triangulum ad trapezium LG; & sic probaretur de alijs. Ergo circulus erit ad omnes fascias inscriptas intra illum excessum, ut triangulum ad omnia trapezia inscripta intra trilineum. Sed triangulum probatum est supra , esse ad omnia trapeZia inscripta in tit lineo, in minori ratione, quam circulus ad excessum illum. Ergo circulus ad omnes fascias inscriptas intra cxcessum, erit in minori ratione, quam ad
excessum i psum. Quod implicat. Quare Sc.
Sed nec etiam erit iliangulum in maiori iratione ad trilineum, quam circulus ad excessum. Nam sic, triangulum ad aliquid maius trilineo erit in eadem ratione cum circulo ad excessum. Sit excessus rursuna
44쪽
Sputiorum Mensira. 2yut triangulum sit ad trilineum cum ', in eadem ratione cum circulo ad excessum. Dividatur iterum HG, bifariam partes iterum bifariam, &constituantur triangula , ut factum est prius, ut unum triangulorum v. g. FVG, minus sit spatio D. Ergo triangulum ad trilineum simul cum triangulo F G, erit adhuc in maiori ratione quam circulus ad excessum. Si ergo factis circumscriptione , &inscriptione ut in schemate et patebit triangulum IF Q, cum trapezijs EI, LE, HL, quae sunt aequalia excessui figurae circumscriptae supra trapeZia NQLOT, PU, inscripta, aequalia esse triangulo F G. Ergo figura circumscripta superabit inscriptam spatio minori 0. Ergo figura circumscripta superabit trilineum multo minori quantitate. Ergo triangulum ad figuram circumscriptam erit in multo maiori ratione, quam circulus ad excessum. Sed eodem modo, quo factum fuit supra, probabimuS, circulum ad sectorem SA 3, e sse ut triangulum ad triangulum IF : & circulum ad fasciam 34 RASI. Vt triangulum H FG, ad trapezium kQ: &sic de alijs fascijs,& trapezijs circumscriptis excessui praedicto , & ipsi trilineo. Ergo circulus ad totam figuram excessui circumscriptam, erit ut triangulum ad fguram circumscriptam trilineo. Ergo circulus erit in maiori ratione ad figuram circumscriptam exces
sui, quam ad ipsum excessum. Quod iterum implicat. Ergo &c. Quod Sc.
45쪽
Ergo per conuersionem rationis, erit circulus ad ipsum spatiunt spirale, ut triangulum ad excessum ipsius supra trilineum. Cum ergo ostensum sit in schol. I. proposit. I .lib. a.de Infinit. Parab. esse triangulum HEG, ad excessum ipsius supra trilineum, ut numerus trilinei unitate auctus, ad numerum trilinei unitate minutum: erit & circulus ad spatium spirale, ut numerus trilinei unitate auctus, ad ipsum Vnitate minutum: nempe ut numerus spiralis binario auctus ad ipsum numerum spiralis numerus enimrrilinei superat semper numerum spiralis unitate . . Erit ergo circulus ad primum spatium spirale, ut 3. ad i. Adsec. vi q. ad 2. Ad tertium, vi s. ad 3. Et sic in infinitum, auctis semper antecedente, &con sequente unitate.
Si in spiralem quamcunque exprima reuolutione ortam eatisr linea, in centro inuio, interuallo illa linea descnbε-tur circulus. Erit primus circulus spirali circumsi i , adfectorem circuli descripti contentum ducta linea, ν portione abfissa a linea, quae est minum reuolutioris imp cedentia, invi potestassemidiametriprimi circuli aevi digradu altior pote tit piralis, adsimilem potestatem ri dii alterius circui .. Esto
46쪽
E to quaelibet spiralis ex prima reuolutione orta
Α l E, in qua ducta ubilibet ab initio A, linea Al, centro A, interuallo AI, sit descriptus circulus VIT U. Dico circulum radii Α E, esse ad se- '.ctorem A U TIA, ut potestas E A, duplici gra- , du altior potestate spiralis , ad similem potestatemAI, seu Α U. Nempe in lineari, ut cubuS ad cubum. In quadratica, ut quadiatoquadratum ad quadratoquadratum &c.
Nam circulus radij A adlectorem A UTI A, habet rationem compositam ex ratione ipsius ad cir-
47쪽
1α di In sinit in Spiraliam culum radii AV, & huius ad sectorem. Sed ut eirculus radij A F, ad circulum radii A V, sic quadra. tum A E, ad quadratum Av: & ut circulus radijΑ V, ad sectorem A UTI A, sic periphetia VTIV, ad peripheriam VTI; nempe sic peripheria EM SE, ad peripheriam EMS: & ut peripheria EM SE, ad EMS, sic potestas E Α , eiusdem gradus cum spirali, ad similem potestatem AI, seu ARex proposi t. a. E igo circulus radii A E, ad sectorem A U T I A, habebit rationem compositam ex ratiω ne A E, ad quadrati quadratum A V, & ex ratione potestatis AE, eiusdem gradus cum spirali, ad similem potestat. in A V. Sed ex his duabus rationibus comis. ponitur ratio potestatis A E, duplici gradu a litoris potestate spiralis, ad similem potestatem A V. Quare patet propositum.
Cum in schol. proposit. 6. probatum sit, esse excessum circuli radij A E, supra spatium spirale , ad
sui partem contentam recta o V, S cuiui, AI,
IT V, ut potestas pariter EA, duplici gradu altior potestate spiralis, ad similcm potestatem A V. Frit etiam praedictus excessus ad talem sui partem, ut circulus radij A E, ad sectorem A V TIA. Ex qua analogia, seu similitudine proportionum licebit varia vel Micosollatia dedicere.
48쪽
Deducemus enim primo, quod intellecto trilineo parabolico R G O uno gradu altiore gradu spiralis , oirti sibi circumscripto triangulo R O . erie triangulum ad trilineum, ut sector A UTI A, ade cellum ipsius supra portionem spatii spiralis comprehensam recta,& curua A I. Quod patet, quia cumst totus circulus radii AE, ad sectorem A UTI A, t excessiis circuli radi j AE, supra spatium spirale E ad
49쪽
aῆ De In irarum θ rabum ad partem ipsius comprehensam recta AV, &curia
uis UTI, IAr erit etiam permutando, circulus ra- dij A F, ad excessum, ut AN Tl Aue ad illam paratem excessus, quam comprehendi Sed ex propos'. est circulus ad excessum, ut triangulum ROQ, ad trilineum. Ergo etiam sector ad illum excessum erit,ut triangulum ad trilineum.
Deducemus a. esse etiam per conuersionem rationis, sectorem A V T l A, ad partem spatij spiralis
Contentam recta, & curua Al, ut triangulum ad excessum ipsius supra trilineum. Nempe iuxta explicata in schol. eiusdem proposit. ut numerus spiralis binario auctus,ad numerum spiralis.
Deducemus I. etiam armillam circularem cuius latitudo SI, vel VE, una cum sectore A VIA, essead spatium comprehensum rectis AI, A E, &ciurua El, ut numerus binario auctus, ad numerum. Cum enim probatum sit, esse ut totum ad totum, ita ablatum ad ablatum, nempe ut totus circulus ad tintum spatium, sic ablatum sectorem AVTIA, ad ablatum spatium: erit & reliquum ad reliquum ut t0- tum ad Lotum.
50쪽
Deducemus φ esse totum spatium spirale ad poditionem sui contentam recta, & curua ol, ut pol stas Λ E, duplici gradu altior potestate spiralis, ad similem potestatem AI, seu AU. Cum enim probatum sit , sic esse totum circulum ad totum spatium, ut sector AV TI U, ad partem clausam recta, dc
eurua AI. Erit etiam permutando, ut totus circu tus ad sectorem, nempe ex praesenti proposit- νt PQ E a testas