장음표시 사용
31쪽
ZO, scu Rin ad BO, seu GX: & cum vitalis pote stas QO, ad similem potestatem X, sic inspirali similis potestas EA, ad similem potestatem A U quia QO, OX, sunt aequales ipsis EA, Av.
Ergo ut R , ad G X, sic potestas EA, congruens parabolae , netape Vno gradu altior potestate spiralis, ad similem potestatem A V, seu AI. Sed ex propos t. 3. ut talis potestas EA, ad potestatem . At, sic circula ferentia EM SE, ad circumseremtiam VTI. Ergo&vt RQ, seu ΥX, ad G X, sic circumferentia LM SE, ad circumferentiam VTI. Ergo & permutando, ut XY, ad EM SE, sic G X, ad UTI. Sed ex constructione, YX, seu E. est aequalis circumserentia TMS E. Ergo ctiam G X, erit aequalis VTI. Cum ergo puncta V, X, sumpta fuerint arbitrarie, ergo omnes lineae tallinei RGO , parallelae RQ, erunt aequales omnibus circumferenti js excessus circuli E M S E, supra spirale spatium; quae circumferentiae sunt concentricae ipsi EMSE. Ergo&trilineum lcrit aequale praedicto excessiti. Quod Sc.
Notetur autem, quod supra dicta propositio non solum veri scatur secundum totas magnitudines,sed etiam secundum ipsarum partes proportionales Nimirum, non modo totus excessus circuli erit a qualis
toto trilineo RGOQ, sed etiam si AV, OX,
32쪽
sint aequales, pars excessus clausa circumserentiaia EMS E, spirali EI, circumferentia lT V, &recta Eu, erit aequalis trapegio parabolico RG X Idem intelligatur de alijs partibus, dummodo stimper A E, QO, aqualiter secentur. Ex hac doctrina, & ex schol. I . propositis lib. ι . deis finit. Parab. deducemus, quod si centro A, in te ilallo A V, describatur quaelibet circumferentia v Tl: erit totus excelsus ad partem sui clausam cur uis A i, i T V, & recta A V, ut potestas E A, duplici gradu altior potestate spiralis, ad similem pQ-
33쪽
xη De I mirerum Spiralium testatem AU. V. g in lineari, ut cubus EA, adcubum A U. In quadratica , ut quadratoquadratum ad quadratoquadratum, &c. Ratio est, quia excitat. schol. trilineum RG οπι est ad trilineum ad verticem GOX, in prηdictis rationibus. Quae doctrina diligenter notetur, ex ipsa enim non pauca faciliter in posterum deducemuS.
Si intra circulum circumscriptum primodatio betico ducatur circulus concentricus. Erit armilla, excessus primi circuli supra ductum, ad partem excessus quam comprehendit,
itot medietates amborum raHorum circulorum, quotus est numerus gradu piralis binario auctus, ad tot numero terminos proportionis, continuata ratione rari, maioris ad minorem, quorum rimus sit radius maior.
IN eodem schemat. centro A, radio AU, O
quilibet circulus concentricus ipsi EM SE, &ipso minor, secans excessum, & spatium, ut in schemate. Dico armillam circularem cuius Iatitudo VE, quae est differentia circulorum, esse ad partem excessus, quam continet, nempe illam, quam claudunt peripheria EM SE, spirali EI, circumferentia V TI, &recta VE, ut tot medietates ipsarum EA, A V, quotus est numerus gradus spiralis binario auctus, ad E A, A v, cum tot continue proportionali hus proportionis BA, A V, continuatae, quotus
34쪽
Spatiorum Mansura. vest idem numerus gradus spiralis binario auctus. V. g. in spirali lineari, ut 3. medietates ipsarum E ADA V, seu ut E A, A V, sesquialterae, ad E A, A V, eum tertia proportionali . In quadratica, Vt q. medietates EA, A U, seu ut ipsarum duplar, ad BA, 8 V, cum duobus alijs terminis continue proportionalibus. Et sic in infinitum. hTralineum parabolicum anteced. proposit. sit 1ectum cum triangulo sibi circumscripto linea N G X, R. parallela, ut Q X, aequetuo EU. Pater faciliter ex proposit. anteced. ω ex eius schol. sicuti e
35쪽
xo 2 In sartorum Spiralsumtum triangulum II OQ, est aequale toti circulo ra- dij A E, & totum trilineum R G OQ, est aequale eloti excessui, sic trapezium RNXQ, esse aequale armillae latitudinis U E; & trapezium RGXQ, esse aquale excessui ab armilla comprehenso. Ergo ar- im illa ad excessum , & trapezium triangulare ad tra- ipeatum trilineare, habebunt eandem rationem . Tunc , ratio trapezij RNX Q, ad trapezium i
componitur ex ratione illius ad parallelogrammuni, & huiu- ad trapezium R AXQ . ex 2. parte propolit. 9. lib. pri. de Infinit. Parab. est trapeZium
& ut O X, O Q, seu ut duae medietates O X, O Q, i ad duplam QO, sic tot medietates O X, O Q, quo- ltus est numerus gradus spiralis binario auctus, ad tot in umero QO: Ergo RNΥQ, erit ad YQ ut illi e tot medietates ad tot QO. Sed Υ est ad sRGXQ, ex lac. citat. ut tot do, quotus est nu- smerus trilinei unitate auctus nempe quotus est numerus spiralis binario auctus) ad QO, OX, cum alijs terminis proportionis QO, ad OX, continuatae ad tot terminos, ut numerus eorum excedat
numerum trilinei unitate inempe spiralis binario .PErgo ratio trapeZij triangularis, ad A GX incoinponetur ex ijsdem rationibus. Sed ex ipsis componitur etiam ratio tot medietatum QO, OX, quo tus est numerus spiralis binario auctus, ad QP, OX, cum illis tot numero terminis. Ergo etiam
36쪽
mpezium ad trapeZium , & consequenter armilla latitudinis J V E, erit ad partem excessus dictam, quam comprehenditis ut illae tot medietates ad illas proportionales. Nempe, vet tot medietates aptarum B A, R v, quotus est numerus spiralis binario auctus, adi EA, AU, una cum totalijs proportionalibus , quae simuladaequent eundem numerum spiralis binario auctum. q
Ergo per conuersionem rationis,erit armilla radii VE, ad partem spatij helici quam claudit, nempe ad illam, quae elata irar recta V B, & curvis IE, I v, ut illae medietates ad excessum ipsarum supra illas proportionales . Nempe in lineari ut sesquialtera ΕΑ, Α V, ad excessum unius medietatis EA, AV, supra tertiam minorem proporti alem. In quadratica, ut excessus EA, A V, supra tertiam,&quartam minores proportiones,&c.
circulus ductus concentricus, erit adpartem excessus, quam continet, mi potestas radii circuli maioris eiusdem gradus cum spirali, ad talem partem simans pote satis radii ducti, quae si babeat ad totam, mi binarium adnumerumspirati binario auctum. In
37쪽
IN Eodem schemate . Dico circulum radii mΑV, essem ad AIT VA, . partem exces. Usus quam claudit, ut potestas E A, eiusdem gradus eum spirali, ad partem similis potestatis A V, quae L se habeat ad totam potestatem A U, ut binarium in ad numerum spiralis binario auctum. Nempe inli- neari, ut EA, ad ,' A V. In quadratica, ut qua dratum ΕΑ, ad ἰ quadrati A v. In cubica, ut μcubus EA, ad cubi A V. Et sic discurrendo. Triangulum enim NOX, est aequale circulo radii, AU, & trilineum G X, aequale excessui Al TU; ergo triangulum ad trilineum,&circulua lad excessum erunt in eadem ratione. Sed intellecta recta Go, triangulum N O X, est ad triangulum GOX, ut NX, ad G X s nempe ut tota circumferentia U TIV, ad circumferentiam UTI NX, enim,& GX, su ni aequales illis circumferentiis: & triangulum GOX, est ad trilineum Gox,
ex schol. pri. proposit. I.Iib. t. de Infinit, Parab. ut numerus trilinei unitate auctus nempe ut numer
spiralis binario auctus ad binarium, nempe , ut G X, ad talem sui partem; seu ut circumserentia I TV, ad talem sui partem. Ergo ex aequali, erit NOX, ad trilineum , i& consequenter circulus ra- dij E A , ad pat tem excessus AI T V k ut tota cir- cumferentia radii o V, ad talem partem UTI, quae se habeat ad ipsam, ut binarium ad numerum binatio auctum. Sed ut circumferentia radii A v, ad idictam partem circumferentin UTI, sic circumfe- l
38쪽
Spatiorum Mesra. astentia radii E A, ad similem partem cireumferentiae EMS: & cum sit ut circumferentia radii A E, ad EMS, sic potestas EA, eiusdem gradus cum spirali , ad solem potestatem Al, seu AU; unde est etiam vicircumset entia radij A E, ad talem partem EM S, quae se habeat ad ipsam, ut binarium ad numerum binario auctum, sic potestas EΛ, eiusdem gradus cum spirali ad talem partem similis potestatis Λ V, quae se habeat ad ipsam, ut binarium ad nutrimium spiralis binario auctum . Ergo a primo ad vitia dum, erit circulus radij AV, ad excessum AITU, ut dicta potestas EA, ad dictam partem similis potestatis AU. Quod erat ostendum.
Per conuersionem ergo rationis erit circulus radii
RV, ad partem spatij , quam claudit, nempe ad AIVA, ut dicta potestas EA, ad excessiim ipsius supra dictas partes potestatis similis A V.
Vt imitaremur Caualerium in lib. 6. Geom. Indi. ostendimus 6. propositionem per indivisibilia r velum ipsum omnimode insequentes,illam ostendemus isodo Archimedeo, & ipsam demonstrabimus uniuersalius: non modo quia agemus de infinitis spiralibus, cum ipse de unica egerit dumtaxat, sed etiam
39쪽
De Insim strum Spirarum quia uniuersaliter considerabimus trilinea , &non praedictis excessibus aequalia tantum , ut fecit Caualerius . Modus iste ostendendi Archimedeus non , modo potest seruari in ista propositione, sed etiam in omnibus alijs sequentibus, in quibus particulariter in spirali lineari ipso utitur Caualerius,& quidem semper duplici de causa uniuersalius. Verum nos ipsum non adhibebimus nisi in presenti propositione, In alijs etenim viemur regali,& facili indivisibilium
via,relinquentes illam archimedeam ijs, qui in rebus geometricis cupiunt excruciari. Uerum tamen est, quod si quis optabit ostendere illas propositiones chimedee, id ei liccbit perficere, attente consideratas qPenti propositione, & ad ipsus instar, sed congruenti modo, operando, & discurrendo.
Circulus ad excessιωβi Iupra qMaebbet Datium spirale ex
prrma reuolutione eam habet propntovem , quam babet trian ulum circumsiriptum tribueo Ctano gradu altior pi. rati , adisum.
Sit qWρrcunque spiralis ex prima reuolutios: ASRMB, cum sibi circumscripto circulo BD CE, & sit quodlibet triangulum rectangululucum sibi inscripto trilineo F G H, uno gradu atriinri gradu spiralis, ut dictum fuit supra. Dico circu-ILm dictum, esse ad excessum ipsius supra spatium spirale
40쪽
Si triangu Ium non est ad trilineum in eadem ratione cum circulo ad illum excessum,vel est in maiori, vel in minori. Sit primo in minori. Frgo trianguL md aliquid minus illo trilineo erit in eadem ratione. Sit exccssus quo trilineum superat magnitudinem , ad qPam triangulum est in eadcm rmilc ne cum ciaculo ad illa xcessum. HG, basis