장음표시 사용
51쪽
3 ε α Infinitorum Spirabum testas A E, duplici gradu altior potestate spiralis. ad similem potestatem Al, seu A U, sic totum spatium spirale , ad sui partem clausametecta , &cur
Non diuerso modo quo iactum est in coroll. 3. deducemus s. in schem. proposit. sequen. ductis ab A , initio spiralis A XC DB, duabus lineis AC, Al , intercipientibus spatium intermedium spirale CAD, ac semidiametris AC, AD, descriptis circulis , ella sectorem O AD, simul cum fascia COGEU, ad spatium C AD , ut numerus binario auctus ad numerum . Ex dictis enim , est in dicta ratione tam totus sector A DOGEA, ad totum spatium ADCXΛ, quam ablatus sector A CN UA, ad ablatum spatium AC X. Ergo & reliquum ad reliquum erit, ut totum ad totum: nempe in dicta ratione.
M abluitis euiuscunquespiralis ducantur duae linea terminata a/ vopuncta intermedia spiratis, si V centra initio, im eruulo maiora ducturum definiatur εινculas . Motor circM Friptus statio spirali a duabus doctis euus, erit ad se, it factumsub quadrato maioris jacta indifferentiam potestatum ductarum eiu em gradus cum spi
52쪽
Datiorum mensera. 37rab, a Fui eate1 partis, o facti F b disrentia quadra toram ductatum is potesatem minoris eiusdem gradus in pirali, quae se habeant ad bde facta it Oumerus spi
rabs adnumerum auctum binario.
E xo qna libet spiralis A XC DB, & ab initio
A, sint ductae AC, AD, & tentro A, in te uallo AD, maiori sit descriptus circulus, &e. Di sectorem O A D, esse ad segmentum spirale CAD, ut factum sub quadrato O Α, in differentiam potestatem O A, AC, eiusdem gradus cum spirali, ad sui tales partes, & facti sub differentia quadratorum OA , AC, in potestatem AC, eiusdem gradus cum spirali simul, quae se habeant ad haec facta, ut numerus spiralis ad numerum binario auctum . V. g. in lineari , ut factum sub quadiato O R, in O C, adi ipsius, & facti sub digerentia quadratorum O A, A C, in A C. In quadratica, ut factum iu b quadra
53쪽
38 De In latrum Spiralium to O M in disserentiam quadratorum o A, AC, ad ', huius, &facti sub eadem differentia in quadratum C A. In cubica , ut factum sub quadrato Ο Α, in differentiam cuborum OA, AC, ad in huius facti,& facti sub differentia quadratorum OA,
CA, incubum C A. Et sic in infinitum. Centro etiam Α, interuallo AC, describatur alius eirculus. Quantam sector OAD, est ad sectorem C M, ut quadratum OA, ad quadratum C A: ergo per conuersionem rationis, erit ad fasciam MDOC , ut quadratum OA , ad differentiam quadratorum, OA, A C. Quoniam vero ex coroll. proposit, prim. est circumferentia D O, ad circumferentiam OGEsnempe fascia circularis M D O C, ad fasciam C OG E V, 3 ut differentia potestatum AD, seu ΟΛ,& AC, eiusdem gradus cum spirali, ad similem potestatem AC: & sector OAD, ad fasciam CoGEU, habet rationem compositam ex ratione ipsius ad fasciam MD Oα & huius ad fasciam COG E U. Ergo sector ad fasciam C O G E V, erit in
ratione composita ex ratione quadrati OA , addis serentiam quadratorum O AC, & ex ratione differentiae potestatum O A, A C, eiusdem gradus cum
spirali, ad similem potestatem C A. Ergo lector erit ad talem fasciam, ut factum sub quadrato OA , iniisserentiam potestatum Oo, CA, eiusdem gradus cum spirali, ad factum sub differentia quadratorum o A, CA, in potestatem C6, eiusdem gradus cum spirali. Et conuertendo, & componendo, erit se
54쪽
Mscia cum sectore ad eundem sectorem, ut factum subdifferentia quadratorum o Α, CA, in potestatem C A, eiusdem gradus cum spirali,cum facto sub quadrato OA , in disserentiam potestatum ΟΛ, CA, eiusdem gradus cum spirali, ad hoc secundo iactum. Et rursum conuertendo, erit sector ad fasciam cum lectore , ut secundo factum ad ambo facta. Sed ex coroll. 3. proposit. anteced. sector DA O, cum fascia COGE V, est ad spatium spirale Co D, ut numerus spiralis binario auctus ad numerum spiralis; nempe ut ambo illa facta ad tales partes ipsorum, quae sint ad ipsa facta, ut numerus spiralis ad num rum binario auctum. Ergo ex aequali, sector O A D, erit ad spatium spirale CAD, ut factum sub quadrato OΛ, in disserentiam potestatum OA, CA, eiusdem gradus cum spirali, ad tales partes ipsus, Sciacti sub differentia quadratorum o A, C A, S sub
55쪽
D. I Uinuae Disium potestate CA, eiusdem cum spirali gradus, quae se
habeant ad haec facta, ut numerus spiralis ad numerum binario auctum. Quod&c.
Notandum tamen est, quod quamuis supradicta propositio proposita sit de segmento intermedio CAD, & de sectore EI, circumscripto, hoc tata: en non est ita intelligendum, quasi non veri scetur etiam in segmento DA B, & insectore EI circumscripto. Simili cnim discursu obteniretur in
Sed in prima, & secunda spirali faciliorem ratio. rnem sectoris ad spatium possiimus, ex dictis, assigna- rre. In prFma enim spirali, erit sector ad spatium, ut quadratum AD, seu OA, ad rectangulum OAC, acam , quadrati O C. In secunda autem , erit ut iidem quadratum O A, ad rectangulum OAC, cum' scd cuna dimidio quadrati O C. Primum patet; lquia cum ex regula generali deducatur, sectorem esso ad spatium, vi sectum sub OC, in quadratu , O A, ad huius, & facti subdisterentia quadratorum O A, AC, in AC; nempe facti sub OC, incompositana ex o C, & dupla C A, & sub C A: recum in omnibus praedictis solidis sit unum commuae latus, nempe DCr sequitur sectorem esse ad ipatium, ut quadratum O A , ad ipsius, & rcctanguli sub CA, & sub composita ex OC, & d pia
56쪽
CA. Cum vero hoc rectangulum sub CA, &sub composita ex OC, & dupla C A, sit aequale duplo
quadrato CA, &rectangulo OCA. Sequitur sectorem esse ad spatium, ut quadratum O Α, ad ἔeiusdem, simul cum duorum quadratorum C A, & rectanguli OCA . Sed οῦ horum planorum est rectangulum OAC, cum Q quadrati O C. Quia quadratum ΟΛ, diuiditur in quadrata OC, CA,& in duo rectangula OCA. Colligendo ergo omisnia haec plana , habebimus tria quadrata CA; tria rectangula OCM & quadratum OC. Quorum est unum rectangulum o CA, cum vno quadrato CA nempe rectangulum O AC in eum ἰ quadratio C. Quare patet primum Fere eodem modo patebit secundum. Quia cum sector si ad spatium , ut facti m sub OC, in compinsitam ex OC, & dupla CA hoc enim rectangu-
57쪽
4x De Infiniturum spirisIam tum est disserentia quadratorum OA, AC &subquadrato o A, ad dimidium huius facti, & facti sub
eodem rectangulo in quadratum C A: & cum haec omnia facta habeant commune planum rectangulum sub OC, in compositam ex OC, S dupla C A sequitur sectorem esse ad spatium, Ut quadratu m O A, ad dimidium quadratorum OA, A C. Sed dimidium horum quadratorum est rectangulum O AC, cum dimidio quadrati OC, ut consideranti patebit. Quare secundum est manifestum.
. Ex dictis ergo in superiori scholio, patet in prima,& secunda spirali, lectorem ad spatium seruare hunc ordinem, ut sit ut quadratum maioris ducte, ad rectangulum subductis , una cum tali parte quadrati differentiae ductarum, quae sit ad ipsum, ut numerus spiralis ad numerum binarib auctrem; nempe ad ἰ, &ad dimidium, nempe ad Forsitan ergo quis posset cogitare talem proportionem sectoris ad spatium seruare hunc pulcherrimum ordinem, ut in tertia sit, ut quadratum O A, ad rectangulum OAC, cum' quadrati O C. In quarta cum ' quadrati O C. Et sic in infinitum. Sed qui sic putaret nimis a scopo aberraret, scuti patebit in numeris experienti in tertia spirali, Supponamus enim facilitatis gratia, O A, esse duplam AC. Quoniam cubus O A, esset 8, & cubus CA, i; ergo differentia cuborum
58쪽
0 A, A C, esset . Cum ergo quadratum OA , sit A. Ergo factum sub quadrato o A; & sub differentia eubori A C; esset 18. Pariter factum sub differentia quadratorum O A, A G, nempe sub .mubdubo CA, nempe sub r, esset I. Ergo sector
esset ad spatium vi L8. ad tria quinta 3I. nempe ad 38, ' nempe, vi q. ad a. & Cum tamen qua dratum'OA , sit ad rectangulum OAC, cum quadrati OC, ut 4. ad a. cum ) nempe cum vj r
sed proportio sectoris ad spatium praedictum p restalio modo, &compendiosius, patefieri. Q a
Dems λεν adidem sigmentum, erit it idem ance eis
59쪽
44 De In luxum spiralium ad tales partes digerentia potestatum ductaram duphei ,
gradu altiorum potestate spiralis, suprasimilem potest vrem minoris, q-se habeant ad totam dictam di=erem tiam, it numerus spiralis ad numerum spiralis binario
Eodem enim modo, quo supra factum fuit,osten- idemus, circumserentiam Do, esse ad cir- icumferentiam DOGE, vidisserentia potestatum DA, AC, eiusdem gradus cum spirali, at similem ipotestatem DA, seu ΟΑ. Cum autem sit,.Vt cir cumserentia DO, ad circumferenti m DO E, sic sector A Do, ad sectorem A DOEδει & p riter cum sit, ut praedicta differentia ad praedictam potestatem o A, sic sectum ex dicta differentia in qu3dratum O A, ad potestMem o A, iduplici gradgaltiorem potestate spirat is, Ergo sector D AO, erit ad sectore vi A D O EA, ut factum sub dicta distrantia potestatum O A, AC, eiusdem gradus cum spi ral i, in quadratum Ο Α, ad poetestatem O A. dui plici gradu altiorem potestate spiralis . At
A D O E A, est ad spatium spirale A X CD A. Nnumerus spiratisibinario auctus, ad munerum, excinruit. a. proposis. ις. nemps vr potestas O A, dupli ci gradu altior potestate spiralis, ad tales partes sti, quae se habeant ad ipsam, Ut numerus ad numerum b inario a ustum. Ergo ex aequali, sector D A erit
ad A XC DA, ut factum sub praedicta differentia
60쪽
Rursum , cum spatium spirale AKCDA, sit ad spatium A XCA, ut potestas DA, seu o A, duplici gradu altior potestate spiralis, ad similem potestatem C A, ex coroll. q. proposit. ε . nempe ivt ta-ὶς partes talis potestatis OA , quae se habeant ad ipsam, ut numerus spiralis ad numerum binario auctum, adsmiles partes potestius C A: erit per conuersionem rationis, A X C DA, ad A C D, ut talas partes potestatis Q A, ad excessum ipsarum supra similes parte potestatis C A. Quare rursum ex aequali, erit sector D reo, iad semeritum C A D, ut factum sub disserentia potestatum ΟΛ, C A, eiusdem gradus cum spirali, in quadratum O A, ad tales partes differentiae potestatum OA , AC, duplici gradu alitorum potestate spiralis, quae se habeant ad
totam disserentiam , ut numerus spiralis, ad mime-rumbinario auctum. Quod Sc.
Ex hac proposit, &ex anteced. quamuis extra latentum, colligemus, differentiam potestatum o A , AC, cuiuslibet gradus, aequalem fore iacto sub quadrato Ο Α, in differentiam potestatum OA, AC, dupli gradu inferiorum , dcfacto sub differentia quadratorum o A, AC, in potestatem CR, itidem duplici gradu inferiorem. V. g. disserentia quadrat quadratorum OA, AC, erit aequalis facto sub quadrato OA , de sub differentia quadratorum Oo,