장음표시 사용
11쪽
ad B L, nempe sumpta communi altitudine GH, ut rectangulum DBG, ad rectangulum L BG. Ergo ex aequali erit quadratum H L, ad quadratum K L, ut rectangulum G LB, ad rectangulum G B L. At rectangulum G LB, maius est rectangulo GBL. Ergo etiam quadratum H L, maius erit quad ato Κ L. Sed punctum L, sumptum est arbitrarie . Ergo omnes lineae ordinatim applic tae in pa abola erunt minores singulis ordinatim applicatis in hyperbola . Quare patet Propositum, P
12쪽
Sequatuor maguitudinum sit ima,adferundam, i tertia atquartam ι sitque ablata pars prima ad blatam ea tem secundae , it ablata pars tertiae ad ablatam partem Partae;et sint partesprimaeproportionales partibus secuuia . Erit reliqua pars prima ad reliquam partem secunia , - rebrua pars tertia ad reliquam partem Partα
IT ut prima A B, ad secundam CD,sic tertia E F, ad quartam GH; fitque E S, ad L D, ut MF, ad A
NH: pariter sit ut Ah, ad EB, sic EM, ad MF. Dico etiam AK, esse ad C L, ut EM, ad GN. Quoniam ex hypothesi componendo , est AB, ad Bh, ut EF, ad FM; &vt kB, ad L D, sic MF, ad NH; ergo exaequali, ut AB, ad Lo, sic EF, ad NH. At pariter cffut A B, ad totam C D, sici B F, ad totam G H. Ergo & A B, erit ad reliquam CL, ut L F, ad restquam G N. Rursum, quoniam conuertendo, est ΒΚ, ad k A, ut FM, ad ME.
Ergo componendo, &conuertendo, et it Ah,ad AB, ut EM, ad EF. Erat autem ut AB, ad CL, sic EF, ad GN.
13쪽
Factis Uzem quae in prima propost. excessM quadratorum
ordinatim applicatarum in byperbola sepra quadrata omdiuatim applicatarum snparabola, erunt adinvιcem, mi quadrata partium diametri interceptarum inter ipsas, in verticem figurarum -
IN eodem schemate,sint ordinatim applicarae ad diametrum A EDC, HKLO. Dico exce sum quadrati AD , supra quadratum ED , esse ad excessum quadrati H L, sepra quadratum E L, ut quadratum DB , ad quadratum B L . Quoniam enim quadratum totum AD, est ad totum quadratum H L, ut totum rectangulum G DB, ad totum rectangulum G LB: & ablatum q ad tum ED, probatum est es e ad ablatum quadratum KL, ut ablatum rectangulum DBG, ad ablatum rectangulum L BG: estque ablatum qum dratum DB, ad reliquum rectangulum REC, ut ablatum quadratum L h, ad ablatum rectangu
Ium H kO qui i cum ex hypothesr, sit q ad ratum A D , ad quadratum De , ve DG , ad GD; nempe ut rectat guli m GDB, ad rectringulunia G B D ; erit diuidendo , & conuertendo, quadratum D E , ad rectangulum AEC, Vt rectangu-
14쪽
Ium G BD, ad quadratum BD 3. Ergo ex pro posit. anteced. erit & ut reliquum rectangulum AEC, ad reliquum rectangulum H ho, ut reli. quum quadratum DB, ad reliquum quadratum B L. Quod&C.
Si ex muris antecedentium propositionum inusi aratur generari eonoidea , in quibus inscribentur coni super ψ dem basibus, ω circa eandem diametrum. Disserentia conoideorum tam secundum totum, quam secundsm parteS
15쪽
partes proportionales , erit aeri .ius disse entiae eon
SEd ex hyperbola ABC , & parabola EB F.
intelligantur genita cono idea , in quibus sint inscripti pariter coni ABC, EB F. Dico diis
rentiam conoideorum , nempe excessum conoidis
hyperbolici supra conoides parabolicum , aequalem fore differentiae conorum . sumatur in diametro BD, arbitrarie punctum L, mr quod agatur planum H O, puno AC, parallelum , secans Omnia dicta solida, ut in schemate . Quoniam enim Vt quadratum DB, ad quadratum B L, sic est tam quadratum totius AD, ad quadratum totius P L, quam ablatum quadratum ED, ad ablatum quadratum ML: & quadratum D E, est ad rectangulum AEC, ut quadratum LM, ad rectangulum P MR s quia proportiunes horum quadra . torum ad haesi Ic angula componuntur ex ijsdemi proportionibus, ut facile quilibet modice in geommetria expertus potest agnoscere . Ergo ex propos a. erit ut quadratum DB, ad quadratum B L, sici rectangulum AEC, ad rectangulum PM R. Sed etiam ex proposit. antec. est ut quadratum DB, ad quadratum B L, sic rectangulum AEC, ad rectangulum H kO. Ergo ut rectangulum AEC, ad rectangulum PMR, sic idem rectangulum AEC, adrectangulum HEO. Ergo rectangulum PMR, erit aequale recta, gulo HEO. Quare etiam armilla
16쪽
circularis PMR, erit aequalis armillae circulari HEO. Cum verb punctum L, sumptum sit arbitrarie , sequitur omnes armillas differentiae conorum, aequales esse omnibus armillis differentiae cono id eorum. Ergo & differentia conorum erit aequalis disserentiae conoideoriam. Sicuti autem probatum est totas illas differentias aequales esse , sc probari potest quaslibet ipsarum partes proportionales item fore aequales. v. g. si intelligatur ductum planum H O, probari potest eodem modo , partem differentiae conoideorum con-B tentam
17쪽
tentam inter plana HO, AC, aequalem esse parti dic
ferentiς conorum inter eadem plana contentae; quod cum sit de se euidens, omittitur. Patet ergo disserentias con Oideorum & conorum. aequales esse inter se , tam secundum tinum, quam secundum partes proportionales- Quod &c.
Non turbetur autem lector videns praesentem
propostionem probari per indivisibilium meth dum, imo admiretur excellentiam, & uniuersalitatem illius methodi veritatem prodientis etiam illis modis, quibus nequit manifestari methodo antiquorum. Nam in superiori constructione nescimus an methodus antiquorum possit adhiberi, quia indifferent ijs praedictis nequeunt inscribi cylindri. Quid ergo Z Concluso demonstrata falsa erit, quia perin- diuisibilia fuit roborata Z Nequaquam. Nam etiam eadem conclusio probari potest methodo antiquorum, sed alia praeparatione adhibita , ut patebit suo
Sed antequam nos expediamus a praesenti propositione, opere pretium ducimus manifestare eas notitias , quas ex ipsa, & ex dictis in nostro lib. 4. de infinitis parabolis possumus eruere. Cum enim ex cessus
18쪽
cessus saepe dicti sint aequales inter se tam secundum
totum, quam secundum partes proportionales, s quitur consequenter iuxta doctrinam praecit. q. lib. esse quantitates proportionaliter analogas tam frucundum magnitudinem, quam secundum grauitatem. Quare ex proposita I eiusdem libri, centra grauitatis horum excessuum secabunt BD, eodem pacto. Cum ergo centrum grauitatis differentiae conorum, quod sit v. g. L, sic secet BD, ut B L, sit tripla L D nam idem est centrum grauitatis e cessiis praedicti,&conorum ABC, EB F). Ergo
19쪽
etiam centrum grauitatis disserutiae cono ideorum siesecabit B D, in L, ut B L, sit tripla I D. Imo cum traiecto quolibet plano HO, parallel O AC, pars differentiae conoideorum contenta inter plana H O, AC, sit proportionaliter analoga cum parte disserentiae conorum contenta inter eadem plana; & cum in illo lib. q. pluribus modis sit assignatum centrum grauitatis praedictae partis differentiae conorum, quia centrum grauitatis illius sic diuidit L D, sicuti ipsam diuidit centrum grauitatis frustorum conorum EM N F, APRC, ut consideranti patebit: sequitur etiam pluribus modis haberi centrum grauitatis disserentiae cono ideorum contentae inter plana H O, A C. Notetur etiam noS in hoc opere citaturos esse antecedentia huius operis, S propos. librorum nostrorum de infinitis parabolis. Dum ergo citabimus propos huius operis, dicemus, ex tali proposit. vel ex schol. talis proposit. Dum vero citabimus li-hros de in sinitis parabolis, dicemus ex pro p. tali l bri .sili S. v. g. ex propos q. lib. I. intelligendo sempet
calindrus e reum hetis comissi byperbolica est ad ipsem, Ut .co 'Pa ex axi, se diametro, ω ex latererransuerso comidis, ad dimid/μm latem transuersi, mna cum tertia Pario axis ,seu diametri. Intel
20쪽
INtelligantur omnia solida antecedentis propo sit. &ipsis conoidibus sint circumscripti cylindri QC, T F. inoniam conoides hyperbolicum conis stat ex differentia conoideorum, &ex conoide parabolico; & differentia conoi deorum est aequalis disserentiae conorum s ergo ratio cylindri QC, ad co-noides ABC, erit eadem cum ratione eiusdem cylindri ad disserentiam conorum, & ad conoides parabolicum EB F. At ratio cylindri QC, ad disserentiam conorum est eadem cum ratione quadrati A D, ad tertiam partem rectanguli A E C, Vt consideranti patebit 3 quia cum sit ad conum ABC, ve