장음표시 사용
41쪽
dum totum , quam secundum partes proportiona-Ies . Quod Scc.
Licet haec propositio ostensa sit per indivisibilia,
potest tamen probari modo Archimedeo. Cum enim probatum sit armillam circularem N R P, : qualem esse circulo QT, etiam 1 si inscribantur tubus cylindricus N L P, inscriptus in excessii frusticoni supra cylindrum, erit aequalis cylindro Q U, inscripto in conoide . Si ergo diuidatur B D , in quibuscunque punctis, & per harc agantur plana ut supra, & fiant tubi, & cylindri modo antedicto, facile patebit omnes tubos cylindricos inscriptos in excellu frusticoni supra cylindrum, aequales fore omnibus cylindris in conoide inscriptis . Quare si haec diuisio fiat per continuam bisiectionem D B, partiumque eiusdem; quia tam in excessu frusti supra cylindrum, quam in conoide inscribemus solida ab ipsis deficientibus defectu minori quacunque
data magnitudine ; tandem concludemuS excessum praedictum , & conoides esse magnitudines aequaleS . Haec autem viris Euclideis, Archimedeisque sunt nimis obuia .
test ergo consequenter ad superius sepe dicta, deduci
42쪽
Oerboli m. esse quantitates proportionaliter an Iogas tam in magnitudine, quam ingrauitate, tam secundum totum, quam secundum partes proporti i nates . Vnde si aliquo pacto inuenietur centriin graui talis, vel roti ps excessus praedicti, vel partis ius in B D ; idem erit centrum graui talis Conoidis
43쪽
Galileus in pt stremis dialogis pag. apud nos , 28, ostendit paradoxum quodam ; nimirum, circuli cim cum serentiam aequalem esse puncto. Ut hoc ostendat utitur excessu cylindri supra hemisphaerium, &cono, ut ibidem pote sto conspici . Sed sicuti usus sui texcessu cylindri sit pra hemisphaerium, sic etiam poterat uti excissu cylindri supra hemisplinoides: eadem enim fuis*t demonstratio. Paradoxum Galilei ostendimus &'nos in appendice ninri libelli sexaginta problematum geo-etricorum, adhibendo ex cessum cylindri supra conoides parabiaicum, & ipsum conoides. Hoc idem paradoxum facile ex praesenti proposit, patebit confirmari posse , adhibendo excessum praedictum frusti coni G Iad H,4supra cylindrum IM, & conoides hyperbolicum AB C.
Probatum est enim , ubicunque tiaiciatur planum N P, plano GH, parallelum, semper armillamini R P,. aequalem csse circulo Q r ; sieuti quamluhet partem exccssa S aequalem esse proportionali pariti. cano idis. Ct m ergo cxcdssis praed eius desinat incucu inferentiae circuli cuius drameter th, sicuti . noides desinit in puncto B; videtui ergo colligi circumserentiam aequalem esse vertici B.
44쪽
Οnoidi hyperbolico ABC, cuius diameter DB, latus transuersum EB, sit circumfer se
45쪽
pius cylindrus O C. Dico hunc esse ad illud ut ED, ad dimidiam EB, cum tertia parte BD. Sit F, centrum hyperbolae genitricis, & FG, FH, sint eius asymptoti, & per B, sit ducta I B, paralleIa GD; intelligamusque ex reuolutione trapeZij CIB D , circa B D, genitum esse frustum eonicumGI K H, cui sit circumscriptus cylindruς N H &inscriptur, I M. Quoniam linea GH, diuisa est secundum conditiones proposit. s. nam ex proposit. Io. 2. Conic. rectangulum G AH, est aequale quadrato I B, seu quadrato L D. Ergo rectangulum GL H, erit a quale q adrato A D. Ergo etiam armilla circularis GL H, quae est basis tubi cylindrici N L P, erit aequalis circulo A C, basi cylindri O C Cum ergo ex proposit. anteced. excessus frusti coni Cl k H, supra cylindrum IM, sit aequalis conoidi hyperbolico ABC. Ergo tubus eylindricus N L P, ad illum excessum,& cylindrus OC, ad conoides erunt in eadem ratione - At ex proposit. 8. tubus est ad excessum ut E D, ad FB, cum restia parte DB. Quare pater propositum. Ostenti igo proportione cylindri circumscripticon Gidi hypeiholico ad ipsum , facile docebimus in qUa linea diametro parallela sit centium grauitatissum thypoi bolae. Sit ergo. P M ' seu ita a
46쪽
O: fiat it smih erbola ad Amidium parallelo rammi sibi
circumscripti, sic composita ex semilatere transuerso hyperbola ,sin ex te tia parte axis eiusdem, ad aham: Amri fiat αγt composita ex latere transuerso ω ex axi , ad inuentam, sic basii semibyperbola ad partem absci denda m incipiendo ab axi. Hentrum grauitatis semib perboia erit in linea per punctum ducta axiparasita.
E Sxo hyperbola A B C, cuius axis B E ; centrum
G; latus transuersum F d; parallelogrammum ei circumscriptum sit DC; sitque 3 H, tertia pars
BE; & fiat ut ABE, ad dimidium D E sic GH, ad Eli; & pariter fiat ut F E, ad F k, sic A E, ad
E L ; ac per L, ducatur L M, parallela B E. Dico in ML, esse centrum grauitatis semi hypei bol ABE. intelligamus DE, cum senat hyperbola , AB E, rotari circa BE. Quoniam ex proposit. 3. 7.& ti . cylindrus DC, est ad conoides ABC, ut FE. ad GH; & ratio FE, ad GH de foris sumpta E k ὶ componitur ex rationibus F E, ad Eh, S lit ius ad G H. Ergo etiam ratio cylindri ad conoides componetur ex iisdem rationibus. Sed ex schol. I. proposit-3. lib. a. ratio cylindri ad conoides componitur etiam ex ratione dimidij D E, ad AB E, Sex ratione A E, ad interceptam inter EB, & centrum
aequilibrij Av E, seu grauitatis duplicatae AB E
47쪽
ad partes A E, & supra factum est conuertendo, ut dimidium DE, ad ABE, sic kE, ad G H. E go rationcs F E, ad E h, & Eli, ad G H, aequales erunt rationibus L h, ad GH, & A E, ad praedia
ctam interceptam. Ergo si auferatur communis ra
tio h F, ad G H. F D, ad EI, erit vi A E, ad illam interceptam. Sed ex constructione, ut F E, ad Eli, sic A E, ad EL. Eigo'L, erit centrum aequilibrij semihypei bolae. Et consequenter in L M, erit centrum grauitatis semibyperbolae. Q Od &c. SCH
48쪽
nia autem, quae collecta sunt in quam plurimis propositionibus lib. 3. colligentur etiam nunc. Nam primo, tam super D E, quam supra Α B E , intellectis cylindricis rectis aequealtis resectis diagonaliter plano transeunte per E B, & per latus oppositum ip-s DA, colligentur cubationes amborum truncorum cylindrici super semihyperbola existentis, cum hac tamen diuersitate ; quod cubatio trunci sinistri dabitur semota hyperbolae quadratura; quia sine tali quadratura datur ratio DC, cylindri ad conoides ABC; secus dicendum de cubatione trunci dexteri, quae non habetur nisi supposita quadratura. Secundum est squadratura supposita in ratio cylindri ex D E, circa D A, ad annulum strictum ex semihype hola AB E, circa DA . Tertium est ratio conoidis ,& praedicti solidi ad inuicem, pariter supposita quadratura. Sed antequam ulterius progrediamur, sicuti pluribus modis patefacta est ratio cylindri circumscripti ad conoides, sic non erit inutile assignare centrum grauitatis conoidis. Sit ergo.
sentrum grauitatis comidis hyperbolici se diuidit d ob brimam partem diametri eiusdem ordine quartam a ba
49쪽
si, mi pari propinquior basi, sis ad reliquam, mi diamidium lateris transuersi canaidis, ad tertiam partem sua Hamuri.
Esto conoides hyperbolicum quodcunque
ABC, cuius axis, seu diameter BD, sc s cetur in L, ut B L, sit dupla LD, & scin χ, ut B Q, si tripla in . Ergo sic LO, erit duodecima pars totius BD,& ordine quarta incipiendo a D. Sit G B, latus transuersum conoidis, & L sie
50쪽
secetur in P, ut QP, sit ad P L, ut dimidia GB, ad
tertiam partem B D. Dico P, esse centrum grauitatis conoidis hyperbolici ABC. Inscribantur co-noides paraboli cum EB F, &coni, ut factum est supra. Quoniam ex schoI. a. proposit, q, Q, est cen-rrum grauitatis tam disserentiae conorum, quam differentiae conoideorum, & uti stcnditur a multis, Setiam a nobis lib. 4 propos t. ιq, L, est centrum grauitatis conoidis parabolici EBR ergo si L ic diuidatur in P, ut sit reciproce QP, ad P L, ut co-noides E B F, ad disserentiam conoideorum,erit P, centru grauitatiS totius conoidis hyperbolici ABC. Sed ut conoides EB F, ad d sferentiam cono i- deorum, sic dimidia GB, ad tertiam partem DB, ut statim patebit. Ergo patet propositum. Assumptum vero patet ex dictis. Quia facile patebit conoides EB F, esse ad differentiam conoi- deorum, seu ad disserentiam conorum, ut dimidium quadrati D E, ad tertiam partem rectanguli A E C. Sed cum ex data hypothesi, sit diuidendo, & eo uertendo, quadratum D E, ad rectangu Ium AE
V GB, ad BD. Erit & ut dimidium quadrati DE, a1 tertiam partem rectanguli AEC, sic dimidia C B, ad tertiam partem BD.
. i Si quis verb scire cupiat, in qua proportione secetur tota B D, a centro grauitatis P, aioc tali discur-