장음표시 사용
21쪽
A O E, & communis add4tur pars genita ex figura contenta a recta, & cui ua OB , patebit propo
Quantum vero ad partes proportionales, non erit dissimilis demonstratio ab antecedenti, addendo, &auferendo partes communes secundum quod planum secans parallelum plano AC, transit vel per puncta in I, vel supra, vel infra ipsa . Qua
Ergo excessus praedicti conoideorum supra suos nos erunt quantitates proportionaliter analogae, tam in magnitudine, quam in grauitate. Cum ergo excessus conoidis parabolici EB F, supra latim conum si dimidium talis coni, quia conoides est sesqui al terum coim Et cessus Eonoidis hy
perbolici A B e, Ignatuum conum erit dimidium coni- Quare cylind
in conoide parati quadratum AD, ad tertiam partem qua-
AB C, ut idem quadratum A D, ad sextam partem quadrati DE. Quod notetur. I tem, quoniam excessus praedicti sunt magnitudines proportionaliter analogae in grauitate . Ergo idem punctunt in BD, erit centrum grauitatis cuiuslibet talium excessitum. Cum ergo punctum medium
22쪽
dium ipsius BD, sit eentrum grauitatis excessus e noidis parabolici EB F, supra conum EB F; se quitur etiam centrum grauitatis excessiis conoidis ABC, supra suum conum esse in medio ipsius Quod vero centrum grauitatis excessus conoidis petrabolici EB F, supra suum conum sit medium penctum ipsius BD, patet. Quia P, centrum grauitatis conoidis diuidit BD, ut BP, sit ad PD, ut a, ad ἔ, seu ut 8. ad 4. N, vero centrum grauitatis coni diuidit BD, sic, ut BN, sit N ut 3. vi s. ad 3. Ergo qualium
23쪽
BD, est ia, talium PN, erit t. Cum verbsi sat ut excessiis eonoidis supra conum ad conum, ne pe vi I, ad a, sic reciproce N P, ad PM, sit M. centrum grauitatis excessus praedicti. Sequitur qualium BD, erat ra, PN, I, &d P, 8, talium PM, esse 1,& 5M,6Quare patet propositum.
t composita ex axι ,seis diametro, in ex latere transeuerso conoidis ad dimidium lateris transier si, inacum tertia parte axis , sim diametri.
PRO postio ergo quinta probatur alio modo. Sint solida praedicta, Sc. Dico cylindrum Q C, eL se ad conoides hyperbolicum ABC, ut GD, ad dimidiam G B, cum tertia parte DB. Cum enim conoides ABC, diuidatur in conum ABC, 8tii excessum ipsius supra ipsum; sequitur QC, cylindrum esse ad conoides ABC, ut est etiam ad conum ABC, & ad excessiim conoidis supra conum Cylindrus Q C, est ad conum ABC, Vt quadra tum AD, ad sui tertiam partem :& ex schol. an . est ad excessum conoidis ABC, supra suum canum ut quadratum AD, ad sextam partem quadr ti DE. Ergo colligendo ambo consequentia, erit Q C, ad conum, & ad excessum, nempe ad conoide sA B C, ut quadratum A D, ad sui tertiam partem,
24쪽
vna eum sexta parte quadrati ED. Cum autem ex hypothesi, sit ut quadratum AD, ad quadratum DE, sic D G, ad G B ; erit & ri quadratum A D,gd sui tertiam partem,cum sexta parte quadrati E D,
se G D, ad sui tertiam partem cum sexta parte CB . Ergo etiam cylindrus Q C, erit ad conoides ABC, ut D G, ad sui tertiam partem inempe ad tertiam partem ipsarum G B, BD una eum sexta parte CB. At tertia pars G B, una cum sexta pan
ta eiusdem sicit dimidiam G B. Ergo QC, erit ad conoides hyperbolicum ABC, ut G D, ad C a dimi-
25쪽
dimidiam G B,. eum tertia parte BD. Quod erat
' A frusto coni cuius opposita plana parasiela , circumscriabatur cylindrus , in alter inscribatur, cuius basis minor babis fruui, sis latera trape i genitoris seu pra-
ducantur et que ad concursum cum diametro . Tubu
e Iindricus, qui est excessus cylindri circumsiripti supra vlindrum inscriptum , erit ad excessum fruni fur.
vlindrum insiriditum, ut composita ex diametro frum, es' ex dupla intercepta inter minorem G , punctum concursius laterum trape j, adcompositam ex tali intercepta, ω ex tertia parte diametri fusti.
FRusto coni ABCD, cuius diameter ET, Mopposita plana parallela ad inuicem sint BC, AD , circumscribatur cylindrus GD, & inscii-batur H C; & latera AB. 19 C, producantur usque dum occurrant TE, producta in I. Dico tu in cylindricum G .H CD, c sse ad excessum frusti C D, supra cylindrum B L, nempe ad solidum genitum ex triangulo ABH, reuoluto circa ET, ut cum posita ex TE, & ex dupla IE, ad lE, unucum teitia parte T E. Cum cnim cylindrus GD, sit ad cylindrum B L, ut quadratum AT, ad quadratum TH, seu BE; nempe ut quadratum TI, ad quadratum 1 L. Ergo & per conuersonflatio-
26쪽
nas, erit G D, ad tubam G H C D, ut quadratum IT, deuessum ipsius supra quadratum IE ; ne m adbduplum rectangulum I ET, cum quadratσT E; nempe ad rectangulum sub composita ex dupla IE, de ET, & sub ET Quare & conuertendo, erit tubus, GH Κ, ad GD, utpraedictiam rectam gulum ad quadratum IT Cylinctus GD, est ex Mictis in schol. a. propose. I s. lib. a. ad frustantia ABCD, ut trisa Tl, ad TI, IE, & harum tertiam minorem proportionalem ; nempe ducendo has in I T, ut triplum quadratum I L ad quadratumi T, rectangulum Tl E, &rectangulum sub TI, S
27쪽
sub tertia proportionali squod rectangulum est a,
quale quadrato IEὶ: nempe subtriplando terminos, est GD, ad ABCD, ut quadratum D, ad tertiam partem quadratorum Tl, IE, & rectanguli Tl E, quae tertia pars est aequalis quadrato IE, rectangulo IE T, & tertiae parti quadrati. TE. At idem cylindrus GD, est ad cylindrum B L, ut quadratum AT ad quadratum H T, sed BE; hoc est ut quadratum T I, ad quadratum IE. Ergo idem cylindrus GD, erit ad excessum frusti ABCD, supra cylindrum B L, ut quadratum ΤΙ, ad rectangulum I E T, una cum tertia parte quadrati T E ; nempe una cum rectangulo contento sub
T E , & sub tertia parte Τ Ε . Ast erat supra tubus GH Κ, ad cylindrum G D, ut rectangulum sub composita ex dupla I Ε, se ex ET, & sub TE, ad quadratum IT. Ergo ex aequali, erit tubus GHE, ad excessum frusti ABC D, supra cylindium B L, Vt praedictum rectangulum, ad rectangulum I ET, Una cum rectangulo sub Τ Ε, & sub tertia parte ET Quae duo rectangula cum sint idem ac rectangulum sub composita ex l E, & ex rei tia parte ET, & sub I E. Sequitur G Hs, esse ad excessum praediebam, ut rectangulum sub composita ex dupla I E, & cxΣT, & sub ET, ad remngu Ium.sub eadem ET, & sub composita ex I E, & ex t&tia parte Ε Γ; nemis
P e propter commune latus ET, ut composita ex dupla IE, Sc ex ET, ad l E, cum tertia parte ET. isd erar ostendendum. PRO
28쪽
I, recta AB, sit secta bifariam in C,- in D, E, aeque remete a si or pariter in F, G, aeque remote 4 c, si
que rectangulum AEF P, equale q Hato ic. Eris etiam rectangulum AD B, aequale quadrato F c.
Cum enim rectangulum A F B, diuidatur in rectangulum sub ΑF, in D B, & in rectangulum AF D, nempe in rectangulum sub FD, in GB . Erugo rectangula AF, D B; FD, G β, erunt aequalia quadrato D C. Quare addito communi rectangula FDG. Ergo rectangula AF, DB; FD, Gs;
FD G, erunt aequalia quadrato D C, &rectangulo PDP nempe quadrato FC. Atrectangula FDG, ει F D, G B, faciunt rectangulum F D B. Quod cumiectangulo AF, DB , facit rectangulum ADB. Quare etiam rectangulum ADB, erit aequale quadrato FC. Quod &c. '
S, eouoides sperbolicum includatur intra frustum conicum habens oppositas bases parallelasi , latera trapelagenti roris fruiti sint partes alymptoton hyperbolae genitricis
29쪽
quadratum AD, ad testiam partem sui ; & ad e num EB F, ut idem quadratum AD, ad tertiam partem quadrati ED; sequitur esse ad differentiam
conorum ut idem quadratum AD, ad tertiam pamtem disserentiae quadratorum AD, DE s nempe ad tertiam partem rectanguli AE C. Cum vero ex
hypothesi, sit quadratum A D, ad quadratum E D,
ut D G, ad G B; ergo per conuersionem rationis, erit quadratum AD, ad rectangulam AEC, aut GD, ad DB. Et quadratum AD, erit ad tertiam partem rectanguli AEC, ut GD, ad tertiam partem DB. Quare etiam cylindrus Q C, erit ad differentiam conorum, &consequenter ad differentiam conoideorum, ut G D, ad tertiam partem
Dd. Pariter ratio cylindri QC, ad conoides EB F, est eadem cum ratione quadrati AD, ad dimidium quadrati ED. Quia cum sit ad cylindrum TF, ut quadratum A D, ad quadratum E D; & cum c noides EB F, sit dimidium cylindri TF, ut cepe probatum est in nostris lib. de infinit. parab. Ergo cylindrus Q C, crit ad conoides EB F, ut quadrurum AD, ad dimidium quadrati ED; nempe ex hypothesi, ut D G, ad dimidiam Gn. Ergo colligendo consequentia, erit cylindrus Q C, ad concides , & ad differentiam conoideorum, nem pe ad concides hyperbolicum ABC, vr GD, ad dimidiam Gn, cum tertia parte v D. Quod erat oste
30쪽
eonum sibi inscriptum est AEqualis excessui conoidis p rabolici illi inscripti supra conum illi inseriptum , tam secundum totum , quam secvvdum partes proportionales .
O Vantum ad totos excessus sic patebit. Cum
enim ex proposit. q. excessus conoideorum sit aequalis excessui conorum , si communis auferatur illa Pars, quae generatur ex reuolutione trilinei mixti