장음표시 사용
31쪽
AOE, & communis add4tur pars genita ex figura contenta a recta , & cuitia OB , patebit propo
Quantum vero ad partes proportionales, non erit dissimilis demonstratio ab antecedenti, addendo, &auferendo partes communes secundum quod planum secans parallelum plano AC , transit vel per puncta in I, vel supra, vel infra ipse . Qua
Ergo excessus pnedicti conoideorum supra suos conos erunt quantitates proportionaliter analogae, tam in magnitudine, quam in grauitate. Cum ergo excessus conoidis parabolici EB F, supra suum conum sit dimidium talis coni, quia conoides est sesquialterum cons. Ergo ut m cxcessus conoidis hyperbolici ABC, supra suum conum erit dimidium coni inscripti in conoide EB F. Quare cylindrus C, qui est ad conum inscriptum in conoide parabolico, ut quadratum AD, ad tertiam partem quadrati E D, erit ad excessum conoidis ABC, supra conum ABC, ut idem quadratum AD, ad sextam partem quadrati DE. Quod notetur. l tem, quoniam excessus praedicti sunt magnitudines proportionaliter analogae in grauitate . Ergo idem punctum in BD, erit centrum grauitatis cuiuslibet talium excessitum. Cum ergo punctum medium
32쪽
dium ipsius BD, sit centrum grauitatis excessisse noldisparabolici EB F, supra conum EB F; sequitur etiam centrum grauitatis excessus conoidis ABC, supra suum conum esse in medio Utas
Vero ce0trum grauatatis excessus conoidis inrabolici EB F, supra suum conum sit medium ptinctum ipsius BD, patet. Quia P, centrum grauitatis conoidis diuidit BD. ut BP, sit ad PD, ut a, ad ἔ, seu ut 8. ad 4. vero centrum grauitatis coni diuidit BD, sic, ut BN, sit N 3. ad I . seu vi s . ad 3. Ergo qualium
33쪽
BD, est ir, talium PN, erit t. Cum vero si fiat ut excessus eonoidis supra conum ad conum, nempe vi I, ad a, sic reciproce N P, ad PM, sit M. centrum grauitatis excessus praedicti. Sequitur qualium BD, erat II, PN, I, &BP. 8, talium PM, esse 1, & 5M, 6, Quare patet propositum.
In rus Arcumscriptus considi Dperbobco est ad ipsum ,
t composita ex axι,δεω diametro, o ex titere t ranis seuerso conoidis P ad Amidium lateris transuersi, inacum tertia parte axis ,seu diametri.
PRopositio ergo quinta probatur alio modo. Sint solida praedicta, &c. Dico cylindrum Q C, o D se ad conoides hyperbolicum ABC, ut GD, ad dimidiam G B, cum tertia parte DB. Cum enim: conoides ABC, diuidatur in conum ABC, R in excessum ipsius supra ipsum; sequitur QC, cylindrum esse ad conoides ABC, ut est etiam ad conum ABC, & ad excessum conoidis supra conum Cylindrus Q C, est ad conum ABC, ut quadra tum AD, ad sui tertiam partem: & ex schol. an . est ad excessum conoidis ABC, supra suum c, num ut quadratum AD, ad sextam partem quadrDii DE. Ergo colligendo ambo consequentia, erit Q C, ad conum, & ad excessum, nempe ad conoide sA B C, ut quadratum A D, ad sui tertiam partem,
34쪽
una cum sexta parte quadrati ED. Cum autem ex hypothesi, sit ut quadratum AD, ad quadratum DE, sic D G, ad G B; erit&vt quadratum AD, d sui tertiam partem,cum sexta parte quadrati E D, bc GD, ad sui tertiam partem cum sexta par CB.. Ergo etiam cylindrus Q C, erit ad conoides o BC , ut D G, ad sui tertiam partem inempe ad tertiam partem ipsarum G B, BDὶ una eum sexta parte CB. At tertia pars G B, una cum sexta pan ta eiusdem sicit dimidiam G B. Ergo QC, erit ad comides hyperbolicum ΑΒ C, ut GD, ad C a dimi-
35쪽
dimidiam G B, eum tertia parte BD . Quod erat
Si frusto coni cuius opposita plana parallela , circumsir batur cylindrus , in alter inscribatur, cuius basis minor basii fruui, se' titera trape i genitoris frusti' pro
sicantur Minque ad concursum cum diametro . Tubin
e lindricus, qui eri excessus Ilindri circumscripti supra vlindrum inscriptum , erit ad excessum fructi supra lindrum inscriptum, it composita ex diametro se Bi , ω ex dupla intercepta inter minorem G , grrnorum concursus laterum trapezs, ad compositam extuli intercepta, ω ex tertia parte diametr frusti-FRusto coni ABCD, cuius diameter ET, &opposita plana parallela ad inuicem sint BC, AD , circumstr i batur cylindrus CD, & inscii-batur HS; &Jatera tiA B έ OC, producantur usque dum occurrant TE, productae in I. Dico tu-hum cylindricum G .H C D, esse ad excessum frusti C D, supra cylindrum B L, nempe ad solidum genitum ex triangulo A BH, leuoluto circa ET, ut cumposita ex TE, & ex dupla IE, ad IE, via. Cum teitia parte T E. Cum enim cylindrus G D, ad cylindrum B L, ut quadratum Ar, ad quadratum TH, seu BE; nempe ut quadratum T I, . ad quadratuni 1 f. Ergo & per conuersionfratio
36쪽
nas, erit G D, ad ictum G H C D, ut quadratum
IT, ad eessum ipsius supra quadratum IE 3 ne m adbduplum rectangulum iET, cum quadrato T E; nempe ad rectangulum sub composita ex dupla ΙΕ, ει ET, & sub ET. Quare dc conuertendo,, erit tubiis G HK, ad GD,vrpraedictiam rectam gulum ad quadratum IT Cylindrus GD, est ex dictis in schol: a. . proposit. Is . lib. a. ad frustum A BCD, ut tripla Tl, ad TI, IE, & harum ter. tiam minorem proportionalem ; nempe ducendo has in I T, ut triplum quadratum IT, ad quadratum IT, rectangulum Tl E, &rectangulum sub TI, &
37쪽
sub tertia proportionali quod rectangulum est a, quale quadrato IE): nempe subtriplando terminos, est GD, ad ABCD, ut quadratum TI, ad tertiam partem quadratorum Tl, IE, & rectanguli Tl E, quae tertia pars est aequalis quadrato IE, rectangulo I ET, & tertiae parti quadrati. TE. At idem cylindruq G D, est ad cylindrum B L, ut quadratum AT ad quadratum H T, seu B E; hoc est ut quadratum Tl, ad quadratum IE. Ergo
idem cylindrus G D, erit ad excessum frusti ABCD, supra cylindrum B L, ut quadratum Tl, ad rectangulum i E T, una cum tertia parte quadrati T E ; nempe una cum rectangulo contento sub
TE, & sub tertia parte Τ E . Ast erat supra tubus GH Κ, ad cylindrum G D, ut rectangulum sub compesita ex dupla I F, Rex ET, & sub TE, ad quadratum IT. Ergo ex aequali, erit tubus GHE, ad excessum frusti ABC D, supra cylindium B L, ut praedictum rectangulum ad rectangulum IE Luna cum rectangulo sub T E, & sub tertia parte ET
duo rectangula cum sint idem ac rectangulum
sub composita ex l E, de ex tertia parte ET, & sub TE. Sequitur G HI, csse ad excessum praedictum, i rectangulum sub composita ex dupla I E, & ex ET, & sub ET, ad rectanguIum sub eadem ET, S sub composita ex I E, & ex idrtia parte E R nem
Pe propter commune latus ET, ut composita ex du- .pla IE, Nex ET, ad I E, cum tertia parte ET.
38쪽
recta AB , sit βιZa bifariam in C,. in D, E, aequere te a si ιν pariter in F, G, aeque remote a ,si que rectangulum AEF P, equale qua rato ic. Eris etiam rectangulum AD B, aequale quadrato F c.
Cum enim rectangulum A F B, diuidatur in rectangulum sub AF, in DB, &in rectangulum A nempe in rectangulum sub FD, in GB. Erago rectangula A F, D B; F D, G β, erunt aequalia quadrato DC. Quare addito com muni rectangula FDG. Ergo rectangula AF, DB; FD, GO; A F Du C ' E G a
FD G, erunt aequalia quadrato DC, &rectangulo FDG; nempe quadrato FC . Atrectangula FUR& F D, G B, faciunt rectangulum F D B. Quod cum rectangulo AF, DB , facit rectangulum ADB. Quare etiam rectangulum ADB, erit aequale quadrato F C . Quod Sc.
n ouoides sperbolicum includatur intra frustum coaeticum habens oppositas bases parallelasi stu latera trapeo genia; toria fructi sint partes a Tmptoton byperbolae genitricis
39쪽
ramidis ue iuraque frus- conicum, , ra m I si ipsius inserabatur cylinisust Erit e cessus frusticonLei supra cylindrum sibi insiriptum aequalis conotia θ- perbotico, tam seeundum totum, quam secun m partes
COnoides hyperbolicum ABC, cuius diameia
ter DB, latus transuersum E B, centrum Rasympt6ti hyperbolae genitricis FG, F H, intelligatur inclusum intra frustum conicum GlΚH, cuius opposita plana parallela sint IE, GH, .& mipsiost inscriptus cylindrus ILI. Dico excessum frustiGI h H, supra cylindrum IM, aequalem esse cono di ABC, tam secundum totum, quam se nila partes proportionales. Sumatur enim in diametro rbitrariὶ punctum O, per quod agatur planum NO P, GH, parallelum, secans omnia lida, ut in schemate. Quoniam enim quadratum N O, est oesquale tam rectangulo N QP, cum quadrato QO 9 quam rectangulo N R P, cum quadrato R O. Ergo
rectangulum N QP, cum quadrato QC , erit in quale rectangulo NRP, cum quadrato RO. At ex R. conic. proposit. IO. rectangulum N QP, est aequale quadrato I B, seu quadrato RO. Ergo reliquum rectangulum N RP, erit aequale quadrato QO. Quare etiam armilla circularis N RP, erit m qualis circulo Q T. Punctum autem O, sumptum est: arbitrarie s ergo omnes Armillae genitar ex reuolutione trianguli GIL, circa BD, erun aequat
40쪽
emnibus circulis concidis ABC, AC, parallelis. Ergo&solidum genitum ex triangulo, nempe ex-eessus frusti Gl ΚΗ, supra cylindrum 1 M, erit aquali ipsi conoidi ABC. Quod vero ostensum est de totis istis solidis, probaretur etiam de partibus
Proportionalibus; quia eodem modo probaretur v. g. partem excessiis contentam inter plana N P,
GH , aeqssalem esse frusto hyperbolico AQTC . Quare patet prae icta solida aequalia esse tam secun D dum