Thomæ Hobbes Malmesburiensis Opera philosophica quæ latine scripsit omnia ...

481쪽

PROPORTIONALIBUS IN GENERE. 469Rursus inter datas quascunque AB, Q, inveni APPENDIX.

endae sint quatuor mediae. Fiat ab ΑΒ fig. ii)quadratum ABCDci sumanturque in lateribus ΑΒ, Α partes ΑΕ, Α utraque aequalis minori V. Sumatur autem inter ΑΒ, ΑΕ media Aa, cui in latere A sumatur aequalis Ab junganturque Da et hD ducanturque DB, G, bE EF. Ducatur etiam diagonalis C secans DB ab, EF in , d O. Deinde centro , radio B describatur arcus circuli, secans Da productam in G. Secetur autem arcus B in quinque partes aequales, quarum ΒΗ sint duae, et Bia quatuor. Item centro, radio da, describatur arcus circuli ag secans bE productam ina seceturque arcus gain quinque partes aequales, quarum se sint duae, et g quatuor.

Ducatur DH, secans AB in R et in latere AD sumatur AS aequalis AR. Ducanturque S, RS eruntque DR, B aequales ; et propterea, Secabunt se mutuo in diagonali AC ada et erunt DB, RS parallelae et quatuor anguli ΒΤ, ΝDΤ, TRS,ΤSRaequales, et quilibet eorum aequalis duabus quintis

anguli BDG. puncto S ducatur X parallela DR, et a puncto R ducatur o parallela S. Erunt ergo X,oaequales, et secabunt se mutuo in diagonali ad Z. Itaque quadrilaterum SΤRZ erit rhombus junctaque XY erit parallela rectis DB, RS, et abri et utervis angulorum ZXY, ZYX aequalis erit angulo BDR, id est duabus quintis anguli BDG. Ducatur secans AB in . Ducatur etiam ΛΜ eritque angulus abΜ semissis anguli adΜ. In latere Amsumatur AL aequalis ΑΜ jungantur- quem et aL. Itaque bΜ, L secabunt se mutuo

482쪽

470 DE MEDIIS APPENvix. cum sint aequales in diagonali AC ad e. Quare' ambo simul anguli ΜL eΜL, sunt aequale --

gulo ZXY . Et quia ad ΜL sunt parallelae, erit angulus adΜaequalis angulo ΜL, id est angulo ZXY Jungaturid, quae aequalis est dΜ et producatur utC-que ad in Erit ergo angulus id duplus anguli adΜ, id est, aequalis angulo ΤR, sive DΤS, sive YZS, sive MX. Est ergo recta in rectis BS ZR parallela; et recta Μ rectis R. X parallela. Sunt autem anguli a , XY aequales, et tum ab tum X secat AC ad angulos rectos. Sunt ergo anguli sZ, Z aequales. Quare recta Li', quae transit per M incidet producta in X et propter eandem rationem productam incidet ina. Est ergo quadrilaterum ud rhombus. puncto, ducatur recta ΜΙ parallela LX, secans Amines item a puncto L ducatur recta Κparallelaa secans Amin . Quae duae ΜΙ, Ι Κ,

cum Sint aequales, secabunt se mutuo in diagonali AC ad m. Quia autem LΜ secat eandem diagonalem ad angulos rectos, et sunt tum L, Μ, tum dΜ, L parallelae, erit quadrilaterum dΜmL

Ροstremo jugantur E, F quae, cum sint aequales secabunt se mutuo in diagonali ad . Quoniam ergo tum ΙΚ, DB, tum EF, R, tum bE, Da sunt parallelae et tam IE, F, quam S, DR secant se mutuo in diagonali C: erunt angulin Κ, nΚI nEF nF sequales tum inter se, tum an

Si odit. 1668.

483쪽

PROPORTIONALIBUS IN GENERE. 471

rectis BS, G, XL, I, sicut et IE parallela rectis APPENDIX. DR,SX, ΥΜ, I K. Est ergo quadrilaterum Ιm KnΙ rhombus. Quare ΒΤ, G, d, ni Kn sunt continue proportionales: et propter angulum BAS, RAY, XAL, ΜΑΙ divisum ab A bifariam, erunt per Eucl. i. 3 rectae AB,

AF continue proportionales. Itaque inter duas AB, datas, inventae sunt quatuor mediae, AR

Ad mediarum numerum omnem demonstrationes applicare singulas impossibile est. anifestum autem est, quod, si arcus B secetur septifariam, inveniri sex rhombos latera habentes totidem continue proportionalia, et consequenter sex medias; quemadmodum ex trisectione inventae sunt duae mediae, et ex quinquisectione quatuor mediae atque ita in infinitum pro mediis numero paribus. Datis autem paribus, omnis mediarum numerus impar facile innotescit per sumptionem inter singulas proportionales singularum mediarum Invenimus ergo methodum generalem inveniendi inter duas rectas datas medias quotcunque per sectionem anguli. Quomodo autem angulus in ratione data quacunque secandus sit, docuimus supra, Cap. xii. Haec, quanquam certa et demonStrata, corruerent tamen, Si verum esset quod algebristae nostri dicunt, radicem numeri quadrati, et figurae quadratae latus idem eme.

Examinabimus jam logicae, quam illi actitant,

severitatem.

Vitiosam esse aiunt demonstrationem, in quam non ingreditur omne id quod ad constructionem assumitur. Ego contra demonstrationem in qua

484쪽

472 DE EDIIS APPRNDIX. neque Propositionem, neque consequentiam ullam falsam reperio peccatorum omnium contra lom am

solvendam censeo. eque illorum regulam illam utcunque speciosam legisse me memini in Aristotele, neque in alio scriptore logico.

Exhibenda mihi igitur est demonstratio legitima,

ubi assumptum aliquod ad constructionem, non tamen adhibetur ad demonstrationem. Demonstrabo autem, absque trisectione anguli, inter reC- tam datam et ipsius semissem quaenam sint messiae duae proportionales.

Sint datae fig. 3. duae rectae ΑD, DV facientes unam rectam V. Sit autem DV semissis ipsius AD 'atque a majore AD quadratum ABCD. Interrimet DV inveniatur media proportionalis DE; cui in lateribus BC, AD ponatur aequalis Ao et BR :jungaturque RO, et producatur. Seceturio bifariam in K: centro autem Κ, intervallo V, describatur circulus VIM, secans Din X AD in Μ, et RO productam in I. Quoniam ergo RO, CD sunt parallelae, anguli deinceps ad et D sunt recti; et K, K aequalesu et proinde etiam ΟΜ, DV aequales AEquales item sunt ΙΚ, ΚX et X diameter circuli ΙΜX, eademque aequalis rectae V. Itaque ductis rectis X XM,ΜI, IV erit VIΜ rectangulum: et tres rectae DΜ DX, D continue proportionales. Divisis

autem X, IV bifariam in raeti ducta Z transibit per Κ et secabit tum X tum IV ad angulos

rectos.

In recta IK sumatur Iriaequalis DV. Erit ergo reliquat aequalis Μ, et ΡΚ aequalis DK item I K secabit angulum DKΡ bifariam.

485쪽

PROPORTIOΝALIBUS IN GENERE. 4 3

Ρroducatur CD in G, secans L in S ita ut DG, APPENDix. CD sint aequales. puncto raucatur recta Y perpendicularis rectae I Ρ, aequalis autem G junganturque VI, GV.

Quoniam ergo ΙΡ est aequalis DV et o sequalis DG et anguli ad Heli recti, erunt VI, GV sequales et divisa I bifariam invi circulus descriptus radio HI transibit per Ueta. Producta autem Utransibit per Μ, eritque ΡΜ aequalis X. Cum enim IR DV sint aequales, et ΙΜ, X aequales et parallelae, et in triangulis ΙΡΜ, XDV anguli ad Ret D recti, erunt quoque ΡΜ, DX aequales. Similiter quia Μ est aequalis V, et ΜI, XV aequales et parallelae, erit obsequalis eidem DX, et tota inaequalis toti GX.

Secent autem se mutuo ΡΜ et Uin Q. AEquales ergo inter se sunt QI et Μ aequales item an

aequales sint tum ΚΡ, ΚΟ tum I, ΚΜ, tum etiam OQ.ΡΩ; et angulus ΡΜI aequalis angulo DXV, et angulus ΡΙΜ aequalis XVD, propter similitudinem triangulorum ΡΜI, DXV, et angulus ΡΩΙ externus duplus anguli interni ΡΜΙ vel ΙΜ. Quoniam autem Q, D sunt parallelae transibit Μ per S. Est enim angulus SD aequalis angulo DXV, propter S, XV parallelasa est autem angulus ΜΩΙ ejusdem anguli DXV, sive SD, duplus. Ubicunque ergo, secat DR faciet cum illa angulum anguli SD duplum. Cum enim anguli ad Uet D sint recti, et anguli ad K aequales, atque etiam rectae DK, Krsequalesu producta ΜΡ donec

Sic edit. 1666 et 1668 Quaere, PQI.

486쪽

474 DE MEDIIS APPENDix concurrat cum L faciet cum illa angulum aequalem angulo SD id quod fieri potest in unico puncto rectae L nempe S. Quare recta L dividit angulum SD, simulque verticalem ipsius YSG bifariam. Quia vero aequales inter se sunt tum GD,YΡ, tum DS, PS aequales quoque erunt rectae G et S. Ducta ergo GY, secabitur a KL producta bifariam et ad angulos rectos in . Cum autem in triangulis YS, DXV, anguli ad Tet D sint recti, et anguli ad S et X aequale erit angulus V aequalis angulo XVD. Jungantur HS, ΗΡ, ΗD. Quoniam ergo in triangulis ΗΡS, FIDS, latera PS, D sunt aequalia, et latus HS commune eruiit quoque latera ΗΡ, FIDaequalia; et anguli PS, HS aequales angulis ΗDS DHS, uterque utrique Circulus ergo descriptus radio ΗΡ, qui transit per Ueta, transibit

etiam per D.

Etiam quia rectae DK, ΚΡ, ut et anguli ad K, aequales sunt, transibit HS per x et proinde sec bit IV bifariam et ad angulos rectos in L. Ostremo, cum anguli LV, KLI sint recti, et IL, LV aequales si intelligatur ducta rectam diagonalis rectanguli VaG, ea secabit diagonalem alteram bifariam inis. Cum enim trianguli aequioruri ΡΗY anguli ad metri sunt aequales, et utrivis

eorum aequali Sit angulus DG aequales erunt anguli ΡΗ aDG. ugulus autem LSG aequalis est utrique simul angulo SΡΗ, SΗΡ sed anguli LSG,LSY sunt aequales inuare recta SL producta faciet cum D angulum angulo SH aequalem. Recta

ergo Da et proinde etiam V transit per Η.

487쪽

PROPORTIONALIBUS IN GENERE. 475

Dividitur ergo recta Gidariam ini, et cir APPENDIT.culus descriptus radio ΗΡ transit per puncta G, I, Ρ, D V, Y Est ergo angulus GYV in semicirculo. Est igitur tum ΙGo, tum GΜXY, tum etiam ut ante ostensum est ΙΜXV rectangulum. Itaque triangula rectangula GDΜ, DX, DUsimilia sunt et propterea, quatuor rectae DG DΜ, DX, DV continue proportionales quarum DΜ, DX sunt mediae quaesitae. Item R, V, ΟΙ ΟΜ continue proportionales quarum V, I sunt mediae quaesitae. Item ΡΥ, Ο, ΡΜ, ΡI continue propo tionale quarum G, ΡΜ sunt mediae quaesitae. Coroli. Quoniam X G sunt parallelae et aequales, item GΜ, R parallelae et aequales, erunt rectae Y et Maequales. Idem demonstrari potest ex eo ipso, quod recta D est media proportionalis interis et ipsius semissem V, hoc modo: Quoniam autem Cis, Chi sunt quadrata, et Ciu, CE sequales erunt tres rectae Cy yΕ, Ch continue proportionales in ratione E ad Ch id est, in ratione DC ad DE vel D ad DF. Si ergo a puncto C sumatur C aequalis Ch erunt Cy, tu, G, continue proportionales. Quod si ab is ducatur ad latus DC perpendicularis, erunt in CStria spatia continue proportionalia quorum minimum est hE.

Quoniam autem est ut DC ad D ita CE ad m, erit ratio DC ad D ad rationem DC ad Bh ut ratio triplicata ad rationem duplicatam. Sed ratio DC ad D est duplicata rationis DC ad h. amnon modo DF DE, DC, sed etiam DF DX DhSunt continue proportionales et proinde ratio DC ad Bh duplicata est rationis D ad X. Sunt

488쪽

476 DE MEDIIS APPENDix ergo D Dh DX DF continue proportiones Q et Dh, D mediae quaesitae. Si quis in hac demonstratione propositionem falsam aut non necessariam illationem ostenderit, modo convitiis se abstineat, etsi mihi meus error placere non potest), Veritati tamen studens non inique feram. Sed ut eo solum nomine nCC e quod postquam ad constructionem assumPSimem mediam proportionalem inter extremas, medietate illa non sum usus, iniquum est Dicant velim, illa regula a quo magistro logica profecta est, ut Cum magistro ipso controversia mihi sit. Sin nullius magistri, sed suae ipsorum prudentis dictamen sit, ostendant esse infallibile. Quod dicant sine exemplo esse, nihil moror quaeram enim Vicissim,

quis fuit ille qui alia methodo duplicationem cubi demonstravit Euclides multas habet in initio

Elementorum definitiones, quibus tamen nusquam utitur. an definitiones ad demonstrationes minus neceSSaris Sunt, quam assumpta. Analytici omnes assumunt aliquid ignotum etsi ab ignoto per se notum fieri nihil potest sed ope aliorum praeco nitorum problemata multa aut solvunt, aut solvi non posse demonstrant. An verum positum minus Valebit, quam pro vero suppositum dubium D ENrant qui sic sentiunt Verum enim tam sui quam salsi index est, ut a quo nihil nisi verum derivatur.

Sed ne quid omittamus quod problemati nobili

perspecuitatem allaturum videatur, eandem nunc

conclusionem ab eo ipso demonstrabimus, quod recta A aequalis sumpta sit recta DE, id est, mediae proportionali inter extremas Amet DV.

Sumatur in latere DC rectam aequalis V, et

489쪽

PROPORTIONALIBUS IN GENERE. 477 describatur quadratum D g. Erit autem unc APPENDIX.

tum' in diagonali DB. Describatur quadratum D q, et erit punctum p in eadem diagonali DB. Describatur quadratum DΕkl cujus etiam punctum k erit in eadem diagonal DB. Secet autemia producta latus BC in x, et rectam p productam inis et rectam Fr productam in .

Describatur denique quadratum Μih, cujus punctum Perit in eadem diagonali di cujus quidem latus hi productum secet in inis, et ΑΒ in tu

latus autem, productum secet BC in m. Ostensum autem est tres rectas Μ DX DV, id est Μi, π, g esse continue proportionales; item OΜ DV id est Μ, g esse aequales et proinde dempta communi gΜ, aequales esse ΑΜ et Og, id est, it Vel im, Vel re et propterea reC- tam gwaequalem esse EC, Vel kn, Vel Og. Quoniam jam i media est proportionalis interia et is, erunt tres recta D, I, in continue proportionales. Erunt item gr, π, Μι, id est is, is,lo continue proportionales. Si autem utriusque analogismi eadem antecedens D. Quare per prop. 28 Elem. xiv ratio in ad D duplicata erit rationisu ad Iti Sed ut v ad D, ita est i ad M.

Ratio ergo in ad D duplicata est rationis D, sive Μι, ad M. Sed ratio quadrati hima quadratum Ekl duplicata est rationis i id est D ad M. Si ergo quadratum hiΜ intelligatur ductum perpendiculariter in suum latus Μι, item quadratum DEI: perpendiculariter in rectam in aequalem lateri AD, fient duo parallelipipeda quorum latera

490쪽

478 DE MEDIIS APPENDix et altitudines reciprocantur. Quare Per prop. 34, Elem. xi erit cubus aim cubus autem est parallelipipedum aequalis parallelipipedo, cujus basis

est aequalis quadrato ML altitudo aequalis In sive AD. Sed quadratum DEkl aequale est rectangulo sub AD DV id est, rectangulo M parallelipipedum autem sub rectangulo, ductum in Maequalem AD, est dimidium cubi totius a latere AD, id est, aequale quatuor cubi a latere DV. Itaque recita DΜ est mediarum duarum inter AD DV major,

etc. Quod erat demonstrandum. Ostendam jam rectam D semissem esse tangentis 30 graduum Secetino rectam Cini: eritque y sinus 45 graduum. Itaque utraque reC-tarum M Dk aequalis erit ΑΒ videlicet lateri totius quadrati BCD. Circulus ergo descriptus radio DC transibit per L et circulus descriptus --dio ΑΒ transibit per F. puncto ν erigatur recta a perpendicularis ipsi M, secans BC in is, producaturque os ad latus CD in x. Erit ergo triangulum ciet sequierurum, et anguli ejus ad Qetis semirecti Producatur grui secet arcum k in β, eritque angulus D tertia pars recti. Quare productam 3 faciet cum latere CB angulum aequalem duabus tertiis recti.

Quoniam autem angulus M est semirectus, et

angulus D 3 tertia pars recti, faciet Di producta

cum να angulum anguli recti partem sextam. Sed angulus Rαν, qui etiam est semirectus, una eum sexta parte recti faciet duas tertias recti. Quare

juncta tis et producta incidet in D. Est ergo C tangens anguli 30 graduum, et huic aequalis Cn.