장음표시 사용
31쪽
:ia DE CALCULO INTEGRORUM aequalis, ponitur infra lineam o ; vel linea si id contingat in fine operationis. Sit exemplum. Debet quis alteri aureorum summam A, non habet nisi aureorurn summam B solvendam, quaerit quantum de aere alieno supersit. ' .
C - SqῖPrimo aufer a ex I, remanent 3, quae scribe infria lineam . Deinde 8 subduci non potest ex a , intellige decadem additam ipsi a , fiet Ia , ex quo aufer 8 remanent q, scribenda infra lineam. At subsequens numerus superior 9, minuitur unitate, vel inferior 3 unitate augetur, proinde subductis A ex 9, residuum est 5,.quod scribe infra lineam . Demum auferendo r ex I nihil remanet , scribe lineam . Debebit igitur adhuc aureos Iqῖ , cum talis sit excessius numeri majoris A sepra minorem B. . Similiter subduci debet numerus x ex numero M, quaeritur excessus, seu residuum x x II 62oo I oo a
Aufer 4 ex 7,residuum est 3 . Item 8 ex I r, residuum est 4. Pariter ex io ἀ residuum est 3 . Similiter 8 exlo, residuum est et , tum 6 ex ii , residuum est 3 , & io ex io, residuum est o &c. Exa-
32쪽
- CAP. I. PROP. IV. I 3 Examen subtractionis generatim ut addendo residuum X numero minori subtrae o AI. Nam si erratum non sit , restituitur major numerus M, ut patet. Examen fieri quoque potest per abjeStionem novenarii . Nam ahjgeho novenario ex A, quantum abijci potest, residuum est 8. Deinde abjecto novenario ex numeris B&C, aequalibus ipsi os, residuum pariter est S.
Demn r. Subtractionis per se patet. Nam ex Desisti Subtrae io est inventio excessus, quo numerus major superat minorem , proinde eXcessus una cum minori numero adaequat majorem , adeoque tot unitates, de- cades, S centena debent esse in B, & C simul, quot sunt in A. Sed subducendo 1 e 1 6, ponitur residuum 3 cSunt ergo tot unitates in B, & C simul, quot sunt in A , nempe 4. Similiter subducendo decades et ex decadi. hus 3, ponitur I in residuo. Igitur decades B & C aequa les sunt decadibus in A contentis nempe 3 , & sic dein e eps. Est ergo aequalitas inter ω B una cum . C.
33쪽
. De Multiplicatione Integrorum. MUlijMaiis est duetus unius nume i in alium, ex
quo alter toties augetur, quoties in altero uni
Vel Multiplicatio numeri per numerum est inventio numeri, qui toties contineat numerum multiplicatum , vel multiplicantem, quot alter continet unitates. Ut numerus A ia multiplicatus per B 3 producit numerum C 36, qui ter continet A, sicuti ter continet unitatem . Hinc patet multiplicationem esse compendiosam
additionem ; idem enim est multiplicare per B, ac toties addere ipsium A, quot siunctii E unitates. Numeri A 8c B dicuntur multiplicatores, seu factores, numerus C productum, seu factum. Vulgo tamen qui minor est, ct inserius scribitur, dicitur multiplicator , seu multiplicans, major autem multiplicandus appellatur . En praXis. r. Si multiplicator unica figura constet ut in primo sequenti exemplo) illa ducatur sgillatim in omnes multiplicandi figuras, initio facto a dextra versus siti stram ;& quot productum continet de cades, tot reserventur unitates siequenti producto a dijciendae, & scribatur i fra lineam id , quod remanet. a. Si multiplicator pluribus constet figuris, tunc singulae seorsim ducantur in singulas numeri multiplicandi figuras, sed producta ita infra lineam scribantur, ut productum secundae figurae ponatur directe sub ipse se
34쪽
CAP. I. PROP. U. II eunda figura, produi tum tertiae figurae sub tertia , &sic deinceps , cum haec producta importent decades, centena &c. Dueta ligea, singula producta particularia in unam .summam colligantur , ut habeatur integrum productum quaesitum,
Sit exemplum I. Vendendi sent agni A luliis 3 in singula capita, quaeritur pretium C. A I a 7 6. multiplicandus.
C 6 3 8 o. productum. Primo 6 quinquies sumptus facit', pono & Ω-quenti produsto addo tres unitates ob tres decades producti primi. Itaque 7 quinquies impius facit , addo 3 fiunt 38 , scribo infra lineam 8 , &reservo I. Tum a quinquies semptus facit io , addo 3 sunt r3 , scribo infra lineam 3 , de servo r. Demum I quinquies sumptus facit s , addo I praecedentem, S scribo 6. Exemplum a. Quaeritur quot horas annus unus coni neat , qui dies 365 continere supponitur.
35쪽
16 DE CALCULO INTEGRORUM Exemplum 3. Aerarii praesectus exigit annuatim ab oppidis Sa aureos Ioa , quaeritur aureorum summa.
8asso Aur. 84όηῖCOROLL. Hinc patet, quod si in multiplicatore oecurrit cyphra o, ponitur in producto cyphra vel plures, si sint) deinde statim continuatur multiplicatio ceterorum numerorum, quod ex praeeedenti exemplo manifestum est. 7 1 . SCHOL. I. Ophra initiales ame operationem resecantur, operatione autem peracta , producto adduntur quotquot sunt. Pariter si multiplicandus sit numerus per Io, vel ioo, vel rooo ere. Fatii es addere multiplicando ad dexteram tot ophras, quot continentur in multiplicatθre, sine ulla alia operaιione, quia unitas non multiplicat. Utrumque saIet exemplis A B.
36쪽
Scuo L. III. Multiplicatio facile perficisur ab iis , ραι Irobe calleu prodam . quae Aunt ex numeris plieibin
in numeros simplices, unde componiinr Tabula, quae aseinPeniore PMhagora voeatur Pythagorica . Usar illius es: si Fire velis Moductam ex. gr. ex 3 in 8 , quπre 3 in e Iumna AB , θ' 8 in fronte AC, invenies is communi con. csir productum et . Sic de ceteris. Ratio es. quia e lumna prima ineipit ab unitate, os descendendo erescit que ad Seeunda incipit a binario, tertia a terna rio cinemper usae ad 0 progredienter. Prima crescit sola unitate, secunda numero binario, Iertia ternario In exemplo allato numerus S , quι crescit numero octonario , habet in tertia sede numeram 8 Iersumptum, sci- Iicet 2 . Idem numerus 8 habet in quinta sede Ao , hoes 8 quinquiei sumptum, se de ceseri . A Tabula Iothagories C s
37쪽
18 DE CALCULO INTEGRORUM Multiplicationis examen seri potest per abjeistionem novenarii, aut septenarii. Nam x' abijcitur 9 , vel et ex numero multiplicando A, de residuum ponitur in angulo crucis a ' Reijcitur 9, vel 7 ex multiplicante cuius residuum ponitur in anfulo crucis N. 3' Multiplicantur interse M & N, & ex producto abij-citur 9 vel γ , residuumque seribitur in angulo R. 4' Risectis 9, vel 7 ex producto C, habetur residuum, quod si aequale si resduo priori R, res bene processit
Et etiam examen per divisonem. Nam si dividatur produi tum C per alterutrum factorem A vel E , prodibit in quotiente alter factorum A, vel B. Sed prius intelligendum , quid sit divisio ; de qua in sequenti Pross.
Demonstr. Cum multiplicatio sit compendiosa additio, ut dictum est, multiplicatio numeri A per notam ultimam numeri B , Iempe per a , est addere Ipsum numerum A bis , unde producitur D 7oia; in quo tot sunt unitates , decades ac centena , quot habentur in A bis sumpto . Similiter multiplicatio ejuΩ
38쪽
ejusdem inumeri A per, secundam notam numeri E , nempe per 3 , qui significat 3o, est additio ipsius A sui pii trigesies , unde productum E tot continet unitates , decades, centena &e. quot continentur in A trigeses sumpto. Demum productum F habetur ex multiplicatione numeri A per 3, hoc est per Ioo; adeoque tot unitates , decades &c. continentur in F , quot continentur in A , si centies sumatur. Igitur tres numeri D, E, F, seu productum integrum C, tot continet unitates, decades &c. quot continentur in is centum trigesies, &lbis sumpto. Quod erat &c.
: De Di Diseoae Iategrorum . Disim est inventio numeri, qui toties unitatem
contineat , quoties numerus di videndus continet divitiorem. Numerus inventus vicitur quotiens , quo- Iur, vel exponeπιὸ exponit enim per suas unitates , quoties diviser .continetur in divisere. Itaque dividendo numerum. Ia per numerum 3, invenitur quotus, sue exponens Α, qui toties continet unitatem, quoties dia videndus i a continet divisorem 3.
I. Sit divisbr numerus simplex s, per quem dividendus est numerus datus II 8oqs3. Ponatur diviser ses-strorsum seorsim post lineam, ut in M. A miser M 3 33So 33. Midendas.. 3 I 6O9 t. quotur.
39쪽
Et procedendo a sinistra in dexteram, vide quoties I continetur in II , nempe ter, subscribe 3 Deinde vide quoties idem S continetur in subsequenti numero S , continetur semel, & remanent 3 . Seribe i sub ipQ 8 , tum adde decades tres sequenti simrae dividendi, fiunt 3o, quibus divisis per 5, habetur quotus 6, quem pone subo. Postea 4 dividi nequit per 3 , utpote minor, ps, ne igitur O in quoto, dc adde quatuordecades subsequenti numero I , sunt AI, quae dividantur per 5, erit quotus 9, quem subscribe. Demum dividendo I per S, habetur quotus i . Quotus igitur quaesitus est 3i 9 i. Hie dividendi modus vulgo dicitur: partire ac lanna. Fieri etiam potest haec divisio praesidio tabulae Pythagoricae, de qua in praee. Propos. Nam numerus dividendus in media area reperitur ; divi r vero in latere A R& quotus in fronte A C. Sit dividendus numerus clo per S , reperto qo in area, & divisore S in latere
A B, invenitur in fronte A C quoius 8. Quod si dati numeri qo divisor sit 8, invenietur in fronte quotus 5 3oc sie de aliis.
Sin autem numerus dividendus in area tabulae praecise non reperitur, ut si dividendus sit so per silmitur numerus proΣime minor, cui directe respondet divisor 6 in latere existens, nempe 48 , & in fronte occurit 8 , qui erit quotus quaesitus . - . Exahnen hujuste divisonis fit multiplicando quotum, per diviserem. Si erratum non sit, restituitur idem numerus, qui fuit divisus , ut patet. 1 II. Quod si divisior sit numerus compositus, pluribus eonstans figuris, alia via procedendum. Dividendus sit numerus datus A per numerum B. B AI
40쪽
I. Accipe ex divieendo A tot figuras sinistrorsum, quot sitnt in divisere B. Uel accipe tot figuras ex numero dato' quot per diviserem B dividi possint, ut in , hoc exemplo i86, easque secerne puncto. Erit 186 primum divisionis membrum . - :2. Vide quoties diviser B contineatur in i 86: quod quia primo intuitu dignoscere haud sacile est, vide quoties prima diviseris figura contineatur in I 8; patet contineri quater, de remanent aquae cum sequenti figura 6 faciunt as, in quo secunda divisioris figura I pariter continetur quater nihil autem reseri, si pluries eontineatur ) totus ergo divisor qS continetur quater in toto divisionis mem o i 86 , proinde pone 4 in C. 3. Per quotum C multiplica totum diviserem B 4s ,& productum i8o subscribe ipsi i86, a quo illud su trahe per Propos. I v. , remanent 6.