장음표시 사용
61쪽
Datis duobos numeris, maximam eorum communem mensuram invenire. MEnsiura duorum numerorum communis dicitur numerus, qui illos exacte, & sine residuo dividit ; seu numerus, qui aliquoties sumptus illos adaequat.
Sic a dicitur mensura communiS numerorum Ia & a I, quia alterum quater, alterum septies sumptus adaequat. Dicitur autem mensura maxima numeruS, per quem stium duo numeri reduc hur ad n eros primos, seu minimos
I. Dati sint duo niimeri A quorum menstrata communis maxima quaeritur . Dividatur major A per minorem B, & neglecto quoto, notatur residuum C; deinde B dividatur per residuum C, tum residuum C per residuum D, & sic deinceps , nulla habita exponentium ratione, donec tandem divisior occurrat F, qui praecedentem exacte dividat sine ullo residuo ; hie erit maxima eommunis mensura quaesita. Exempl. I. A a 3.q ExempLa. B i 44 Ioa
62쪽
CAp. III. PRop. LII. Q d si post omnem divisionem remanet i, fgnum est, nullam reperiri posse communem mensiuram inter numeros datos, eosque esse inter se primos. Dati sint numeri Min divide majorem per iv, ct neglecto quoto, nota residuum R,. ac sic deinceps prosequere ὸ occurrit demum I, adeoque numeri datriant inter se primi. Exempl. 1. M
per se manifesta est. Nam per continuata illam numeri minoris a majori ibtractionem divisio enim est compendiosa subtractio ) devenitur tandem ad
partem aliquotam , vel aliquantam numerorum dato rum. In primo cassi pars illa aliquota erit maxima comin mimis mensura duorum numerorum 3 ia secundo casu evidens est, nullum alium numerum, praeter unitatem , metiri possie numeros datos , adeoque sunt inter se pri
SCHOL. Nota quemlibet numeramine ipsum semel metiri, proinde dari potes mensura communis maxima iu-Ier duor numeror, quorum alter Implex sit ,seu primui, alter compositus. Me 7 es maxima communis mensura ιnter I G a I. Nam utroque diviso per ' , habetur er 3. B a Item c
63쪽
q4 CALCULO FRAcTORUM Item 1 ct 73 dipis per 3 , faciunt i is , adeoque , esinaxma communis mensura; sie de aliis.
Fractiones ad minimos terminoS reducere. iFRaetio dicitur ad minimos terminos reduci , cum alia illi aequalis, nempe valoris ejusdem, minimis terminis exprema reperitur. I. Data sit fractio ad minimos terminos reducen da , quaeratur maxima communis mensura inter numeram torem, & denominatorem, per Propos cc. invenietur δ. Per hune divide tam 1 6 o , quam 296, set minuti ejusdem valoris, de minimis terminis expressa per Axiom. 3 II. Sit minutia data n reducenda ad minimos te minos . Inveniatur maxima communis mensura inter 96, 6o, per Propos praec. erit I 2, per quem divisis utroque datae fractionis termino , habetur nova 'fra o ἱ minimis terminis expressa. Haec praxis vulgo dicitiarshizare i rotii. Demonstratio patet ex 3. Axiom.
Fractiones ad idem homen reducere F Ractiones reducere ad idem nomen, est efficere, ut fractiones diversorum denominatorum eundem denominatorem acquirant, sed idem valeant , quod prius . I. Sint
64쪽
L Sint duae fraetiones A 8c B ad commune nomen reducendae. Duc inter se ad invicem denominatores χη, &εκ S, erit denominator communiS 2O. Pro numeratoribus inveniendis multiplica per crucem , seu decussatim, numeratorem unius minutiae per denomina
torent alterius, hoc est a X K, κ I , erunt novi numeratores S & Is , qui dire he collocandi siunt sub illi minutia . cujus numerator fuit multiplicatus, ut tu sequentibus duobus exemplis apparet. Habentur ergo duae novae fraetiones C & D ejusdem nominis, ut patet, ct quidem valoris ejusdem per PAxiom. Nam termini fraehionis A multiplicantur per eundem numerum, hoc est per A denominatorem fractionis B ; unde oritur fractio C priori aequalis per Axioma eii. Similiter termini fractionis B multiplicantur per 3 den minatorem fractionis A, & oritur fractio D priori aequalis per idem Axiom. ergo fractiones Cot D idem valent
II. QSod si reducendae sint ad idem nomen plures quam duae fractiones, ut A, B &c. duc omnes de nominatores inter se 3 xq χ S set F communis denominator 6o , qui divisibilis est per singulos denominatores
3 ,Α, I, ut patet. Ad inveniendos itaque novos numeratores, divid P . communem denominatorem 6o per 3 denominatoren Laseactionis quotus est ao, tertia scilicet denomina- toris
65쪽
si De CALcULO FRACTORUM toris communis pars, quem duc in numeratorem 2, ha bebis Ao duas tertias partes ipsius Oo, adeoque R t
Similiter divit 6o communi denominatore per denominatorem A fractionis habetur II quarta pars ipsius 6o. Duc is in g, habebis q3 tres quartas partes ejusdem 6o , adeoqoe- per Ax. a. Eadem ratio ne invenitur Ψ. Proinde fraetiones datae A, C, aequales sunt fractionibus quod per se ma- nisectum est.
COROLL. Ex hac Propos innotescit , utra duarum , vel plurium fractionum datarum sit major. Nam si reducantur ad idem nomen, ex majori numeratore apparet, quae sit major. Sic in superiori exemplo fra- 'io B est ceterarum maxima, quod indicat numeratorsraettonis Al., ScHOL. Cum denomia aior unius fractionis exaHe disidit dea, ominatorem auerius, tune dux illae fractioneacile reducuntur ad idem nomen, multipLicando per illum
quotum terminos fractionis illius, eujus denominator fuit divisor. Sint reducendae ad idem nomen fractionei θ' - , quia I disiit exacte is, multiplica per quotum S terminor fractionis oritur ψ ejusdem nominis cum alia fractione. a d es solde commodum in Calculis Alebraicis, ut in nostis Instit. Analyt. annotavimus . PRO-
66쪽
Fra Mnem ad aliam dati nominis, edi ejusdem
I. r, Ata sit fractio i , quae revocari debeat in aliam , s eujus denominator datus sit 6o. Duc numeratorem 2xsio, δε produetum rao divide per denominatorem 3 , quotus V erit numerator minutiae quaesitae εἶ, quae quidem est ejusdem valoris cum minutia data per
II. Quod si datae fratctionis denominator non exste edividit productum , ut si freduci debeant ad fractum, cujus denominator est 8, productum r6, quod Oxitur ex Σ χ 8, non exae e dividitur per denominatoremῖ , nam rc manet Iz tunc ponatur quotus I supra denominatorem datum 8, eique jungatur Dactio orta ex residuo, nempe i, quae erit fractionis fractio; & facit hune sensim,duae tertiae in Oetavas redactae dant quinque octavas,& unam tertiam quinque octavarum, sicilicet i zzz ὲ - - . Quod autem Τ idem valeant ac ἱ Φ ,patet ex 2. Axiom. iNam 3 . 2:: 8.s Φ τ . est 3. a re 2q. I 6. SCHOL. Une habetur ratio explorandi salinem min turum inpartibus earum notioribus; uis cire velis quid valeau unius scuti Romani in juvia, set assibus. Diaio juvi , aut asses ioo e ciunt scutum Romanum I, duc numeratorem 3 in I o, aut in i , ρο ρυductum d vide per denominatorem S, erunt in primo casu - , in se
eundo , hoc est julii sex , aut assi 6ο. Item dantur b
67쪽
48 DE CALcu LO FRACTORUM unius sedit, scire toto quot pollices hce framo Importeι .mia pollicet i a pedem i essistunI, duco 3 x in , produm m 36 divido per 7, quotus dat 3 , unde babentur hoc es pollicet S , remonet si iterum supponar pollicem dividi in ta lineas , facile erit explorare, quid importet una ueptima pars unius pollicis . tice praxis fulgo dicitur valutare i Rotii.
Fractionet ad integra revocare.
I. UM numerator denominatore suo major est, fra- a ictio reducitur ad integra, dividendo numeratO- rem per denominatorem. Sic P divisie per 3 dant integra 4. Item si diviser per Ia dant S integra. II. Quod si denominator non exacte dividit numera. torem , fit ex residuo minutia. Proinde tita divisis per 3 dant integra 3 ε . Similiter divisae per dant 3 . SCAOL. Hinc habeturpraxis reducendi monetas, pondera, ae mensuras in aliar speciei altioris. Sic asses 33osi disidantur per ioo, reducuntur ad scuta Romana 3 R , seu 3 P. Pariter minuta Iao dipis per 6o , dant horas a. Putet dissores sor ioo, ἐπ 6o esse denominatores minutiarum , per quos earum numeratores dividuntur per hanc Propositionem.
68쪽
Numeram integrum in minutiam dati nominis reducere. SIT datus integer v. gr. 3 reducendus in fractum, cujus denominator sit 7. Multiplica integrum ipsitim 3 per denominatorem datum 7 , & producto subscribae ipsum denominatorem 7, erit fractio quaesita P. Similiter unitas reducenda sit in fractum, cujus denominator sit 3 , erit i ex dictis ad desinit. r. Cap. bfur. . SCHOL. I. i Si integro curliber supponatur unitas, sic
Scuo L. II. HIM Pero oritur praxis reducendi monetas , pondera, ac mensurar in alias inferioris species. Sin cuia Romana II reducenda ad asses, multiplica II x ioo , habebis osses 33 . Item miluaria Romana sci convertenda sint in pami, quia passur iOoo miluare i e iung, due 3o x imo, flent passus Io o. Patet in his exempus meror illos i , or imo esse denominatores datos, per quos multiplicantur rivmeri integri 33, ct so, ut μης fractioner Iuxta hanc Propos.
69쪽
PROPOSΙΤIO VII. Fractionem fractionis ad staplicem fractionem
DUAE, vel plures fractiones frachionum ad unam sim plicem Dalmonem reducuntur hoc pacto . Multiplica singulos numeratores inter se, & singulos pariter denominatores inter se, duo producta minutiam efficient aequalem omnibus illis minutiis minutiarum datis . Sit minutia minutiae ) hoc est una quarta pars duarum tertiarum ad simplicem minutiam reducenda , duc inter se numeratores I x x, & denominatores qηῖ, erit nova quaesita minutiam Similiter reducendae sint ad simplicem minutiae minutiarum l) t) ἶ, multiplicatis inter se 3 x a x ῖ , item qκ3XS, babetur nova minutia omnibus illis aequalis- α - peris . h. hujus. Demonstr. sensibili aliquo exemplo res manifesta erit. Ponamus hanc ipsam minutiam minutiarum desumptam fuisse ex uno scuto Romano, quod decem oiuliis constat; dico hanc minutiam minutiarum continere unius scuti, nempe tres ivlios. Nam i unius
scuti continent sex julios, eum julii duo sint unius scuti. At Τ sex juliorum sunt quatuor julii, ut patet, ct i quatuor juliolum sunt tres julii. Ergo evidens est , minutiam minutiarum ) Τ) l continere , nempe
tres lulios. Id facile illustrari potest dividendo lineam rectam in paries aequales tres, quatuor dic. Nam si quaeratur di
70쪽
CAp. III. PRop. VII. Simidium unius tertiae partis ejusdem lineat, patet illam esse partem sextam totius. Divisis enim bifariam singulis illis tertiis ejus lineae partibus, erit tota linea divisa in sex partes aequales ; proinde e unius tertiae iacit i. Quod erat &c. Haec regula apud vulgares Arithmeticos audit zare i Roiti.
I. I fractiones addendae sint ejusdem nominis, adde in simul omnes numeratores , eorumque aggregato denominatorem subscribe . Sint addendae k ψ, s additis numeratoribus I 4-2-5- -6 mi , fit fractionum summa 2 per Propos. I. hujus. II. Si fractiones addendae sint diversi nominis, redue ad idem nomen per Propos p. de operare, ut dictum est.
III. Quod si addendi fiunt Integri cum fractis , adde seorsim integros, & seorsim fractos; sit si ad Al addendi sint 3 , fiet summa 7 l. Res per se patet.
I. I minutiae sunt ejusdem nominis, minor earum exo majori subducitur, & residuo subscribitur com