장음표시 사용
221쪽
modo concludentur: unum igitur esto pro omnibus ibe ductis radiis di 5c de. Nam tb potens ut prius latera sexanguli re decanguli latus eri t quinquanguli, erit ,& pariter be potes de sed b latera sexaguli&decaguli latus quinquanguli. uare triangulum eb i est aequi laterum, & quatuor reliqua limiliter ostenden turae qui latera. Omnia igitur latera viginti triangulorum cum sint aequalia, e runt triangula ipsa aequi latera, Se per c σ e 7 aequalia.
Io. Diagonius is aedri est irrationalis ad latus.
Quartum est eYemplum re verae Mora primum fuit de diagonio εἰ Iatere quadrati, secundum fuit de segmentis rectae proportionaliter sectar, ter tium de diametro circuli te latere qumquanguli. D
II. Potest quivtuplum circularis radii.
Nam per 3 c i S contInuata e laterc sex anguli 3c decanguli secatur proportionaliter, ta maius segimentum est latus sexanguli: ut hic bisecetur perpendiculari Suelia puncto i, tu meo,id est minus segmetum continuatum d .midio majoris, id est te Poterit per ue e i quintuplum qui in di/midii te. Itaque cum io dimidium disgonii possit quintuplum bisegmenti, diagonius tota poterit quintuplum totius bisecti. Atγqui hinc etiam ecit geo da lia icolae dri. Nam ad altitudinem pyramidis semidiagonius est e latere decanguli ac se miradio circuli: latus autem decanguli est recta su tendens dimidiam peripheriam lateris quinquansularis, vel majus segmentura dii proportionali ter fecit. Sic enim geometrice sumi potest, Npro sua mensura numerati. it que si quadratum c latere decanguli tollatur a quadrato e latere quinquanguli, relinquetur per veis quadratum e latere sexanguIi,sdeste radio. Latus decangu
Ii quia latus quinquaguli hic estes, erit recta nempe subten/dens dimidiam periphetiam: sem radius autem sic habebitur. Quadrata quinquanguli Sc decanguli sunt :&subductione huius ab illo reliquum quadratum sexanguli per 9 e is est 2στ 'l , εἰ reliqui latus pro radio est s 5 Ω-re 1 semiradius igitur est adde latus decanguli fri cum a , totum etit s apro semidiagonio icosaedri. Radius circuli triangulo circumscripti est per eas idem qui prius ι-e quadrato nempe Ia. Itaque si quadratum circularis ra dii tollatur a quadrato iemidiagonii, relinquetur quadratum altitudinis A perpendicularis: quadratum semidiagonii cst y set l8 quadratum radii circularis est ia, hoc ab illo sublatiam relinquitari y l ,s uiu - cst rci . s Prore. .:
222쪽
perpendiculares a punctis db,sin ipsaed, ep,get, duaeque primae connexae inter se per b p,de cum angulis cubi per b e&p i, tertia connexa cum iisdem angulis per et e , et i, omnesque planis compleantur. Dico primum quinque latera b p, phiet, et Reb, a qualia esse. quia lingula sunt dupla ejusdem segmenti majortis. Ductis enim rectis de cen igpatebit de duobus, eodemque modo de reliquis. Primo igitur ed&bpaequantur per se ar Se G ciet e s. Itaque lip est duplum majoris segmenti. Deinde tota
fi secta proportionaliter& minus segmentum di possunt pers et triplum mitoris fd, id est per fabricam db. Itaque lequat est aequalis sectae lilc id possunt triplum ipsius db: at pers erade potest leo ld. Itaque potest triplum ipsius db. Igiatur utraque eti&db potest quadruplum ipsius libadbe pers eir potest ipsa sedec d b, ideoque potest quadruplum ipsius ebile per e laeti ipsius dupla. It auque duo latera eb&bp aequantur, de eodem argumento aequantur pi,iet, et e. Quinquangulum igitur est aequilaterum. Dico quod est etiam planum, possit enim dici obliquum esse Sc in duobus planis situm. Esto igitur fb parallela ad ipsas db Scep, 5 ipsis aequalis, R ducatui rectabet, ipsa una erit per io e 7. Nam
ut tota tri id estr est ad maius segmentum , id est ad sh, sic f h,id est et g est ad gr.
εἰ bina cruras b, gr, D, ge per ε ear sunt alterne parallela. Itaque hasta sunt continuae. Patuit adhuc quinquangulum aequi laterum N planum factum esse: reliquum est ut aequiangulum probetur. Ducantur rectae ep, ec, dico angulo Spbelce et i aequari, quia crurum aequalium per fabricam hasespe,lcei habent aequales potentes nempe quadruplum ipsius le . Nam recta Issecta proportio naliter Naucta majore segmento df, id est se, secatur iterum proportionaliter per c 3 e r 4,& per o e io tota 5e minus segmentum, id est e p possiunt triplum maioris i , id est ipsius te. Itaque et Scie, id est et A ep, id est eppotest quadrupla ipsius e l,8c per 7 e ir est dupla, se ipsa ei est item per fabricam dupla ejusdem. Itaque hasta sunt aequales. Eodemque modo ductis id scib concludetur tertius angulus bpi aequalis angulo e et t. Itaque perirer Α quinque anguli sunt aequales.
I . Diagonius est irrationatu ad latus dodreaedri.
Quintum est exemplum ἀλογω: Se ἀσυμι retriae: primum suit de diagonio 8c latere quadrati, secundum de secta proportionaliter &ejus segmentis, tertium de diametro circuli Sc latere quinquanguli inscripti, quartum de diagonio felatere icosa edit: quintum modo est de diagonio 8e latere do de caedri.
Is. Si latus cubisecetur proportionaliter, majus se mentum erit latus dodecaeli.
Id enim modo dictum est. Atqui hinc etiam est geod aesta dodeenedri. Nam si subtendens angulum quinquanguli quadrata irrplicetur, triplicatae dimidia a tum latus erit semidiagonius do decaedit, quia per se a 4 diagonius cubi, id est dode caedii potest triplum lateris cubici. At si quadratum c latere decangu li tollatur de quadrato e latere quinquanguli, latus reliqui erit radius circuli
223쪽
quinqua pulo circu scripti:Postremo si tollat uadratu radii a quadato semidiagonii,reliqui lat' erit perpedicularis altitudo .ut si lat decaguli sit 7 I, quadra eum erit s7 id triplicatum 1 3H: latus sere pro
diagonio do de caedri. Itaque dimidiatum erit pro semidiagon: o do de caedri 6 Radius circulatis deinceps invenietur si Si quadratum e latere decangu i tollatur a quadrato de latete quinquanguli, latus reliqui erit radius circuli per V Se s e i s. ut hic latus quinquanguli est 6 , latus decanguli et D quadrata autem sunt a i , hujus ab illo lubductione relinquitur i-:cujus latus est 4 τἰ pro radio circuli. Inventis semidiagonio do de caedii &circuli radio restat altitudo. Tolle igitur circulatis radii quadratu Uret, a semidiagonii quadrato 4 - ro , latus reliqui est se pro almudine, culus una tertia est l. Balis quinquan gula est fere ιῖ , quae per; iacit si si pro sol ditate unius pyramidis, quae peria facit 7 Co pro soliditate totius do de caedic
io. Solida plana tantum quinque uni ordinata.
Quod patet ex anguli solidi natura per species planarum figurarum. I dua hus planis angulis non comprehenditur angulias solidus,ex tribus angulis trianguli ordinati est angulus tetrae dii, ex quatuor octaedii, ex quinque icosa. edti: c sex non potest: nam sex plani tales anguli valerent in tertias recti, id est quatuor rectos. At anguli plani facientes solidum sunt minores quatuor re ctis pergear: e septem igitur de pluribus multo minus est possibile. E qua/dratis tribus angulis comprehenditur angulus cubi, e quatuor non potest ob eandem caussam. D trihus angulis quinquanguli ordinati est angulus do dea caedri . c quatuor non potest : nam singuli Valent rectum se unam quintam. Itaque est en t qua tuor recti, se tres quintae. E pluribus igitur multo minus est possibile. Demonstratio haec accurate sane 5c manifeste colligit, quamuis plaana ordinata innumerabilia possint esse, attamen e generibus angulorum quinque tantum corpora ordinata institui posse, unde tetraedrum, octae drum, o cosaedium,basi triangula, cubus quadrangula, do decaedrum quinquan gula componitur . Atque ita geometria Pythagorae theologiam quandam ex iis quinque corporibus ordinaris reperit, tanquam mens illa summi dei sapientiaque de fabricando mundo fic ordinatis corporibus exornando cogitans stereometricam demonstrationis hujus ideam sibi proposuerit. P. RAMI GEOMETRIAE L I B. ππV Lde sphaera.
O Olidum stibbum est quod comprehenditur asuperficiegibba.
O Sic antea planum a superficie plana definitum est.
224쪽
et. Estque sphaera aut marium.
Partitio solidorum e superficiebus suis intelligitur.
Potuit etiam definiri quod a sphaerico cGaprehenditur. Corpus sphaeo ricuin, sphaeragraece , latine globus appetaiatur: sed gra- cum verbum ulitatum teneatur. itaque
sphaera fit conversione semicirculi manente diametro. 14 dra. ut hic vides.Euclides hae sphaerae fabricam proposuast, qualis antiquior est insuperficie, analogia tamen respondet.&sphaeram fieati conversione semicirculi intelligimus, dum concipimus inane batium quo semicirculus attigerit cor porati. Atq; ut antea de circulo in planis deque sphaerico in gibbis, sic modo intelligatur sphaeram in so/lidis esse ordinatissimam.
. ofarimu phaerae circulus ias, quisphaeram bificat.
Hoc periphetiis sphaericis respondet ut proximum usque circuluι propior mximo mulor est remotiora. Et Aequi Astantes a maximo simi equales. Ut in superiore exemplo.
s. Planus e diametrosesextante phaerici ea sphaera.
ut antea circulo & sphaerico, sic modo cubo&sphaerae sua analogia est. Cu/hica superficies comprehenditur sex basibus quadratis aequalibus, & sphaerar et item
225쪽
QS squaIibus cuhicas hases ambientibus: Cubus efficitur multiplicata sexta parte bata perlatus: 5e sphaera stamiliter efficitur multiplicata sexta sphaerici parte per diametrum tanquam periatus. Sic planus e ἔ R 14 diametro est t437-ς soliditas sphaeraci Itaque I. ut at ad ii sic cubus diametri ad sthaero. Ut hic cubus ei est 2744. faci Ie enim fuit comparanti cubum Σ cum sphaera deprehedere a 44 ad 14 3 τ essicin minimis terminis ejusde rationis, ut at ad ii. Ergo haec geodaelia emphaerae: de sphaerae sectore lesectione geo disia postea erit. Et 2. Planus e radio πρxtantesiphaerici est hemisphaerium. Sed accuratius est sumere dimidium sphaerae.
5. Sphaerae habent triplicatam rationem diametrorum. I 8 p I2.
Sic antea ductum est circulos esse ut a diametris quadrata, quia essent plana similia, & diametros in circulis esse, ut modo in sphaeris, homologa laterassia/que cum sphaerae figurae sint similes Sc triplicis dimensionis, habent rationem diametrorum triplicatam. Quantus Vero sit usus propositionis hujus astronomia insigne exemplum suppeditat de differentia solis 6c terrae. Nam cum Ptolomaeus diametros solis sc terrae deprehendisset esse ut ii ad 2 ex triplicata ratio ne sphaerarum repetit rationem solis ad terram esse 33t ad 8, id est solem majo, rem terra centies sexagies sexies εἰ ἰ. Copernicus c quia sol propius ad terram accessit a Ptolemaei tempore,milliaria germanica 97s, id est gallica et ossa indeprehendit solem majorem esse terra centies sexagies sexies 5c ι ut prope seu mel amplius superet.
7. uinque corpora ordinata instribuntur eidemsphaerae conmersione semicirculi habentu pro diametro in terraedro rectam potentem si quiatiterum ad latus tetratari, in quatuor ordinatu reliquu ordinati ipsius dia
Corporum pla norum ordinatorum adscriptio est in sphaeram, ut superfici rum planarum antea fuit in circulum: manguli Sc ordinati triangulare quadraguli, quinquanguli, sexanguli, decanguli, quindecanguli. Sedenim figuras illas planas geometres inscripsit&circumscripsit circulo. Corpora autem quin Me ordinata oc polyedrum praeterea stereometris sphaerae duntaxat inscripsit: polyedrum a
226쪽
polyedrum in scholis reliquimus: ordinata tamen complectimur. Adscriptio igitur ista separatim tractatur a fabrica corporum ipsorum, ut in planis alio loco trianguli Se quadrati fabrica instituitur: alio traditur adscriptio. Conversio autem ejusdem semicirculi sphaeram omnibus communem efficit.
8. E ratione axissphaerici latera tetratari, cubi, o Diar dodreaedri deprehenduntur.
Axis in tribus primis corporibus est rationalis ad latus,ut patuit: potest e/nim sesquialterum lateris.tetraedrici, triplum Icubici , duplum octaedrici. Itaque si axis a e s cetur dupla ratione in h& perpendiculatis ioconnectatur ad a Ne erunt latera o a tetraedri&ste cubi, ut patet per ac Α e S εἰ r c is e 4 fccubici lateris proportionaliter secti majus seg mentum est latus do decaedra per I s e 26. Si axis idem bisecetur, ut in v εἰ pera pendicularis erigatur u I, connectaturque Ia, connectens erit latus octa edti, ut patet item per a c 4 e s de i e is e q. LatuS icosaedri hoc modo habetur.
o. Si recta aequabs axisphaerico, eique ά termino perpendicularis comnectatur ad centrum , recta oectione per heriae ad disitum terminum erit latus ita aedri.
Ut hic esto axis a e, diameter semicirculi due, Exat aequalis ipsi axi, εἰ perpen/dicularis a termino connectatur ad centrum perrecta io, recta a sectione uina erit latusicosa edii: Ducatur
ab u perpendicularis uF, hic duo triangula i a o, Scudio sun t aequi angula per c se . Itaque per 9 e 7 sicutit aa duo,sicu audio. At is est dupla ipsius d o. Itaque udi est dupla ipsius γ o: potest itaque per γ e ia quadruplu, 5 ideo u3 5e Io, id est per s eir uo, id est rursus per i 7 e 4 ao potest quintuplum Fo: At Fo est minor
qua Oa,id est quam oe: aequalis seceturo f. Iam ut di/. emidia do potest quintuplum dimidiae Io, sic dupla a e poterit quintuplum duplae I s. Itaque per D eas cum diagonius ae possit quintuplum ipsius 3s, γ serit latus sexanguli inscripti circulo circumscribenti quinquangulum icosaedri: At perpendicularis v I aequatur ipsi Is, quia utra que dupla est ipsius o. Quare u γ est latus sexanguli: ata I est latus decanguli, aequatur enim ipsi se, quia si ab aequalibus radiis os&oe tollantur aequales ογεcor, relinquentur aequales I a Se se: 5c diagonius icolaedri per ς e as componitur e latere sexanguli utrinque continuato latere decanguli. Quare a I est latus decanguli. Postremos a potens latera sexanguli oc decanguli per vos erit la/xus icosae dii. 'c
227쪽
drum lateris magnitudine estprimum, octaedrumsecundum, cubus trestium, ita aedrum quartum, Godecaedrum quintum.
ut patebit si in unum recolligatur omnia M. Nam Hlatus tetra edis subtendit maiorem peripheriam quam a s latus octaedri. Sca omaiorem quam i e latus cubi, quia subtendit dimidiam :&ι equam ue latus icolae dri,&ue quamγe latus do de caedri. Postremum Euclides demonstrat operosius : Repetantur igitur ex antecedentibus seictionesaris primo duplae rationis in f, εἱ latus sexanguli rhiatusque decanguliar inscriptorum eidem circulo icosaedri quinquangulum circumscribenti,& perpendiculares is Sc ul. Hic duo triangula a te scies sunt per 4 es similia, Aut se est a dei, sici ea dealc pert eis e 4, ut re est ad ea, sequa/dratum ex se ad quadratum ex ei, 6c inverse uta e est ads e, sic quadratum exieest ad quadratum ex se. Atae est tripla ipsius se. Ergo quadratum ex te est timplum quadrati ex re . At quadratum exas per thesim 5e 7 e ta est quadruplum quadrati ex se. Itaque etiam maius quadrato ex i Grecta queas major quam ieecat,ideo multo major. Atal perihelim componitur ex lateribus sexanguli Ndecanguli r i Ec d r. Ergo per i c s e i S secatur proportionaliter, cte malus segmentum est latus sexanguli ipsum ri, te majus segmentum ipsius te proportiona/liter item fecitae est γ e: est igitur major ipsari quam e , 5 ipari, jam aequalis ομstensa est ut . Itaque ut est maior quam Ie . sedu e latus icosaedri per ii e Gmaalor quam v l. l laque latus icosaedri multo ma us est latere dodecaedri. P. RAMI GEOMETRIAE L I B. π XVII. de cono 5c cylindro.
Hic enim basis ad superficiem variam addenda est.
2. Si maria habent axes diametris basium proportionales, sunt ia
lia. 24.dH. Consectarium est e 14 e 4. Hic enim axes 8c diametti sunt tanquam crura πιqualium angulorum, nempe rectorum in basi & axe perpendiculati. 3. Varium ea conus aut cylindrus. Caussa partitionis e partitione superficierum intelligitur.
. Conus est quod a conico basi comprehenditur. Hic basa
228쪽
ut patet nempe e varii definitione. Hanc conifabricam proponsi Euclides isci ii : nec alium conum videtur tum stereometria percepisse. Apollonius conum generaliter tractavit, fic species recti atque obliqui distinxit, ideoque propter conicam doctrinam altius extructam magnus geometra dictus est,ut Geminus est author apud Euthocium. Da. ccnus est rectangulus, s crin munem er aequali comersio, obfusangulus si minui, acuta gulus imajus.eis dis. Hic conicae altitudinis differentia triplex proponiture triplici angulorum differentia, qua dimidiati coni vertex distinguitur: differentia tamen optica potius quam geometrica . Conus enim e minus Vadetur instar trianguli. Itaque proclifferentia alti ludi nis a pparet vertice rectangulo, oh tu sanis gulo, acutangulo: ut hic minimus conus
est obtusangulus medius rectangulus, summus acutangulus. Caussa vero triplicis differentiae in angulis e differentia crurum est e consectariis triplicis trianguli de recta hisecante basim ut patet ad finem s lib. Et 3. conus est prima figura variarum. Conus enim sic primus est in solidis variis, ut triangulum in planis rectiliantis, ut pyramis in sodidis planis, neque in alia solida vatia simpliciora divis di potest. Et q. coni
Fit conversione trianguli rectanguli manente altero crare. a.
229쪽
ses circuli. Papierit conversione pιrallelogrammi rectangulimnente Pero latere 2 idit. ut patet ex eadem vatii definitione.
230쪽
ο. Planus e basim altitudine essenditas olindri.
hice pris male repetitur, ut si
cylindri basis sit ir3set ex ea . N alti iudine ra soli ditas cyae lindri est Atque geodaesia respondetprisinatis,omninoque parallelogrammi recta fuligeoda . Si cy alteram tanto augeaS,habebis mensuram totius, ut hic vides in cylindro λ
Q -- basis cylindr cei stimabitur. Inane enim tanquam plenum
ut hic.Interioris circuli diameter6 pedum, peti pheria is area igitur 28 , ex qua & altitudi/ne planus estas et . Sic igitur aestimabis, ut antea quantum liquoris vel contenti cuIuslibet pes cubicus occupeti
. Cylindrus est triplus coni basim altitudine aequalis. IOp Iz.
De labyrintho Euclidear demonstrationis ad hanc propositionem dicetur intcnolis. Ratio cylindri ad conum simpliciter potius assumature ratione prismaz tis ad