장음표시 사용
211쪽
GEOMETRIAE L I B. π π I II. Is lateris proprium Theorema in Euclide habuit: analysis cubi non habusit analogiam tamen hic sequi licet, &alteram geometricae analyseos utilitatem pro/ferre: propositio per analogiam sic erit.
6. Si r secetur in duosigmenta, cubus totius aequabitur cubissi mentorum duplici selido ter comprehensi a quadrato fui sigmenti mreliquo sigmento.
Ut latus ia secetur in to vi cubus t as ex toto tet aequabitur' duobus cubisto oo,& s, e segmentis to de a, R duplici solido, quorum primus coo ter comae prehenditur a ioci sui segmeti quadrato 5c a a reliquo segmento, secundus it ter item comprehenditur 1 4 sui segmenti quadrato &aio segmento . sed rem totam genesis totius cubi facilius declarabit, quomodo nempe extremi N in εter medii solidi generentur. fiat igitur cubus e tribus aequalibus lateribus ia, 1a,ra, atque in primis secundum latus primo multiplicetur sic.
Productas notas ne addito, sed singulas per reliquum Iatus multiplicato, de multiplicatas addito separatim si 2 Α
Latu primi cubi Daularis est dierum latus secundi solidi, du demque lateris quadratus est Murum latus primi olidi, cujus reliquum latus est latus pecundi cubi, ejustimque reliqui lateris quadratia est reli)uam Livi sicundi solidi.
In ista igitur aequatione quatuor solidorum cum uno solido considerabis peculiarem genesim N compositionem, primum ut cubus ultimus fiat ex ultimo segmento 2, tum ut secundus solidus a 4 quadrato sui segmenti 5e io, εἰ reli/quo segmento ter comprehendatur: Denique ut primus solidus a roo quadrato sui segmenti io, &reliquo segmento 2, ter item comprehendatur: postremo ut cubus io oo fiat E majore segmento io. Ex hac igitur genesi analysis contra otia deducitur c mutua cuborum cum solidis colligatione, qualis in quadratis
212쪽
dicta est. Hic enim tametsi de lolido agitur,attamen duo latera spectan tur, quia
alterum compositum ecplanum est . primi igitur cubi to oo latus io, est clavis ad duos solidos, 5c cubum sequentes aperiendum. Est enim alterum latus se. cundi solidi, quippe comprehensi ter ab eoA secundi segmenti quadrato. Est etiam eiusdem lateris io quadratus ioci, latus alterum primi solidi scio, com/piehensi nempe ter ab hoc quadrato ioci, &reliquo segmento 2: est etiam re/liutium primi solidi latus a latus sequentis cubi: ac postremo eiusdem latetis a uuad ratus reliquum latus secundi solidi. Hoc igitur velut Ariadnes filo tam Varii latet um errores explicantur, ut in quadratis suit. Nam cum latera singuαlarium cuborum inveneris, latus etiam cubi totius in Veneris: tametsi enim cuhus universus est major cubis partium: attamen latus universum est aequale lateribus singularium cuborum,& solidis intermediis duntaxat utimur ad c hi sequentis latus inveniendum. Quaeratur igitur latus cubi i728. Primum notabis punistis ultimum & millenarium, deinde quemcunque locum, sic iras: Deinde cubi maximi in ptimum pudium definientis inveni latus cubicum, hie erit i: seorsum nota ν, & latetis cubum tolle de numero de irente in idem pune tum, nihil manebit, sic i728 u Hoc primum singulatis cubi latus est. Secun/do latus idem triplicetur, fient 3, primum latus secundi solidi. Hic numerustuplus dicitur, subiiciturque eidem solido sici
Item latus quadretur . erit I, 8c cum quadratum suerit triplicetur, erit 3 prima latus primi solidi, εἰ divisor dicitur, eidemque solido subjicitur, sed inferius, ut a triplo sejungatur sic.
dem est quocunque ordine tria ejus latera multiplicentur. Per inventum divisorem diVide primum solidum, emergit a reliquum ejusdem primi solidi latus. Atque latus hoc reliquum, quia sequentis cubi latus est, cum superioris cubilatere deinceps adnota,&per quotum a multiplica 3 divisorem, facies 6 subjicisenda divisori. Postremo idem latus a quadretur, iiet 4 reliquum latus secundi
solidi: 4 igitur per 3 triplum multiplicatis fiunt ir,item subjicienda secundo i solido.
213쪽
ollo M TYRrAE LIB. ππi Iti et si solido . Denique a latus cubi cubatum facit 3 subjicienda sequenti puncto: adde tres summas, facies Tas, quibus subductis nihil manebit,sici
Quod sicubi singulares duobus pIures fuerint, latera praecedentia pro unico sumuntur: ut si quaeratur latus cubi 3 o ira a 4, notabis locis cubicis, latus primi cubi erue,sic. oia22 Denique secundi singularis sic eruatur.
Hic igitur cum duo latera sint tanquam unicum tripIicandum M triplum subis liciendum secundo solido: eadem duo latera velut unicum quadretur,quadratumque triplicetur, fient 3o a primo solido pro divisore subjicieda: per hunc divisorem divide primum solidum, quotus erit Α, per quem multiplicato di/visorem 3 ora, facies ira 3. Postremo quadra A quotum, fient ic: iis multipliea triplum yσ, sientis so subjicienda triplo.Tandem etiam quotum cubatum
214쪽
iclest sab subiice puncto sequenti, ta tres summas addito, de subducito, nihil
est ullus, neque cubus. Itaque tum lateri in Vento, circulus adscribendus est, ut in cubo Siacis circa Oi. Si secundum latus primi solidi sit majus latere seque n. tis cutit, soli dus divisus partem secundi solidi complectebatur, ideoque minu/endum latus illud est, ut in cubo i7s γε, primum latus erit et, secundum, si soceris 7, ut videtur initio fieri posse, facies primi solidi secundum latus majus latere sequentis cubi. Itaque latus illud minuatur. 5c pro 7 sume Q latus legitimum produces, analysis tota erit i s 75 26. Haec Via generalis est 5 commuis nisad quamlibet magnum cubi latus retexendu. Sic in cubo 332yosso posslatus invenietur 6739. In partibus est quoque cubi ratio. Nam si propositus numerus cubus n5 est,nultu est ejus in numeris verum latus, cubi tamen in eo maximi vertim ratus erui potest: ut in a 6 is cubus continetur 17 67, εἱ latus ejus est as . 8c supersunt o. Latus itaque numeri non cubi nullum tam accuratum reperietur unquam, quin accuratius inveniri possit: ut de qua ora to iam dictum est, duoque item hic modi sunt cubicum latus Vero propina quum inquirendi, quales etiam in quadrato ante declarati sunt. Primus mo/eus subducit duos solidos Aulcimum cubia in proximo majore cubo comprehensos, quo intelligatur duorum continuorum cuborum distantia. sicut anatea duorum qua diatorum clutantia Intelle eia est. Huc enim cubicus gnomo quida recurrit, quem tacipis e tribus planis cubi,uti gnomone qua di arie duo hus quadrati lateribus . Sic in exemplo ipsis, ubi latus est a G, 5c supersunt clo, sequctis cubi. Divides 27 in a s dc i ta ut antea didicisti solidos hinc εἰ cubui facies, primi S solidus comprehendetur ter a 676 quadrato segmenti 26 5c t reliquo segmento . Itaque erit a o as: secLncus comprehenditur ter a quadrato ι, se reliquo s gmento 26.5c eiit 7s. Cubus autem a csti: adde igitur illos duos solidos, ct hunc cubum, habebis aio pro noni: ne reliqui Ao. Itaque latus
a sis eli 2 ' Trs , quo intelligitur, ut antea in quadrato, quantum numerus
215쪽
das sis, totus erit 19 683, cubus lateris 27. Secundus modus est per parte Smagni cujusdam nominis sed cubicas, ut earum latus iam certum sit, ut nua merus idem i7sis redui iis ad centesimas cubicas, id est ad Too ocio facit Ipsi socio Ooo, cujus numeri latus est asor pro numero dataru cetesima tu, sic supersunt r97iris',quae necentesimam quidem invento
lateri possunt addere, quia disterentia cubi proximae majoris major est, ideo reliqua illa despiciuntur. Atque haec de cubo: de reliquis autem parallelepipe dis, ob IIngo, rhombo, rhomboide, deque trapezio θά polyedris, pentae dris stereometra praecipua nulla est. Prismatis geodaesia est exposita pilus , exei piis tantum specialibus opus est, u t hic. Planus e basis perimetro r o A altitudine s est too . Additis utrique hastas S as, id est so, totus est iso pro tota superficie . Planus vero e basiet , Raltitudines, estias pro tota soliditate: sic in oblongo, planu Se basis perimetro ro ,& altitudine II est aro, qui additus basibus a Rag, id est 48 componit 268, pro tota superficie. At planus c basi a N altitudine ii est et σο pro soliditate. Atque eadem geo da sa erit in dimetiendis parietibus rectangulis vel portis aliqua senestra, aut cavitate Vaiscuis, si vacua ipsa detrahantur, ut hic vides . In proximo exemplo spissitudo
titudo ii: tota itaque soliditaSest 96. ac porta est spissitudinis 3 pedum, latitudi/nis Α, altitudinis G, solidiistasque portae 72 Pedia, quia hus subductis a toto pati te restant 324 pro reliquo parietis corpore. In secun clo exemplo longitudo pedum i o, latitudo 8, altitudo 7, faciunt totius corporis sco pedes: Cavitas IIgitudinis G, lautitudinis Α, altitudinis facit
I 68, quibus subditi tis de siso, reliqui summa est 3 a. Sic am/plissimi aedificii parallelepipedos parietes, murosque omnes metiri liceat EM
216쪽
Iis 2 P. RAMdem geodisia est sn rhombo , rhomboide, trapezio, εἰ quolibet multangulorh. asis metienda est ut prius, tum ex ea & altitudine soliditas constabiti ut in rhombo basis 24 altitudinis A soliditas est ys, in rhomboide balis altitudinis D, soliditas to 28-m scies primi est is g, solid tas i y Σ1. Superficies secundi est i Ss, soliditas sEadem εἰ prismatis polye dri geo drsia erit:
Superfi/cies erit 7 soliditas r 924 Atque hinc Va/sori qualibet Plana soliditatis specie figuratoru capacitas istimari po te sit: ut hic VDdes. Hic enim
Planus e basis exangula 4 i : dius enim est
latus per o e is, Ac altitudine s erit tos . Itaque si pes cubicus contineat 4 quarias ut : 'arisienses loquuntur, vas continebit quartas Saaς, id est fere Sas.
217쪽
x σ3P. RAMI GEOMETRIAE LIB. π π v. de Polyedias mitiis ordinatis.
1 Ohedrum mistum ordinatum estnramidatum compo situm epyramidibus mertice coeun istas in centro, la basieminentibus.
Pyramidati primum genus in prismate ita fuit: dicatur polyedrum mistum ordinatum separatim a pyramide N ptismate: quia neutrius desinitio ei convenit. Pyram te ab una hasi fastigiatur, mi ilum non item. Prismatis opposita plana sunt aequalia, similia, parallela, hoc convenit. At reliqua plana prismatis sunt parallelogramma, quod neque octaedro, neque icos aedro, neque do de caedro convenire potest, cum plana o Elaedri Sc icosaedra sint triangula do de caedri sint quinquan gula. Quare neque pyramis neque prisma hic dici potest. pyramidatum tame est e pyramidibus vertice ut egeodaesia mox intelligetur coeuntihus in centro, &sola basi eminentibus, neque tamen propterea dixe/ris talibus pyramidibus in ordinatis compleri locum, neque enim omnimodo sumptae compleant locum . Atqui e polyedras mistis ordinatis Euclides tria dunt. Xat haec ordinata sibi proposuit, quae de nobis sunt pio posita. Cu igitur pyramidatum misium ordinatum ita componature pyramidibus, geod arsia iaplius erit e geod aesta pyramidum componentium: hasiique una per numerum omnium basium faciet corporis superficiem, S pyramis una per numerum o mnium pyramidum multiplicata faciet soliditatem.
2. c sititudo componentis Uramidu habetur per radium circuli basi circumscriptiterquepolyedrisimilagonium.
Basis pyramidis patet oculis, altitudo Intus latet, invenitur autem per tri/nngulum rectangulum, cuius basis est semidiagonius. crura radius circuli se perpendicularis altitudinis. Itaque sublato radii quadrato de quadrato semia diagonii, latus reliqui per s e ir erit altitudo: sed radius circuli specialem inventionem per species basis mangulae primum, deinde quinquan gulae habebit.
3. . I istum ordinatum est triangule basis aut quinquangula.
Partitio est e subjectis basibus.
. Si quadratus e latere triangule basis trifariam dividatur, latus trientis erit radius circuli basi circumsiripti.
Ut patet per 7 e i 3. Atque haec radii circularis inventio est pro octaedro Sc Deo laedro.
s. Is Ium ordinatum trianguIe basis es octu drum aut isoste-
6. Ocnurtim e lpobedrum mistum ordinatum, quod ab octo tris angulis comprehenditur. 27 d ii.
218쪽
Itaque tar. OASedri latera fiunt ret, .nguli plani a solidi 6. Hoc item est de scholio adfinem is lib.
2. Octaedra novem complant lacum solidum. Quadruplex enim angulus tetraedii aequatur triplici octaedri. S clo decuis plex ideo nuncuplici. Itam novem anguli octaedri valent octo lolidos recitos. Est ita Potamonis demonstratio ex angulis consentanea Euclidis demonstrari/oni, item ex angulis quod quinque tantum solida sint ordinata demonstranti octae dru solidi loci completivum efficiet contra Aristotele: utque in planis,sic in solidis triplex figura complebit locum. 3. Sι triangula octo aequilatera π equalia Olidis angulis comportantur, comprehendento Litarum. Haec vero
fabrica facilis est, ut patet in suble/cto exepjo: tibi uides ta quam du/plicis pentaedriduo tri
angula aequi latera aequalia intersecari - - ...
7. Si recta centro quadrati utrinque perpendicubais aequam Iemini Ionio connectatur cum angulis, cq rehendet odia edruma P I3.
Nam perpendicu laris I iι 5esu cum semidi ago niis v a , uo, ut, ne, aequabit per a e Tocto lato
219쪽
GEOMETRIAE LIB. XXV. assraFd,γe, o, i, se, si,ss,so octoque triangula. Itaque I. Diagonius octaedri potest duplum lateris
a. si quadratum de latere Omedri duplicetur, plicari latus erit diagonti . Ut in subjecto exemplo latus est G quadratum a s. duplicatum 7a, cujus la tus 8jἴ est diagonius. At Phinc existet geod asia octae/dii. Semidiagonius enim est 4, : cujus quadratum est Elide quadratum de 6 latere trianguli aequitate ii potente per A e is tripluradii est as, eque ra trientelatus 3 est radius circum scripti circuli. Quare subla/to quadrato ia de quadrato si' restabunt quadratum perpendicularis cujus latus 2; est ipsa altitudo perpendicul/ris, cujus pars tertia est quae per basim triangulam faciant ii pro octava pyramide, quae multiplicata per 3 facit 9 ii pro toto octaedro.
8. kosaedrum ectpobedrum mistum ordinatum ά miginti triangulis comprehensum.29 d II.
Usque r. Ico aedestitera unt 3 o, anguli plani so , solidi i a. Consectatium est item e scholio adfinem is lib. Et z. Si viginti triangula ordinata er equalia solidis angulis componcnlur, comprehendent ico/
220쪽
s. ordinata quinquangulum duplex oe decangulum unum eidem circulo sic inscribautur, ut latus utria que quinquangulisubtendat duo la
tera decanguli, sex rectae circulo perpendiculares . radio Uus aequales, quinque ab angules alterius quinquanguli connexae . interse, oe cum angulis reliqui quinquanguli , sexta a centro utrinque continuata latere decanguli, in connexa illic cum quinque perpendicularibus,hic cum anigulis secundi qui qua Nub comprehendent icosaedrum. e IJp IJ.
Fient enim viginti triangula a qui latera ξe aequalia. Esto igitur quinquan guIum duplum primu deton, secundum a s rim, quoruIatus quod libet subtendat duo latera decanguli, nea Pe ιι tat m, subtenda tya5cam, tum sunto perpendicu/Iares quinque ab angulis secundi quinquanguli γ v, s J ,r ν , Is, m l. 5c connecti itur primo in t r se per connectentesn I, Jν,νs,ft n. secundo cum angulis primi quinquansuli per connectentesne, e J, J l, it , νο, Osfu, ut, a. an Sexta a centro ii sit bg radius de continuatus utrinque latere decanguli eg 8c db connexa su Pra cum perpendicularibus, ut per connectentesnneninfra cum angulis primi quinquanguli, ut per conn ectentes be.bi, & caete in locis sinii liter, omnesque planis compleantur. Hoc dico icolae drum esse, Gaviginti trian sui S aequi lateris N aequalibus comprehedi. lyrimo intermedia decem triangula perpendicularibus omissis aequi latera esse Sc aequalia unum deis monstrabit, ut na t. Nammt 5 Iu quia sunt perpendiculares sunt etiam perceri parallel .r, R ex ilicsi sunt aequales. Itaque per 5 c ir e s ni aequatur ip ἐγ in lateri quinquanguli : item n a per s e la potest crura n F de a, id est per fabri cam latera sexari guli Sc dccanguli, 8 per conversam n e is est latus qmnquat inpuli: Idem erit dea t. Quare nae est a quilaterum: idemque de reliquis novem
que superis triangulis probabitur ductis retiis dy Ac n. quae ut prius c quia contieesant aequales parallelas ipsas de Ac γ n) erunt aequales. At d γ est latus sexan/guli. Itaque en latus idem erit sex anguli, Ac gesti .itus decans uti. Itaque gnpotens utrumqae pers eir erit per conversam 9 eis latus quinquanguli. 5e simili tergi concludetur latus quinquanguli. Q iarengleii aequi laterum, sc qua tuisor reliqua similuere iunt aequilatera. Reliqua quinque infra triangula sim uim do