장음표시 사용
191쪽
c r o M T T R I AT L I 2. x x. 13 --o pars radii terui, id est 3 est a centro, quanta pars hemisphaeis
Additis igitur 13a ad sos cω Ponetur 44o pro spherici malore sectio.
ne r Detractis autem relin quentur a s
. Varium est gibbum, tu's basis estperipheria, latus recta ater is
no mersicis in terminum basis.
Hac assectio duplex est communis superficie n variarum repularium: ut patet 18.eto. 2r.23d G. Infinitae Vero sunt species ut helicis, sic varii, sed ab Euclinumero , duae specim sunt, quas generali arietione comple
8. Varium in conicum aut ylindraceum.
Hae nimirum geometris species duae placuerunt: atque ut antea pIanum 5esphaericum pro superficie plana & sphaerica, ita modo conicum A cylindracestim pro superficie conica occulindracea intelligantur.
Verticem. ora conversione lateris circa sublectam peripherio. . .. J'd' 8P0lionio propositum primo conicorum repetitur a Proclo ad
n exemplo superiore latus est is, semipetipheriai s unde planus est et o as superficies
192쪽
superficies conica : cui si addideris subjectum circulum, tota superficies e . stabit. Quae vero de primarum figurarum aequa altitudine ec reciprocatione dicta sunt, conicis etiam postini attribui, indeque cylindraccis, tametsi ab Euclio de h. ecpraeterita sint in superficie.
. II. Cylindraceum est quod Uubjecta per beria ad sublimem qua
lem oe parallelam peripheriam aequaliter erigitur. .
Fit condiresione lateris circi duia periptivis aquais 5 parare Hoc enim modo fabricatur Serenus.
Ia. Planus eska basio altitudine est cylindraceum.
Ut hic peripheria ar,ti colligitur c 7 diametro, altitudo i 2. Planus igitur cylindracei est sa, quibus si addideris duas utrinque bases, his nempe 332 vel γ, tota superficies erit Dy. Quamobrem haec paucula sunto de superficie gibba. ' - .P. RAMI GEOMETRIAE LI B. π π I. de line:s π supersicubia in solido. HActenus geometria fuit de linea & superstese: superest stoeometria pars artis altera de corpore: stereometria est in elemenus exigua, Plato de repub. conqueritur han scientiam nondum inventam , ec quidem duabus de caustis, quia difficilis, quia contempta rideoque publicis honoribus te prae/ is excellentia ingenia excitanda ad tantae rei indagationem. Itaque Platonis velut authoritate permoti Archimedes. , Theodotius , Apollonius, Serenus, Pappus in vacuas possessiois hujus paries ingressi mirabiles structuras fecere: Archimedes in libiis de sphaera Sc cylindro, de conoidibus, sphaeroidibus,quadratura parabola' l heodosius in libris de sphaera, Apollonius in libris de coniscis, Serenus in libris de sectione cylindri, Pappus in variis plerisque, unde E elidis inopia postit expleti.
i. Corpus est lineatum latum m altum. Iditi
193쪽
GEOMETRIAE L I B. π π ILongitudo enim sola est lineae, longitudo A latitudo est superficiei, longitudo,latitudo, altitudo simul est corporis .&haec magnitudinis trina perfectio est corporis, qua intelligimuzin corpore non solum lineas longitudinis Ac superis ficies latitudinis. sic enim corpus clineis 5c e superficiebus constaret, sed soli. ditatem in longu, ipso intelligimus: ut in corpore ae io . longitudo est de . latitudo est di, altitudo estuo.
a. Terminus solidi est perficies. et dii.
Terminus lineae est punictum, neque pum tum tamen est linea aut lineae pars ulla, terminus superficiei est linea, neque tamen linea est superficies, aut supera faciei pars ulla, sic modo terminus corporis est superficies: neque superficies tamen est corpus aut corporis pars ulla : 'aliud est magnitudo, aliud terminus magnitudinis: ut patuit s e 1: ut vero lineae planae j a m dictae sunt quae specta notur in plano, sic solidae N lineae re superficies appellantur, quae considerantur in solido, earumque perpendiculum N parallelismus e simplicibus lineis ro
a. Si rena est rectis tu subiectoplano intersectisperpendicularis in comunisectione, est perpendicularissubjectoplano oesi est perpendicularis plano, in rectis insubiectoplano intersectiveipendiculam in communi sectione. e' 3 d Ο p U.
Perpendiculum lineis in superficie consideratis attributum est antea. Itaque inde repetitur eonsectarium de perpendiculo lineae cum superscie ipsa. Duae lineae sunt perpendiculares, quarum altera in alteram incidens aequaliter interjacet, se eadem definitione intelligimus sublimem lineam infinitis lineis in prino interseolis incidentem in communi puncto perpPdicularem esse ipsi plano, quia aequaliter in omnes partes inter aceat,& singulis intersectis lineis concipsemus singula plana cum sublimi communia, ut sublimis se quaelibet interfecta. rum sint in eodem plano perpendiculares , sublimisque linea plano subjecto ideo sit perpendicularis, quia in eodem puncto est perpendicularis omnibus rectis quacumque parte sumptae fuerint: ut si cogites rectas a e io, uI, in sub eincto plano intersectas in communi sectiones: S sublamem s r lingulis esse pera pendicularem in communi puncto s, exemplum habebs s consectarii. Itaque
cipim'. Pars enim corporis quaelibet euam corpus est. Itaque etiam soliis 'dum pro corpore
194쪽
I4o P. RAMI perpendiculum lineae ad planum subjectium est e lla
mei Sin uno plano,&consectarium modo elle prin/cipe illa definitione reciprocum, neque linearum numerus hic certus definitur. Nam si de duabus est verum, est omnino verum de infinitas : quatuor e Dim anguli reciti subjectarum cum sublimi aequabile' statum demon mahunt. Intelligatur tamen minimude duabus subjectis in communi pumsto perpendi/culum. Communis autem sessitio linearum hic pun/istunt dicitur, ut dicitur ab Euclide nominatim ad 4S PH.
. Si tres rectae intersectaesunt eidem retitserpendiculares in communi sectione sistit in eodem plano.=8 Π.
Ex perpediculo enim Ee communi sectione intelligitur aequalis in omnes par teS statuS, proptereaque planicies eadem: ut in superiore exemplo issas,os sint eidem sublimi s r perpendiculares, erunt in codem subjecto a tu e o . Atque haede perpendiculo sublimi, unde contraria obliquitas intelligitur vel inclinationis in angulo acuto, vel declinationis in obtuso, quae est s 5e s d initem simili, um inclinationum eat aequalibus angulis quae est d ri: parallelismus consoquitur, qui tametsi permiscetur cum solido perpendiculo, consideratur tamen semper in uno plano.
s. Si dua re taesunt perpendiculares ubiecto plano vn aractetae Osi parallelarum altera estperpendicularis siub edio plano, reliqua est eis
dem perpendicularis. 6.88II. Caussa est e prima lege paralleIismi. Nam si duae recte sunt eidem subjecto
lares, connexae rocta interiores an. .
gulos aequabunt ouob. rectis, Pro praereaque paralle , ne erunt persa e s: hi
N si in parallelis oconnexis alter in/tcrior angulus rectus sit, reliquus etiam rectus erit, quia communi perpendiaculo dividuntur: ut in exemplo. Si anguli ad a&e sunt recti, ai&eo sunt paralblelae, A contra si parallelae sint G dceo,& angulus ada sit rectus, etiam ade reactus erit.
6. Si re lae in dimersis planis uni ad eandem reclamparallelae ut intersipara ela. s u.
195쪽
Uthse sint rectatae 5 vγ in diversis planisadio paralle is elae, erunt inter se parallelae. Nam a puncto i perpen/ Ρ ,-.. --diculares pery e s iunio id Z , . i. Niu. Itaque per 3 eoi cum v c --- Isit perpendicularis duabus . intersectista ictu, est perpendicularis subjecto plano. Ergo per seIulcea lentPerpediculares eidem plano, ideoque per idem sunt parallelae. Haec Eucllidis est demonstratio: postulari tamen id potuit.
7. Si duae rectasintperpendicula res prima Hublimi puncto in rectam subfectam cunda ά communi tione insubie to plano, tertia ά didispuncito perpendicularis secundae erit perpendicularis subjeciti plano. e
abe communi sectione pers e s sit ab tera perpendicularis eu . denique a Isublimis recta sit perio e s perpendiαcularis in ea ad punctum I,'perpendicularis erit subjectio plano. Nam quodue perpedicularis est ipsi io ipsa ae, nem dextrorsum nem levorsum acclinat perio e a.& quod iterum perpendicularis ipsi eu, neque prorsum neque retrorsum pendet. Itaque in qu tuor paries interjacet aequaliter. Denique si rectato paribus angulas congruat ipsis r tertium elementum redierit.
8. Si recita ά dato subfetiti plani puncto sit parasseti recta ad idemptisum perpendicular erit etiam perpendicularis subedio plano. ex Ia
ut esto planum ae io, εἰ datum pumstum in eo situ, unde sublimis perpendi eularis sit erigen/ r sda, fiat a puncto
perpendicularis I . sin subjectum pla- ὰ - num per e, Mei parallela statuaturvr per 3 e 32 e s. iamur,cum sit pase erallela perpendicu
196쪽
42 P. O Π riari in subjectum planum , erit eidem per se perpendicularis. Sic se iurest perpendieulum εἰ parallelasmus solidarum rectarum: sequitur de planis solidis
s. Si recta in altero intersectorum planorum perpendicularis communisectioni eaperpendiculam reliquo, planasunt perpendicularia: plana sun erpendicularia,recta in alterope pendiculum communisectisoni estperpendicularis reliquo.e dm pH.
Perpendiculum planorum e proxima perpendiculi ratione ducitur, plano rumque inter se aequalis utrinque status este rectae in planum perpendiculo. quia hinc intelligitur planum ipsum aequaliter in omnes partes lineis rectis neαpe significatas interjacere,quod in libro duabus utrinque paginis aperto perci/pitur c Versibus paginarum sectioni Scsubjecto plano perpendicularibus : Ut hic vides. Hic igitur duo sunt, ut prius communis sectioia planum: antea ut eta sublimis esset perpendicularis subjeacto plano. cadebat in communeni sectionem duarum rectarum, Ac perpendiclaris erat rectis in ea intersectis. Hie pera pendiculum Musdem rectae duplex exigitur, primum in comunem sectionem, quae est non punctum ut prius in lineis, sed linea recta, terminus est linea, Ac planicies ipsa prius explorata est intra duas rectas. Secundum est in subjectum
IO. Si recta est perpendicularis plano, omnia per eam plana, sunt ei
dem perpendicularia: m si duo plana interfecta sunt alicuiplano perpendicularia, communissectio est eidem perpendicularis. e Isi'I'pII.
Haec elementa separatim ab Euclide proponuntur & citantur: Prius tamen est consectatium s e. N posterius ex eo Pater, quod communis ipsa sectio sit recta in quolibet interseactorum sublimium planorum per pendiculatis 5c communi sectioni, de subjecto plano.Nam si commu/nis sectio non esset subjecto plano perpendicularis, neque interfecta plana essent subjecto plano perpe/dicularia, sed aliquod esset obliquum contra ineutri: Mimc Vicies. perpendiculum est planorum, Parallelisinus superest
197쪽
Parallelismus planorum enoneoncursu verus est, sicut rectarum in eodem plano ad ii e s,quamvis linearum omnium nequaquam sit, quales in conico a symptotas proposuimus primo libro. In parietibus& tabulatis aedium aequi/distantibus parallelismus planorum agnoscitur. Et Q. c commmiimperuticulo dividunturii par. Consectarium est Es &se. Nam si media recta est perpendicularis utrique plano, est etiarectis utrinqne intersectis per pedicularis incommuni sectione, ec recti uutrinqueinteriores anguli parallelismum covincent. Est D
tem e definitione ipsa para Ilelismi adiret. 13. sιbine recta in ipsis contermina, sevi paratala. t s p tr. Tales sunt oppositi parietes in fastigio aedium. ut sunto ea i&ιιον planaqirae habeant binas rectas ea Scia, item uo&Is conterminas in a fico de pa/rallelas nempe e a contra u o A ia ccltra γο : Dico plana ipsa parallela. nam rectae uescoa, item rifico a con snectant aequales parallelas , erunt per c c ra e s aequales dc parallelae, dc sic parallelismum Ac aequidistan. tiam indicabunt. Idem vero laetitsi conterminas cogites infinite ex. tendi, plana quoque extensa erunt μinfinite parallela.
I . Si duoplanaparasseti sic turpiano, communes siectiones sunt parasidae. 36 pH.
ut hic vides plana parallelaseio de νγιν secta per planum II νί, communes
198쪽
rallelnsecus Dpsae, iadeo se plaana inquiti. sunt, concurrent, ut in punctos contra thesim.
Axis vulgo putatur esse proprius sphaerae:ut hic ae : verum etiam attribuitur eono Be cylindro, Scsolido plano, 6cordinatis tetraedro,hex edro, Octaedro, icosaedro, dodecaedro, Scconversionis motus nominatim exprimi tur, ut hic motus geometricus intelliga/
tur: Sc sic axis in co/noidi hus sphaeroidibus dicitur.
Sie conus, sic cylindrus rectus Apollon o 5e Sereno definiuntur,& hos solos Euclides consideravit: imo solidum nullum nisi rectum geodaesia suscipit. Ita. que generaliter de omni solido id intelligi potest: εἰ aptius est ad Euclidis sto
multitudine-magnitudine, fiunt aequalia. i O d II.
Aequalitas linearum & superficierum nullo praecipuo axiomate instincta est, sed praesumpta est ex logico dc communi sensu, de in pletisque ψά iriti sic satis
199쪽
lic satis esse potuit. Hic vero corporum fit per superficies. Euclides ta tum de planis loquitur,stereo metria tamen de quibuslibet solidis vera est Duo cubiliant aequales, quorum senae superficies planae sunt aequales: duae sphaerae sunt aequales, quarum supelficies sunt aequales: duo coni cylindrique sunt aea quales, quorum superficies superficiebus, bases basibus sunt aequales: neque tamen hinc dixeris isoperimetra solida quaelibet esse aequalia. fallere enim pos lit in heterogeneis, neque idanodo postulatur, sed ex aequali superficierum 5e multitudine εἰ magnitudine aequalitas solidorum diiudicatur.
. Sisolida comprehenduntur overficiebum multitudine aequalibus imilibus stat si milia. 9 d II.
Consectarium est e generali definitione similium figurarum ad rq e 4 .figi De enim similes illic definiis sunt aequiangulae Sc proportionales cruribus aequalium angulorum: At in solidis planis similibus anguli aequantur ex similitudi/ne planorum similium, εἰ crura aequalia sunt ipsae planae superficies, Sc ideo pro Portionales, aequales. ec similes.
s. Sobdasimilia habent triplicatam rationem homologorum laterum, oe duo media proportionalia.33 pH. 8pla.
Consectatium est i s e 4. ut exemplum repetitum indicabit:
6. Solidum est planum vel gibbum
Differentiae planorum a terminis suis assiumptae sunt, a Iineis enim rectis se obliquis rectilinea εἰ obliquilinea lacta sum ita corporum differetiae sunt a suis
. Planum, quod comprehenditur asuperficiens planis.
rectilineum dicitur, ita solidum si compositio pater
nas. sic enim tetraedrum, hexaedrum,Sc caeterae species compositis nominibus nominantur. Planum corpus distinguitur a numero planorum quae Atati sunt ni rectilinei differentiae fuerunt a numero laterum vel angulorum unde tritaterum, quadrilaterum, multilaterum, vel triangulum, quadrang. Ium,multant gulum.
200쪽
pulum. Sic corpous plani differentiae sunt a numero termInorum, quos hedras diximus appellari, sed aliter quam in planis series perpetua est in pyramide, quaternario in pyramidato autem a quinario. Numerusiangulorum numero terminorum non perpetuo respondet pyramis' tetraedra , pentae dra, poly dra, est quidem quadrangula, quinquan gula, mul tangula, sed prisma pentaedrum eli sexangulum, hexaedrum, o A angulum,ec sic deinceps.
8. c gubplani comprehendentes angulumsolidum sunt minores qua
Nam si quatuor rectis aequarentur,complerent locum planum Per 4 cro es, neque omnino angulum faceren multoque minus si majores.
s. Si tres anguli plani minores quatuor rectis comprehendant anguia solidum, duo quilibet sunt m ores reliquo :msi duo quilibet sitnt m ores reliquo, comprehendent anguli solidum. zo m 23p ii
Analogia est ad 7 e 6, Ω caussa etiam in promptu est. Nam si duo plani an. guli essent aequales reliquo, nullum spatrum medium cum reliquo socludere quin si cogites congruere cruribus plaanum congruentia sua facerent e duo b. unum in ulto vero minus si minores.C6versa hinc etiam patet . Euclides ita dea monstrat. Primo si anguli tres sunt aequales, duo: protinus intelliguntur majores esse reliquo. Sin anguli sint inaequales, sit angulus a ei major angulo ι eo,&ara qualis amputetura eu, εἰ aequetur eu ipsi eo. Iam pera e duo triangula a eu Aeaeo aequantui basibus au&.io. Item a o filo i maiora quam di Ru o, a quatur ipsi a u. Ergo Oi majus est ipso tu: Hic duo trianguia uel Sc i eo duobus cruribus ara qua, &basso imal orba situ: Ergo per 4 e 7 anguluso ei maior est angulo te M. . Ergo duo deosco ei sunt majores quam ipse aec
IO. Solidum planum e Inramis aut Dramidatum.
Vocabulis novis In re minime nova utimur, sed tamen nondum generaliter nominata. Dichotomiae tales praecesserunt de linea lineato, triangulo triangulato: 8c veritas rerum iri haec genera apte concluditur.