P. Rami Arithmeticae libri duo geometriae septem et viginti

발행: 1569년

분량: 233페이지

출처: archive.org

분류: 미분류

201쪽

hasi

m ue

drangula delo in verticem v triangula similiter erigi. ii. V dis bes fiunt una plures angulis in basi. a. 'ramis est prima figura solidarum. Est enim pyramis in solidis, ut triangulum in planis. Resolvi enim pyramis potest insolidas figuras alias, sed in nullam simpliciorem potest, ε paucioribus hedris constantem. Itaque 3. Ormides αἱ egi sint vi bases. s e G seir. Et q. Reciprocae basi altitudine sunt aequales. ypti. Consectitria haec sunt e 1 a Sc is e 4. Atque hic Euclides ut in ptissimatis nomi/navit basim 5c altitudinem pro cruribus aequalis anguli, ut in exemplis. Duae pyramidest a

202쪽

P. RAMI

Pyramides

sunt aeque

altae ha lis triangulae prioris dopiae ad po/steliorem. Itaque pii ma est dua

exemplo sequenti, ut basis primae sit ad basim secundae,sic estitudo secundaeas

altitudinem primae. peciem elle orcii natam e triangulis atqui laterum, equadrangulis quadratum, sic modo e toto pyramis dum genere unicam speciem ordinatam esse tetra

dram : neque tamen omnem, sed quae comprehendi iltura triangulis non solum ordinatis quidem sigillo tim, sed aequalibus inter se similibusque. Possunt O Dnim corpora comprehendi ab ordinatis hedris, quae Ptamen non sint ordinata,quia hedrae illae possunt oradinatae separatim esse, sed neque aequales interse,neaque similes, neque ideo ordinatum corpus comprohenden ii qualia sunt Archimedis tredecim corpora apud Pappum s lib. Tetraedrum autem generali nomine species ista dicitur propter excellentiam, quo/modo etiam pyramis appellatur. Iraque r. Teredebilatera fiunt sex, anguli plani duodecim, solidi quatuor. Nam tetraedrum comprehenditur ii quatuor triangulis ternorum laterum atque angulorum: unumquodque autem latus his assumitur, ideoque num rus est dimidio minor. Haec sunt in scholis adfinem is l. tia. Tetra duodecim complent solidum locum. Quia octo solidi anguli recti complentes Iocum & duodecim anguli tetra eri aequantur inter se, cum utrique a 4 rectis planis comprehendantur. Rectus enim solidus comprehenditur a tribus planis rectis,ideoque s comprehendunturha . Item angulus tetraedri comprehenditur a tribus planis aequilateris, id est a sex tertiis unius recti ideoque a duobus rectis. Itaque i a comprehendutur 1 24. Sic Potamon geometra ut est apud Simplicium g cap. 3 lib. de caelo a

demonstraverat ex anguli&completi locum solidum lita pyramidibus. Hs. Si sum

203쪽

GEOMETRIAE LIB. π VII.

3. si quatuor triangula ordiriau er inpuliasolidis anguis compon ur, tam rebinem retrae M. Haec fabro

exemplis intelligere. Haec enim triangula sic explicata copulato & connectito inter se, facies tetraedrum.

I3. Si redia potens sessui alterum ad latus trianguli aequilateri secetur dupla ratione, duplumsegmentum perpendiculare trianguli centro, co

nexum cum ejus angula comprehendet tetraedrum. I3pI3. Comprehendi solidum a rectis intellige per plana rectis comprehensa, ut d

inceps. ut hic esto primum re/

cta a e potens sesquialterum adu i latus trianguli aequi lateri, ut antea patuit 6 e ia , dg secetur dupla ratione in operie is eduplumque segmentum do sit perpendiculare squilatero ii angulo u sad centrumr per Te ar, sitque ri connexum cum angulis perlu, is, II: Dico triangulaudis, usi, si,uFI aequilatera Naequa Iia esi e quia latera omnia sunt aequalia: Humilia tria primo aequantur ex thesi, subli/mia tria per s e tet S c sublimibus quodlibet humili: Nam si triangulo circu. Ius circumscriptus intelligatur . latus poterit triplum raditur per e is: At sublime potest item triplum, ut patet in ptima figura de radio Oi, qui est pro radio secundae figurae v r: u t enim .io ad o i, sic per i e 4 e sol ad oe, S peri cis e 4, ut prima recta a oest ad tertiam o e, sic quadratum so ad quadratum o i, Ac compo/nendosoccus oculae ad oe, sic quadrata do&οι id est per s e la , quadratum αι ad quadratum o i, ata e est tripla ipsius o C. Ergo quadratum a test triplum quadratio i. Quare latus sublime aequale ipsi di potest triplum radii, lateram ideo omnia aequalia, proindeque 5c ipsa triangula.

204쪽

PIramidatum est solidum planum a Dramidibus comprebe

Pyramidatum sic e pyramidibus componitur, ut e triangulis triangulatum.& puramis prima figura se antea facta est, S compositio postea per species apparebit. si

Partitio pyramidati deinde fuit difficilior in materia rerum nondum satis a nimaduersarum vel explicatarum: dichotomia tamen hic adhibita est,quae noliis optima adhuc Occurriti

a. Prisma est p3ramidatum, cujus duo opposita an uni aequalia, similia , parallela: reliqua parasielogramma. Ia d II.

Ut hic vides. Pyramidis unica basis suit, pii sinatis duae sunt hases oppositae primo aequales, tum si/miles, donee paαrallelae: reliquae

sunt parallelo grammata Prisma estCampano cor

pus serratile, secuto nempe quandam originem nominis: πια enim dest seco, distringo, Sciditι et est coatastatio, compressio. Itaque Hetrae prisciatissent bitrario plures angulis in basit. Ut vero pyramidis a quaternario, sic prismatis Et quinario in infinitum accretio est, ut sit a bali triangula, quadrangula, qu:nquan gula, peritaedrum, lici xaedrum, heptaedrum, A sic in infinitum. Prisma autem in Euclide snterdum specialiter intelligitur de pentaedro, ut ad 4o P ii, ad s. 4 p ir, ut rectangula in planis pro oblongo,& pyramis in solidis pro tetraedro ordinato.

. Planus ί basim altitudine estsoliditas ressit risinatis.

Geodaefia nempe parallelogrammi rectanguli est hic communis, cum altitudini plana sunt rectangula parallelogramma, sed res per species intelligetur.

Ut in exemplo ptisma Pentaedrum sectum est in tres pyramides aequales: maenimc planisse i, aes,aci, eio aequa Ur secundae E planis a ot,a ou tu, au

Der 7 e 7, quia aequatur basi se altitudine communi. Itaque prima te secundat aequatur:

205쪽

aequatur: Et secun da eadem aequatur

sibi ipsi,

dum ha/sis fit ιOD, di verima, turn aequatur tertiae e planis a tu, a i , uiγ, a uF. Itaque tres a quantur. si basis triangu Iata fit,ptisma solvatur in prismata hasis triangulae, theorema concludetur ut prius. Itaque

a. Plaetus e fra basi π diis ite altitud inis estsolidi in raramidis basi Cy altitudine aequalis. Altitudo autem pyramidis habebitur, si quadratum eradio hasis tollatur equadrato lateris: La tus enim reliqui per se ir erit altitudo, u i in subjecto exemplo. Hic area trianguli hasis pyra miclis : Altitudo est si , quia per A e 18, latus potest triplum

radii: At si de in quadrato ia lateris tollatur subtriplum. id est 4 s, reliquum V s p era erit altitudinis quadratum, quadrarique latus erit V . Tertia autem pars 3 it, ex

Sic in exemplo seque te quadratu 3 6 radii σ tollatur 1 quadraγto 29263ὸ l. teris 37;i, retia qui a s latus erit pro altitudine, cuius tertia fili, Sc baR 71Z erit 3s R. Si pyramis sit curta, metire totam, Se ParIcm quae deest, tum a tota detrahe quod defuerat: ut hic. Silao latus totiau is es, eo latus particularis S , erit igitur perpendiculatis totius ouis es; tertia Patavi, ex qua Sc basisset Planus erit 67ι pro tota pyramide. At in mino,

206쪽

metieris.

re pyra inde si quadra to lateris σ et sublato quadrato radii streliqui s latus fere pro altitudine, cujus tertia pars lim

Qitate minotis pyra . . midis , qua deducta m acie majore reliquum Ars erit pro curta pyramide. Hoc modo curtum prisma

Pyramidum. Homogenea autem Tequirutur, quia Pentaedrum cuhexaedro non iata convenireti Consectarium este i 2 e A.

207쪽

menta sunt prismata homoge Dea. Itaque cum sint at/quealta. autitudine nempe secantis plani, erunt ut bases,&hic bases sumendat sunt oppositae altitudini.

G. Pryma e en taedrum aut e' pentaedras compositum.

Partitio ut antea qualis fieri potuit, re hic solutio compositionem ostendet.

7. Sipentaedra alterum basis triangulae,alterumparastelogramma ad triangulam duplaesunt aequealta ,sint aequalia. Os II.

Caussa est brevis, quia climidia sunt ejuidem prismatis : ut hic prisma te per diagonios opposito ruin laterum hi secto intelliges. Euclides ita domonstrat Sunto peritaedia aeto uecy sr Im aequealta, primum basis triangulet e losecundum paralle logrammae s l duplae ad triangula, utrumque vero duplicetur sc ab solvatur, ut primum si aeto un, secundum fri,fJam ex thesi basis si dupla est hasis e io, culus etiam dupla est hasis eo per g c s e to. Itaque ha sessi & eo aequantur, ideoque cum prismata ex thesi hic sint aequealta, ut bases ex conclusione aequales, prasmata et unt aequalia , ideoque R ipsorum dimidia aequalia ae iov&Isnlr, quaepioposita metant. Pristitatis Vero penta edtigeo ea si a jam dicta pene aliter, res

e duobus subiectis pentaedris intelligatur. Planus ex is peri metro basis triangui .e R ia alti tudine est ri 6. qui additus basi triangulae isti, id est sere . bis assumptae, id est 3i; componit a 4 su minam totius supel fici ei: At planus ex eadem basi is εἰ altitudine i 2 estis T ; Pro to/ta soliditate. sic in secundo pris male pentaedro, qui cuneus ex ocumine dicitur, & qui proprie a secando pis a diceretur, superficies tota est is o, soliditas erit so. q

208쪽

34 P. R. A M I

8. Prymae pentaedris compositum es hexaedrum aut pobedrum, hexaedrumparallelepipedum aut traperium.

Partes suis nominibus intelliguntur:& partitio est superiorum similis. .

s. Parallelepipedum es cujus opposit taplanasen allelogramma. e

Itaque parallelepipedum in solidis respodet parallelogrammo in planis.Hie enim hediae oppositae sunt paralleliae, illic opposita latera sunt parallela. Iraque a. Bibecatur plano per diagonios oppositorum lateram, a s p M. Respondet 34 PI. Esto ptisma e sex

hasibus a i, o, exui, rhau, diagonii hi secant per ac se . Io Oppositas ha/ses, Sc reliquae OP

politae bases duo/rum prismatu di0 sectorum per 3 e aequantur. Quare duo ptismata comprehenduntur a Dalibus aequalibus multitudine Ee magnitudine et Itaque aequalia. Et a. Si bi ecatur duobus planis bisecantibus oppositi utera communis bibessio Cyri P . interfiebsecantur. 39p tr. Quia hie dia/metri qualis est illa hi sectio)inter se hi secan

plo. Esto paral/ielepipedua ei ou bisectu adu/obus planis bi/

posita latera: duo planas rim εἰ uJ. f. Hie communis sectio is I& diagonius a o bisecantur inter se.

t O. Si tres rectae sunt proportionales, parastelepipedum media aequas tur aequiangulo parallelepipedo omnium.e 368 II.

Consectarium e 3 c s e, quod nos admonuit antea in planis generaliter vorum esse de parallelogrammis, quod rectangulis duntaxat erat attributum.

II. Parallelepipeda rectangula octo complent locum solidum.

Id respondet in planis parallelogrammo rectangulo,utque illic anguli plani recti quatuor complent locum planum, ita hic octo solidi anguli complent lo/cum δε-

209쪽

cum so Iidum, neque magis hic proprium cubo quam fuit antea quadrato: una de Aristotelis geometria illa emendatur.

I 2. Figuratusparallelepipedi rectanguli appellatur Iobdus, facius a

tribus numeris . I7 d 7.

Ut si multiplices i. a. a. iacies s solidum ritem st multiplices 2. 3. 4. iacies et solidum, &latera solidi ε, erunt r. 2.3: solidi 24, erunt 2.3. q. Sicin planis pia nus absolute appellatur, ut hic solidus. Itaque a. si duo sioli Apunt similes, habent proportionalia tulera o duos medios proportionales. 2 a

Consectarium est e s era . sunt autem medii proportionales e lateribus firmitum, secundo, tertio, quarto . Item tertio, quarto, quinto. ut hic vides.

. RAMI GEOMETRIAE L I d. π π I I I T. de cubo.

P frallelepipedum rectangulum edi cubus aut obloneum.

Partitio respondet in planis partitioni parallelogrammi rectanguli in quadratum & oblongum, quin tota haec differentia communis est planorum εἰ solidorum, tantumque quadrati Se cubi nomina distineta sunt. Nam in plunis aeque Sc solidis dicuntur oblongum, rhombus, rhomboides, trapezium.

2. Cubus est recit angulum istedrum. 21dIL

ut hic. Desinitio respondet quadrati definitioni: utraque enim ρgura est Practangula Arecti termina: sed termini in qua

drato latera dic ut usi incubo dicuntur hodo, quae tamen late/rib. etia des niuntur. Ergo ut differetiae corpor u generales a genera lib. superscietu dis ferentiis plano obli/quo. sic modo speciales a specialibus assumuntur. Corpus planum quod comprehenditur a planis superficiebus. Corpus cubicum quod a quadraris com/prehenditur, sed nomen generi defuit, quo proprie corpus planum diceretur, speciei huic proprium nomen factum est cubus. De cubo mi sterium est quod .ciam apud Uitruvium in prooemio lib. quinti, quod illic perlegito. Itaque r. cubi Laera sunt duodecim, anguli plani vigin:iquatuor, solidi octo. u a IIot item

210쪽

i s P. RAMII o item est e scholio adfinem is lib. Iusta

a. si x quadrus eqMliasotida . ne dis componuntur,comprehendent cubum. ut hic in duobus

pli S. 3. si e quadrati angula perpendicularestiteribus aequales ublime connectantur, comprehendo cubum. cs p tr. Conscistarium est e proximo superiore consectario, sex enim quadrata tum

connectentur.

3. Diagonius cubi potent triplum lateris.

Nam diagonius quadrati potest duplum lateris per se sera, εἱ diagonius cubi potest ec latus 5c diagonium quadrati per idem : potest itaque triplum

lateris. -

. Si quatuor rectarum continue proportionalium prima sit dimidia quartae cubus, primae erit dimidius ad cubum fecunia . et 33 p II.

Consectarium est e is c t e 4,unde problematis deliaci est solutio ab Hippocrate primum deprehensa, ut in prooemio plenius actum est . At duarum medis arum mesographus ab Herone fuit. sei 3.

s. Solidus cubi etiam cubus dicitur, solidus nempe aequalium tis

terum. I9d 7 Daque

Pit ά numero is siuum quadratam multiplicato. Sic essicitur cubus multiplicando numerum per seipsum Ac factum per pri mum: quales sunt a primis novem notis arithmeticis primi novem cubi.

SEARCH

MENU NAVIGATION