장음표시 사용
21쪽
cum mihi, inicissime comm tini callat per literas, iudicavi dignissimum quod typis man daretur ne ab eius mente ullatenus recedam exscribendum mihi videtur ua primis compendium quoddam totius methodi cui nomen dedit appendicis ad dissertationem
Claudis asparis Bachetide duplicatis apud Diophantum aequalitatibus. En ipsissinis
Proposuit feliciter satis plerosque duplicatae aequalitatis & modos & casus subtilis ille doctitanus analysta Baehetus ad quaestionem vigesimam quartam libri sexti
Diophanti, sed integram sane non demessuit segetem , quas enim quaestiones unica tantum, aut ad summum duplici solutione circumscribit,ad infinitas porrigereri promouere nihil vetat, imo procliui id exequi operatione est in promptu. Proponatur sextus modus quem ipse satis prolixe explicat pag. 43s.&4 o. casus omnes ab ipso enumerati ex nostra quam mox exhibituri sumus methodo infinitas admittunt solutiones, quae a prima per iteratas analyses gradatim in inmitum derivantur Methodus haec est quaeratur solutio quaestionis propositae secundum methodum vulgarem hoc est secundum methodum Bacheti aut Diophantaeam, prodibit statim valor numeri siue radicis ignotae,quo peracto iteretur analysis & pro valore nouae inuestiganis dae radicis, ponatur una radix plus numero unitatum prioris radicis, reducetur quaestio ad nouam aequalitatem duplicatam , in qua unitates trinque reperientur quadratae propter priorem solutionem, ideoque differentia aequationum ex numeris tantum quadratis,quae sunt proximae inter se species,constabit, quare resoluetur ex Diophanto&lacheto noua haec duplicata aequaliras ex qua pari artificio tertia,& ex tertia quarta & sic in infinitum deducenturii quod non aduertisse aut Diophantum aut Bachetum
imo Iietam di endium huc usque analyseos maximum suit, sed praecipuum inueritionis nostrae artinctum in iis se prodie quaestionibus, in quibus primigenia analysis pro valore incognitae radicis exhibet numerum nota desectus insignitum, qui ideo minor esse nihilo intelligitur; methodus autem nostra in hoc casu, non solum in problematis quae per duplicatas aequalitates soluuntur locum habet, sed generaliter in aliis quibustumque ut experienti notum fiet sic igitur procedit quaeratur quaestio proposita secundum methodum volgarem , si non succedat solutio post absolutam operationem , quia nempe valor numeri habet notam desectus & ideo minor nihilo
deprehenditur,non tamen despondendum animum confidenter pronuntiamus , quae oscitantia, ut verbis Vietae utar, fulti ipsius & veterum analystarum, sed iterum quaestionem tentemus, & pro valore radicis ponamus IN. - numero quem sub signo desectus aequari radici incognitae in prima operatione inuenimus , prodibit noua haud dubie aequatio quae per veros numeros selutionein quaestionis repraesentabit. Hactenus ematius.
Ecce tibi epitomen huius opusculi quod diuidemus in tres parte .prima spectabit selutiones infinitas aequationum duplicatarum, siue illae occurrant per signum, , siue
per signum , secunda gradum faciet ad triplicatas aequationes, in quibus arcana quaedam luc usque inaudita aperiemus . tertia conscendet ad numeros ex quinque vel
quatuor speciebus compositos, qui quadrato aequati dabunt radices infinitas, si primitivis adiungantur derivativae, exhibebitque artem istiusmodi radices eruendi.
22쪽
De solutionibus infinitis duplicatarum aequalitatum:
DElibanda est hic breuiter methodus vulgaris duplicatae aequalitatis quae sicci'
habet. Duorum terminorum quadrato aequandorum cape differentiam elige duos numeros hanc discrentiam producentes, tum vel quadratum semissis summae producentium aequetur maiori termino , vel quadratum semissis differentiae producentium aequetur termino minori sic enim habenitur valor radicis iuxta quem reseluti duo termini exhibebunt quadratos. Exempla dabimus hic in tribus tantum casibus ex quibus reliquos casus assequi facile est. Primus casus est dum sola radicesin unitates aequantur quadrato, ut contingit in duobus terminis sequentibus amo Ia 4 N. - . s. horum differentia . producitur ab & . illorum summa est 3 quadratus dimidiae summae est is qui aequatus a N --ra data pro valore radicis in utroque termino, vel eorumdem producentium differentia est.. quadratus semissis illius o. aequetur minori termino a N- 4.&habebitur idem valor a duoque termini dati erunt i5. q. Secundus casus est dum quadrata, radices & unitates aequantur quadrato, est numerus quadratorum quadratus, ut si aequentur quadrato Q -- a N . 8. ωψ R. - Ἀμ- 8 horum differentia est 16. N - 16 quam producunt .s N A. summae N - β semissis quadratus es'. - 46N- is qui aequatus priori termino ex supra dictis dat a pro valore radicis. Hic nota ex infinitis producentibus differentiam superiorem, tales eligi debere ut numerus habens adiunctum characterem radicis,
duplus sit lateris quadrati qui idem est in utroque termino , propterea eligimus N. v quadratus semissis illius aequetur quadratis gitur duo termini dati aequivalebuntu . I 6. Tertius casus quem adnotasse operae pretium erit qui nobis saepissime suturus 4 usui,est cum unitatum numerus in utroque termino quadratus est, siue sit idem, e diuersus,ut si aequandi sint quadrato 1 in 'D-8Ν.&3ς -- - 48 N. diuidequadratum maiorem . per s."iens A. multiplicet minorem terminum et in a6. m. ita enim productus Q. habebit easdem unitates quadratasias alius terminus 3 in s . - 8. N. hi duo aequandi sunt quadrato. Horum diffe-ntiam Q. - 46 producunt i N. I N. - 16. nota iterum cesse dupluma lateris quadrati qui est communis utrique termino horum producentium summa est 2N- Is quadratus dimidiae summa is I6. N. aequatur . in s . 3 N. &fici pro valore ergo duo termini iuxta hunc valorem resoluti sunt I 46oo.
Praeceptum generale ad solutiones infinitas i
Cape valorem radicis per methodum vulgarem, hunc connecteri N. cum sit ssigno, siue sit illud plus, siue minus Eet noua radix secundum quam resolui debent duo termini in data aequatione duplicata aequati quadraro&fient noui termini quadrato aequandi in his inueniatur valor radicis per methodum vulgarem, irae Cipu'per tertium casum quem postremo dedi, inuem adnotasse dixi operae pretium fore, ita extabit nouus valor pro posterioribus terminis I hunc connecte primo vM
23쪽
lori, prout indicat eius signum plus vel minus, fiet nouus valor pro prioribus terminis qui dati sunt quadrato aequandi. Sit in exemplum uterque terminus sequens aequandus quadrato 4 N. -- I L
- ab . i. praeter a. qu est obuius valor, inuenietur etiam valor per methodum vulgarem. Lubet uti utroque valore ad nouas solutiones, ac primo iuxta praeceptum pro noua radice capio im ergo N. - qui sui primus terminus aequatus
quadtat erre N nam sit, datim, in habebis N. dare g. cui adde unitatem in eodem primo termino existentem fietque simili ratione sumendo rursus 1 N. - . proam. iuxta illam resoluendo I Q 4 i qui est secundus teria minus datae aequalitatis, fiet nouus terminus aequandus quadratori in amo s. ab hoc tolle priorem N. - ρ.& absolue hanc duplicem aequalitatem modo communi fietque valor pro posterioribus ter inanis cui adde a quia sumpta fuit noua radix N-404 habebis valorem nouum radicis pro data aequalitate V. Rursus placet per alium valorem inuenire nouum valorem et pono pro noua radicei N- iuxta quam resoluti dati termini - 4 4 amo I dant nouos terminos &4Q- - igitur quoniam unitatum numerus utrobique quadratus est, poterit haec aequalitas duplicata resolui, soluatur ut dictum est num in tertio casu
Minuenietur pro posterioribus terminis valor id cui adde quia sumpta est noua ta-di i --: extabitque valor alius pro data aequalitate Eu.
Habes ergo secundos valores derivativos ex primis, atque ex tuis secundis potestertios eruere eodem prorsus artificio, ut si libeat per radicem V elicere tertiam, connectes illam cum IN ut sit noua radii N iuxta quam reseluti dati termini N--I. 4 ab I eo modo quo resolui debere iam diximus, dabunt nouos te
minos N-36&t -- in quibus unitatum numerus est quadratus ergo valor radicis pro nouis illis terminis erit ἱ PUζ'. cui si addas: juxta positionem praecedentem habebis pro valore in datis terminis V:: T. iuxta illum resoluti dati termini exhibebunt quadratos. Hinc vides posse inueniri valores infinitosa etenim ex orimis orientur secundi & ex secundis tertii, sic in infinitum,in exemplo dato iam halles quinque valores, ex postremis iterum possunt erui noui ergo quaelibet data aequalitas duplicata habet solutationes infinitas, quod erat demonstrandum.
Non despondendus animus si occurrant pro solutione numeri ficti, minores nihilo.
io Vsuuenit interdum ut in problematum enodatione reperiantur numeri ficti, unde fit ut inexperti statim cadant animis, ut pote qui in casum ut ipsi existimant impossibi lem inciderint, verum audacter amrmamus cum nostro Fermatio etiam inde elici posse
ii Sit verbi gratia aequalitas duplicata data I-2N 4 η -- a Q&inuentus sit per methodum vulgarem valor radicis hiuxta quam resoluti duo termini dant veros quadratos, Ἀρ illa radix est numerus fictus, lateor, haec tamen sc inseruiet ad veros numeros inueniendos, pone pro noua radicerN- juxta illam reselu duos ter minos priores,fientque noui terminis 2 N. et Q - 2O N. - quia a N aequiualebunt ama quae si subtrahas ab unitate ut postulat signum desectus habebis, N. pro priori termino nouo non aliter ὐ dabunt et Q 4a a N.&. dabunt re is quos si tollas ab a Q--3a res iunctis cum unitate ut primitivus numerus indicat fieta Q-ao N. 40. quare cum in istis terminis unitatum numerus sit quadratus, inue nietur vador per methodum Diophantaram, ex hoc valore inuento tolle quia radix
24쪽
estrΝ - fietque valor pro aequalitate data I. igitur per numerum fictum inuenistus est verus nil merus qui satisfacit quaestioni ut ipse per examen probare poteris.
Rursus si detur ista duplicata aequalita 8 Q. - - i5Nα facile riinuenientur radices sed quia numeri illi ficti sunt, cape pio noua radicerm is iuxta quam resoluti duo priores termini dant nouos terminos quadrato
quandos in . 16. 44 Q N igitur per methodum vacheri pro istis
nouiSterminis inuenietur valor radicis . q. unde si tollas a quia noua radix uicim et extabit noua radix pro data aequalitate duplicata, Nergo ex nurriero ficto inue tus est verus satisfaciens duplicatae aequalitati. Idem fieri potest de alio nunt et ficto, imo δε ex illis inueniri possunt ali sine numero. Tertium exemplum sit in istis terminis quadrato aequandis I aQων- ε 3 - 2 Q per methodum communem reperitur valor igitur redintegranda est operatio, ionendum pro noua radicer secundum illam resoluendi priores termini, ut iam dictum est, fientque termini noui 24-23 I m &a -- - loN. ergo quoniam unitatum numerus utrobique quadratus est inuenietur ex methodo Diophantae vaIor radicis pro posterioribus terminis , hinc tolle . iuxta notiam radicemin relinquetur pro aequalitate data valor verus ti realis netera, non ergo ca dendum animo si occurrant aliquando numeri ficti quia reduci possunt ad veros ut dein monstratum est in exemplis prioribus.
In hoc genere solue di duplicatas aequalitates, debet
differentia terminorum aequandorum constare
Saepius contingit in solutione aequalitatum, ut differentia terminorum constet ra. dicibus solis, ut si oporteat aequare quadrato I - 4 - IN I Q FI-3N tollendo secundum a primo differentia est a N aliquando etiam differentia terminorum constat radicibus .unitatibus, ut si termini sequentes aequentur quadrato Q UI3 - a N. 9ς - - N. supponendo enim primum maiorem vel minorem quod plerumque liberum est herit dit ferentiar vel, - 27 . verum in Fermatiana methodo hoc curandum ut differentia terminorum constet radicibus inuadratis alioquin vel in impossibile caderes, vel labor tuus nullam nouam produceret solutionem, vi autem differentia constetqii adratisin radicibus debent unitates quadratae diuersae reduci ad eumdem quadrat in ut supra docuimus num. q.
Sit exempli gratia aequalitas duplicata sequens I Nisa&I -- LN svalor radicis per methodum communem est et,ergo iuxta methodum Fermatianam sumi debet pro noua radice i a. iuxta illam oportet resoluere priores terminos, fientque noui terminiiqirandi quadrato Q 3 N. - . IMI N HI si horum caperes differentiam haberes L - 3 veli a N. prout primus terminus supponeretii maior aut minor,cape quo suis numeros qui has differentias producant, nihil proficies, nec Via quam adoptatum peruenies sine iri, nisi reducas illos terminos ad eumdem quadra. tum quod fit diuidendo maiorem quadratum per minorem per quotientem multiplicando terminum illum qui minorem quadratum continet, in eo igitur exemplo diuideq. pzrr. quotiens . multiplicet terminum I QDIN -- i. ita enim habebuntur duo ternam noui ad nostram methodum apti Q N Q - , -- . Rursus sint duo term mi aequandi quadrato i in is β N.&3 2 6 8 N. 5Per in 'triodum vulgarem valor citii. ergo pro noua radice sumi debeti N. - 16 iuxta quam si resoluantur priores termini fient termini noui quadrato aequandi i χ- N.
25쪽
. 436. N HImo caue capias horum differentiam a in rao m. 13 4 impossibile enim foret hoc pacto ad solutionem peruenire,quid igitur faeiesa Illud quod hactenus factitatum est saepiusis diuides i6oo per 36 per quotientem multiplicabis 1 in a m -- 236 produetiis inde natus iso N. - δε εο cum
3 - 14 N- Ιεoo. repraesentabit duos terminos aequando quadrato eorumque terminorum differentia constabit quadratis & radicibus ergo ad nouam solutionem peruenire fas erit.
Hoc genus operandi non tantum valet ad solutiones duplicatarum aequalitatum, sed etiam ad alias quascunque.
Ferax est admodum aser iste quem colere cepimus, etenim methodus Fermatiana, non tantum valet ad soluendas aequalitates duplicatas in infinitum, sed etiam ad alias sit verbi gratia inueniendus numerus cuius duodecuplum sublatum ab octu-plo eius quadrato iuncto cum 8 faciat cubum ponatur numerus ille Im ergo 7 8-Iab aequatur cubo,finge latus 2-IN. eubus erit 8 4aN- 6 Q. a C aequandusa in I ii N. fit pro valore radicis quae radix licet ficta satisfacit propostae quaestioni Verum ut inde habeatur numerus verus, pone pro noua radice im a&iuxta eam resolue praedictum numerum ia Ν fietque nouus terminus 8πι--N- - . aequandus cubo, finge latus huius cubi 'δε- est latus cubiis . in nouo termino existentis P vero est quotiens qui fit diuidendo. N. in nouo termino existentem per triplum quadratum lateris cubici . nempe eius cubus 6 N. - ηρ fi aequatus nouo terminossi in A. - 6 dat pro radice a unde si tollas a. ob nouam radicem positam IN-a restabit valor pro priori positione illi talis est numerus quaesitus,eius enim duodecuplum si tollas ab octuplo eius quadrato iuncto cum 8. dat cubum a latere 1 Rursus, si quaeras triangulum rectangulum, cuius area iuncta hypotenusae iaciae quadratum, formabis illud ab IN- 44 .latera sunt et in , N. I a N. in a. N. junge aream 1 s Q IN. hypotenusae a Q' - a N&fit r-3N- Q - 2Caequandus quadrato finge latust habebis V pro valore, pone igitur nouam radicem in N. - 4 4 juxta illam resolue sngulas particulas numeri superioris Uummam inde ortam aequa quadrato fietque numerus II pro valore radicis ad primas positioneS., Simili ratione si sit inueniendum triangulum rectangulum, cuius area juncta nestateri circa rectum faciat quadratum, sermabis illud, mox dictum est in numero praecedentiri area ac UiQ- N. jungetur lateri r N. fiet valor I cape igitur pro noua radice I N. d&iuxta illam resolue singulas particulas numeri quadrato aequati&fiet noua summa a C - - aequanda quadrato finge latus Δ- ζ&fiet valor pro numeris primo positis dia ac proinde triangulum quaesitum erit
Noua methodus ad solutionem duplicatarum
26쪽
aequare quadrato utrumque numerum propositum methodus Ammunis est reuocare numeros quadratorum diuersos ad eundem ut dictum est num 4 verum hoc non ethnecesse, sed potest sum immediate differentia numerorum quae est I Q Io . tum
inueniendi sunt tales producentes, ut summa radicum faciat io Nileu duplum radicisas )tales sunt: N. o ad. a horum enim producentium summae emissis quadratum aequatum priori termino as Q, quem sepposuimus maiorem dabit valo-
Rursum si darentur duo sequentes remini τη-- rar dc in . Iam a N. aequandi quadratis , cum numerus unitatum utrobique sit idem quadratus ex methodo vulgari capienda esset differentia tum sumendi forent producentes τὸ in φ a Winde inueniendus valor radicis. Fermatius sumit producentes I ac re re ergo summa producentium huius summae semissis quadratus aequatus v -m ias dat valorem radicis r. Iterum si soluenda aequalitas duplicata ερ ρ- 37 6 N. . Isq. de I lom. - I69. tapliciter ista aequalitas solui potest: prrino accipiendo differentiam terminorum illorum quae est 168 Q de eligendo duos producentes in quorum uno sitas, duplum videlicet latet is quadrati ερ atque haec et methodus communis secundo solui potest reuocando diuersos quadratorum numeros ad eundem, quod fieret ducendo singulas particulas numeri posterioris in i 69. ut explicatum est num A. tertio soluetur eadem aequalitas eligendo producentes iam ori ita enim summa radicum erit a N. duplum lateris quadrati sqq. atque haec est methodus Fermatiana quae dat pro valore radicis Dicet aliquis istaminethodum esse quidem ingeniosam, sed inutilem, ut pote quae 3 prodeat tantum ex numeris arte conquisitis, tali ratione dispositis, de illi producant differentiam terminorum quadrato aequandorum, de in summa reperiatur duplum lateris majoris quadrati. At quis itis hoc opponit ignorat e ratione solui pulcherrimum Se dissicillimu problema quod alias torsit omnes Algebristas, quod in lut una mansisset, ni Ferinatius hac methodo sultus soluisset nodum Gordianum. Denique qui inutilitatem huius methodi accusat videat solutionem multorum problematum infra, num q . 7. 8. o. Q Jomodo autem inueniamur isti producentes iacile est judicare nam sumendum duplum lateris quadrati majoris cillud diuidendum in duas partes quae producant dii ferentiam quadratorum, ut in primo exemplo sumitur Io. diuidendus in duos qui faciant i s. inuenientur producentes 8O a. ita de caeteris.
Post inuentos per analysin primitivos numeros
iterata operatio exhibet solutionem.
Contingit non raro, vi in enodatione alicuius problematis incidatur in numeros qfietos . iam supra ostensum est quomodo huic malo medeatur ars analytica Fermatij, sed accipe insuper radicem lingularem ex qua fructus innumeri prodibunt: radix illa est iterata operatio, sed ne incassum redintegre operationem analysis exhibebit
numeros primitivos in secunda operatione ponendos. Quaeratur verbi gratia triangulum rectangulum cuius tam hypotenuia quam summa slaterum circa rectum sit numerus quadratus, formetur triangulum ab obuiis Numeris x - r&i N. ergo tria latera crunt et Q -4-aΝ.I-a amis a Ligitur hypotenuia a Q. - - a N.&summa laterum circa rectuma -- L . N. aequantiar. quadrato& fit per methodum comunem valor radicis unde duo numeria quibus
formatum est triangulum erunt- Se seu in integris accipiendo selos numeratorcs-s iatriangulum autem inde sormatum est Ιερ Ity Iro vade insero ad solu-
27쪽
tionem problematis inveniendum esse aliquod triangulum rectangulum cuius hypo-
tenuia sit quadratus differentia laterum circa rectum sit quadratus atque haec conclusio elicitur vi analyseos praecedentis,istud autem triangulum est 69. ii Iao quod formatur vel ab D.vel a- Ἀμ- Ia. quare itero operationem sermo trianguintum quaesitum ahi - . ta.&peruenio tandem ad aequalitatem duplicatam quae
non dabit amplius numeros fictos , sed vero beneficio trianguli illius primitivi vidistinctius videbitur insta num. Q. Rursus si proponatur quaerendum triangulum rectangulum quo productus sub
hypotenus in summam unius laterum circa rectum&dimidij alterius multatus area, iaciat quadratum sermabitur triangulum ab obuiis Numeris i cim Φ i. ergo latera erunt I -aN- .. - IN. a a duo itaque i in a -- in 1 in ami&productus QR LQ-yQ.-8N. - a. multatus area C. - . 3ς-- a dat re
-- I. eius quadratum est. προ- N a aequandum numero superiori&fit valor proindeque si hic sisteremus secundum latus quod sui I Q am foret minus nihilo&ad solutionem postulatam ineptum,quare iteranda est operatio do mandum triangulum ab IN Hiin a. ita enim latera erunt N-- . Q - αN-3 productus ex hypotenus in summam unius laterum circa rectum dimidii alterius mulctatus area eriti in rom. HI aequandus quadrato, finge latus I-1oN- Q fit pro valore verus numerus, ergo iuxta positiones sermandum erit triangulum a in a siue in integris accipiendo solos numeratoresa ai&414 fient latera quaesiti trianguli 983 σ97. sys. Idem omnino contingeret si ponere pro noua radice iuxta illam resoluere I inde enim orietur nouus terminus aequandus quadrato I Q Q --4C- ἴ- nfinge latus. - N. a Q& fit valor hinc tolle ob nouam radicem&fit: pro primis
positionibus, quare juxta positiones sermabitur triangulum in integris ab 19.
Iterum quaeratur triangulum rectangulum ita ut hypotenula sit quadratus sicut de
differentia laterum ponaturi in I&I pro duobus numeris a quibus formetur triangulum, ergo latera erunt i in a. a N.IQ. - N a a tolle postremum L . . a. a medio Lin ambigitur differentia Is ain hypotenus, N.aequantur quadrato It per duplicatam aequalitatem l pro valore radicis, ergo iuxta positiones numeri formantes triangulum erunt 4 44 seu in integris abiecto denominatore. - ra posses iterare operationem, Winuenire triangulum quaesitum , sed aduertevltro illud offerri ex sermatione sin ta fit enim triangulum rectangulum 169. II9.1ao.vbi hypotenus,& differentia laterum est quadratus numerus.
Bachetus impossibilitatem agnoscit ubi Fermatius
, Fatendum est ingenue: plurimas quaestiones per methodos ordinarias solui infinities ut cum uterque numerus quadrato aequandus constat radicibus diuersis eodem quadrato,facile enim est eo in casu reperire quotlibet solutiones, propterea Bachetus ad quaestion. 1 lib. 6. cum in secundo modo soluendi duplicatas aequalitates dixime evnicam solutionem afferri, in quarto modo solutiones adhibet infinitas. Verum aliae sunt aequalitates duplicatae delicatiores in quibus per methodos communes unica sci-lutio, vel ad summum duplex inuenitur, unde ille idem illustris Diophanti commentator loco citato ait unicam solutionem anteni posse, dum numerorum ex tribus spe compositorum differentia constat unica specie, vel enim in uno numeroriaris quadrato
28쪽
quadrato aequandorum sunt tres speetes ex una partevi duae tantum ex alia, estque
unicus utrinque quadratus , vel dii insunt tantum duae species interminis aequandis, unus constat quadratis initatibus, alter autem unitatibus & radicibus, addit autem contingere duas solutiones cum tam quadratorum quam unitatum numerus est quadratus,ego vero, pace tanti viri dixerim, aio ex methodo Fermatiana etiam in
his omnibus casibus contingere solutiones infinitas ut exemplis sequentibus pla
Primum exemplum sit in duplicata aequalitate x - - , -- . 4 in s N I. g
differentia eorum temninorum constat unica specie estque 8 sit valor 3. frustra Bachetiis per suam methodum alium quaereret, sed ponatur pro noua radice N s. ergo noui termini erunt Lin N. 4 Q - - i N. igitur quoniam numerus unitatum quadratus est utrobique poteri solui ista aequatio nec te terreant numeri
ficti qui occurrent iam enim supra dedimus modum ex illis eliciendi veros. Secundum erit in Q L - ω Q- is . ubi sunt tantum duae species ex una parte, & quam Bachetus soluit inueniendo unicum valorem 3. pone pro noua radice 'i - . ergo iuxta illam resoluti priores termini dabunt nouos aequando quadrato I -- ρ N. N ac proinde cum habeatur numerus nitatum quadra tus inueniri potest valor radicis eritque εἰ Tertium exemplum sit in duobus terminis rQ- Sci-- et Noe quandus quadra- ito, duos inuenies valores ad solutionem istius aequalitatis, nempe 3 Q. inde in quentes infinitos, ponendo pro noua radicerm -- 3 vel 1 -- I verum hoc dicasse satis esto.
Deinde achetus ait reperiri duas solutiones in iis duplicatis aequalitatibus aquarum termini habent tam numerum quadratum quam unitatum quadratum ut fidentur aequandi quadrato I Q - Iam, i nam per methodos vulgares reperienturvatores vel 'at si quis petat alios, haeret Bachetus, noster tamen Fermatius inde se alacriter expeditin subministat infinitos Adde quod ne in hoc quidem
eas semper dabit duos valores Bachetus ut si dentur duo termini aequandi quadrator in 3N I&I Q - N-- unicum enim eius methodus valorem exhibet, imo continget saepe ut ne unum quidem sit exhibiturus ut si dentur aequandi quadratori in Ἀμ-φ. ωI Q Ἀμ- hoc autem continget quia valor exhibetur cum defectu jam autem supra diximus per methodum Fermatianam innumeros valores exhiberi etiam dii numeri ficti occurrunt. . Praeterea cum Diophantus I. . q. q. eo deuenisset WρχQ- α -- εν-42Ν. 33 - 1 aequandus foret quadrato , Bachetus ait quatuor tantum modis id fieri posse, sublatis enim quadrato quadratis initatibus vel tollet radices, ut maneat aequatio inter cubos& quadratos vel tollit cubos ut maneat aequatio inter radices&quadrata, unde inuenit tantum duos valores vi Fermatius vero reperit infinito , primo enim expungit etiam quadrata, ut remaneat aequalitas inter cubo Qquadratoquadrata vel inter radices 4nitates. Secundo asterit achetus si fingatur latus istius quadratia in is N a fore ut incidatur in incommodiim a Q Carquentur nihilo, Verum hoc incommodum non pertimescit Ferinatius Tettio ex quolibet valore inuento, alios reperit in infinitum tiam explicatum est.
Deinde Bachetus lib. q. q. 28 ait esse impossibile aequari cubo 8C-8N IR- i affert rationem quia non potest fingi cubus iste nisi a lateream 1 vel tollantur cubi unitates verum,pace tanti viri dixerim, falsium hoc est, primo enim potest fingi latus istius cubi P t ex fit valor: deinde fingendo latus a N Q fiet radix resoluendo numerum superiorem iuxta hanc nouam radicem. Haec fusius explicabun- insta in tertia parte.4
29쪽
3 Non satis caute negauit Vieta numerum compositum ex duobus cubis posse diuidi in alios duos cubos Ferinatius enim docet id posse fieri ex iis quae habet Bachetus ad i. q. Qia Diophantis quod tamen ipse Bachetus non aduertit sit igitur, compositus ex cuobus cubis i I diuidendus in alios duos cubos,quaerantur primum duo cubiquorum differentia sit, . beneficio huius canonis: virumque datorum cuborum a 8 ducitote in latus alterius, productos diuide per interuallum cuborum minori quotienti adde maius latus, a maiore autem quotiente aufer minus latus, summa residuum exhibebunt quaesitorum latera cuborum:proinde latera illa sunt cubi vero xl Secundo datis duobus cubis inueniuntur alij duo quorum differentia aequet differentiam datorum, hoc autem commode fiet per canonem sequentem,produetum ex utroque cubo ter in latus alterius diuide per summam cuborum,a majore quotiente aufer minus latus a minore quotiente aufer minus latus, relinquentur latera quaesit rum cuborum. At duorum cuborum mox inuentorum differentia est, ergo latera nouorum cuborum quorum differentia est, erunt 1884 9 463am supposito utrique denominatore comuni ny I cubi autem erunt ε69339o8 2626239 487o7io38o8ooo modo tamen utrique supponatur communis denominator 38s a 6376 6si horum igitur cuborum differentia est, sicut&priorum. Tertio extat alius canon quo inueniuntur duo cubi quorum summa aequalis est differentiae duorum cuborum datorum, est eiusmodi utrumque datorum cuborum duc ter in latus alterius, productos diuide per summam datorum cuborum , a maiore quotiente aufer minus latus, minorem quotientemauser a majore latere,relinquentur cuborum quaesitorum latera. Ergo cum duorum cuborum posteriorum differentia sit, si per hunc canonem inueniantur duo cubi quorum summa lit aequalis illi differentiae habebuntur latera quar
Vieta soluit acutissime problema Adriani Romani quod fuerat propositum omnibus totius orbis mathematicis in uno casu, dum videlicet numerus cum quo debet fieri aequatio minor est binario, idque perfectiones angulares, ubi ingeniisti vim mirifice ostendit&maximam inde existimationem ubique terrarum sibi comparauit. Verum Fermatius noster, etiam dum numerus binario maior est, quo in casu nullum est ab sectionibus angularibus praesidiumsoluit quaestionemssit enim que . , -3793 0 - 9363 ) c. nihil omnino immutando in terminis Adriani numerus aequalis cuiuis numerodat, eo enim recidit problema Adriani ut Vieta ipse vel agnouit vel emendavit' sit autem datus numerus si qui est binario maior, asserit Ferinatius valorem radicis primigeniae facillime designari per radices uniuersales eritque in eo casu se potestatis 3 3 -- χ- ibin Io. - ' Σὰ potestatis 3 3 - , Bibin Io in se a Rursus si detur numerus asserit Fermatius valorem radicis sore hi potestatis 3 in. -- θ - ut potestatis s. residui a P 3. sic infinitum valores nouos dabit etiam supra binarium, cum Vieta ne unum quidem etiam sectionum angularium ope suffultus exhibere possit. 1 Vieta L 3. Eetet. q. infeliciter seluit quaestionem tertiam libri sexti Diophantis cum
enim iste proponat inuenire triangulum rectangulum cuius area assumens datum uia merum faciat quadratum, coarctauit Vieta quaestionem ad datum numerum ex duobus quadratis compositum, at Ferinatius innumeris modis soluit problema de dato quocumque numerosi enim dentura numeri sequentes exhibet triangulum quaesit
30쪽
Diophantum in plurimis Fermatius superat.
Diophantus l. s. q. 8. tradit artem inueniendi tria triangula rectangula quae sint a
aequalia quoad aream , qui vero plura ab ipso expetet numquam obtinebit, praeterea numquam tradidit Diophantus methodum inueniendi triangulum dato triangulo aequale quoad aream Fermatius utrumque mox atque eadem operatione praeliabit, si verbi gratia inueniendum triangulum rectangulum cuius area sit 5 qualis es area
trianguli rectanguli 3. 4. s. esto unum latus cuiuspiam trianguli rectaragulis, aliud
latus sit im horum quadrata limul sumpta exhibent avis ML- MN pro qua in drato hypotenulae quare iste numerus aequatur quadrato, deinde area istius trianguli N--6 debet elia extupla alicuius quadrati quia postulatur aream esse ε, ergo eius areae sextans quadratus est ac proinde ille ductus in is efficiet quadratum efficti autem 9 - 36 igitur hic numerus aequandus est quadrato. En igitur duos terminos du-Plicatae aequalitatis 35. 43 -- LQ N. in his autem unitatum numerus quadratus est , ergo valor radicis facile reperietur eritque ac proinde N -- erit
. TA. aliud autem latus circa rectum est 3 igitur horum quadrata simul sumpta faciunt quadratum cuius latus erit hypotenus ergo habes triangulum rectangulumnari stria:. 3 cuius area est sextupla cuiuspiam quadrati nempe et huius vero quadrati latus est. V. per quod si diuidas singula latera trianguli mox reperti, habebis triangulum quaesitum ' rata . . 'Ie cuius area est . aduerte nos inuenisse hoc triangulu per illud quod datum fuit 3. q. s. acie minuentum inueniri posse tertium, per tertium inuenietur quartum Ic in infinitum. Ecce tibi quatuor triangula rectangula quorum area est: o primum 38 4o. qa secundum q. q. O tertium II3. II.
Diophantiis l. 6. q. s. incidit in illam duplicatam aequalitatem ris I Q&L--I 39N potest illare selui duobus modis, supponendo primum ex illis maiorem vel minorem altero, proiit libuerit: sunt duae radices in I: . sciscitare ab illo tertiam, non dabit. Fermatius potest dare infinitas, pro exemplo sumatur noua radix Ν - dc juxta illum resoluantur I -- LQων- .i . N. fientque noui terminia Q -- Α -- i ergo cum unitatum numeri sint quadrati in utroque termino , resolui potest per methodum eritque radix pro duobus terminis posterioribiis VI IIaia cui ne- te in fiet valor radicis pro data aequalitate in I. III. . Diophantias l. 6. post quaest lue. omisit tertium casum quo quaeri potest trian Aogulum rectangulum, tam hypotenti a quam alterum laterum circa rectiam, detracta area faciat quadratum: omisit inquam illud problema rarae subtilitatis non alia de causa nisi quia incidit in nil meros fictos quorum enodationem ignorauit. Fermatius illud acutissime soluit a primo enim per analysin deprehendit inueniendum esse triangulum rectangulum in quo productus sub hypotentis in summam, ni iis laterum circa rectum&dimidi alterius inultatus area sit quadratus, deinde triangulum istiusnodi inuenieeiusque ratiocinium Se praxim dedimus supra num.a6.ubi diximus triangulum 983.ερ ερε satisfacere huic lemmati Tertio latera huius trianguli nectit characteri radicum
ut sit triangulum quaesitum 98 N. 6ρ N. 696 N. cuius area et 233 6 . o1latur ab hypotenuia 'LNω69 N. ita duo ressidua 8s rs3694 697 N Ἀρ233 6 erunt aequandariti adrato,aequetur illud postremum qii adrato ab ερ N. orto sitque 4838ορ aequale, et 33 69. fetialor radicis t. t ideoque triangulum ab initio quaeas tum erit'. . H. a. En quo Diophantus nusquam attingere potuit, multa alia dabimus eiusmodi in sequentibus quae Diophantus omisit, ut pote sibi ignota.