장음표시 사용
51쪽
sed quia sellii potest per numerum ex quinque speciebus compositum lubet etiam illud aggredi Forna triangulum ex μ' 3 4 Per ea quae dicta sunt loco citat, igitur latera sunt I Q -- , -- 69. I Q iI ao N. a. ' leto hypotenuia ergo Im - 1,N. - Ιερ. summa laterum 'Vet Iι aequantur quadrato fingelatus 1 -- - I Q fici valor iuxta positiones trianguli quaesiui latera Ioσ163aa933zo 4 6 48 oz77οι. 46872986Ioa89. eadem cum superioribus.
Inuenire triangulum rectangulum ita ut summa hypotenuis, alterius lateris circa rectum relinquens aream faciat datum numerum.
1 Esto datus .ac primum inueniatur triangulum rectangulum ita ut quadratus semissis summae ex hypotenus, uno latere relinquens quadruplum areae faciat quadratum Formetur triangulum istud rectangulum ab LN Fi&IN. ergo latera erunt Q - - N. - N. 2 Q - am summa hypotentiis, lateris sequentis est a Q -- N. huius semissis I Q N. cuius quadratum 1 QR- N t. relinquens quadruplam aream 8C N. facit I Q - G sin I aequandum quadrato Finge latus I Q - I a Nwfit quadratus i Q - C - ε- qui aequatus PQR C in I dat valorem I ergo iuxta potiones, numeri duo a quibus formabitur triangulum, erunt lin sumendo solos numeratores et inde formabis triangulum . s. 8 his necte characterem radicum ut fiant
latera trianguli quaesiti 7 N. Is N. MN ergo a N- ω equatur 44 fiet 1 N, trianguli quaesiti latera tria I ph de satisfaciunt quaestioni. Hanc quaestionem omisit Diophantus in io i libri s.
Inuenire triangulum rectangulum cuius unum latus circa rectum sit numerus quadratus qui iunctus dato multiplici alterius lateris circa rectum facit quadratum.
, Iubeatur numerum quadratum triplo alterius lateris iunetiam sacere quadratum e formetur triansulum ab I Nin I latera erunt a in I Q - N. I N a, a N. triplum postremi istius lateris est 6 cui si addas medium latus see summa et Q K8 aequanda quadrato , sicut etiam medium latus quadrato aequandum est duc summam illam 1 -- 8 N. - 6 in mUdium larus t in ab inee productus is Q --io C - - 2Q-ra N. aequandus quadrato, finge latus Is M. N tergo eius quadratum L R- ro da frue -- cilli aequatum dabae iecivatore radicis, iuxta positiones fiet triangulum quaesitum in integris 3 i'. 23 3Ia P citatuit inueniri solutio per duplam aequalitatem inter i in ab M o i si N.
52쪽
Inuenire triangulum rectangulum cuius unum latus circa rectum sit numerus quadratus qui multatus dato multiplici alterius circa re etiam relinquat quadratum.
Iam dedimus solutionem istius problema. I p. n. 47. sed per aliam metho 33 dum. Ergo ubeatur numerum quadratum multatum triplo alterius relinquere quadratum isapiatur pro triangulo primitivo, illud quod mox inuentum est in quaestione praecedenri nempe r3. 3. ii quod formatur ab I 3. Ia sormeturque triangulum quaesitum ab im a Wia erunt latera a m. 3 3. Is is N as. 4m Gia ergo huius postremi triplum subtractum ex medici relinquit - ρε - 98 N aequandum quadrato , sed medium latus rQ as N. .as est aequandum quadrato Igitur horum duorum productus Ia 333. 7 3ς - 2 oas aequandus erit quadrato, finge latus i. I: F- is3 huius quadratum priori numero est aequandum ritualori ini ergo i 43 Ia relicto denominatore erunt 233 ayar ω38ro ex his formatum trianguluiti erit
Inuenire triangulum rectangulum cuius hypotenus a sit numerus quadratus, datus multiplex unius lateris circa rectum detractus alteri lateri
faciat etiam quadratum. Multiplex sit duplus.
Pone Dina Ninci pro numeris unde sormatur triangulum: Ita enim latera erunt aras εἷς -- N. I in a N.ergo i Q - 2N.erit quadratum&residuum dupli lateris postremi ex medio subtracti nempe i in N erit iterum quadratum fit ex ista duplicata aequalitate valor A ergo i . in i erunt λ acceptis numeratoribus solis habebis a. unde formatur triangulum primitiuum est 19. Iao. quare iteranda erit operatio ponendi numeri ex quibus formatur triangulum i N I&II. ergo latera erunt in Iby - ION. Iunio N D'. a N- Iro e proin
de si duplum postremi lateris 48M 4 o tollatur a me dies, erit residuum i - Iar 38 Naequandum quadrato , sicut& hypotenus I Q - 69 - Iom horum duorum productus inst 68 8 o Q rioiam Φ Ο est aequandus quadrato, finge latus 1 3 --- Luserit valor 'TὲSin Verum lubet etiam alia via rem aggredi, reducantur illi duo terinini ad eundem unitatum quadratum fient Og, - Ἀον- ωi in is Q io aequandi quadratis. Differentia illorum est duo producentes eligantur rit, Ni per ea quae dicta sunt in prima parte num. i. sequentibus &fiet valor iuxta positiones, triangulum quaesitum erit in inte
53쪽
Inuenire duos numeros quorum summa ducta in summam quadratorum ab ipsis ortorum,
Sint duo numeri quaesti LN 4- 1 N. ergo summa et ducta in summam quadratorum a Q - - N facitqQ N. aequandum cubo Finge latus cubi a - reius cubus aequatus Q - 8 8 dabit et qua repono rursus pro noua radice N iuxta quam resoluo singulas particulas numeri superioris Q - 4 IN fit nouus terminus a -- aequandus cubo Finge latus cubi, ergo eius cubus ras griri aequandus est' Ω- - 23 - 4 N. valor extat Vm undes tollas ob ouam radicem 1 N et habebis valorem pro primis positionibus hunc tolle ad iuxta positiones fet secundus numerus quaesitus Ilis Aduerte primo solos numeratores soluere quaestionem nempe 6793. &43799. Aduerte secundo hinc solui problema sequens. Diuidere numerum a in duos taliter ut summa quadratorum duplicata sit cubus. Aduerte tertio indidem solui aliam quaestionem, nempe inuenire duos numeros, ut summa quadratorum per quemcumque numerum multiplicata fiat cubus, ut si cuperes lammam quadratorum quintuplicatam facere cubum poneres rN. N procederes ut supra: Aduerte denique hine solui pulcherrimum problema nempe Inuenire duos numeros quorum differentiae sit aequalis differentia quadrato quadratorum nam si capias duos numeros supra inuentos 26 93 43 ρ9. iis supponas pro denominatore communi latus cubi iacti ex summa eorum in summam
quadratorum quod quidem latus est 3 s o fient duo numeri quaesiti, EAE
Inuenire duo triangula rectangula quae habeant ean dem differentiam minorum laterum, talia vi
in uno eorum maius latus Circa rectum aequetur hypotenusae alterius.
Formetur primum triangulum ab IN latera sunt, q-- La Q r. N. ergo i
eundi trianguli maius latus circa rectum erit: inseri inde si tollas differentiam duo rum minorum laterum primi, quae est i Q - - N. fiet minus latus circa rectum secundi a N -- a, restat igitur, duo quadrata quae nascuntur ab is -- 3 4 afri nil iuncta faciant quadratum. Horum ergo summai in his 4 - .aequari
da est quaεrato Finge latus Lae 3 igitur quadratum illius lateris L in ε - - aequatura IN ' sochi N. aequalisl iuxta positiones numeri a quibus formatur triangulum, in integris, abiecto videlicet denominatore, sunt i 4. at primus numerus minor est secundo Proinde in se atione trianguli occurrerent numeri ficti, quod est absurdum,quare ut huic incommodo remedium adseramus te dintegranda est operatio formandum triangulum ab IN ' I 4, igitur latera erunt x - N. I in aN 3. N pro primo triangulo δε pro secundo Iatere minore erunt in aN-3& N HIa. horum duorum quadrata simul juncta faciunt summam 'Go in ii μ' 69. arctuandam quadrato, huius quadrati latus fingi potest multipliciter, finge illud Io - - Lineius quadratum priori summae aequatum dat pro valore radicis ergo numeri a quibus formatum est triangulum, juxta positiones, in integris abjecto denominatore erunt, y 9 S:
54쪽
'ca utere iis numetis perinde ac si nullus uset fictus&sorma triangulum ab roya y79, fientque duo triangula quaesita isoyos ar38i36. 3 oa3. 4I6SQII. I O9O .a 679a. satisfaciunt quaestioni.
Inuenire duo triangula rectangula in quorum viroque summa laterum circa rectum sit aequalis c
talia ut hypotenus unius sit aequalis maiori late.
Formetur primum triangulum ab imo i a latera erunt in , -- LN rae a 39N 2 - a. ergo hypotenuia i in a N erit maius latus secundi trianguli quo sublato ex semina laterum circa rectum primi restabit a Niro altero latere ciuo rectum secundi. Igitur horum duorum latetum quadrata simul sumpta Ia --8μ- aequantur quadrato Finge latus, N eius quadratum rmo 4C--iasor 6N- I aequetur prior fietque valor radicis- .&cape ergo pro noua radices1N- iuxta illam resolue singulas particulas numeri pradicti i Q ILQ- ν - fietque nouus terminus I a C --- - aequandus quadrato,finge latus Qvi fiet valorci pro isto nouo termino, unde si tollas linet valor pro primis positionibus d igitur 1 -I 4 in integris, abjecto denominatore erunt χρ&as a quibus sermabis triangulum primum quaesitum I 3I7. 63. 3o8. inde nascetur secundunt is aue. IsI7. 36. Aliter ex disiupra inuentis potuit inuenirisblutio applicando illam radicemim, r&4. ita enim in integris fient x 4 quare ponendi sunt numeri formantes triangulum i N a 4 redintegranda operatio, ita enim latera primi trianguli erunt i in s - a N. in 3 a N. 45 - 4. latera circa rectum secundi i in s - a viri N. Ia horum quadrata simul addita C - 3 mi Ν - 16 aequantur quadrato, finge latus Ix τ - di fiet alo ergo i 'I 4 in integris erunt a &4 ut supra, unde sormabuntur
Inuenire triangulum rectangulum cuius hypote nu-sa sit numerus quadratus, datus multiplex unius lateris circa rectum additus alteri lateri faciat quadratum.
Detur multiplex duplus&formetur triangulum quaesitum ab I latera sunt oQ- I. I - 12 N. duplum posterioris lateris . addatur priori lateri circa rectum& fiet aequandus quadrato sicut&hypotenuia i Q --r horum differenistia est N fit valor radicis debet autem IN esse maior unitates; ergo iteranda est operatio formandum triangulum ab N ia latera sunt Lin I 6 -- Io N. LQ-ir - Io N. a. - Iro duplum istius postremi Iateris Ayς-- et o addisummeajo facit i in raris 3 8 N. a quandum quadratoin est etiam hypotenuia i inviis inro aequanda quadrato horum duorum productus QR 68 -- 8 o Q. Iroam, 'o aequandus quadrato. Finge latus - fit valor radicis IzII 'VIVI ergo numeri sormantes triangula in integris erunt aI o8a3 io 9296
368o 33 7 Varo unde triangulum ipsum non latebit.
55쪽
Doctrinae Analyticae inuentum nouum. Inuenire quadrato-quadratum cuius triplum additum alteri quadrato-quadrato quam unitati,
Iubetur addi alteri quadrato. quadrato quam unitati quia alioqui res esset perfacilis, nam triplum unitatis additum unitati facit Item triplum quadratoquadratum is additum unitati facit 49 pone ergo latus quadrato-quadrati quaesiti 1 N a cuius quadradrato-quadratum Q- - I. triplicatum additum i in iacit laC-i Q-ia -3 aequandum quadrato,finge latus quadrati a Q-3N. fiet valor; ergo iuxta positiones latus quadratoquadrati erit in integris 3 cuius quadrato-quadratum i triplicatum additum quadrat quadrato numeratoris II.
nempe Misaci I 88 . quadratum a latere m. similiter capiendo duplum 3 nempes eius quadrato quadratum triplicatum additum quadrato-quadratoria hoc est duplici es facit 381 4 quadratum a latere q88 rursus capiendo triplum 3 nempe eius quadrato quadratum triplicatum ovadditum quadrat quadrato 33 hoc est tripli, iacit raosso quadratum a latere Io 8. scin infinitum.
Inuenire triangulum rectangulum in quo quadratum hypo tenusae additum dato multiplici
a Detur duplum area &sormetur triangulum ab IN&I latera sunt I 'I r. ab quadratum hypotenulae est L. - a in Leui additum duplum aleae a C - N. facit et Q. - a C in a aequandum quadrato finge latus f&fiet. pro ratore radicis at non est maior i ergo non potest inde formari triangulum quin habeantur numeri ficti, quare iteranda est operatio tonendo pro noua radiceim . . iuxta quam si resoluantur singula particulae numeri mox quadrato aequati siet nouus terminus L . - quadrato aequandus finge latus' &fiet valor radicis '. ':::: huic addes ob nouam radicem, Jet valor pro primis positionibus: ἰ. . . quare duo numeri a quibus formabitur rectangulum triangulum erunt in integri 6 37 33μ3 3728o in unico casu problema est impossibile.
Inuenire triangulum rectangulum in quo area detracta ex quadrato unius lateris circa rectum faciat quadratum.
Formetur illud triangulum ab IN I latera sunt LQ- II a N. I Q - 13 - 1N.8N-8.eius area C ira 3aN-σo sub ala ex quadrato secundi lateris, quod est rQQ-- - 1 in som- aa .relinquit Lm a C 'IA in Ita N- 1ε aequanda quadram,finge latus i Q -- N is. it valor radicis θ' quare pono nouam radicem 1N-V. Qiuxta illam resoluo singulas particulas termini quadrato aequati, fitque nouus terminus aequandus quadrato In t 38 C -- Finge latus 1 in tym fit valorrit unde si tollas V ob nouam radicem in ex residuo unita tem, obpositionem restabunt duo numeri formantes triangulum in integris socii e a18o igitur triangulum quaesitum est IIIo ol. 3o8I36oi 273 6 36o.
56쪽
PROPOSITIO PRIMA.SI duobus aequalibus numeris inaequales duo adiiciantur, erit compositorum minor ratio quam adiectorum. Sint aequales numeri A B. i. quibus addantur inaequales B E maior, eum F minor. Die mi n Qxς ς j xionem A E ad C F quam ad D F. Quoniam enim ΑΒ&CD .a...; λ sunt aequales' minor erit latio ipsius AB ad maiorem BAE, qui ipsius GD ad κε ii. U minorem Di igitute eomponendo , minor est ratio Assi ad B quam CF ad D F. Quare & vicit sim minor est ratio AI ad GF quam B F ad DF. Quod demonstrandum erat. Σοῦ
Si fuerint quotlibet numeri continue proportionales, planus Ita extremis aequatur plano sub duobus quibusiibet ab extremis aequaliter distantibus, atque etiam quadrato medii, si multitudo numerorum fuerit impar.
Sint quotlibet numeri A B CD EF continue proportionales Mnu. mero pari, dico primo planum sub AT aequalem esse tum plano A a. B .C8. DIO. E 32. F6
stiba E,tum plano sub CD.Quia enin est A ad B, Eagi ex hypothesi' fiet idem numerus exprimo A in quartuma qui fit ex secundo B in tertium E. Similitet qui a est B ad C, D ad E fiet Aidem numerus ex primo B in quartum E qui fit ex seeundo C in tertium D seu idem qui fit exin in F I. . . Igilui plani sub AI subassi sub Ci sunt aequales. Quod erat propositum ama 'Deinde eonsiderentur tantum numeri ABCD multitudine impari. Die planum sub AEaequati tum plano sub B D. tum quadrato ipsius C. Nam ut prius quia est A ad B ut D ad E. ita nus sub Assi aequatur plano sub B D. sed quia est, B ad C. ita C ad μή planus sub BO aequatur quadrato ipsius C. ngitur planus sub Assi planus sub BD.4 quadratus ipsius C aequales sunt ister
se. Quod demonstrandunt erat. Na . .
Si tres, pluresve numeri inter se multiplicentur, idem semper procreabitur numerus, quomodocunque 'uouis ordine seruato fiat multiplicatio:
Quod ostendit Euclides de duobus numeris inter se multipli eatis decimasexta' id in uniuersum de tribus pluribusve hic ostendetur Tres autem pluresve numeri inter se multiplicari dicuntii eum unus ex illis ducitur in alium, tum productus in alium,is rursus productus in alium , .lta deinceps donee omnes multiplieati sint.. in Sint ergo tres numeri Aa C. ductoque A in B fiat D. quo ducto in C fiat Eri λ Rursus ordine mutato, ducatur B in C defiati, quo ducto ii fiat G. Deniti se que mutato rursus ordine ducatur in C& fiat H, quo ducto in B. fiat . x tot enim modis ordo vatiari potest. DDico tria producta Ec inter se esse aequalia. Quia enim B ductus in utrosque R C rroducit ipsos Di istic ad avt D ad F. . Igitur . et ire a productus exis in F nempe G aequatur producto ex C in D nempe ipsi E. Similite quia idem Cin ductus in ritumque ΛωB producit ipsos HS erita ad B, H ad F. I tu qui fit ex xin F nempe
57쪽
G. aequatur ei qui fit ex B in renempe ipsi X. Quamobrem constat tres EΚG aequales esse inter se. Quod erat propositum. semper eundem produci numerum quomodocumque aliter ordine mutato
iidem Is D inter se multiplicentur. Quia enim Iumendo ternos A UU. tuιn
ternos B CO duo BG utrique sumptioni communes sunt, productus exi in C esto G patet ergo 'tot is., ea demonstratis in tribus numeris ex Grinin producit,4 ex G in D, produci . Quare uti ad F. .. - sic est A ad D. Igitur qui fit ex Erini, nempe , aequatut ei qui fit ex Finis nempe ipsi K.
noua, et similiter quomodocumque sumantur tres ex iisdem quatuor numeris, duo ex illis reperientur in qualibet alia trium sumptione. Quare lieebit eodem argumento propositum concludere. Eodem inodo si sint quinque numeri, sumendo quaternos quaternos , productumque ex mutua quatuor numerorum multiplicatione, ducendo in reliquum , reperientur tres iidem numeri in duabus quibuslibet sumptionibus, unde sumendo productum ex trium communium mutuo ductu, licebit simili prorsus argumento propositum concludere. Et sc in sex numeris per ea quae in quinque demonstrata lunt probabitur intentum Min septem per ea quae in sex erunt ostensa Igitur ex omni parte constat propositum.
Si fuerint quatuor numeri in proportionalitate arithmetica, erit summa extremorum , summae mediorum aequalis. Et si summa extremorum sit aequalis summae mediorum, erunt in proportionalitate arithmetica ipsi quatuor numeri.
Arithmetiea proportionalitas dicitur cum primi secundi idem est interuallum', quod tet iij quarti ita tamen ut primus secundo,, tertius quarto conaparati, singuli singulis ves aequales
sint, vel maioresa vel minores , non perturbato ordine.
Sint ergo arithmetice proportionales Aa ad C sicut D G ad Η dico extremorume AB&H summam aequar summae mediorum vim G. etenim vel Λ B aequalis est - Ο ipsi C. vel maior vel minor illo sit primum aequalis ergo ut seruetur arithmetica medietas i erit OG aequalis, ipsim. Quamobrem si aequalibus A Bis C ad dantur aequales Hin D G. erunt duo Α ΒΛ Η simul aequales duobus vim G si mul. Quod est propositum. Deinde exeedat ΑΒ numerum C numero E B ita ut Assim sint aequales igi- 'tur OG meedit H numero F G aequali ipsi Era per definitionem, metieri ' DF ipsi H aequalis. Itaque si aequalibus ΑΕΛ C addantu aequales His D F V fient AE&H simul aequales & DF fientis E&m simul aequales ipsis Cin
F simul igitur si his summis aequalibus addantur rursus aequales EBAEI G. Erunt Α B M simul aequales ipsis in D G simul. Qiiod demonstrandum erat. Denique concipiatur inprimus DG secundus C tertius. A B quartus, ita vi H sit minor quam G numero FG. ω sit minor quamini numero Ei, sintque differentiae G. EB aequales; die rursus extremorum ΗΛ ΑΤ summam aequari summae mediorum D GAE C. Nam considerati, iisdem numeris ordine inuerso concludetur per proxime demonstrata summam duorum ΑΒ ωH. aequari summae duorum Cis D G. Quod est propositum. Iam Leon uetis sit summa extremorum fit m aequalis summae mediorum C QD G. Dieo ipsos quaruo numeros esse in arithmetiea medietate. Nam vel Assi aequalis est ipsi ovel maior vel minor illo. Sit primum aequalis. Qitia igitur Am&H simul aequantur ipsis C&m G simul, si Qtrim. queauserantur aequales A B. G. remanebunt D G. M aequales. Quare sieut ipsorum AB&Cnullum est intervallum se & ipsorum D G. M. Vnde eonstat propositum. Deinde exeedat AB ipsum innumero EB ita, ME, C sint aequales. Igitur ab aequalibus summis duorum A B M simul, duorum 4 DG simul, auferendo aequales numeros Assi de C. temanent E B4M simul aequales ipsi D G. Quare si abscindatur ex DG numerus DF aequalis H, erit reliquus FG aequalis E B.Cum itaque Α Β excedat C. eodem numero quo D G exeedit
H. erunt arihimetice proportionales ipsi quatuor numeri. Quod demonstrandum erat. Denique eoneipiatur H primus DG. secundus C tertius. AB quartus. Ita vivi sit minor qu in
D G numero FG. 4eliquus D F sit aequalis ipsi H Quia ergo ab aequalibus summis duorum H Ee B. duorum D G, G auserendo aequale H i Fremanent FG simul aequales ipsi A B, si ab A B abscindatu Assi aequalis ipsi C relinquetur EB aequalis ipsi FG. Quare cum H deficiat a
58쪽
D G eodem numero quo C defieit ab Assi sunt arithmet ieespropottionales H ad D G sicut C ad in B. Quod erat ollendendum.
Hinc apparetsi quatuor numeri fuerint in hae proportionalitate, o conuertendo
fore eos an eadem proportionalitare. Nam si primus excedat secundulti, eodem interuallo quo tertius excedit quartum Cconuertendo, qliartus deficiet a tertio, eodem numero quo secundus deficit primo Rursus si primus deficiat alecundo, eodem numero quo tertius a quarro,& conuertendo quartus excedet tertium, eodem interuallo quo secundus primum.
Si tres numeri arithmetice proportionales suerint, summa extremorum aequalis est dupta me dij. Et si semina X tremorum sita qualis duplo medii, ipsi tres numeri arithnaetice proportionales erunt. Sint tres numeri Aa C in arithmetica proportionalitate, ut A adicit B ad C. Dico s. ηx morum A C summam aequar duplo mediii. Etenim sumpto D aequali ipsi B erit ex hypothesi in arithmetiea proportionalitate ut A ad Bita ad C. quia D id is est atque B Igitur periri inam partem praeced. erit extremorum A C summa aequalis summae mediorum B D, seu duplo ipsius B. Quod erat primo propositum. Sit deinde summa ipsorum A C aequalis duplo ipsius a Dico esu in arithmetica proportionalitate ut AS itas ad C. Nam rursus sumpto D aequali a erit ex hypothesi , summa duorum AC sum viae duorum s aequalis. Quare perfecitndam partem praecedentis erit in arithmetica inedietatea ala ut ad c hoc est A ad a via ad e. Quod erat secundo demonstranda in .
Si sint quotlibet numeri in arithmetica medietate continui, summa extremorum aequalis est summae duorum quorumlibet ab extremis aequaliter distantium, atque ei iam duplo med ij, si multitudo numerorum fuerit impar.
, R. o. i. pis p sint quotlibet numeri Aa CD EF in arithmetica medietate eonti- nui , si eo summam extremorum L aequalem esse summae duo rum quorumlibet ab extremis aequaliter distin tium , hoe est summae duorum Βε,, summae duorum CD. Nam ob continuitatem arithmeticae proportionalitatis est A ad n sicut cadi. Igitiir ex- . tremorum Aa summa, summae mediorum a caequalis est. Similiter quia est in arithmetica medieta hini. tea ad C, uti ad E. erit summa extremorum a gaequalis summae mediorum C D. Quare cum eadem, quarta, summa duorum, sit iam ostensa aequalis summae duorum Ap erit utique summa duorum aequa I istam summae duorum a s quam summae duorum ci Hede aliis si plures essent numeri proposiι i. Αam is Dago prici Q 30d si numeri A s C DII G sint multitudine impari osten-' demus ut prius lummam extremorum aequalem esse summae duorum C s. Quia vero ex hypothesi est C adi vim ad s. in medietate arithmetica, Tu in . . , ma duorum C E aequalis est duplo medii D. Quamobrem ex omiai parte eonstat propositum buta, '
Si fuerint quatuor numeri arithmetice proportionales,' permutando, arithmetice proportionale erunt. , a Sit in medietate arithmetica primus A ad secundum a se ut tertius ad tiartum D Dico inermutando esse in eadem medietate cadisti ad D. Quia enim est in hae me. ' ' dietates ala ut C ad D. erit summa extremorum At aequalis sum in mediorum C a per primam partem quartae huius. Igitur persecundam partem eiusdem erit in eadem medietate pinnus A ad C seeundum, sicut tertius cadi quartum. Quod demonstrandum erat.
Omnis numerus pariter par, dimidium par habet. Et si quis numerus dimidium par habet, is est pariter par. a ij Dissiligio
59쪽
Estoa numerus pariter patieuius dimidium a. Dico esse parem. Si enim esset impar, ip-' Ο Α Α' esset pariter impar tantum, contra hypothesim Non est ergo impar, cui s. Quin' Dbind. I M'zeo A esse pariter parem, latet ex definitione. Etenim A producitur ex binario numero pari, in parem . Quamobrem ex omni parte patet intentum.
Binarius metitur omnem numerum parem, per inius dimidium.
Omnis numerus pariter impar antum, dimidium impar habet. Haec conuertit trigesimam tertiam, o Euclidis Esses numerus pariter impar tantum, cuius, ' dimidium a Die a esse imparem Nam si, esset par . ipse, esset pariter par. Atqui A sup- Uis ponitur patitet impar tantum. Igitur, non est par sed impar. Quod demonstrandum erat.
omnem numerum pariter parem quaternarius metitur. Et omnem numerum quem quaternarius metatur, is pariter par est. Esto, a numerus pariter par cuius dimidium sit CB numerus par per octauam A C huiu, Et sit G. quaternarius. Dico primo G metiri ipsum A s. Nam sun pro bin, io, eriti ad c sicut sicilesca ad A n. permutando eriti ad C B, sicuto ad Aa sed a Dbinarius metitur numerum parem CB. Igitur& metitur ipsum, . Quod de-Giar ' monstrandum erat. - . his is, Deinde quaternarius ametiatur numerum A B. Dico A B eme pariter parem. Nam primo parem es esse eonstat, quia eum metitutis numerus par. Itaque ipsius Aa dimidium in ca Tunc ut apri a prius sumpto binario D.ostendemus esset ad Crassicut G ad Ara Sedis metitur Ara ex hypotestςIgittar' D metitutae a Quamobrem Aa habens dimidium par est pariter par. Quod secundo erat osten-
dendum. m. PROPOSITIO XI. Omnis nu metus excedens binario aliquem pariter parem, est pariter impar tantum.
Sit numerus Aa excedens pariter parem a binario A C. Dico A a esse pati- .inosiis A V ter imparem tantum. Nam primo esse parem constat, o quia componitur exprima, o duobus paribus C. t. Deinde esse pariter imparem sic probatur. Nam si Ponatur patiter par, ι me- φαμε, ciet ut eum quaternarius. Sedis idem quaternarius metitur pariter parem C B. Ergo quaternarius metiens totum A a. ablatum Cis, metietur reliquum binarium As, maior minorem. Quod est impossibile. Quamobrem a s non est pariter par. Est igitur pariter impar tantum. Qi, demonstrandunt fuit.
Omnis numerus pariter impar tantum, excedet aliquem pariter parem binario.
Esto a pariter impar tantum dico eum excedere binario aliquem V P pii et patem. Quia enim is est par, secetur birariam in A C. CAE./eruntque Ae C impares. Quare si ab ipso, Bauseratur unitas CD, reliquus Berit par. Sit illiu, duplus σου. - Igitur Gis erit pariter par. Quum itaque, totus A Bad totum C B, sic sit ablatusci a Traiis ad ablatum, nam utrobique est proportio dupla Ieritin reliquus as ad reliquum cs in eadem proportione dupla. Quare cum D sit unitas , erit AG binarius. Atque ideo cui Ga sit ostensu. pariter par, numerus A B superat pariter parem G a binario M. Quod demonstrandum erat.
Si numerus pariter par numero pariter impari tantum addatur, erit compositus
pariteriinpar tamum. - - Numerus pariter par a C addatur pariter impari tantum C B. Dico compositum 6' 'Πη khis Α, esse pariter imparem tantum Namsi, B ponatur pariter par, metietur eum quaternarius. Sed idem quaternarius metitur pariter parem A C. Igitur metiens totum A n, Mablatum A C, metieturis reliquum C B quamobrem cra erit parite par contra hypothesiiti.
60쪽
Nam positus est pariter impar aruum. Igitur At non potest esse paritet par. Vnde relinquetur esse pariter imparem tantum. Quod erat ostendendum.
Si numerus pariter par per aliquem numerum multiplicetur, productus erit pariter par. A si Sit numerus pariter par quo ducto in quemlibet numerum B fiat C. Dico C esset C riter parem. Quia enim xest pariter par ' metitur eum quaternarius. Quare cum A me 'ε μ' tiatur C. metietur de quaternatius, eundem C. Isitu C est patitet par. Quod de
Si numerus pariter impar tantum, per numerum imparem multiplicetur, productus erit pariter impar tantum. 6. . A numrau p riter impar tantum , quo ducto in B. imparem numerum , produca-1 . ii rur C. Dico C esse pariter imparem tantum Sumatur enim Ddimidium ipsius Α, quo. ducto in B fiat Ea uidens est, quia B ductus in utrumque D producit Sa esse E ad seu D ad A. Quamobrem E est dimidium ipsius C. iniquit est impar, cum ' a sit semissis ipsius A numeri paritet imparis tantum e Betiam impar est ex hypothesi. Igitur E ,--
produetus ex duorum imparium mutuo ductu ipse impar est Quare C habens dimidium im e liει li. pa E, est pariter impar tantum. Quod erat demonstrandum. β οβιε,
Si pariter pares quotcumque componantur , totus pariter par erit. Sint pariter pares quotcunque Λ BC quorum summam dico D ess pariter parem. A , Dis QS ςrum lata sunt pariter pares, singulos illotum quaternarius nutitur. Igitur e Meompositum ex ipsis , idem quaternarius metietur. Quamobrem eriti patiter par. Qii' demonstrandum erat. Italia.
Si quotlibet numeri pariter impares tantum componantur, si autem par illorum multitudo, totus erit pariter par. Si vero fit impar illorum multitudo , totus erit pariter impar tantum. Sint quotcunque pariter impares tantum ARGO & sit primum par eorum multitu- si do, compositus ex ipsis K dieo cesse pariter parem sumantur enim EFG H singuli v ' binario minores singulis A BC D. Eruntque ipsi EI GH pariter pares. Numeru au Odeeiisti', tem K aequat itur composito ex ipsis Et Giin totidem binariis Λ eompositus ex a baias. Uis EFGH est pariter par. Necnon totidem binari taciunt pariter parem e cum decima compositus ex illis habeat dimidium pat , scilicet numerum multitudinis ipsorum 8 EFGH. Igitur Κ compositus ex duobus pariter paribus, est pariter par.Quod demonstrandum fuit. 'ista λ , Sint vero A BC pariter impares tantum, multitudine impari, quorum summa D. . . - si dico D esse pariter imparem tantum. Nam sumptis ut prius EF binario minoribus a decima quam ipsi BQ erit aequalis eoinposito ex ipsis EFG totidem binariis.' Quia pex ,ον ' ueto singuli Ea G sunt pariter pares, erit sti compositus ex ipsis pariter par Summa ' . ' vero totidem binariorum est pariter impar tantum os quia dimidium impat habet, ou- merum multitudinis ipsorum EFG. Igitur numerus D compositus ex duobus quorum alter est ..;is. pariter par, alter pariter impar tantum, est, ipse pariter impar tantum. Quod demonstrandum erat stata.
Si cuiuis quadrato addatur duplum lateris illius,in praeterea nitas, fit quadra : ... . .
tu a latere nitate natore tertia. - Sit quadratus Α cuius latus B aeui addita unitate a fiat B D ipsius BD qua ες- α dratus esto G dico si addatur ad Aduplum sui lateris BC, praeterea unitas fieri 'ri quadratum G. etenim quadratus . aequalis est quadratis ipsorum B C. D. N aaana,