장음표시 사용
421쪽
Data hypotenus praescribere totius ambitus terminos. Sit data hypotenus
Inueniantur per quintam termini laterum circa rei tum puta s. rario qui addantur sigillac m si hypotenuis s. fient quaesiti termini Io. exelusiueti cy - , do inclusiu8. Vnde anon. Duplum ipsius lapsimus est minimus remiam exclusime. At aggregatum exin potenus fiatere dupli amadrati eiusdem' potetissa est maximus terminus inclusiia. Cum ergo maximus ambitus terminus respectu hypotenuis sit Im. - a Q. AEa re approximationem sit N. inuenietur quaesitus terminus in rationalibus hae arte. Dueitora potenusam incis'. 'odinum distri per o orietur maximus cireumferentia termirrus.sie in data hypothesi duello, in Ios. fit 8 s. quem divide per To fiet Ia K qi situs terminus.
Data summa laterum circa rectum, praescribere circumferentiae terminos. Si data summa f.
Inueniantur per sextam hypotenuste termini, puta 6. 48 qui addantur sigillatim datae summa laterum fi fient quaesiti circumserentiae termini, ut is exelusuE I8. inciusiu/. unde anon. Duplam pumma laterum cire remon es maxima termimis exe ia. At aggregatum exs-- ωerum, ct ex rutere semissis quadrati eiusEem summa est minim tremamia sncia riCum ergo minimus circumferentiae terminus, respectu summae laterum circa rectum sit IN. - Q. & per approximationem sit r. Inuenietutinti situs terminus in rationalibus hoc pacto. Ducitosum emiterum i sq. produm diuide peris . orietur minanis circumferentia te
Sie in data hypothesi ducito 6 in ny fit et 3 . quem diuide pera o fiet quaesitus teminus Io R.
Data summa laterum circa rectiim, inuenire maximum areae terminum. . . . Esto data summa 4.
Sume quadratum dat summae, pura Ict huius octava pars nempe et est quaesitus areae terminus, ridemonstratum est quarta harum.
Data hypotenus inuenire maximum reae terminum. Data hypotenus est 6.
Sume quadratum datae hypotenuis, pu 36. huius quarta para nempe s. est quaesitus areae te minus. Nam perquininm duplum quadrati hypotenusae debet superare, vel sinem aequare quadratum summae laterum circa rectum. Quare quadratus summae laterum circa rectum ad maximum est et cuius octava pars De praecedentem est maximus areae terminus. At octava pars de
a. est quam pars semiuis ipsius a pura ipsius 46. Igitur patet propositum.
Data area irruenire minimum terminum summa laterum circa rectum. Area est 6.
Sume inusum areae, puta. 48. huius latus nempe est minimus terminus summae laterum Hrea rectum, ut constat ex quaris,in nona.
Data area inuenire minimum terminum hypotenusae Area est 6.
Sume quadruelum areae aula . huius latus minitum P a 4 est minimus hypotenuis terminus, ut constat ex quinta, &decima.
422쪽
Data area praescribere minimum ambitus terminum Area est 6.
Sumantur per duas praecedentes minimi termini summae laterum Mispotenuis, puta a 48. x 24 horum summa, 48. - 14. est quaesitus circumferentiae terminus , ut euidens est.
Triangulum rectangulum in rationalibus constituere , ut summa laterum circa rectum sit datus numerus. Summa laterum circa rectum esto 8.
Ponatur unum latus IN. erit alterum 8- N. cum ergo horum quadrati simul debeant aequati quadrato hypotenuis, fiet summa quadratorum N. - aequalis quadrato, cuius latus ponatur tot numeris qui excedant, ut scilicet fiat Im minor quam . quia latus alteruin positum est8 Im fingatur ergo latus praedictum 8 3 N. fiet quadratus N. Q aequales' - I6. N. - MPmdefit IN. - εἰ unum laterum et rca rectum, estque alterum M. ipsa hypotenus umine elicitur facilis Canon. Subia quem line numerum maiorem binario, inde aufer I residui duplum ducit in Liam βιmmam; prodatum divide per vitisatum sumpti numeri binario multatum, orietur unum iaterum circa
Inuenire triangulum rectangulum in rationalibus, ut eius ambitus sit datus nu.
merus. Esto ambituscio. Pone latet quaesiti trianguli 3 Noym fit summa Iam aequalis Io. est ergo IN. l. quaeis situm triangulum s. 6 . 8 l.&sic infinitae reperientur solutiones si loco 3. q. s. deligantur alia atque alia triangula non similia Sedin licebit inuenire triangulum simile cuicunque dato triangulo te.ctangulo, eodem numero ambitus manente. Alite sume se muniti quadrati ipsis to putaraoo. statue aggregatum hypotenuisis baseos quemlibet numerum interrio.&eius semunm Io. ob ea quae demonstrata sunt tertia harum. Verbi gratia pone tale aggregatum is erit ergo perpendiculum .int diuidendo oo per is quotiens ii erit aggregatum hypotenuis perpendiculi per decimam nonam terti potismatum. Quare si inde auseras perpendiculum, puta et mmebit hypotenus, ira quam si subtrahas a is fiet has sol.
Dato ambitu, data area trianguli rectanguli, inuenire triangulum. Esto ambitus o. Area o.
Pone hypotenusam N. ergo latera circa rectum simul sunt o. - IN. cuius quadratus I oo . .. . N. - Q. aequatur quadratis laterum circa rectum, & duplo plani sub ipsis ontento, hoe s est quadrato hypotentiis, & quadruplo areae. Quare - - 2 o. aequantur 6- - N. IQ. Vnde fit i N. i . Ipsa scilicet hypotenusa. Igitur summa laterum circa rectum est a Quamobrem duplici via inueniri possunt ipsa latera, diuidendo scilicet 23 in duas partes, quarum quadrati simul efficiant 1 . per trigesimain primam primi, vel in duas partes quarum mutuo ductu sat Iao. per trigesimam primi, utroque modo reperientur laterais. ω8. ine fit Canon. A quadrato ambitus aufer quadruplum area, residuum diuida per durum ambitus, orietur hy-
Dato ambitu, dolido sub tribus lateribus, inuenire triangulum. Esto ambitus a solidus 6o.
Pone hypotenusam Im erunt latera circa rectum simul a I N. At planus sub iisdem lateribu, i. Quadratus autem summae laterum circa rectum est ΙΑ . a M. I in unde si auferas quadratos ipsorum laterum, hoc est illis aeqv lem quadratum hypotenuis, relinquetur - a M. u. plum plani sub lateribus. Igitur huius dimidium, puta a, Iam aequatur a. Vnde fit a N. s. hypotenus scilicet, est ergo summa laterum circa rectum,. planus sub ipsis Ia unde etiam vesupra duplici via, nimirum per trigesim misel per trigesimam primam primi inuenies latera 3. ω4. Hinc elicietur facilis Canon.
423쪽
Dato uno laterum circa rectum is plano sub altero latre & hypote se, im uenire alterum latus hypotenusam. Esto alterum latus . Planus sub altero dc hypotenus I . faciat.
Ponatur latus quaesitum N ergo hypotenuia est in cuius quadratus inaequatur quadratis la terum, puta I -- Do au tandem Pin. I inaequantur as diuit ima quaestum latus in ergo hypotenuias. Sic poni potest hypotenuis N. alterum latus R., fiet L aequalis 15 . di tandem aequabitur 6 in as unde fiet m. s. Hinc inmatur Canon. Quadr.ua dati piani adde quadratum semis quadrat dati teris o . alius adde ιεIadimae idem sem ι Padrat dat iateris, mum et hinc ε δεηις quassi rerιι, ηδε araad ius
Inuenire triangulum rectangulum , cuius ambitus sit quadratus Midem siue adsumpta , siue detracta area quadratum faciat.
Primum quaerere oportet triangulum rectangulum, cuius ambitus se quadratus numerus, fetitiangulum, per decimam quintam, cuius ambitus aequalis erit cuilibet dato quadrato histo ergo tale triangulum 6 48.6o cuius ambitus est quadratus 144. constituatur in quadratis, sitque quaesiti trianguli latera Q. do in Superest ut ambitus siue adsumpta siue detracta aleari ciat quadratum. Quia ergo in quolibet triangulo rectangulo quadratus semissis hypotenus siue illi addatur, siue adimatur area saei quadratum, ne demonstratis ad vigesimam lecundam tetiij saeti infertur, sumatur quadratus semissis hypotenuis, puta oooQQ. is statuatur aequalis ambitui, pura Quiet ergo i N. I. ωerunt quaesiti latera trianguli ut ex de constat.
Inuenire triangulum rectangulum, cuius area fit datus numerus oportet autem ut quadratus areae duplicatae additus alicui quadratoquadrato, faciat qua
Sitis datus areae Numerus , cuius duplum B cuius quadratus F. quo addito ad quadratoquari, τ ... dratum D fiat quadratus . Oportet inuenire triangulum cuius area sit A. M ἔ-οδ F ' ε' sumitur Ic latus quadratoquadrati D.&sit ipsius K quadratus C. diuisoque, 'I pei produeatur G. cuius duplum est H. Quia ergo ducto Κ in C. produ- '' eitue A. est A ad GIeutri ad unitatem , sed sicut Dad unitatem , ita est Cad K. Igitur ut est C ad x sie ad G.& permutando ut C ad A. sic K ad .sed ut A ad B fie est t. i. F. is G ad recum utrobique sit ratio subdupla ergo ex aequo ut C adi sic est Dades sed QB sunt latera
circa rectum trianguli rectanguli, cum eorum quadrati DF simul conficiant quadratum E. Igitur m H sunt latera ei te tectum trianguli rectanguli, cuius utique area est A cum A producatur ex cin G semissem ipsius . Quamobrem constat propositum. Porro eonditio adiecta non solum suffieiens est, sed& ne istic, ita ut dari non possit triangulum rectangulum , quin quadratus areae duplieatae additus alicui quadratoquadrato, faciat quadratum. Quod eadem facilitate probatur. Sint enim Κ H latera eite rectum trianguli dati, ipsius Η. dimidium sit G quo ducto in K fiat area' cuius duplum B cuius quadratus F. dico F. additum alicui quadratoquadrato facere quadratum , sit enim C quadratus sus X. ipsus C quadratus , hoe est quadratoquadratus ipsius cesto D. Ostendetur, lupta esse C ad B, Madi. Quare cum X H sint latera eire rectum trianguli rectanguli et unt QC m latera circa rectum trianguli. Proinde qua-dtati ipsorum puta Da. simul component quadratum. Qum erat propositum. i
424쪽
Iaboriosa meditatione deteximus, subiungemus. Hoc nempe demonstrandi genus ms-roocarithmetieissuppeditabit progressus, si area 3rianguli esset quadratus darentur duo quadrato quadrata quorum augerentia esse quadratus: Unaejequitur dari duaquadrata quorumis summa , se afferentia esse quadratus. Datur itaque numerus conuinositus ex quadrato es duplo quadrati aqualis quadrato , ea condita one νι qua- Ara ιι eam componea te faciant quadratum. Sed st numerus quadrata componitur ex uadraro es duplo alterias quadrati eius latas similiιer componitur ex quadrato
dast quadrati di facillime possumus demonstrare.
Vnde concludetur latus illud esse summam laterum circa rectam triangati rectanguli es unum ex quadratis illud componentibus V ere basem edi aptamquadra ιum aquari perpendι culo. Illud itaque triangulum rectangulum conficietur a duobus quadratis quorum summais disserentiai erunt quadrati. At si duo quadrati minores probabanta primis quadraiis primissuppositis quorum tamsumma quam asserentiataciunt quadratu. Ergos dentur duo quadrata quorumsumma o disserentias cian quadratum,dabriarimintegris amma duorum quadratorum eiusdem natura prrore manor. Eodem ratioeini dabitur se minor s inuenta per iam prioris es semper in infinitum minores inuenientur numeri in integris idem prastantes: tauo impossibile es, gaia dato numero quouis integro non possunt dari a finiti in integris illo minores. De mon rationem integram es fusus explicatam inserere margini vetat Vsius exiguitas. Hae ratione deprehendimus se demon ratione confirmaus mus nullum numerum triangulumprater ustatem aquari quadratoquadrato.s CF PLI v M. His patet, idem ostendi posse de quadratoquadrato ipsius V ad ostiηβm estis, arato Misat '
Ita x Uuare verum est in quolibet triangulo rectangulo qua aram area duo pa ad tum quadrato quadrat cuiusvper latera circa rectum efficere quadra EUt in dara, pothesi r adrato uiar risu orum s puta cum ιι Maso μοι quadrato sta'. oo. sedis condationis assiecta Meessitast per algebram sic demonstrabitur. Data area cuiuslibet trianguli rectauia puta'.ponatur mon rerum carea rectum ι. . erit alterum R. Ut a tem sit triam arum rationati varier, Orsumma quadratorum, pura ι - . e. aquetur quadrato , or omnia dueendo in rati et a HS quadrato. Unda pase quadratoquadratum cuiuube iateris et ea remum a cito quadrato area druplicata, debere conficere uadratum. Porro hanc, am quastionem tractans Franciso Visia utile ιι libri quarii; daasia, os ei tra-Hit Oniuriones Prιma est. Otortet, area dindo aliquem quadrato uadrinae quadratoqua dratus , velut iacendo aream in ativem quadrarium, introiactum adiuendo ati ad ιoquadrato, set quadraroqua arus Es hae esuisti , sussciens quidem es, e demon a Uaeia sedans necessaria merito qui ambigae Sari arbitror cum eius necestarem demonstrare non possessummi vir insenti. secundam excogitasse Semnda conditio est. Oportet, datus area misnses, si cubus suo multatus latere, vel, idem per quadratum aliquem mutii Featur, sit -- β -Gaius latere. Et hac conditio nonsolum sust iens est, Hostendit Vieta, sed etiam necessaria e demonstrabimus, ne tanti viri commentum labare videaιών. Quamxis tutius sit hane coniurtionem ita proponere oportet ut area numerussit cubus suo maltatus latere, latu esu multarum cubo. Velut eo pere aliquem quadrarum multiplicar veldiuise , fiat cubus suo multatus iarere,itusue suo multatum cubo. Huius autem rei ratio est, quia quodlibet trianguiam rectangulum, potest concitisimile atieri triangulo, quod forninumst ab unitate, ab alio quoris quadrato, cuius quadratisipanariasu ι μ' trianguli 'potem RI r. atierum rerum circa rectum a N alterum vel ι Orous ι .supponitar maior velminor unitate. O bre fit area ια - ι . vel ι . - C. ita Ffingas trianguiam V1 modo traiuto tertia tertis orasmatum Fient lateras. . . a creaver o cubas scitice l. suo multatus ia-rere. Alsiformes triangulum ab . d. et triangulum M. l. cvius area ἐ.endatus: mutiarum sua bo: . Proposito vero quoide M. triantisti, erumpe artam tertiirrisematum, necessesit i d formaria duobus planis similibus, hos planos semens est,irumque per minorem Vseram sigiliatim diu do flent duo quatientes in eadem ratione, quorum minor erit unitas , a quibusnorme triangum , erit
425쪽
aro Inuenies formari triangulum a planis similibus a. ct 7 quos si diuida/Agiliarim per minorem 1a fumo. est .a quibus seges triangulum prior smile . . . l. μια area v. es κbus V. D mkltatus latere cui ve o proportro laterum prioris trianguli ad latera posterioris ei duodecuria, F per uadratum inraso puta per diuidas aream aro fe utique . . cubae suo latere multatus Guod si Inuentis lanis similibus a quibus propositum triangultim formatum est, diuidas utra naue per ma-orem ipso em,sor duo, τ orem ipsorum sient duo numeri in eadem raraone, auorum maior erit,mtas, avibus se suas aliud triangutam erit eius area latus seu multatum cubo , e constat ex supra demonstratis. Itaque quia diuisio in multiplicationem verti potest , est e conuerso. Nam verbi gratia diuaderer . pero adem est ataue multiplicare 1 . per . ferri potest Vieta limitatio. Et absolute verum est aream cuiusubet relangui rectanguli esse obum suo multarum latere, vel inueniri semiis triangutam ius areast culus suo lasere mutiatus.
Dato ambitu trianguli rectanguli, perpendiculari ab angulo recto in hypote
nulam de inissa, inuenire triangulum. Sit datus ambitus 6o perpendicularis a. Ponatur hypotenus IN. erit summa laterum circa rectum εα IN. cuius quadratus 36oo Ietob. - L aequatur quadratis ipsorum laterum, seu quadrato hypotentiis, & duplo plani sub Iateribus. Igitur et6oo- Iao. N. est duplum plani sub late kriis ribus,&4 ,-6odi est ipse planus sub lateribus. Quoniam vero, ut constat per octauam sexti ut se habet hypotenus ad unum laterum, sic etiam se habet alterum latus ad perpendicularena ' erit planus sub hypotenuia, csub perpet leuia i , aequalis plano sub lateribus. At ex hypotenus in perpendicularem fiunt x N. ergo Iam aequantur I8--χ N. fit IN. I. ipsa scilicet hypotenusa. Quare saeile est inuenire latera circa rectum puta 2o. II. Hine elicitur Canon. Semissem quadrati dini ambitus divide per aggregatum ex ambituis ex perpendiculari, orie-
Data area trianguli rectanguli, o perpendiculari sub angulo recto in hypotenu
sam demissa, inuenire triangulum.
Esto area Iso. Perpendieulaticia. Ponatur unum laterum circa rectumam erit ergo alterum s ii Quoniam ver5 ut est perpendicularis Ia ad unum laterum irca tectum LN se est alterum ad hypotenusam. Inuenietur per regulam proportionum hypotenus 2ς.& reliqua latera aO. ωis. Hine Canon. Divide duplo area per perpeia cularem, orietur Ipote a.
426쪽
Definitionem septimamo octavam.
RETRACTANTI commentaria nostra Meurrit mihi definitionem septimam ad mentem Diophanti accommodatius explieati posse, si accipiatur de stactionibus, in quibus supeli res potestates per unitates diuidi intelliguntur. Vt velit Diophantus verbi gratia ex ,. in produci ita quemadmodum ex IN. in LN producuntur sin&ex in L produci b eadem ratione, qua LM in Q Producuntur in C.&sic de aliis. Sic enim utraque definitio, septima scilicet & octaua de iisdem tactionibus aecipientur, Qtolletur ambiguitas illa, de qua ad definitionem octauam Diophantum eximinabamur, semper enim apud Diophantum stacetio numeriea erit seu αειθμει ὸν , elim unitates per Numeros diuidentur, ut A. & fractio Quadratica, seu να-, cum unitates per quadratos diuidentur, ut, sie de alijs. Et sanEapparet ex reliquo opere ita sensissi Diophantum. Nam ubi eumque, μὲν vel λα-ὸν usurpat, huiusmodi tactiones intelligit. Verum erit nihilominus, quod ad definitionem septimam adnotauimus. nimirum eius demonstiationem , ab iis quae demonstrauimus ad definitionem quartam, pendete omnino, ut per se uianifestum est.
428쪽
VILIBET numerorum a ter nario per unitatis incremenisi in progredientium, mul-ulus est, primus ab unitate, o habet tot angulos, quot ipse unitatibus constat Latus autem ipsorum est, proximus ab unitate numerus, putara est
autems triangulus 4 quadratus s. quinquangulus, Ic deinceps. Cum autem de quadratis euidens sit, ita eos constitui, quod nascantur numeri alicuius in seip- uti multiplicatione , exploratum est quemlibet multangulum multiplicatum
aliquo numero secundum proportionem multitudinis angulorum eius is adsumentem quadratum aliquem secundum proportionem multitudinis angulorum eius, apparere quadratum. Atque hoc nos demonstrabimus , ostendentes quomodo dato latere inueniatur qui poscitur multangulus δε quomodo dato multangulo, latus accipitur. Prius autem eademostrabimus quae ad hanc rem sumunturo
In Libravi Diophanti de numeris muhangulis Commentarii.
1 Aboriosissimis in libros sex Arithmetieorum eommentariis exantlatis, superest nobis de numeris multangulis libet enodandus. In quo restituendo quantum deludauerim eoniicere poterunt quotquot in eo percipiendo, ut Xilandro nobis traditus est, operam aliquam impenderint Saniti mittam caetera quae huc eontulimus , non paruam a tyronibus gratiam prometiti sumus ob diagrammata ingulis ser propbsitionibus adiecta, quae passim imperitus librarius , tanquam a rem minime pertinentia, praetermiserat, cum tamen illorum ope destitutus, vel aecerrimo qui siepiaditus ingenio, Diophanti demonstrationes vix percipere possit.
HAc propositio definitionis vel petitionis euiusdam locum obtinet. et eam enim supponit
Diophantus, quemlibet numerum ineipiendo ternario esse polygonum, tot angulos continentem quot unitatibus constat ipse numerus , verbi gratiari esse triangulum, . quadratum τὸ pentagonum, o hexagonum,in sic in infiititum. Cuius rei ratio est, quia nitates cuiuilibet
429쪽
nummi aesualibus interuallis a disponi possunt, ut repraesentent figuram totidem' ' angulotum,&laterum aequalium, ut in apposito diagrammate videre est. Unde etiam appatet, quod subitet Diophantus nimirum horum ommum p ygonorum latus et e proximum ab unitate numerum, puta a vides enim in quolibet latere' ' uiustibet polygoni Contineri unitates a.' ciniam veto ipsa nuas virtualiter est omnis polygonus est enim triangu- Ius,, quadratus in pentagonus, quia horum omnium polygonorum proprietates ipsi unitati conueniunt, idcirco ait Diophantus quemlibet numerum a ternarios esse polygonumi: sua specie primum postvvitatem, verbi gratia 3. est orimus triangulus post unitatem, . primus quadratus, y primus pentagonus post unitatem, rae de alijs.
ESI RV in xxς numeri aequalibus in
teruallis se superantes, qui fit ex ma- n. ὁ ὀκτακι - τῶ οἱ f - ximo in medium octies, adsumens minimi. Οὐααν , , ἐλα,- - quadratum, facit quadratum, cuius latus ra γωνος, sis mMυρὰ, τώ aequale est composito ex maximi me--γκ uis, unisi ci di duplo. sint enim tres numeri AB. BG. Tati si ea H ας cp. N BD aequalib. interuallis semperantes λ ν- --.δ-- iam Gis ostendendum est eum qui fit octies ex AB.αc. G. ς, τὐαλ ωὐρωγω. se in B G una cum quadrato ipsius B D. sa-
IN huius propositionis demonii ratione, nulla insignis est dissicultas Tria tamen sunt quae tyrones fortassis morari queant. Primum est quod ait Diophantus Quadratum ex At aequar qua-
430쪽
E. . . . R. ...... B. D. . A a
driiplo producti ex BG in GD una cum quadrato rara D mu' ira probatur. Quoniam A s supponitur aequalis summae duorum BG DG quorum interuallum BD. patet quadruplum pro dum ex BG in DG una eum quadrato interualli BD aequale esse quadrato lummae ipsorum BG. DG hoe est quadrato ipsius i. Secundum est, quod ait Diophantus quadruplum producti ΒΑ. in AE. una eum quadruplo quadrati ex Αε aequati quadruplo producti ex toto B E in Α E. Quod euidens est, quia ' produ- ri ctus ex E in EA. aequatur producto ex B A. in Ai una cum quadrato ex AE. Tertium est, quod ait Diophantus, quadruplum producti ex E in ΛΕ, una cum quadiato ex AB aequari quadrato compositi ex B EA. Quod rursus patet per s. a. potismatum eum Arisit interuallum ipsorum B E. ΕΑ. Potest autem hae propositio, uniuersalius conelpi,is breuius atque etiam sedilius demonis strari, hoc pacto.
Si fuerint tres numeri in medietate arithmetica, octuplum producti ex medio in quemlibet extremorum, adsciscens quadratum alterius extremi aequatur quadrato compositi ex med ij duplo & ex illo extremo qui in medium octies ductus est.
i. Sint tres numeri Aa C. in medietate arithmetica,& sit D. duplum medii dico , cuplum producti exi in unum extremoriim Q una cum quadrato alterius exi, tremi A. aequari quadrato ompositi ex ipsis D C. Quia enim sunt in medietate arithmetiea ipsi B C. erit duplum medii puta aequale summae extremorum Α C. Quare μm i Ripsorum D C. interuallum erit A. Quadratus autem compositi ex ipsis D C. ' aequatur quadrati v 'ipsorum D C. & duplo producti ex D in C seu quadruplo producti ex B. in .Quadrati autem ip quarta a. piniciorum aequantur rursus duplo producti ex D in C. seu quadruplo producti ex B in C. deSadrato intervalli A. Igitur quadratus eompositi ex ips D. C. aequatur tuplo producti ex Rin: una cum quadrato puus A. Quod erat ostendendum. Eodem prorsus argumento probabitur octu plum producti ex B in Α. una eum quadrato ipsius C. aeqnari quadrato compositi ex ipsis Λ D. Igitur ex omni parte constat propositum. Aliter etiam Franciscus Vieta propositionem hane demonstrauit Itb. 8 variorum de rebus in thematicis responsorum, per ipsam scilicet Aloebrae operationem hae arte. Sit minimus trium diu. merorum arithmeticae medietatis A. se disserentia B erit ergo medius B. maximus vero Ain B. bis&sidueatur medius M. B. in maximum in B. bis fit x ad. - in B. te BQuad. bis quod si sumatur octies,4 producto addaturis Quia fit utique A Quia novies A in B quater Quietae BQuia sedecies. Hie autem numerus est quadratus a latere Α. te B. quater ut euidens est. Et ter quater aequatur composito ex maximoin medij duplo, cum maximus sit A in B his,&duplum medii sita bis iam bis. Ergo constat propositum. Eodem artificio demonstrabitur altera nostrae propositionis pars Ducatur enim minimus Ain medium Α - Bocties Ee producto addatur quadratus maximi, fiet A Quad. novies Q in B. duodecies Quad quater qui numerus quadratus est a Iateres ter is Bais quod aequatur
S sint quotcunque numeri aequali ina
teruallo se superantes , interuallum Q A ἄ- α ριθμ um ιοῖ e Di χαίροῖ maximi: minimi multiplex est interual αυχν η -οχη, μεγ πυ- του ἐλα-li ipserum, secundum numerum unitate χλου, αὐοχης - λαψασί- minorem eo qui multitudmem proposito ς ἀ -α δὲ λαπιον vir isΘου τῶν
tudine ipsorum. AB. BG. BD. M. Quo Η, - αγ γλ δε Ισοι -ὶ α niam enim expositi sunt AB. BG. BD. M. ὀ - - ος - πο-απλα aequali interuallo se superantes, erunt ipsi