장음표시 사용
221쪽
exo perpendicularis , ae juncta chorda Bia ordinetur per idem axis puneium e applicata prioris curvae e T, secans tangentem in R, chordam in N; erit utique arcus e G aequaliae N, eo qubd sector sit triangulo analogus ; sed & em aequatis ei; itaq;& om aequalis Ni ι ipsa vero NRaequalis o P. ἔ i ad B Κ, aequalem ipsi B G, est in eadem ratione, L N ad , seu Ea ad EB , aut o M ad MB ; suae omnia valent etiam de homolosis lineis per minusculas litteras designatis.& infra punctum E ductis; noc solo discrimine, quod si e sit supra E, erit N R major, quam NI; unde & o P major, quam Om; multo igitur magis arcus OS qui est major ipsa O P. a sortiori quam major ut suo sinu erit major, quam O m; unde puneum S erit extra curvam ; si verb e acceptum fuerit infra E , erit nr minor, quatiant; unde &op minor, quam Om ; arcus autem So minor est tangente Op , a sortiori, quam sua tangente minor sit arcus , quem ex centro B, juncta B p interciperet: multd ergo minor est arcu om; &ideo etiam punctum s extra curvam erit; recta igitur G M tangit. Iam verb concipiatur alia curva B F priori analoga, ita ut ejus
ordinatae F E ad ordinatas prioris L E perpetuo situ in eadem ratione , utiq; facta DB ad ΒΚ, ut FE ad EL, juncta DF hane curvam tanget; siquidem si occurrat alteri ordinatae in puncto T erit etiam T e ad e R , ut F Ε ad E L , nempe ut se ad el; quare cum e R major sit ipsa et, etiam e T maior erit, qukm es; si igitur intelligatur figura Bil ex arcu-hus Et aequalibus ordinatis hujus postremae figurae E F, juncto radio BI, atque huic perpendiculari B H, aequali ipsi BD,
luneta HI tanget ; eritque HB ad BG . ut IE ad ME.
uarum igitur figurarum, ex concentricis arcubus in eadem constanti ratione postis descriptarum, tangentes interei piutrectas ad radium perpendiculariter ductas, ipsis arcubus proportionales: Quod eoincidit cum praemissa constructione. ta Antequam autem hine alio digrediar, adnotare iuvabit, ex harum pariter curvarum descriptione doctrinam illam me secundae Appendicis ad Vivianea Problemata iterum demonstrari, seu denud confirmari posse. Hinc siquidem deducitur, Ichnographiam cujusvis portionis ex conica superficie absum. C c ptae,
222쪽
ptae, qualis esset Α H D, esse mediam proportionalam inter ipsam figuram conicae superficiei in planum expansam, veluti D V C. & aliam ipsi sim lem, similiterque politam DPA, super radio basis coni descriptam ; nam propter lingulos arcus H N, se habentes ad N O in constanti ratione lateris coni
C D ad radium basis A D. erit tota figura AH D ad AOD. ut CD ad DA ι sed CV D ad AOD sibi similem est , ut
quadratum CD ad quadratum D A; itaq; CUD ad AODeit in duplicata ratione AH D ad AOD, propterea & contea supet ficies C V D ad Ichnographiam suam AH D est, ut AH D ad AOD, sive, ut latus coni CD ad radium balis
DA.. Quod&c. 14 Tu vero non hic subsistis, & alias rursus novarum spe Mulationum sodinas eIuere aggressus . Epistolis Tuis, pridie kal. Julii ad me datis, nova iterum ratione lineas in conica superficie descriptas in planum sternere niteris. Ais enim: Speculationem instituere placuit circa Spiralem iliam conicam,
de qua superioris hebdomadae Tabeluris ad Tescriptas Episolas tradidi, cujus Ichnographia integra es Spiralis Archimedea ;ιοissiderabam scilicet Ulivdricam versiciem, quam inae perperadiculares estiormavi, quibus sugfulta, ut ita dicam . disenditur
praedicta Spiralis conica s scire autem o abam, inquam lineam evaderet, explicata in rectam lineam Spirali Archimedea, una ctim ipsa superficie Olindrics, adeonisam spiralem lineam terminante. Si enim bac cur m aliquam e tineis alias notis referret,
223쪽
verbi gratia parabolam, id egregiarum certe Speculationum fo-
is Id ego primo statim intuitu ad hyperbolae quadraturam
Pertinere opinatus sumi nec me fefellit opinio, siquidem ad illam reserri jam tum videbatur parabolicae curvae rectificatio, uti ex Hugenianis cap. ra. 'um. 14. constat, Parabol autem rectificationem cum Spiralis Archimedeae distensio ne conjunciam esse, tum ab alias animadverteram ostensum ei- se, tum ipse postmodum docuisti ab Ioanne Ceva fratre tuo Geometr. mot. l. a. Prop. I . idem demonstrari. Antea vero
id mihi innotuerat noe ratiocinio. Esto Spiralis Archimedea Ca A primae circulationis, & posito in altera figura Parabolae Apollonianae axe C N aequali dimidio cireumferentiae AD A. ordinata autem N A aequali radio C A. describatyr parabola Ca A. Dico hanc Spirali aequalem esse; sumpto enim quolibet in parabola puncto a. & ordinata an . & in spirali puncto a , cujus radius ac sit aequalis ordinatae an, ducatur arcus a I ;ducanturque tam in parabolae, quam in spirati tangentes a b, occurrentes ipsi c b perpendiculari hinc ad radium c a, illinc, Cc a ad
224쪽
ad ordinatam an in punctis b, h. Jam: ehm sie C hin spurali aequalis arcui a I ut docuimus in Hugenianis cap. s. nu. 9. Sit autem peripheria AD A ad arcum Ia in duplicata ratione A C ad C a, seu sin parabola AN ad n a, videlieri, ut N C ad C n; sitque C N aequalis semissi periphetiae ADA, erit &Cn aequalis semissi arcus a I, vel subtangentis Chini ratis; sed & subtangentis nb parabolae subdupla est eadem Cn; aequales igitur sunt, tum in spirali. tum in paraboIa subtangentes nb, Ch; aequales autem & ordinata an , & radius C a; tota igitur tangens parabolae a b, quae his potentia aequatur , aequalis erit tangenti a b latralis sibi correspondenti ; sumptaque infinite exigua utrobique tangentis particula ad, aedimissa in ordinatam. & radium subtangentis parallelad m, erunt triangula d ma , d ma utrobique similiter aequalia, applicatisque alterius ad alteram homologis triangulorum a m diateribus, tangentes ad , seu curvarum partes his respondentes congruent. certe eo res deducetur, ut alterius ad alteram proportio sit propior aequalitati, quam quaelibet data majoris, aut minoris inaequalitatis ratio ; aequales igitur sunt, tum Arelitia
225쪽
chimedea Spiralis , tum parabola quadratim nuper desi-
i 6 Hinc patet, quam justb minorem Spiralem fecerint, qui semicircumferentiae A D A aequalem esse asseruerunt, uti Sturimus Math. Enuel. I. a. cap. q. consect. a. Pr Osit. IT. Guarinus trach. I 8 Eucl. Adaucti prop. a 3. Rinaidinus dere. sol. &compos pag. 299. aliique ; videlicet tanto minorem, quantb axis N C parabolae Ca A minor est ipsa curva Ca A iconstat item a scopo non leviter aberrasse Virum Clarissimum rellium, ubi de motu animal. p. a. proP. 43. duas ejusdem Spiralis revolutiones comparans, ait illas ad invicem esse, ut peripheriae mediae arithmeticae inter extremas cujuslibet Spiralis , sive esse ad invicem, ut sunt circulares Eonae, quibus m- fetibuntur; hoc enim perinde est, ac si diceret, curvam parabolicam tκ esse ad tS lineis sequest intervalIo distantibus, axi parallelis interceptas ducta recta F Ο seeante praefatas parallelas in q, ut traPegium Q sHO ad O HSq . Quod est absurdum, sumptisqnippe hyperbolicis spatiis
Curvae portionibus correspo- dentibus per cap. II. num. 14.
Hugenianorum & permutando , esset ias Ho ad inscriptu OOS H. ut o HS qad circumscriptum OH SO,
idestiatio maioris inaequalitatis aequalis foret rationi inaequalitatis minoris.. me pariser deficis littera s inter H, O A . Caeterum eo modo, quo parabolam quadraticam, atque Archimedeam Spiralem comparavi, similiter alias spiralium spec1es cum aliis Parabolarum speciebus posse conferri mani. festum est, uti alias, si latis memini, indicabam ἱ nempe si ra .
226쪽
diotum cuiuisumq; hes icis potestates denominare ab exponente x sint inter se , ut angulorum, seu arcuum a radita inter. ceptorum potestates denominatae ab exponent ν, iacta parabola talis naturae, ut abscissarum quarumvis potestates denominatae ab exponente F sint, ut potestates suaru ordinatarum denominatae ab aggregato exponentium I - a'. spirali prOPO Ositae ita respondebit, ut si ultima ejus ordinasarii aequetur radio dictae spiralis, axis autem sit Ita toti u. Circundere liliae, ' illa Curva Parabolica, &ejosmodi Spiralis aequales erunt, ut ex methodo; tangentium,tam parabolarum; quam spicalium; cap. s. num. . di 8. Hugem norum tradita Deile constat. tr Sed curvarum dimentionem tractantes quid vetat alio paulatim digredi. quousque modum Cycloidem rectili eandi tibi communicem, quem tibi acceptissimum sore video, qui P. pe his geometri eis penu statibus dele et aris y En illum, esto Cyclois Aa O, Ordinatae ar, ar, secantes semicirculum ge-
nitorem in d, d. extendantur chordae Ad, Ad in f f usque ad basim, applicenturque rg, rg his ipsis A f, As aequales, ut oriatur hine curva Ggg, que erit Hyperbola secundi gradus, sive, ut Cl. V iviano aliquando appellare placuit. -- flabiea, propter fA ad Ad , seu l A ad Ar, ut quadratsi A f ad qua diarum A D, sive quadratum r g ad D G. Iam lic: ducta ab Cycloidis tangens quantumvis parva, & duabus praedictis ordinatis quantumvis proximis intercepta, erit utique parallela ipli As, ex dictis in Hugenjani S cup. 8. min. 7. critergo ab ad intervallum ordinatarum rr, uc As, istu rg ad
227쪽
diametrum AD; & hoc semper; rectangulu igitur g r r aequale erit rectangulo ex A D in a b ; & omnia rectangula g t r, exhaurientia spatium infinitum g G D Ah, aequalia rectangulo ex A D incurvam semi- cycloidis Aao, quam innumeraeta gentes a b perinde exhauriunt; ergo A D in A a O ad quadr.ejusdem AD, scilicet curva ipsa Aa ad diametrum AD, est ut simium g GDAh ad inscriptum diametri quadratum GDAII; haec autem est proportio dupla,lut ipse cap. 8. numer . II. Hugenianorum generaliter docui, atque ipsemet frater tuus supra laudatus in Geomet r. mo t. l. r. pro p. tr. pridem
ostendit; itaque curva semi cycloidis Aa O dupla erit diametri , & tota Cyclois ejμsdem quadrupla, quin Sc partes lingulae A a duplae chordarum sibi correspondentium ad , uti aliis Geometris per alias vias pridem innotuit , Hugenio
praesertim, ex praeclara Evolutarum Curvarum inventione. Est vero generalis haec methodus, si rem propius aspicias, atque ad omnes prorsus illas curvaS exporrigitur, quas cap 8. num. s. Hugenianorum, Correlatas voco, ex quibus scilicet,
per si inpIicissimam Euclidis elem. l. t. proposit. 43. innumerarum figurarum dimensionem derivavi.i8 Duo hic interea adnotare non pigeat. AIterum, quod si cylindricus erectus super se mi. cycloide OaAD secari intelligatur plano quom O dolibet inclinato, tran
leunte per balim O D, semper abscis Ia superficies ungularis in plansi explicata in parabolam notam abibit, siquidem chordae circuli Ad, ad respectiva puncta r dia. metri A D applicatae,
go & earum duplae, nepe portiones curvae eycIoidalis a A, ad eadem diametri pun-ela , vel ad proportionales partes altitudinis i litus ungulae, applicatae, Parabolam item conficient sed omnis superficies un
228쪽
gularis conflatur ex similibus curvae portionibus applieatis actPartes,altitudinis proportionales partibus diametri basis, ut
constat ex hac figura . ubi A SE IMGO sit cylindricus super quavis eum Io G M, sectus plano A Z M I, per basim
M I transeunte , manifestum est , superficiem ungularem AZMGo conflari ex portionibus curvae B Z aequalibus abscissis a vertice OG applicatis ad puncta B dividentia altitudinem ungulae Ao in eadem ratione, in qua axis curvae I secatur in F per applicatam G F: Unde si fingamus OG Messe Cicloidem, cujus portiones o duplae sunt chordarum semieire uti sibi respondentis, id est quarum quadrata sunt, ut axis abscissaeo F, manifestum erit , Ungulam Cycloidalem A Z M o esse parabolam, quia quadratum curvae o G M erit ad Quadratum curvae B Z aequalis ipsi O G, ut Ol ad O F. sta B N, idest, ut altitudo o A ad AB, ae perimeter A Z M erit aequalis curvae parabolicae, imo in parabolam Etiam potitione
229쪽
talem abibit, rectificatis curvis OM, BZ per explicationem ungulae in planam superficiem . & e contra reliqua superfi. cies AZMS in trilineum parabolscum extendetur; quo statim constat ob proportionalitatem Ungularum, tum superficialium, tum solidarum, cum superficiebus. aut molibus rotundorum corporum ab eadem figura superficiem rotundam ex Cyeloide circa basim, duplam esse rotundae superficiei ab
eadem circa tangentem verticis conversa; necnon distantiam
centri gravitatis curvae cycloidalis a basi duplam esse dictantiae ejusdem a vertice, &c. facileque hinc habetur dimensio utriusque ex illis rotundis superficiebus, ob notam curvae longitudinem, & centri gravitatis distantiam, juxta regulam celeberrimam Guldini Vestri circa genesim rotundorum .i9 Alterum, quod notari attentius Velim, inde nullo negotio consequitur, nempe, data qualibet plana superficie, quae a curva qualibet linea definiatur, posse nos ejusmodi superficiem ita curvare, seu tali cylindrico circumvolvere, ut eadem curva linea nihilominus in uno plano iaceat s quemadmodum in casu praedicto, curva parabolica AZM ita advolvitur cylindro cycloidali, ut nihilominus in uno, eodemque plano ΑIM, cylindrum secante,jaceaI seu cylindrum invenire, ex
cujus sectione, eadem curva in sueerficiem ungularem convoluta estormetur. Propositum siquidem obtinebimus, aIteram superfietem I OGM ita efformando, ut quae fuerat in data figura relatio ordinataru ad axem,eade sit curvae portionuo M, OG pariter ad axe suum ut in exemplo nostro, quae est in cycloide portionsi curvae a vertice abscissam ad axis sui partes ordinatis abscissas enimvero super ejusmodi curva sic inventa erecto cylindrico, ipsi advolvetur data figura, & suae perimetri partes in eodem plano, ad datae figurae altitudinem ip . summet cylindrum transversim secante, dispositas habebit. semper autem tangens figurae quaesitae OGM ad punctum G,
intercepta eodem puncto, Sc ordinata per verticem O. erit 'subtangenti datae figurae AZM, idest interceptae inter punctila, Sc occursum tangentis puncti Z explicato parallelogrammo ASMo cum tua curva AZ M) ut in exemplo cycloidis.cjus tangens subdupla est curvae O G,quemadmodu ipsius A
230쪽
subdupla foret subtangens patiabolae explicatae; id quod aIiis
generaliter monuimus cap. s. nam. a & facillime demonsi ratur ex dictis cap. 13. num. s.
Exemplum aliud sese obvium praebet in ipsa Logisti ea. seu Logarithmica, quam ii velis ex aliquo cylindro secaro, aut cylindrum invenire, cui advolvatur, ita ut curva nihilominus in uno plano jaceat, id elegantissimEobtinebis per cylindrum
super Tractor ia erectum, quandoquidem relatio ordinatarum Logillicae ad axem mutatur in relationem earumde ad curvam in Tractoria, uti ostendimus cap. s.ciι. Du. 2. Concipiatur verbi gratia in
plano horizontali D F B erecta ad Iunctum B hasta quaedam solidioriali marmoreae B infixa ; mox alligata basi catenula aliqua F B, longitudine aequali parametro, seu su tangent i datae Logisticae, ejus extremum F trahatur per rectam F D; Futique balis catenulam sequens desct ibet Tractoriam curvam B N M. Ze hasta basi infixa curvam quamda δsuperficiem cylindricam supet ipsa Tractoria erectam ; haec igitur seca- eri intelligatur plano aliquo per axe Tractoriae F D transeunte, ad altitudinem extremae ordinatae in Logi-ili ea proposita, dico superficiem un- Dgularem inde abscissam fore nil aliud. quam ipsammet Logisticam tali cylindro advolutam; quippe si plani inclinatio fuerit per s. gradus, itaut Logisticae ordinata aequetur subtangenti ejusdem, seu erecta in ungula illa cylindrica ad punctum Badaequet catenula B F. constat, omnes erectas ad puncta N, Maequales fore ordinatis Tractoriae N P. unde qualis eli relatio ipsarum ad curvam B N. talis erit relatio applicatarum illius ungulae ad suum axem, qui illi curvae BN congruere intelli