장음표시 사용
211쪽
sunt autem antecedentes, nempe arcus GC , CH aequales; ergo δι consequentes F S, SI aequales erunt; atque ita sem. per e, cum igitur omnes arcus sectoris CDH aequales lint omnibus, & singulis areubus superficiei conicae DC G, illos comparando, qui per idem lateris coni punctum transeunt. iiDdem applicati omninb congruent ; quare si sector complicari circa conum intelligatur, arcus C II congruet arcui CG; Scs uncto II in G potito, non poterit non congruere radius D Hateri aequali DG, unde pimcnum I superponetur ipsi F, &.arcus SI congruet ei dein SF sibi aequali , totusque lector toti superficiei conicae respondebit. & circa iplam convolvetur, sive in ipsam abibit; unde viceversa, conica superficies DG Cevoluta, in eumdem sectorem CD H explicabitur. s Quod si lipea,conisam superficiem terminans, fuerit, non alterum coni latus, sed curva quaelibet G M D, non admodum diversa construetione intentum obtinebimus, quippe invento , ut prius , arcu sectoris C H aequali extremo arcui C Gdatae superficiei conicae, ad quodliberiateris coni punctum S ducto arcu SM in plano basi parallelo , ponatur arcus SVipii C H concentricus in eodem plano, aequalis autem arcui SM, facto scilicet angulo S DR in eadem ratione ad MES, in qua radius S E ad Sin quaeratio eadem ubique est, nimirum radii basis AC adlatumruni Tmo atque ita porro fiat, quousque compleatur figura D UH, quae apta nata erit datae conteae superficiei DMG congruere, eodemque argumento probabitus esse ejμsdsm in planum evolutae figura. 6 Hine colligitur sdeseripta ciuvae G M D ichnographia GK A, extensoque Iatere DM L, iuncio radio AL . radio
K AN, seu LAC, ut CD H ad SD V, Nel CDo. aut ar- eum GC ad Ch. ut HC ad Co; unde evoluta conicae superficiei sito etiam haberi posset , rumirum , invento prius sectore C D H, congruente cohicae superficiei CD G, tumateubus GC. CH similiter di vi sis in L. Sco, junctisque radiis A L, D O, ita hunc se eando in V, mi ilIe ab Ichnographia secatur in Κ, quousque per puncta DUH transeat linea, de
212쪽
terminans superficiem quaesitam D V H C, est quippe, ut L A ad AK, ita GA ad AN, seu CD ad DS, OD ad DR existentibus arcubus H C. Co ipsis GC . CL proportionalibus, ut ostendimus ex puncto curvae V per superiorem modum quaesito. '
Unde e contrario data figura DUHC circaeonsi DCB complicanda, ut evadat D M GC . facile habebimus ejus Ichnosraphiam, facto prius angulo G AC ad datum CD Hsectoris, datae figurae adscripti , ut CD ad C A , sectisque similiter in L. & Ο arcubus GC , CH , necnon radio ALin Κ, ut OD dividitur a datae figurae perimetro in Ur tunc enim punctum K erit in figurae G Κ A C, ichnographia quaesitam deterininantis, perimetro . Quae autem de i uperficie contea G M D C, seu de ejus evoluta C D V H, respeetu Ichnographiae AKGC dicta sunt, eadem, ut constat, valent de residua coni superficie G M D, ejusve evoluta D U H, respectu ejus Ichnograpbiae G Κ A, quas propterea ex praemissis modis alterutro facile determinabis , qualescumque fuerint curvae propolitae; & si linea V H, vel u H recta fuerit , constructionenabebis,ducendi in conica superficie lineam GM , seu Gm, omnium data puncta G, M s non in eodem latere, nec in plano hasi parallelo posita ) conjungentium Brevissimam , ejusque Ichnographiam describendi.
213쪽
Quomodo utcumque satisfactum puto quaestioni, quam moves, determinandi scilicet Ichnographiam figurae tuae GU R
it heirca conum D C B convolutae, sive illa sit semicirculus, sive parabola, sive hyperbola, aut alterius cujuslibet generis curva extiterit, unde dabuntur infinitae illae Spiralium species in his ichnographiis, quas mente jam comprehendisti. Uerum . nescio an operae pretium lit elegantiorem, quam mox subdo, constructionem illarum attendere. 8 Esto figura quaelibet in Conum convolvenda, aut ex ipso in planum explicata C V D . Sc lector illi circumlcriptus C s 'N
inseti pinsve s cava fuerit DG C; oporter determinare Iineam, quae ejus convolutae ichnographiam clauderet in basi coni dati radii DA, qui minor sit radio tectoris DC. Fiat B b suis
214쪽
super D A figura AOD similiter posita ipsi datae C UD secto nimirum quovis ramo DV in D proporticinaliter, ac secςtur CD in Α, & per puncta A o D ducta linea & centro D ducto quovis arcu N O H. fiat semper H N ad N o in constanti ratione lateris coni CD ad radium basis D A; ajo, puncta H ad Ichnographia A H D, propositae eurvae C U Drespondentem, pertinere; erit enim angulus L DA ad RDC,
ut radius C D ad D A, unde arcus C R aequalis erit arcui A L; quando igitnr sector C G D. cum inscripta figura C U D, eonvolvetur circa conum basis ADT , arcu CG congruente ejusdem basis arcui sibi aequali AT , portio CR congruet ipsi AL , & latus DR, cum puncto V curvae CV D, per quod
transit, erit superimpendens radio DL, in quo propterea erit punctum ichnographice subjectum Puncto U dictae curvae ;debet autem in eadem ratione distare punishum ichnographiae a centro hasis D, respectu radii DL, in quo reperitur, ac dis et punctum V in latere coni DR a vertice D sob sinii lia trian. gula effecta a perpendie ulo, ex punctis curvae in superficie conica existentis ad basis Ichnographiam demisso, qua ratione
in praecedenti figura est C A ad Ao, ut CD ad DS itaque cum sit, ut latus DC ad radium basis DA, seu DL, ita V D, distantia puncti V in superficie conica a vertice D, ad DP, seu D H, distantiam puncti H a centro basis, erit punctum H, & alia omnia simili modo determinata, ad curvam ichnographiae, quae quaerebat .s Econ
215쪽
9 Ε converso, data ichnographia, lineam ipsi in conci respondentem in plano determinabimus; sit enim talis Ichnographia AH D, & radio DA extenso in C, ut DC aequalis fiat lateri coni propositi, super ipsa fiat figura CKD similis, ac similiter posita datae AH D; & ducto ex centro D quolibet arcu SΚ, ita dividatur in V, ut sit ΚS ad SU, ut latus coni C D ad radio basis D A; erit punsium V in linea C V Dquaesita , quae in superficie conica impendet datae ichnographiae AH D; nam recalcatis praeeedentis demonstrationis vestigiis, ostendentur areus C R, L A aequales, unde applicati congruent, & punctum V superimpendebit ipsi H, quippe tantumdem in latere D R proportionaliter a vertice distans, quantum H in radio a centro D; Unde facillima ha betur constructio , nedum Ichnographiae in tua figura , ubi GUR convolvenda supponatur semicirculus salio enim semicirculo super radio balis facio, & in arcus concentricos hali resoluta , Oportet lingulorum arcuum dicto semicirculo comprehensorum quadruplos determinare , & per eorum extrema curvam dueere, erit enim coni latus radii basis quadruplum, utiquatuor anguli recti quadrupli sunt unius subtensi ii quadrante G R Z ) l ed & ubi s upponatur para hola,am hyperbola s ficta nimirum simili construetione , & ex concentri eis periphemis tali parte determinarae, quae ad arcum, radio . & simili parabola, aut hyperbola super ipsum descripta conclu-B b a sum
216쪽
sum, lis semper in data ratione lateris eo ni ad radium basis
At e contra si cupias Ichnographiam circularem parabolicam, alteriusve figurae habere, manifesta erit, constructio figurae. quae cono advoluta ejusmodi Ichnographiam dare nata esset. rsectionem arcuum concentricorum, peripheria similis meum super latere coni descriptae. ipsoque coni latere comprenen forum, in eadem ratione data, lateris eoni ad radium basis. En quanta curvarum seges, quas geometrice determinare possumus , quotiescumque data ratio,lateris coni ad radium basis,
potest geometrice angulis applicari,vel per multiplicationem, vel per divisionem arcuum propostorum. io Hinc in meo Sphaerocylindricarum , & Conoeylindr inarum semon uni Tractatu ostendi, ouod . si conus BDC se-
eari intelligatur semicylindro, cujus basis semicirculus G ΚΑΩ per radio basis AG descriptus, sitque latus coni duplum verbi causa radii basis, seu in quavis alia ad ipsum ratione, faeto super D H, aequali lateri coni, semicirculo pariter D VH, omnibusque arcubus VI, centro D descriptis, bifariam, seu in data ratione sectis ad puncta u, itaut sit VI ad u I, ut D Cad CA , linea DuH , per puncta u sic inventa transiens , erit aequalis cono cylindricae sectioni; id quod etiam succedeta Diuitiam by Cooste
217쪽
det, si loco semici te utorum GKA, H VD, ponantur quaevis aliae similes figurae, semper enim communis conicae, & cylindrieae superficiei sectio in lineam planam ill i aequalem commutabitur ; cumque in Vivianeispag. 12 2. Paulo ante num. 37.
ostenderim,lineam quoque Sphaerocylindricam, seu perimetrii Veli Florentini, esse communem conicae, & cylindricae superficiei sectionem, quam etiam num. i .p. ι36. Ollendi aequalem perimetro clusdam ellipsis, ideo etiam curva ou H, modo praescripto efformata, cuidam ellipsis circumferentiae aequalis ostendetur. Vides autem, opinor, quam utile sit eamdem lineam ex variis superficiebus in alias transferre, diversis'; constructionibus in plano determinare, prout eadem linea elliptica , tum modo superius descripto , tum per modum ungulae ex cylindro expansae, tum vulgari modo, prout Apollonianam coni sectionem terminat, aliisq; modis in plano jacere potest, semperque diversas tangentium determinationes suscipit, pro vario suarum partium situ; contingere siquidem poteli, ut in uno rectificationem respuens, in altero illam admittat, vel laltem cum alia nota linea comparationem suscipiat Sic, ii proponatur linea Loo, cujus haec proprietas, ut ducto radio FO ex determinato puncto F, secante arcum
L G, ejusq; tangentem L E in Pui ctis G, Ε, sit semper post F G radia,
di secantem F Ε, tertia Proporti natis F Ο. facile erit eurvam L oo cum linea Geometris jam satis nota B comparare, videlicet cum parabola notae parametri, siquidem illa ipta non alia est, quam parabola evoluta ex superficie coni, cujus triangulum per axem sit sequi laterum; id quod
extra hanc methodum, nescio an satis promptum esset conjectura asse.
i. nedum facili geometrica conis
218쪽
ii Jam, quando ita provocas, operae pretium est, ut curvarum, eo, quem prie misi, modo descriptarum,tangentes unive sali methodo determinare aggrediar, pro quo: assumatur quaelibet figura A L L B, ductisque ex centro A quibusvis concentri eis arcubus EL, KL, sinuiter augeantur producti in M, aut minuantur divisi in I, quousq; per puncta A M M B transeat curva, qualem univ. 8. determinavimus, aut per punctii AH B transeat curva , qualem num. 9. descripsimus ; quaeraturque ad datum punctum M , vel I curvarum cjusmodi tangens. Ducto arcu quoliber, verbigratia extremo B C D, occumrente junctae chorde, seu radio AAl, AI in D, II, duiloque arcu ML, seu IL, Sc juncta chorda A L, secante priorem arcum in C, ducantur tangentes arcus DB ad puncta D, H, C, quae sint D G, H F, CK; huic ultime occurrat in Κ tangens L Κ ducta ex puncto L datae figurae A L B; in ea autem ratione, in qua sunt arcus I E ad EM, aut El, ponatur essedata portio tangentis C Κ ad D G , vel HE. Dico junctam GM , aut Fl cile tangentem ejusmodi curvarum in Al, l.
Si enim hae curvae gigni intelligantur ex aequabili motu lineae A B circa A circulariter converse, & motu accelerato , vel retardato, prout opus fuerit, puncti B per B A a 'cendentis , aut ' per A B descendentis ad modum, quo Spirales generari solent) manis eluim est, aequabilem illam velocitatem motus circularis in curva B M A tanto majorem, & in BI A tanto minorem fore, quam iit in curva B L A , quanto major et arcus ME, & minor El, quam EL, idest ex constructio .
219쪽
ne, quanto major est G D. Sc minor H F, quam C Κ, eodem existente impetu puncti difformiter fluentis, sive in M, sive I, sive in L , propter aequalitatem ipsarum AM, AI, AL , vel residuarum D M, HI, CL, quas mobile punctum A, vel Binterea peregit, dum linea circulariter mota respective arcum DB, HB, vel CB emensa est. Si igitur velocitas dii brmis in puncto L curvae BL A exprimatur per L C. etiam eadem velocitas in punctis M, i aliarum curvarum exprimetur per MD, IH illi aequales. & si velocitas aequabilis circularis motus exprimatur per CK ad curvam ALB exprimenda vero est prorsus per ipsam, quoniam in ea est motus circularis directio, quippe tangens arcus CB. & aliunde intercipitur a tangente L Κ, angulo recto KCL opposita, in qua utriusque motus composita directio reperiri debet,ex 8. Prop. I. a. Geometriae motus Ioannis Cevae, qui non cognatione tantum, sed& geometrico acumine, & inveniedi talicitate Tibi vere Germanus existit similis aequabilis velocitas ad curvam AMBexprimetur per D G, & ad curvam AIB per H F ; propte- rei juncta GM, &FI tangens erit, sive ex eadem propositione, sive ex his, quae cap. s. num. 3. demonstravi in Hugenianis, & antequam Fratris tui Geometriam legerem, ex Tor-rieellii loco ibidem citato deduxeram. Atque hinc est , qu bd Gs ordinatae ad axem non sint arcus eoeentri ei, sed rectae lineae. vel ut LE, FE in eadem semper ratione, duciis L C, F
220쪽
axi parallelis , dataque figurae B L tangente L r, occurrente bali in r; sumpta at, quaesit ad Cr in eadem Ordinatarum ratione, juncta tF tanget curvam FB; tum enim illae ordinatae LE, FE, quemadmodum &hasis recta C Qe, habendae sunt pro arcubus concentricis, a centro infinite distante descriptis, cujus radii propterea sint ipsae axi parallelae L C. QU, ipsaeque r C. t in pro tangentibus extremi circuli C Qe. ob infinitam ejus radii magnitudinem, in unam eamdemque rectam cum suis tangentibus abeuntis ; cujus constructionis veritas jam aliunde innotuit , siquidem rL . t F hoc modo designatae in unum & idem axis B E punctum collimabunt, uti ex proprietate triangulorum constat. ia Quod si quis malit independenter a motuum compositione ealdem tangentes evidentiori methodo inquirere, per
me licet. Esto enim primum duplex figura , altera ex rectis L E. t e ad axem ordinatis, altera ex arcubus Ε M , e m ad eumdem axem applicatis, & respective aequalibus ipsis L Ε, t e sibi correspondentibus; data tangente L K prioris figurie, occurrente ipsi BΚ, ex vertice ductae aequi dii tantur ad ordinatas, in puncto Κ, tangens figurae posterioris ad punctum M se determinabitur ; juncto radio BM, atque huic ex B perpendiculari BG, aequali ipsi BK, jungatur GM: dico hanc esse tangentem ; occurrat enim in S cuilibet alteri ex arcubus conce utricis em; secanti radium in O; litque OP radio B M