Geometrica demonstratio theorematum Hugenianorum circa logisticam, seu logarithmicam lineam, qua occasione plures geometricę methodi exhibentur circa tangentes, quadraturas, centra gravitatis, solida, & c. ... Addita epistola geometrica ad p. Thomam

발행: 1701년

분량: 240페이지

출처: archive.org

분류: 미분류

191쪽

Theorem. Hugen. cap. XIII. I7 I

Ium ad spatium N FR in, quod propterea aequabatur ipsi Ni D rectangulo, eritque. ut K ad F N , ita F D ad F S.

quippe cum tam extremorum , quam/meatorum rectangula eidem N F QR spatio sint aequalia; tum etiam constat ex di- diis capite s. num. 6. 9 7. uta ex motuum compositione hanc ipsaria tangentium constructionem , data praescripta figurarunt conditione demonstravimus; tum denique noc argumento . ordinentur hinc inde OTU, o tu secantes curvam an P, P . rectam vero DS in V. u; quoniam ex constructione est spa

ra dextra , ubi curvae RS convexum axem respicit, &e contra in figura sinistra majus N F t. quam N F t o, minus N F Tquam N FTO, ubi curvae R S concavum axi obversum est, erit residuum ex N F in TD , aut aggregatum ex N F in t D , minus spatio ot Ra , majus spatio O TR n prima figura, & e contra majus spatio ci t R in minus O Γ Rin secunda, seu respectivgminus, & majus , majus , & minus rectangulo ex Κ in ordinatam ip , T P , quippe quod juxta construetionem tali spatio aequatur; habebit ergo N Fad K , idest S F ad F D, aut ut ad tD, UT ad T D , minorem, & respective majorem in prima figura, seu majorem.&respective minorem rationem in secunda, quam habeat ipad eamdem tD, seu I p ad eamdem TD; ideoque t p. &T P in prima figura majores erunt. quIm ut, & VT , minores autem iisdem respectivis sumptis in secunda Lectoris dexteram relpiciente; di ideo puncta curvae P, p, erunt utro-hique extra rectam D S; quae propterea tangens erit. Quod

fuera demonstrandum.' Animadvertendum iv figura sinisyra hujus Schematis in quo e Agarae AOHsuvi decresentes as partes A B, tertiam

iisdem luteris notata decrescentem ad ries oppositas R quod attinet ad hoc pro Hamὶ Dperfluere, neque ad hoc notaIam eff)e , ut huic constructioni in serviat, quum evidens M. numquam conti Nere possie , ut cavisine curva 'RSG ad axem R B cona

192쪽

37 a Guidonis Grandi

3 Cum igitur ex dictis cap. 6. num. 4. lineae in Logistiea O R S axi B V parallelae, veluti FS, P R sint ad invicem, ut spatia hyperbolica NORQ F, o R QP sexistentibus AB c asymptotis, ordinatisque FN, PO, QR alteria symptotorum parallelis patet spatium hyperbolicum G R P aequari rectangulo o P ex ordinata OP in alteram Logistieae sub

tangentem PD unde constat, quomodo Logistica hyperb is quadraturae conducat , uti in Prima hujus Theorematis parte asserebatur; secundam partem citra petitionem princi-rii probare hinc nequeo , seo satis evidenter praeostensam ahes loco citato. Tertiae partis demonstratio sie erit insti-.tuenda. Rectangulum o PD aequale est, ex dictis, spatio hy-rerbolico O R QP, habebit ergo Parallelogrammum hype oli inscriptum ΚΟ PB ad spatium ΟΡ- eamdem rationem, quam idem habet adrectangulu o PD; idest quam basis BD, seu TR ad PD; aut, ob triangulorum similitudinem, quam subtangens Logisticae G T ad axi parallelam R P.

Quod erat demonstrandum.

193쪽

Theorem. Hugen. Cap. XIII. 173

4 obiter notare potes in demonstratione num. a. allata, quot curvarum tangentes geometricὶ determinari queant, praescriptam nimirum conditionem suscipientes. In Expania sphaerica superficie, sive Ungula quavis eylindrica in planum extensa qualem in Demonstrationibus Uivianeorum Problematum consideravimus specimen hic dumtaxat daturi sumus . Mo ejusmodi superficies Ungulam Expansa BQ SC ; cui inverse ad eumdem axem altera similis. ἰχaequalis, sive eadem mei repIicata, A N BQ appIicata esse intelligatur. Constat ex Propositione quinta Dein onstrat. Vi-vian. Probi. fore tota superficiem B A Q ad partem A N F Q

resectam quavis ordinata N F, secante alteram curvam in S. ut ordinata BC ad FS, quia ordinata F N tantumdem distat a bali A n figura AB in quantum FS a vertice αfigurae a B C ; itaque, si fiat rectangulum N F D aequale spatio AN Fα, juncta DS erit tangens , ju ta ea , quae Mu-mer. I. generaliter demonstravimus. Et si supponatur QR Celle Ungula plano semiquadrantaliter inclinato abscissa , seu eadem, ac figura sinuum inscripti quadrantis BCI, quem avi parallela SL secet in G, tangat vero in eodem puncto G Κ, erit tum FD aequalis ΚG; demisso enim sinu GE, ac jum

194쪽

cto radio G B, quemadmodum S F sequatur sinu i GR. erit F N aequalis tinui G L. seu L B; est autem superficies AN Finaequalis radio BC, vel BG in ipsam EG, vel BL uti constat ex eadem Propositione quinta, vel ex decim aquinta par ticulatim acceptis ) itaque re tangulum N FD aequatur ipii

B G Ε; porro hoc aequale est E B in Κ G. propter G B ad K B, ut KG ad GE; itaq; NFD aequatur EB in ΚG, iuntque

' Deficit in Diagrammate linea B G radius quadrantis, de quo tu praesenti Demonstratione ..NF. EB aequales; ergo & FD aequalis et it tangenti GK;

eidemque quantitati aequalis erit s id est temper erit D F ad Fin, ut tangens ad arcum lineae Q F congruentem ante. quam in planum evolveretur , uti est hie arcus GI J etiamsi Ungula semi quadrantalis non sit, curvarum enim eumdem axem, & ordinatas proportionales habentium eadem est, rein spectu ejusdem a vertice altitudinis , conlians subtangens

ex parabolico, hyperbolico , aut alterius generis curvae insistente resecta foret, eadem poliarior constructio locum Ob-

195쪽

tineret, qujppe & in illis hoc semper. evenit, ut ii fuerint

semi quadran tales, idest inclinatione semirecta ab sei ille inscripta figura genitrice quae cylindri basis erat ) BCGI ,

ductaque axi parallela qualibet S GL , erit S L aequalis at cui curvae G C; nam & tota B QAqualis e s curvae I GC, circa quam in cylindro convolvebatur; & portio Qy aequalis portioni lG, utpote suscipiens ordinatam PS aequalem sinui GE , cui aequalis erigebatur in superficie cylindrica ad punctum G nondum expansa , adeoqire & reliqua FB, seu SL aequalis reliquae portioni GC; His itaque existentibus, ductaque ad punctum G tangente genitricis curvae G Κ, atque huic polita aequali FD, oportet, junilam DS tangere curvam Ungulae lic expansae, etenim hinc inde ductis parallelis V P H m R T axi propiori, ii u p m r i remotiori, se cantibus lineas, ut in figura videre est; cum sit D F ad H U, vel h u, ut F S ad S H, seu S li, vel Κ G ad tangentem G m, posita jam D F aequali Κ G, erit praedicta G in aequalis Id V,

1eu hu; verum propter SL, seu IIT , vel hi aequalem curvae G C, & PT, vel pt aequalem RC, seu rC , erit H P, vel lip aequalis curvae GR , vel Gr : estque RG minor , sicut e contra r G major tangente in G ; itaque HV major est quam H P, minor vero hu, quam lip ; & utrobiq; puncta V , u rectae DS uitia curvam Q PS pC : tangit ergo, uti propositum fuerat ; eademque F D subtangens erit

omnium aliarum Ungularum etiam non se iniquadrantalium, propter ordinatas ad eadem axis puncta F semper proportionales.

6 Quanta hinc , Deus bone , Veritatum seges enascituri At mihi non in hoc campo seritur, metiturve , ani equam alias promii sum Sphaerocylindricarum Sectionum tractatum invulgem ; Unum hoc non dissimulabo ad Logisticam pertinens , quo lina ut usum doctrinae qua dant enus insinuabo, Nimirum, superficiem ex Logistica circa axem revoluta finitam e sse , uti supra capite praecedenti, num ra. O i 3. jam monuimus , ex quo Ungula semaquadrantalis ex cylindrico luper Logisticae curva erecto aequalis foret spatio hyperbo. lico ibidem de tignato , hinc etiam sponte profluere. Esto

enim Dissiligod by Corale

196쪽

r 76 Guidonis Grandi

enim talis Unsula cylindrica in planum extensa FBSS. cum inscripta sibi Logistica genitrice FB NM ; ducta igitur axi parallela A N s. erit ubique A S aequalis curvae B R& tangens UnguIae ad punctum S erit SD , itaut DT sub

tangens aequalis sit tangenti NC Logisticae ad punctum Nicequalis est ergo potentia D S, tum tangenti CN id est ordinatae Ao in spatio hyperbolico, quod loco citato dete minavimus) tum ipsi TS, seu F A ; itaque juncta Fo erit aequalis ipsi DS , sed Sc inter easdem parallelas consistunt; aequidistat igitur F o tangenti D S ; & hoc semper ; figura igitur FLO O est correlata Ungulae FBSS; illique propte-pterea est aequalis integre, &particulatim, juxta doctrinam

cap. 8. num. 3. I inmo & hoc ipso ratiocinio generalius concepto, pollet e contra eadem de Ungularum tangentibus determinatio in omnibus demonstrari. Hinc enim habetur , figu. ram ex tangentibus CN ad FB applicatis esse Correlatam

197쪽

Ungulae FBSS quaecumque fuerit curva BNMὶ atque

. adeo tangentes Ungulae esse parallelas ramis figurae ex ipsis CN, cui integre, & particulatim correspondet ex dictis ν. praeced. m. I a. illationem firmantibus iis, quae cap. 8. circa

finem: m. s. monuimus.

7 Jam Sc illud observandum volo . qudd ex secunda hujus Hugeniani Theorematis parte manifesto liquet, solidum hyperbolicum ex spatio OP QR circa OP rotato est e ad sol dum ex spatio Logisticae correspondente TR in circa BQ. in eadem semper ratione, in ea videlicet, in qua parallelo graminum hyperbolae inscriptum K O B P ad quadratum sub tangentis Logisticae T G ; quoniam enim spatia hyperboliea lineis OP abscissa a termino Q. R proportionalia sunt axi. parallelis P.R in trilineo Logisticae R QP, si cylindricus ex-Metur super spatio. OP R, idemcγε secetur plano per ΟΡ. transeunte, ad basi semiquadrantaliter inclinato, erit cylindricus ejusmodi ad truncum inseriorem , plano secante.&hasi interceptum, ut parallelogrammum RPQ ad trilineum

ΡR id quippe convincit demonstratio, qua in Virianeis

198쪽

r 8 a I lGuidorus Grandi

usus sunt ad Proposit. septimam, pag. sa. propositam . ubi ostendi, cylindrum ex ductu quadrati ac, in figura loco citato adhibita, in Expaniam supers sphericae I LAC, esse ad truncum ex triangulo ital in camdem , ut quadratum . seu parallelogrammum c a l i, Expansae inverse politae i da circumscriptum, aretalem Expansam; quippe id ex hac sola af sectione pendebat , quod esset temper A Zi Ciad partem FZ AC, ut linea ac , is RPud P d, prout in aliis bene multis figuris, ac praecipue in casu nostro verificatur similiter in eadem ratione rectanguli R P Q ad trilineum QR P,

enm inferiorem. interceptum eadem hau , ac pIano similiter per B inclinato, et, quod partes etiam spatii Logistiei OBT R per ordinatas fi termino T R abseisiae . proportionentur lineis in eodem trilineo QR P basi P a paralIelis, nil ex primo Hugenii Theoremate, ac dividendo, constat. sunt enim talas Parallesae disterentiae ordinatarum ad ravam Logistieam, veluti spatia sic intercepta disterentiae spatiorum iis ordinatis proportionalium ; est igitur cylindricus super

199쪽

Τheorem. Hugen. Cap. XIII. i 79

ΟPQR. cujus altitudo P in ob semi quadrantalem incli. nationem plani secantis ad suum truncum inferiorem, ut cylindricus iuper B TRQ , altitudine B T,ad similem sui truncum , Ic sumptis consequentium aeque proportionalibus t est enim quivis truncus ad rotundum solidum ex tali circa eamdem lineam, quae est balis, &. plani secamis communis lectio .

rotata, ut radius ad circumferentiam, ut cap. Io. Circa mediunum. i. Ostendimus erit cylindricus hyperbolicus ad rotundum ex OP R. circa OP. ut cylindricus Logitticus ad rotundum ex sua basi cirra BQci ac permutando, ut ille cylindricus ad istum . ita illud rotundum solidum ad hoc , quod ultimo expressimus. Verum illi cylindrici in compolita sunt ratione altitudinum PQ ad B T, seu, sumpta communi latitudine T G, P In TG ad G T B. A basium, se ilicet spatii hyperbolici, quod aequatur ex dictis supra uum 3. rectangulo G PD, ad spatium Logisticum. quod aequale eit ex saepe dictis rectangulo P n TG; itaque & rotunda solida supra descripta, Hyperbolicum ad Logisticum, in compolita erunt ratione,rectanguli o P D ad P mn T G. & hujus ad G T B, id est, ut o P D ad G T B, quae denique cuin componatur ex P D ad B T, seu P R. vel dieas ex T R., seu BΡ ad T G,& ex OP ad eamdem T G. dabit rationem rectanguli hyperbolae inscripti O PBK ad quadratum subtangentis Logisticae T G. Quod erat demonstrandum . 8 Quarta pars de monil ratione non indiget, sed prolixiorum, quam apud nos sint, tabularum Logarithmicarum calculo , quippe assignato longitudini subtangentis Logisti eae

numero,per quem Hugenius hyperbolae parallelograni mu designat, tune distantia duarum ordinatarum Logisticae exhibe- bit Logarithmum rationis earumdem ordinatarum juxta naturam hujuS curvae cap. l. uum. 3. indicatam P seu differentiam Logarit limorum respondenti una numeris i inter quos est ordinotarum Logisticae, ac consequenter & ordinatarum hyperbolae ratio . unde cum sit sub tangens ad intervallum ordiis natarum Logisticae, ut parallelogrammum hyperbolae ad con-fruum spatium hyperbolicum; ideo per Logar illi micas tabuisas facile erit hinc aestimare, ti calculo erucre numerum C ro Z a res.

200쪽

i 8o Guidonis Grandi

reipondentem cuilibet dato hyperbolico spatio, data ejus ex

tremarum ordinatarum ratione.

Quinta similiter Theorematis pars, pertinens ad Tetra. zonismum Hyperbolae a Clarissimo Auctore in Tractatu de Evolutione Curvarum exhibitum , vel de modo quadrandi hyperbolam per rectificationem curvae parabolicae intellige da est, vel per Logarithmos ; utrumque enim in praefato libello insinuatum video ; si primum, jam ex cap. praecedenti, viam. i . habes hyperbolicum spatium aequale esse rectangulo ex Logisticae subtangente, seu generalius, ex semitransverso latere hyperbolae in curvam parabolicam, dupla parametro descriptam , iisdemq; axi parallelis terminatam. At sil qubdaptius judicarim) de altero modo per Logarithmos accipien da sit, quemadmodum & praecedens pars, solo calculo indiget, ac ingentium Logartihmorum tabulis, quae etsi mihi in promptu ei sent, vereor, ut otii, & patientiae satis habiturus sim, ut ejusmodi calculum expenderem , quem idcirco laborem his, qui se ejusmodi studiis exercere voluerint, integre, & ultrli relinquam, siquidem tempus admonet, ut receptui canam, ac Philosophiae me restituam ; ipsum tamen locum ab Hugenio hic citatum , ex ejus Tractatu de Linearum Evolutione

pag. 7s. Jacobi Panganini Viri Cl. alias abs me infra meritum laudati opera descriptum quippe exemplari carebam hic

subjungere non gravabor, ne quid Lectoribus dest ad hanc Logillicae proprietatum ab Hugenio propositarum demonstrationem illustrandam. Inquit igitur Hugenius: ro uuaecumque vero Problemata ad alterum e duobus hisee reducuntur, quamlibra vero proximam solutionem per numeros accipiunt, Logarithmorum admirabili ivvento. Cum per hos Θ- perbola quadratura, uι olim invenimus, numeris quam proxime

explicetur , es autem regula hujusmodi. Sit DAB portio υ- perbolae, cujus vidi toti CS, C V, ductis D E, B Vparallelis . a mptoto S C. Occipiatur differentia Logarithmorum , qui

conveniunt numeris, eamdem inter se rationem habentibus, qua

rectae DE , TU; ejusque disserentia quaeratur Logarithmus , cui addatur Logarithmus hic qui Iemper es idem) o, 36ari,s 6887 . Summa erit Logartihmus numeri , qui spatium

SEARCH

MENU NAVIGATION